Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng thân, đặc biệt hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hoàn thành khóa luận Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lòng biết ơn chân thành tới thầy Khuất Văn Ninh, quan tâm, bảo, góp ý kiến thầy giáo, cô giáo tổ hình học, thầy cô giáo khoa Toán giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện có hạn kinh nghiệm kiến thức thân em nhiều hạn chế khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô giáo bạn đọc nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm hoàn thiện, phát triển khóa luận sau Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khỏe đến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Trần Thanh Khuê Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với bảo, giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Em mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc để khóa luận ngày hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Trần Thanh Khuê Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Phần tử hữu hạn 22 2.3 Xấp xỉ phần tử hữu hạn 23 2.4 Các dạng phần tử thường dùng 24 2.4.1 Phần tử chiều 24 2.4.2 Phần tử hai chiều 25 2.4.3 Phần tử ba chiều 25 2.5 Xấp xỉ phần tử tham chiếu 27 2.5.1 Định lý 27 2.5.2 Phần tử tham chiếu 27 2.5.3 Về phép biến đổi hình hoc phần tử tham chiếu phần tử thực 29 2.6 Xây dựng hàm 34 2.6.1 Phương pháp tổng quát 34 2.6.2 Tính chất hàm 38 Chương 3: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật 40 3.1 Tính chất học tổng quát toán đàn nhớt 40 3.2 Về phương pháp giải toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt 44 3.2.1 Nguyên lý tương ứng 44 3.2.2 Phát biểu toán biên đàn nhớt tuyến tính 45 3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp 45 3.3 Giải toán đàn nhớt tuyến tính phương pháp phần tử hữu hạn 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giai đoạn phát triển học môi trường liên tục liên hệ chặt chẽ với hoàn thiện phương pháp tính toán việc sử dụng rộng rãi máy tính điện tử Quá trình giải toán kỹ thuật thường dẫn tới kết cục phải giải phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đại số Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hoàn thiện phương pháp tính phương diện Toán học không hoàn toàn đồng với việc hoàn thiện phương pháp tính Cơ học môi trường liên tục Sở dĩ việc nghiên cứu hoàn thiện phương pháp tính thuộc lĩnh vực Cơ học môi trường liên tục bao gồm nghiên cứu hoàn thiện cách giải mặt Toán học mà có việc nghiên cứu hoàn thiện mô hình tính toán, hoàn thiện cách đặt toàn dựa vào khái niệm Vật lý yêu cầu kỹ thuật cho toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn Người ta thường hay sử dụng rộng rãi phương pháp biến phân làm công cụ để hoàn thiện phương pháp tính học môi trường iên tục Trong số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai biến phân hiệu ứng dụng rộng rãi lĩnh vực Cơ học môi trường liên tục học kết cấu, động lực học ổn định công trình, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, học chất lỏng chất khí, học đất,… Phương pháp phần tử hữu hạn xem công cụ vạn năng, tiện lợi ứng dụng rộng rãi ngành xây dựng bản, giao thông, thủy lợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,… Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải toán ổn định động lực học công trình Cần ý rằng, sử dụng máy tính điện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp làm phát triển nhảy vọt phương pháp tính rời rạc hóa ta thay hệ liên tục mô hình rời rạc, mà tạo hiệu ngược lại, tức cho phép lập phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát hệ rời rạc Nhờ tạo khả cho ta đơn giản hóa toán hai chiều, ba chiều toán chiều Với mong muốn tìm hiểu kiến thức phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng khác phương pháp để giải số toán kỹ thuật trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng” sở nhằm nghiên cứu vấn đề phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải số toán kỹ thuật khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn - Cách giải số toán kỹ thuật phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm kiếm tài liệu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Thống kê toán học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận luận văn gồm chương: Chương 1: Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Cho không gian tuyến tính : (không thiết phải tuyến tính) Cho hàm → toán tử phi tuyến ∈ , giả sử ta cần tìm ∈ cho: = (1.1) Đây dạng tổng quát phương trình toán tử không gian Theo khuôn khổ chung đó, ta nói phương trình toán tử (1.1) có lời giải toán tử trường hợp lời giải = khả nghịch Ngược lại, phương trình (1.1) lời giải Do đó, ta có vài câu hỏi với điều kiện phương trình giải (điều kiện giải được) có phải lời giải (điều kiện nhất) nữa, không xét đến tính hay không làm tìm nghiệm (điều kiện tính toán) Rõ ràng, để trả lời câu hỏi vậy, ta cần mô tả xác phương trình, chẳng hạn số điều kiện bổ sung cần Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) khó khăn chí lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gần (xấp xỉ) Điều có thể, nhiên vấn đề đặt tìm xấp xỉ tốt Xét phương trình (1.1), hai không gian không gian tuyến tính vô hạn chiều lời giải tốt xác định, phương pháp tiếp cận chung để tìm xấp xỉ tốt sau: Đầu tiên chọn dãy không gian tuyến tính { } dãy không gian tuyến tính { } , chọn hai ánh xạ liên kết Sau đó, ta dùng ánh xạ : → : → để xác định dãy toán tử = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán | → : : tương ứng → bởi: (1.2) Khóa luận tốt nghiệp Giả sử toán tử Kí hiệu: | xác định không gian tuyến tính hạn chế tập = , Cuối cùng, ta sử dụng ∈ , = 1,2, … (1.3) dãy phương trình toán tử xấp xỉ với phương trình toán tử xác (1.1) Nếu có thuật toán tìm dãy nghiệm { } phương trình toán tử (1.3) ta gọi thuật toán xấp xỉ cho phương trình toán tử (1.1), kí hiệu Γ = { , ; } , Để việc xác định thuật toán xấp xỉ hữu ích hiệu quả, số câu hỏi quan trọng phải giải quyết: (1) Phương trình xấp xỉ (1.3) có nghiệm (duy nhất) với n hay không? (2) Nếu phương trình (1.3) có nghiệm dãy nghiệm { } có hội tụ tới điểm hay không? (3) Nếu dãy nghiệm { } hội tụ tới điểm cho trước giới hạn có nghiệm (duy nhất) phương trình (1.1) không? Câu trả lời cho ba câu hỏi dẫn đến lời giải xấp xỉ phương trình toán tử (1.1) Để xác ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Trong không gian tuyến tính , chuẩn kí kiệu là: ∥ ∥ ∈ Một dãy giản gọi hội tụ mạnh tới → ∈ → ∗ − gọi hội tụ yếu tới lim ( Trong → đơn → , lim ∥ Một dãy ∈ , kí hiệu ∥ =0 ∈ , kí hiệu − )=0, ∀ ∈ → ∗ không gian liên hợp Định nghĩa 1.2 Phương trình toán tử (1.1) gọi xấp xỉ mạnh (hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γ tồn số nguyên Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán > cho Khóa luận tốt nghiệp ∈ phương trình toán tử (1.3) có nghiệm { } hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới với ∈ , ≥ , dãy nghiệm phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Phương trình toán tử (1.1) gọi xấp xỉ mạnh (hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γ tồn số nguyên ∈ toán tử (1.3) có nghiệm hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới , dãy { ≥ với ∈ , > cho phương trình } có dãy nghiệm phương trình (1.1) Rõ ràng để xác định rõ nghiệm xấp xỉ hội tụ (mạnh hay yếu) dãy nghiệm xấp xỉ bốn phần tử thuật toán xấp xỉ Γ = { , ; } , phải đáp ứng số điều kiện định Ví dụ điều kiện cần thiết là: (1.4) = Điều kiện chứng tỏ tập hợp dãy { } trù mật Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, toán tử toán tử tuyến tính Nếu → : : → nói đến là toán tử chiếu tuyến tính thuật toán xấp xỉ tương ứng đem lại phương pháp chiếu gọi thuật toán hình chiếu xấp xỉ Đặc biệt, theo điều kiện khác toán tử thuật toán Γ = { i Nếu = , ; , = bốn phần tử }, ta có phân loại sau: với = 1,2, … phương pháp chiếu gọi phương pháp Galerkin ii Nếu Γ toán tử tích phân vi phân không gian hàm trơn cho ta phương pháp phần tử hữu hạn iii Nếu → không gian hàm xác định Ω ⊂ ℝ : toán tử nội suy xác định Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp ( Trong , ,…, )( ) = ∈ Ω, ( ) ∈ ( ) { ( ) } sở ,…, , phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) trở thành: ( )= | ( ) | ∈ Ω, điều tương đương với: Với | = | , = 1,2, … , (1.5) Đây phương pháp Collocation iv Nếu không gian Hilbert với tích vô hướng 〈∙, ∙〉 và = { ,…, }, = { ,…, } tương ứng, và toán tử chiếu trực giao, phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) tương đương với: 〈 − , 〉 = 0, = 1,2, … , (1.6) Đây phương pháp Galerkin-Petrov Đặc biệt, 1,2, …, với toán tử tuyến tính : → , , = chọn thích hợp phương pháp moment Mặt khác, : = = → toán tử tuyến tính = 1,2, …, phương pháp bình phương tối thiểu, ví dụ trường hợp điều kiện (1.6) tương đương với tối thiểu ∥ ∈ Hơn nữa, = = − ∥ , = 1,2, …, trở thành phương pháp Bubnov-Galerkin Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự phương pháp Rayleigh-Ritz để tìm nghiệm xấp xỉ cho toán giá trị biên Ban đầu, dùng ngành kỹ thuật, sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân đạo hàm riêng lĩnh vực toán ứng dụng Một ưu phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân hữu hạn điều kiện biên toán xử lý tương đối dễ dàng Nhiều toán vật lý có điều kiện biên liên quan đến đạo hàm dạng biên không Điều kiện biên loại khó xử lý sử dụng kỹ thuật phương pháp sai phân hữu hạn điều kiện biên liên quan đến đạo hàm phải xấp xỉ tỉ sai phân điểm lưới dạng biên không làm cho việc đặt điểm lưới khó khăn Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm điều kiện biên tích phân phiếm hàm cực tiểu hóa, thủ tục xây dựng điều kiện biên toán độc lập Ở đây, xét phương trình vi phân đạo hàm riêng ( , ) với ( , ) ∈ + , ( , ) + ( , ) ( , )= ( , ) (2.1) miền phẳng với biên Điều kiện biên: ( , )= ( , ) đặt khúc biên Trên đoạn lại biên, (2.2) , nghiệm ( , ) cần tìm thỏa mãn: Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Vì phần tử isoparametric, nút hình học nút nội suy i = 4, chọn đa thức đủ, ta có Chọn sở: Số biến nút thể chọn để đạt đối xứng theo , bảo đảm liên tục phần tử, sở song tuyến tính theo : = (1 ii : Thay tọa độ điểm phần tử tham chiếu vào Tính ma trận sở ) : −1 = 1 1 −1 iii Nghịch đảo −1 −1 −1 1 −1 : 1 1 −1 1 = −1 −1 1 −1 iv : Tính biểu thức =( −1 −1 )= ( ) = = 1− − + 1+ − − ≡ Phần tử isoparametric nên: ( , )=( ) thức sở 1− + − ta có: 2.6.2 Tính chất hàm Mỗi hàm nội suy 1+ + + ( , )=( ) hình thành tích vô hướng đa cột ma trận : = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán ( ) (2.28) 38 Khóa luận tốt nghiệp = (( ) ( ) … ( ) … ) đó: = ( ) Quan hệ (2.25): = Suy được: Sử dụng định nghĩa (2.21) (2.30) , ta có: = , = 1,2, … , Hệ thức đặc tính cấu trúc đại số hàm Giả sử ta có tập hợp hàm = (2.29) ( (2.31) ta chắn xấp xỉ ) sử dụng sở bao gồm đa thức ( ) đó, cách quan hệ sau thỏa mãn: = (2.32) Bằng cách đạo hàm (2.31) ta có quan hệ đạo hàm hàm : = ( ) (2.33) Các quan hệ này, kết hợp với (2.16), (2.17), (2.31) sử dụng để kiểm tra đắn dạng hàm Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán đạo hàm chúng 39 Khóa luận tốt nghiệp Chương Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật Bài toán: Phương pháp phần tử hữu hạn giải toán biên với vật liệu đàn nhớt - đẳng hướng - đẳng nhiệt 3.1 Tính chất học tổng quát toán đàn nhớt Quy luật ứng xử đàn nhớt vật rắn dựa sở sau:  Tiên đề: giá trị tức thời tensor ứng suất phụ thuộc vào toàn lịch sử biến thiên tensor biến dạng  Tiên đề nhớ tắt dần: phụ thuộc giá trị tức thời biến số thứ vào giá trị biến số thứ hai thời gian trước xác định nhờ hàm trọng lượng, hàm đảm bảo phụ thuộc giảm liên tục vào kiện khứ kể từ thời điếm xét trở trước Tiên đề thể theo biểu thức sau: ( ) ( ) ≤  ℎ > >0 Nguyên lý độc lập tác dụng  ℰ( ) hàm liên tục theo thời gian Phương trình cần thiết để giải toán ứng suất - biến dạng tựa tĩnh tuyến tính cho vật thể bất đẳng hướng ba phương trình cân bằng: + đó: =0 (3.1) thành phần véc-tơ lực khối, sáu quan hệ chuyển vị biến dạng Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp ℰ ( )= + (3.2) Cùng với sáu quan hệ ứng suất biến dạng ( − , = ) ℰ (3.3) Trong giả thiết hàm ứng suất biến dạng triệt tiêu biến thời gian < Trong trường hợp vật rắn đồng chất, đẳng hướng ( ) phụ thuộc ( ): modul hồi phục (relaxation function) = ℰ ( − ) (3.4) Viết lại (3.3) trường hợp đẳng hướng: ( )= ( − ) ℰ ( ) +2 ( − ) ℰ ( ) (3.5) hay viết lại (3.5) theo modun ( ) ( ): ( )= ( − ) 1+ ( − ) ℰ ( )+ ( − ) 1−2 ( − ) ℰ ( ) (3.6) đó: ( )= ( ) 1+ ( ) (3.7) và: ( )= ( ) ( ) 1+ ( − ) 1−2 ( ) (3.8) Dạng khác quan hệ ứng suất – biến dạng: ℰ = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán ( − ) (3.9) 41 Khóa luận tốt nghiệp ( ) dặc trưng cho tính Cũng hàm hồi phục hàm chảy chậm chất học vật liệu Với trường hợp đẳng hướng ta có dạng tổng quát tensor hạng đẳng hướng: ( )− ( ) Đặt (3.10) vào (3.5) ta thu được: ( )= + = ( − ) = ( − ) ( ) + (3.10) (3.11) ℰ (3.12) đó: − ℰ ệ ℎứ ấ (3.13) =ℰ − ℰ ệ ℎ ế (3.14) ta có hệ thức chảy chậm biến dạng ứng suất tương ứng: = = = ( − ) ( − ) (3.15) (3.16) đó: ( ), ( ): hàm hồi phục hàm chảy chậm tương ứng với trạng thái biến dạng trượt ( ), ( ): hàm hồi phục hàm chảy chậm tương ứng với trạng thái biến dạng tích Áp dụng phép biến đổi Laplace vào (3.11), (3.12), (3.15), (3.16): Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp = = = ℰ (3.17) ℰ = Tương tự lý thuyết đàn hồi, hàm hồi phục đẳng hướng trượt túy giãn nở thể tích: 1 ( ) ; ( )= ( ) (3.18) So sánh với (3.17) ta thấy rằng: Khi thay modun đàn hồi phép biến ( )= đổi hàm hồi phục tương ứng hệ thức lý thuvết đàn hồi ta thu lý thuyết đàn nhớt Ta có biến đổi Laplace của: Modun Young: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )+2 ( ) ( )+3 ( ) ( )= (3.19) Hệ số Poisson: ( )= ( )− ( ) ( )−2 ( ) = ( )+2 ( ) ( )+3 ( ) (3.20) hàm phục hồi: ( )= ( )− ( ) = ( )− ( ) (3.21) Với vật rắn đàn nhớt thay (3.2), (3.5) vào (3.1) ta thu được: ( − ) ( ) + ( − ) ( − ) ( ) + = (3.22) theo nguyên lý độc lập tác dụng ta mô tả chuyển vị, biến dạng, ứng suất sau: ( , )= ( ) ( ) Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 43 Khóa luận tốt nghiệp ℰ ( , ) = ℰ ( ) ( ) ( , )= (3.23) ( ) ( ) Để tách biến dạng tổng quát hệ số Poisson đàn nhớt phải số thực Điều thấy rõ từ phương trình cân điều kiện tương thích ( , ) từ (3.23) vào (3.22) đặt Đặt = ta thấy phương trình cân thoả mãn khi: ( ) − ( ) = ( ) đó: K=hằng số Áp dụng hệ thức (3.20) (3.21) vào đẳng thức ta tìm được: ( )= , ℎĩ ( )= = = (3.24) 3.2 Về phương pháp giải toán đàn nhớt tuyến tính đẳng nhiệt 3.2.1 Nguyên lý tương ứng Theo nguyên lý tương ứng, nghiệm toán biên đàn nhớt tuyến tính thu từ nghiệm toán biên đàn hồi, số đàn hồi thay toán tử hàm phụ thuộc thời gian (modun chùng ứng suất hàm chảy chậm) Dựa nguyên lý tương ứng, ta áp dụng phép biến đổi Laplace theo biến thời gian thực ≥ vào phương trình cân bằng, hệ thức Cauchy biểu thị quan hệ chuyển vị - biến dạng, định luật Hooke tổng quát điều kiện biên Các phương trình thu chứa hàm ánh phép biến đổi Laplace hoàn toàn tương tự mặt toán học với phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính Ta nói phương trình mô tả toán đàn hồi kết hợp Để thu nghiệm toán biên đàn nhớt ta phải áp dụng phép biến đổi Laplace ngược vào nghiệm toán đàn hồi kết hợp Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 44 Khóa luận tốt nghiệp 3.2.2 Phát biểu toán biên đàn nhớt tuyến tính Phương trình cần thiết để giải toán ứng suất - biến dạng tựa tĩnh tuyến tính cho vật thể bất đẳng hướng ba phương trình cân bằng: + (3.1) =0 thành phần véc-tơ lực khối, sáu quan hệ chuyển vị biến dạng ℰ= (3.2) + Cùng với sáu quan hệ ứng suất biến dạng ( − , ) = ℰ (3.3) Điều kiện biên đàn nhớt: = , = đó: (3.25) ∈Γ , ∈Γ (3.26) cosin hướng véc-tơ pháp đơn vị hướng mặt biên Γ Mặt khác, hệ thức (3.3) viết: = ℰ (3.27) = đó: ảnh biến thời gian thực ảnh (3.28) qua phép biến đổi Laplace qua phép biến đổi Laplace 3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp Qua biến đổi Laplace ta thu toán đàn hồi kết hợp lừ (3.1),(3.2): + Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán =0 (3.29) 45 Khóa luận tốt nghiệp ℰ = + (3.30) biến đổi điều kiện biên: = = (3.31) ê Γ , ∈Γ (3.32) giả thiết mặt biên không phụ thuộc thời gian (chuvển vị bé) Phương trình (3.29), (3.30), (3.31), (3.32) với quan hệ ứng suất - biến dạng (3.27), (3.28) tương đương hình thức với toán đàn = hồi miền hình học giống nhau, chịu tác dụng chuyển vị , = , lực mặt , lực khối = , , ta gọi toán đàn hồi kết hợp Khi biến không gian biến thời gian biểu diễn hàm phân ly biến: ( ), = ( ) ,… = (3.33) phân bố không gian chuyển vị lực tác dụng toán đàn hồi kết hợp giống toán đàn nhớt gốc Theo (3.24) điều kiện để tách biến là: ( )= 3.3 Giải toán đàn nhớt tuyến tính phương pháp phần tử hữu hạn Ta tìm chuyển vị theo dạng hàm: ( )= ( ) (3.34) ( )= ( ) (3.34) + Biến đổi Laplace: ℰ = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Γ (3.35) 46 Khóa luận tốt nghiệp đó: =[ ] (3.37) ℰ = [ℰ , ℰ , ℰ , ℰ , ℰ , ℰ ] (3.38) = , , , , , (3.27) ℰ (3.28) = = = ( ) ( ) (1 + )(1 − ) (3.39) Quan hệ biến dạng chuyển vị: ℰ = (3.40) (D toán tử vi phân công thức Cauchy) Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ta xét xấp xỉ phần tử bất kỳ, từ (3.35) ta suy chuyển vị ( )= ( ) ế đổ ( ) phần tử là: ⟹ ( )= ( ) (3.41) Lưu ý rằng:  : chuyển vị phần tử thành phần phụ thuộc biến không gian, không phụ thuộc biến thời gian Đây thành phần chuyển vị đàn hồi phần tử ( ): hàm chuyển vị theo thời gian, thành phần không phụ  thuộc biến không gian Đây thành phần chuyển vị nhớt vật rắn Gọi: ( ) chuyển vị nút phần tử e thời điểm t Ảnh  qua biến đổi Laplace ( )  giá trị chuyển vị đàn hồi nút phần tử e thời điểm t  ( ) hàm xấp xỉ chuyển vị qua giá trị chuyển vị nút phần tử e Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 47 Khóa luận tốt nghiệp Từ (3.41), (3.40), (3.27) suy ra: ( )= ( )= ( ) (3.42) ℰ = = (3.43) = ℰ = (3.44) viết lại nguyên lý công ảo cho toán đàn hồi kết hợp, với số phần tử toán: = Đặt + Γ (3.45) Γ = véc-tơ chuyển vị toàn hệ - ma trận ma trận định vị phần tử e toàn hệ = Ta suy ra: Từ (3.45) ta có: = Nhận xét rằng: + , Γ Γ (3.46) đưa dấu tích phân dấu tổng chúng không phụ thuộc tọa độ không gian Ta khử thành phần tương ứng vế Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp = + Γ (3.47) Γ Biến đổi Laplace ngược (3.47), ý có , , , Γ chứa biến : (ký hiệu Laplace ( ) biến đổi Laplace ngược hàm hàm ) Laplace = + Γ Γ (3.48) Ký hiệu: =∫ Laplace ma trận độ cứng phần tử (3.49) = (3.50) = + Γ Γ (3.51) Ta đến biểu thức sau: = (3.52) Giải hệ phương trình đại số tuyến tính ta tìm chuyển vị đàn hồi nút Do đó, nghiệm đàn nhớt : ( )= Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán ( ) (3.53) 49 Khóa luận tốt nghiệp ( ) ta lưu ý đến giả thiết Để tìm hàm ma trận nghiệm đàn hồi, từ suy phải ma trận Đây ma trận độ cứng đàn hồi Điều cho ta hệ thức sau: Laplace phải ma trận số , nghĩa là: đó: = ma trận số (3.54) , ảnh t qua biến đổi Laplace Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 50 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trong thời gian qua, với nỗ lực thân với giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh thầy cô giáo tổ Giải tích em hoàn thành Khóa luận Khóa luận trình bày kiến thức phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng phương pháp vào toán kỹ thuật Trên sở xây dựng hệ thống kiến thức chuẩn bị, khóa luận cố gắng làm rõ sở phương pháp phần tử hữu hạn , nội dung phương pháp ứng dụng phương pháp vào toán biên với vật liệu đàn nhớt – đẳng hướng – đẳng nhiệt Với phạm vi khóa luận thời gian có hạn khả hạn chế thân nên việc thực đề tài hạn chế Để hoàn thiện đề tài em mong nhận đóng góp, đánh giá thầy cô giáo toàn thể bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 51 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Chu Quốc Thắng, (1997) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hồ Anh Tuấn – Trần Bình, (1978) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Lê Văn Bình, (2004) Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng, Khoa KT&CN – Đại học Mở Bán công TP HCM Phan Đình Huấn, (2004) Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn, NXB TPHCM Trần Ích Thịnh – Ngô Như Khoa, (2007) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật A.B Fadeev,(1995) PPPTHH địa học, NXB Giáo Dục Rao S.S (1989) The Finite Element Methor in Engineering, Pegamon Press Mingjun Chen - Zongying Chen - Guanrong Chen, (1997) Approximite solutions of operator equations, Editor-in-Chief: Charles K.Chui Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 52 [...]... của phần tử ( mà ta còn gọi là điểm nút hình học), mà còn có thể cả các điểm bên trong phần tử 2.4 Các dạng phần tử cơ bản thường dùng: 2.4.1 Phần tử một chiều Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Phần tử bậc 3 24 Khóa luận tốt nghiệp 2.4.2 Phần tử hai chiều Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 2.4.3 Phần tử ba chiều Dạng tứ diện: Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần. .. các phần tử tham chiếu sao cho ma trận hàm là độc lập với dạng hình học của phần tử thực, thì các hàm này có thể xử dụng cho mọi phần tử, khi các phần tử này có phần tử tham chiếu giống nhau (Các phần tử thực sẽ có cùng phần tử tham chiếu khi chúng giống nhau về: loại hình dạng, số nút hình học và số nút nội suy) Sau đó, ta xây dựng phép biến đổi tương đương (hình học) giữa phần tử thực và phần tử tham... nghiệm và của biên Phương pháp phần tử hữu hạn cũng có thể được áp dụng vào những phương trình vi phân đạo hàm riêng loại parabol và hypebol, nhưng thủ tục cực tiểu khó khăn hơn 2.2 Phần tử hữu hạn Xét mọi bộ ba ( , , ∑) trong đó các mỗi thành phần , và ∑ có các thể hiện và quan hệ như sau: i K là một tập con compact thuộc R n , khác rỗng có biên liên tục Lipschitz ii P là không gian véc-tơ hữu hạn (m)... trên phần tử thực thành tích phân trên một phần tử tham chiếu như sau: ( ) ( ) "( ) … = " … |det ( )| Với J là ma trận Jacobi của phép biến đổi Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 26 Khóa luận tốt nghiệp 2.5 Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 2.5.1 Định lý Định lý 2.1: Cho hai phần tử hữu hạn ( , , Σ) và ( , , Σ) là hai phần tử , = 1, … , hữu hạn tương đương affine Khi đó, nếu của phần tử hữu hạn ( , , Σ) và ,... y  Phần tử 1: : → = ( , , , ) Phần tử 2: : → = ( , , , ) Phần tử 3: : → = ( , , , ) Để đáp ứng các yêu cầu trên, một phép biến đổi hình học =( , ) tổng quát phải thỏa mãn ba điều sau đây: Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 28 Khóa luận tốt nghiệp  Là một song ánh từ phần tử tham chiếu vào phần tử thực: mọi điểm của phần tử tham chiếu (kể cả trên biên) đều tương ứng với một và chỉ một điểm của phần tử thực... suy trên phần tử thực Thay xấp xỉ trên phần tử thực bằng xấp xỉ tương ứng trên phần tử tham chiếu : ( )≈ là điểm thuộc phần tử tham chiếu : trong đó: ( ( = → , biến thành ( = ) (2.14) qua phép biến đổi (2.12): ) (2.15) ) là các biến nút của phần tử (như phần tử thực) ( ) là các hàm (ma trận hàm) nội suy trên phần tử tham chiếu Nhận xét: Trường hợp tổng quát ( ) chỉ được xử dụng cho những phần tử đơn... một điểm của phần tử thực có tọa độ : Phép biến đổi → = của phần tử tham chiếu : ( ) như vậy, phụ thuộc vào dạng và vị trí của phần tử thực, nghĩa là vào tọa độ của các điểm nút hình học Như vậy, với mỗi phần tử thực thì: : trong đó: , , → = ( , , , ,…) ,… là tọa độ của các nút hình học của phần tử thực y 1  2 2 1 3 5 3 3  0,1 Vr 1  0, 0  4 1, 0  2 x  Các phần tử thực Phần tử tham chiếu... tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Dạng lăng trụ: Phần tử bậc 1 Tuy nhiên, nếu xây dựng các xấp xỉ như trên, nghĩa là xây dựng các xấp xỉ trên các phần tử thực, thì ma trận nội suy điểm nút của phần tử, như vậy, ma trận sẽ phụ thuộc vào tọa độ các sẽ phụ thuộc vào dạng hình học, và chúng khác nhau với mỗi phần tử Với các phần tử phức tạp, điều này đặc biệt khó khăn cho... của các phần tử tam giác Chia nhỏ các hàm cơ sở song tuyến tính trên phần tử hình chữ nhật cũng cho ta kết quả (ℎ ), trong đó ℎ là độ dài đường chéo lớn nhất của các phần tử hình chữ nhật Các lớp hàm cơ sở khác có thể được sử dụng để cho kết quả (ℎ ), nhưng cách xây dựng khá phức tạp Các định lý sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn khó phát biểu và áp dụng bởi độ chính xác của xấp xỉ phụ thuộc vào tính... trường hợp phần tử phức tạp thường được thay thế bằng trong đó và liên hệ qua phép biến đổi hình học (2.12) Trong biểu thức (3.11), hàm ( ) phụ thuộc vào tọa độ của các điểm nút của phần tử, và như vậy là khác nhau với mỗi phần tử Ngược lại, trong biểu thức (2.14), hàm ( ) là độc lập với dạng hình học của phần tử thực Do vậy các hàm này có thể sử dụng cho mọi phần tử, khi chúng có cùng phần tử tham chiếu, ... Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Phần tử hữu hạn 22 2.3 Xấp xỉ phần tử hữu hạn ... nghiệp 2.4.2 Phần tử hai chiều Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc 2.4.3 Phần tử ba chiều Dạng tứ diện: Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc Dạng lăng trụ: Phần tử bậc Tuy... cứu: Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng sở nhằm nghiên cứu vấn đề phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải số toán kỹ thuật khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phần tử hữu hạn,