Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. TẠ THỊ HOÀI AN 2. GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI Nghệ An - 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Diệp ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Thị Hoài An và GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Thị Hoài An, người Cô nghiêm khắc và mẫu mực, đã định hướng nghiên cứu, đặt bài toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án. Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo các điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Khoa Toán, Tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Viện Toán học, phòng Lý thuyết số, phòng Đại số, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡ tác giả, tạo môi trường học tập cũng như tham gia các buổi sinh hoạt khoa học của Viện để tác giả có thể hoàn thành luận án. Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến TS. Chu Trọng Thanh đã quan tâm cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập. Xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, chia sẻ trong công iii việc cũng như trong cuộc sống. Xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh của Viện Toán, của Trường Đại học Vinh về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án này đến hương hồn Bố, kính tặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo. Chính Mẹ và em đã chấp nhận mọi khó khăn và dành hết tình thương yêu cho tác giả trong suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án này. Nghệ An, 2014 Nguyễn Thị Ngọc Diệp MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Không gian Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường số phức 20 2.1 Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20 2.2 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . 33 2.4 Điều kiện cần và đủ để đường cong P(x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . . 34 iv 1 2.4.1 Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.2 Phép biến đổi toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Một số ứng dụng và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 56 3.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Chặn trên của các độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Kết luận và kiến nghị 78 Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 2 MỘT SỐ KÝ HIỆU C : Trường các số phức k : Trường A n (k) : Không gian afin n chiều trên trường k P n (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k k[x 1 , . . . , x n ] : Vành đa thức n biến trên trường k degf : Bậc của đa thức f V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S ∅ : Tập rỗng A ⊂ B : A là tập con của B A ⊂ B : A không là tập con của B A ∩ B : A giao B A ∪ B : A hợp B id X : Ánh xạ đồng nhất từ tập X vào chính nó I(X) : Iđêan của X Γ(X) : Vành toạ độ của X J(V, k) : Tập hợp tất cả các hàm từ tập V vào k gcd(a, b) : Ước chung lớn nhất của a và b 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà toán học đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant. Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình Diophant với các hệ số là những số nguyên. Sau đó, việc xem xét nghiệm của các phương trình Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và trên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình không Acsimet, hàm hữu tỷ. Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Bài toán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P (x) −Q(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Theo Định lý Faltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau. Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toán này đã được đưa ra bởi các công trình của J. F. Ritt [36], sau đó là A. Ehrenfeucht [19], H. Davenport, D. J. Lewis và A. Schinzel [16], M. Fried [22], Khi Q = cP , C. C. Yang và P. Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm đa thức duy nhất mạnh. Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại số k được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi 4 hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P(f) = cP (g) thì c = 1 và f = g. Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường hợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]). Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở rộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình P(x) = Q(y). Theo Định lý Picard, phương trình P(f) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu và chỉ nếu đường cong P (x) −Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào có giống 0 hoặc 1. Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J. F. Ritt ([36]) và U. M. Zannier ([46]). R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã đưa ra một điều kiện cần để đường cong P(x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 1. Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q để phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng cũng được xem xét bởi các tác giả H. H. Khoái và C. C. Yang trong [31], C. C. Yang và P. Li trong [45]. Gần đây, trong [7], T. T. H. An và A. Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu lần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP = degQ. Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Đồng thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên [...]... của mình là: Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời xem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp 3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại... đầu với các hệ số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các phương trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức, trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên: Thứ nhất, tồn tại hay không các hàm f và g khác... Q(y) với P và Q là các đa thức một biến trên trường số phức Chương 3, chúng tôi trình bày những kết quả về độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách, bao gồm bốn mục Mục 3.1, trình bày một số kết quả bổ trợ cần cho việc chứng minh các kết quả chính; Mục 3.2, trình bày về chặn trên của độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách; Mục 3.3, trình bày về phương trình biến... nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số 5 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học đại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý thuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số 6 Ý nghĩa khoa học và thực... f, g ∈ Γh (V ) cùng bậc } g Các phần tử của k(V ) được gọi là các hàm hữu tỷ trên V {z ∈ kh (V ) | z = Cho z ∈ k(V ) là một hàm hữu tỷ trên V và P ∈ V Ta nói rằng z xác f g thức thuần nhất cùng bậc và g(P ) = 0 Ký hiệu OP (V ) = {z ∈ k(V ) | z xác định tại P nếu z có thể viết được dưới dạng z = , trong đó f, g là các đa định tại P } Tập hợp các điểm P ∈ V tại đó hàm hữu tỷ z không xác định được gọi... thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả của Faltings và Picard Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằng phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm là các hàm phân hình khác hằng f và g khi... trình bày về đa tạp đại số; Mục 1.2, trình bày về cấu xạ giữa các đa tạp; Mục 1.3, trình bày về đường cong phẳng; Mục 1.4, trình bày về không gian hyperbolic Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong xác định bởi các đa thức biến tách trên trường số phức, bao gồm năm mục Mục 2.1, trình bày phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian; Mục 2.2, trình. .. toán tổng quát để giải các phương trình Diophant? Câu trả lời phủ định được đưa ra bởi Yu Matijasievich năm 1970 Như vậy, những vấn đề được các nhà toán học quan tâm là tìm điều kiện của các đa thức P và Q để phương trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm nguyên, xem xét tính bất khả quy của đa thức P (x) − Q(y), đồng thời xem xét sự tồn tại nghiệm là các hàm khác hằng của phương trình P (x) = Q(y) Những... P và Q sao cho nếu f và g là các phần tử của K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g), thì các độ cao của f và g bị chặn trên Từ đó chúng tôi đưa ra điều kiện đối với P, Q để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương Chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất làm kiến thức cơ sở cho các chương sau, bao gồm... X ⊂ An (k) và Y ⊂ Am (k) là hai đa tạp afin Hai cấu xạ f1 : U1 −→ Y và f2 : U2 −→ Y từ các tập mở không rỗng Ui , i = 1, 2, của X vào Y gọi là tương đương nếu các hạn chế của chúng lên U1 ∩ U2 là bằng nhau Một lớp tương đương các cấu xạ như thế được gọi là ánh xạ hữu tỷ từ X vào Y 1.2.10 Định nghĩa Một ánh xạ hữu tỷ F từ X vào Y được gọi là song hữu tỷ nếu tồn tại các tập mở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu . là: Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ của phương trình đa thức hai biến trên. xét các phương trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức, trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ. Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và. Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và trên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình không Acsimet, hàm hữu tỷ. Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k.