Luận văn sư phạm Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng thân, đặc biệt hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành khóa luận Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lòng biết ơn chân thành tới thầy Khuất Văn Ninh, quan tâm, bảo, góp ý kiến thầy giáo, giáo tổ hình học, thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện có hạn kinh nghiệm kiến thức thân em cịn nhiều hạn chế khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy giáo bạn đọc nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm hồn thiện, phát triển khóa luận sau Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khỏe đến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Trần Thanh Khuê Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hồn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với bảo, giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh thầy giáo, giáo tổ Giải tích khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Em mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc để khóa luận ngày hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Trần Thanh Khuê Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Phần tử hữu hạn 22 2.3 Xấp xỉ phần tử hữu hạn 23 2.4 Các dạng phần tử thường dùng 24 2.4.1 Phần tử chiều 24 2.4.2 Phần tử hai chiều 25 2.4.3 Phần tử ba chiều 25 2.5 Xấp xỉ phần tử tham chiếu 27 2.5.1 Định lý 27 2.5.2 Phần tử tham chiếu 27 2.5.3 Về phép biến đổi hình hoc phần tử tham chiếu phần tử thực 29 2.6 Xây dựng hàm 34 2.6.1 Phương pháp tổng quát 34 2.6.2 Tính chất hàm 38 Chương 3: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật 40 3.1 Tính chất học tổng quát toán đàn nhớt 40 3.2 Về phương pháp giải toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt 44 3.2.1 Nguyên lý tương ứng 44 3.2.2 Phát biểu toán biên đàn nhớt tuyến tính 45 3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp 45 3.3 Giải tốn đàn nhớt tuyến tính phương pháp phần tử hữu hạn 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giai đoạn phát triển học môi trường liên tục liên hệ chặt chẽ với hồn thiện phương pháp tính tốn việc sử dụng rộng rãi máy tính điện tử Q trình giải tốn kỹ thuật thường dẫn tới kết cục phải giải phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đại số Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hoàn thiện phương pháp tính phương diện Tốn học khơng hồn tồn đồng với việc hồn thiện phương pháp tính Cơ học mơi trường liên tục Sở dĩ việc nghiên cứu hồn thiện phương pháp tính thuộc lĩnh vực Cơ học môi trường liên tục bao gồm nghiên cứu hồn thiện cách giải mặt Tốn học mà cịn có việc nghiên cứu hồn thiện mơ hình tính tốn, hồn thiện cách đặt toàn dựa vào khái niệm Vật lý yêu cầu kỹ thuật cho toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn Người ta thường hay sử dụng rộng rãi phương pháp biến phân làm cơng cụ để hồn thiện phương pháp tính học mơi trường iên tục Trong số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai biến phân hiệu ứng dụng rộng rãi lĩnh vực Cơ học môi trường liên tục học kết cấu, động lực học ổn định cơng trình, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, học chất lỏng chất khí, học đất,… Phương pháp phần tử hữu hạn xem công cụ vạn năng, tiện lợi ứng dụng rộng rãi ngành xây dựng bản, giao thông, thủy lợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,… Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải toán ổn định động lực học cơng trình Cần ý rằng, sử dụng máy tính điện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn Trần Thanh Kh - K35 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp làm phát triển nhảy vọt phương pháp tính rời rạc hóa ta thay hệ liên tục mơ hình rời rạc, mà cịn tạo hiệu ngược lại, tức cho phép lập phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát hệ rời rạc Nhờ tạo khả cho ta đơn giản hóa toán hai chiều, ba chiều tốn chiều Với mong muốn tìm hiểu kiến thức phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng khác phương pháp để giải số toán kỹ thuật trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng” sở nhằm nghiên cứu vấn đề phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải số toán kỹ thuật khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn - Cách giải số toán kỹ thuật phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm kiếm tài liệu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Thống kê toán học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận luận văn gồm chương: Chương 1: Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Cho khơng gian tuyến tính : (khơng thiết phải tuyến tính) Cho hàm cho: tốn tử phi tuyến → ∈ , giả sử ta cần tìm = Đây dạng tổng qt phương trình tốn tử không gian ∈ (1.1) Theo khuôn khổ chung đó, ta nói phương trình tốn tử (1.1) có lời giải toán tử trường hợp lời giải là khả nghịch Ngược lại, phương trình (1.1) có = thể khơng có lời giải Do đó, ta có vài câu hỏi với điều kiện phương trình giải (điều kiện giải được) có phải lời giải (điều kiện nhất) nữa, khơng xét đến tính hay khơng làm tìm nghiệm (điều kiện tính tốn) Rõ ràng, để trả lời câu hỏi vậy, ta cần mơ tả xác phương trình, chẳng hạn số điều kiện bổ sung cần Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) khó khăn chí khơng có lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gần (xấp xỉ) Điều có thể, nhiên vấn đề đặt tìm xấp xỉ tốt Xét phương trình (1.1), hai không gian không gian tuyến tính vơ hạn chiều lời giải tốt xác định, phương pháp tiếp cận chung để tìm xấp xỉ tốt sau: Đầu tiên chọn dãy không gian tuyến tính { } dãy khơng gian tuyến tính { } , chọn hai ánh xạ liên kết Sau đó, ta dùng ánh xạ : → : → để xác định dãy toán tử = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán | : : → tương ứng → bởi: (1.2) Khóa luận tốt nghiệp Giả sử tốn tử Kí hiệu: | xác định khơng gian tuyến tính hạn chế tập = , Cuối cùng, ta sử dụng ∈ , = 1,2, … (1.3) dãy phương trình tốn tử xấp xỉ với phương trình tốn tử xác (1.1) Nếu có thuật tốn tìm dãy nghiệm { } phương trình tốn tử (1.3) ta gọi thuật tốn xấp xỉ cho phương trình tốn tử (1.1), kí hiệu Γ = { , ; } , Để việc xác định thuật tốn xấp xỉ hữu ích hiệu quả, số câu hỏi quan trọng phải giải quyết: (1) Phương trình xấp xỉ (1.3) có nghiệm (duy nhất) với n hay khơng? (2) Nếu phương trình (1.3) có nghiệm có hội tụ tới điểm hay khơng? (3) Nếu dãy nghiệm { dãy nghiệm { } } hội tụ tới điểm cho trước giới hạn có nghiệm (duy nhất) phương trình (1.1) khơng? Câu trả lời cho ba câu hỏi dẫn đến lời giải xấp xỉ phương trình tốn tử (1.1) Để xác ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Trong khơng gian tuyến tính , chuẩn kí kiệu là: ∥ ∥ Một dãy giản Một dãy Trong ∈ gọi hội tụ mạnh tới → , ∈ ∗ lim ∥ → − gọi hội tụ yếu tới lim ( → ∈ , kí hiệu ∥ =0 ∈ , kí hiệu − )=0, ∀ ∈ không gian liên hợp ∗ → → đơn Định nghĩa 1.2 Phương trình tốn tử (1.1) gọi xấp xỉ mạnh (hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γ tồn số nguyên Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán > cho Khóa luận tốt nghiệp phương trình tốn tử (1.3) có nghiệm } hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới với ∈ ≥ , dãy ∈ , nghiệm theo thuật tốn xấp xỉ Γ tồn số nguyên > cho phương trình { phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Phương trình tốn tử (1.1) gọi xấp xỉ mạnh (hoặc yếu) tốn tử (1.3) có nghiệm hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới trình (1.1) với ∈ ∈ , ≥ , dãy { } có dãy nghiệm phương Rõ ràng để xác định rõ nghiệm xấp xỉ hội tụ (mạnh hay yếu) dãy nghiệm xấp xỉ bốn phần tử thuật tốn xấp xỉ Γ = { , ; } , phải đáp ứng số điều kiện định Ví dụ điều kiện cần thiết là: = Điều kiện chứng tỏ tập hợp dãy { Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, toán tử toán tử tuyến tính Nếu : : } trù mật nói đến → toán tử chiếu tuyến Đặc biệt, theo điều kiện khác toán tử bốn phần tử → (1.4) tính thuật tốn xấp xỉ tương ứng đem lại phương pháp chiếu gọi thuật tốn hình chiếu xấp xỉ thuật toán Γ = { i Nếu = , ; , = }, ta có phân loại sau: với gọi phương pháp Galerkin ii = 1,2, … phương pháp chiếu Nếu Γ tốn tử tích phân vi phân khơng gian hàm trơn cho ta phương pháp phần tử hữu hạn iii Nếu → không gian hàm xác định Ω ⊂ ℝ : toán tử nội suy xác định Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trong , ( ,…, )( ) = ∈ Ω, ( ) ∈ ( ) { ,…, ( ) phương trình tốn tử xấp xỉ (1.3) trở thành: ( )= | Với | = | , Đây phương pháp Collocation iv Nếu , ( ) | ∈ Ω, điều tương đương với: } sở = 1,2, … , (1.5) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng 〈∙, ∙〉 và = { = ,…, { ,…, }, } tương ứng, và toán tử chiếu trực giao, phương trình tốn tử xấp xỉ (1.3) tương đương với: 〈 − , 〉 = 0, = 1,2, … , Đây phương pháp Galerkin-Petrov Đặc biệt, 1,2, …, với tốn tử tuyến tính : , , = chọn thích hợp → phương pháp moment Mặt khác, : = = (1.6) → tốn tử tuyến tính = 1,2, …, phương pháp bình phương tối thiểu, ví dụ trường hợp điều kiện (1.6) tương đương với tối thiểu Hơn nữa, = Bubnov-Galerkin ∥ ∈ = Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn − ∥ , = 1,2, …, trở thành phương pháp Khóa luận tốt nghiệp Chương Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự phương pháp Rayleigh-Ritz để tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn giá trị biên Ban đầu, dùng ngành kỹ thuật, cịn sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân đạo hàm riêng lĩnh vực toán ứng dụng Một ưu phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân hữu hạn điều kiện biên toán xử lý tương đối dễ dàng Nhiều tốn vật lý có điều kiện biên liên quan đến đạo hàm dạng biên khơng Điều kiện biên loại khó xử lý sử dụng kỹ thuật phương pháp sai phân hữu hạn điều kiện biên liên quan đến đạo hàm phải xấp xỉ tỉ sai phân điểm lưới dạng biên khơng làm cho việc đặt điểm lưới khó khăn Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm điều kiện biên tích phân phiếm hàm cực tiểu hóa, thủ tục xây dựng điều kiện biên toán độc lập Ở đây, xét phương trình vi phân đạo hàm riêng ( , ) với ( , ) ∈ + , ( , ) + ( , ) ( , )= ( , ) miền phẳng với biên (2.1) ( , )= ( , ) (2.2) Điều kiện biên: đặt khúc cần tìm thỏa mãn: biên Trên đoạn lại biên, Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán , nghiệm ( , ) Khóa luận tốt nghiệp Vì phần tử isoparametric, nút hình học nút nội suy Chọn sở: Số biến nút i = 4, chọn đa thức đủ, ta chọn để đạt đối xứng theo , bảo đảm liên tục phần tử, sở song tuyến tính theo : Tính ma trận ii sở −1 = 1 1 −1 : Tính biểu thức iv =( = : Thay tọa độ điểm phần tử tham chiếu vào : Nghịch đảo iii = 1− − + −1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 = −1 −1 1 −1 : −1 −1 )= ( ) 1+ − − Phần tử isoparametric nên: ( , )=( ) Mỗi hàm nội suy ≡ 1+ + + 1− + − ta có: và 2.6.2 Tính chất hàm thức sở ) = (1 ( , )=( ) hình thành tích vơ hướng đa : cột ma trận = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán ( ) (2.28) 38 Khóa luận tốt nghiệp đó: Quan hệ (2.25): = (( ) ( ) … ( ) … ) = ( ) Suy được: Sử dụng định nghĩa (2.21) = (2.30) , ta có: = , = 1,2, … , Hệ thức đặc tính cấu trúc đại số hàm Giả sử ta có tập hợp hàm ( = (2.29) (2.31) ta chắn xấp xỉ ) sử dụng sở bao gồm đa thức ( ) đó, cách quan hệ sau thỏa mãn: = (2.32) Bằng cách đạo hàm (2.31) ta có quan hệ đạo hàm hàm : = ( ) (2.33) Các quan hệ này, kết hợp với (2.16), (2.17), (2.31) sử dụng để kiểm tra đắn dạng hàm Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán đạo hàm chúng 39 Khóa luận tốt nghiệp Chương Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật Bài toán: Phương pháp phần tử hữu hạn giải toán biên với vật liệu đàn nhớt - đẳng hướng - đẳng nhiệt 3.1 Tính chất học tổng quát toán đàn nhớt Quy luật ứng xử đàn nhớt vật rắn dựa sở sau:  Tiên đề: giá trị tức thời tensor ứng suất phụ thuộc vào toàn lịch sử biến thiên tensor biến dạng  Tiên đề nhớ tắt dần: phụ thuộc giá trị tức thời biến số thứ vào giá trị biến số thứ hai thời gian trước xác định nhờ hàm trọng lượng, hàm đảm bảo phụ thuộc giảm liên tục vào kiện khứ kể từ thời điếm xét trở trước Tiên đề thể theo biểu thức sau: ( )   ( ) ≤ Nguyên lý độc lập tác dụng ℎ > >0 ( ) hàm liên tục theo thời gian Phương trình cần thiết để giải toán ứng suất - biến dạng tựa tĩnh tuyến tính cho vật thể bất đẳng hướng ba phương trình cân bằng: đó: + =0 (3.1) thành phần véc-tơ lực khối, sáu quan hệ chuyển vị biến dạng Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 40 Khóa luận tốt nghiệp ( )= + Cùng với sáu quan hệ ứng suất biến dạng ( − , = (3.2) ) (3.3) Trong giả thiết hàm ứng suất biến dạng triệt tiêu biến thời gian Trong trường hợp vật rắn đồng chất, đẳng hướng thuộc ( ) phụ ( ): modul hồi phục (relaxation function) = ( − ) (3.4) Viết lại (3.3) trường hợp đẳng hướng: ( )= ( ) ( − ) +2 hay viết lại (3.5) theo modun ( ) ( ): ( )= đó: ( − ) 1+ ( − ) ( )+ ( )= và: ( )= ( − ) ( − ) 1−2 ( − ) ( ) 1+ ( ) ( ) ( ) 1+ ( − ) 1−2 ( ) Dạng khác quan hệ ứng suất – biến dạng: = Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán ( − ) ( ) ( ) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) 41 Khóa luận tốt nghiệp Cũng hàm hồi phục hàm chảy chậm ( ) dặc trưng cho tính chất học vật liệu Với trường hợp đẳng hướng ta có dạng tổng quát tensor hạng đẳng hướng: ( )− ( ) Đặt (3.10) vào (3.5) ta thu được: ( )= đó: + ( ) + (3.10) = ( − ) (3.11) = ( − ) (3.12) ệ ℎứ ấ (3.13) = − ệ ℎ ế (3.14) ta có hệ thức chảy chậm biến dạng ứng suất tương ứng: = − = đó: = ( − ) ( − ) (3.15) (3.16) ( ), ( ): hàm hồi phục hàm chảy chậm tương ứng với trạng thái biến dạng trượt ( ), ( ): hàm hồi phục hàm chảy chậm tương ứng với trạng thái biến dạng tích Áp dụng phép biến đổi Laplace vào (3.11), (3.12), (3.15), (3.16): Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 42 Khóa luận tốt nghiệp = = (3.17) = = Tương tự lý thuyết đàn hồi, hàm hồi phục đẳng hướng trượt túy giãn nở thể tích: 1 ( ) ; ( )= ( ) (3.18) So sánh với (3.17) ta thấy rằng: Khi thay modun đàn hồi phép biến ( )= đổi hàm hồi phục tương ứng hệ thức lý thuvết đàn hồi ta thu lý thuyết đàn nhớt Ta có biến đổi Laplace của: Modun Young: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )+2 ( ) ( )+3 ( ) ( )= Hệ số Poisson: ( )= ( )− ( )−2 ( ) ( ) = ( )+2 ( ) ( )+3 ( ) (3.20) (3.21) hàm phục hồi: ( )= (3.19) ( )− ( ) = ( )− ( ) Với vật rắn đàn nhớt thay (3.2), (3.5) vào (3.1) ta thu được: ( − ) ( ) + ( − ) ( − ) ( ) + = (3.22) theo nguyên lý độc lập tác dụng ta mơ tả chuyển vị, biến dạng, ứng suất sau: ( , )= ( ) ( ) Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 43 Khóa luận tốt nghiệp ( , )= ( ) ( ) ( , )= ( ) ( ) (3.23) Để tách biến dạng tổng quát hệ số Poisson đàn nhớt phải số thực Điều thấy rõ từ phương trình cân điều kiện tương thích Đặt ( , ) từ (3.23) vào (3.22) đặt = ta thấy phương trình cân thoả mãn khi: ( ) − ( ) = ( ) đó: K=hằng số Áp dụng hệ thức (3.20) (3.21) vào đẳng thức ta tìm được: ( )= , ℎ ( )= = = (3.24) 3.2 Về phương pháp giải toán đàn nhớt tuyến tính đẳng nhiệt 3.2.1 Nguyên lý tương ứng Theo nguyên lý tương ứng, nghiệm toán biên đàn nhớt tuyến tính thu từ nghiệm tốn biên đàn hồi, số đàn hồi thay toán tử hàm phụ thuộc thời gian (modun chùng ứng suất hàm chảy chậm) Dựa nguyên lý tương ứng, ta áp dụng phép biến đổi Laplace theo biến thời gian thực ≥ vào phương trình cân bằng, hệ thức Cauchy biểu thị quan hệ chuyển vị - biến dạng, định luật Hooke tổng quát điều kiện biên Các phương trình thu chứa hàm ánh phép biến đổi Laplace hồn tồn tương tự mặt tốn học với phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính Ta nói phương trình mơ tả toán đàn hồi kết hợp Để thu nghiệm toán biên đàn nhớt ta phải áp dụng phép biến đổi Laplace ngược vào nghiệm toán đàn hồi kết hợp Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 44 Khóa luận tốt nghiệp 3.2.2 Phát biểu tốn biên đàn nhớt tuyến tính Phương trình cần thiết để giải toán ứng suất - biến dạng tựa tĩnh tuyến tính cho vật thể bất đẳng hướng ba phương trình cân bằng: + (3.1) =0 thành phần véc-tơ lực khối, sáu quan hệ chuyển vị biến dạng = + (3.2) ( − , ) (3.3) Cùng với sáu quan hệ ứng suất biến dạng = Điều kiện biên đàn nhớt: = đó: = , , (3.25) ∈Γ ∈Γ (3.26) cosin hướng véc-tơ pháp đơn vị hướng mặt biên Γ Mặt khác, hệ thức (3.3) viết: = đó: = ảnh biến thời gian thực ảnh (3.27) (3.28) qua phép biến đổi Laplace qua phép biến đổi Laplace 3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp Qua biến đổi Laplace ta thu toán đàn hồi kết hợp lừ (3.1),(3.2): + Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn =0 (3.29) 45 Khóa luận tốt nghiệp = biến đổi điều kiện biên: = = , + (3.30) (3.31) ê Γ ∈Γ (3.32) giả thiết mặt biên khơng phụ thuộc thời gian (chuvển vị bé) Phương trình (3.29), (3.30), (3.31), (3.32) với quan hệ ứng suất - biến dạng (3.27), (3.28) tương đương hình thức với tốn đàn hồi miền hình học giống nhau, chịu tác dụng chuyển vị , , lực mặt = , toán đàn hồi kết hợp lực khối = , = , ta gọi Khi biến khơng gian biến thời gian biểu diễn hàm phân ly biến: ( ), = ( ) ,… = (3.33) phân bố khơng gian chuyển vị lực tác dụng toán đàn hồi kết hợp giống toán đàn nhớt gốc Theo (3.24) điều kiện để tách biến là: ( )= 3.3 Giải toán đàn nhớt tuyến tính phương pháp phần tử hữu hạn Ta tìm chuyển vị theo dạng hàm: Biến đổi Laplace: = ( )= ( ) (3.34) ( )= ( ) (3.34) Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán + Γ (3.35) 46 Khóa luận tốt nghiệp đó: =[ =[ = = = = , , , , , , , , , , ] (3.37) ] (3.38) (3.27) (3.28) ( ) ( ) (1 + )(1 − ) (3.39) Quan hệ biến dạng chuyển vị: = (D toán tử vi phân công thức Cauchy) (3.40) Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ta xét xấp xỉ phần tử bất kỳ, từ (3.35) ta suy chuyển vị ( )= Lưu ý rằng: ( ) ế ổ ( ) phần tử là: ( )= ( ) (3.41) : chuyển vị phần tử thành phần phụ thuộc biến  khơng gian, khơng phụ thuộc biến thời gian Đây thành phần chuyển vị đàn hồi phần tử ( ): hàm chuyển vị theo thời gian, thành phần không phụ  thuộc biến không gian Đây thành phần chuyển vị nhớt vật rắn Gọi: ( ) chuyển vị nút phần tử e thời điểm t Ảnh  qua biến đổi Laplace là i trị chuyển vị đàn hồi nút phần tử e thời điểm t   ( ) ( ) hàm xấp xỉ chuyển vị qua giá trị chuyển vị nút phần tử e Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 47 Khóa luận tốt nghiệp Từ (3.41), (3.40), (3.27) suy ra: ( )= = = = ( )= ( ) (3.42) (3.43) = (3.44) viết lại ngun lý cơng ảo cho tốn đàn hồi kết hợp, với số phần tử toán: Đặt = + = Γ Γ (3.45) véc-tơ chuyển vị toàn hệ - ma trận ma trận định vị phần tử e toàn hệ Ta suy ra: = Từ (3.45) ta có: = Nhận xét rằng: , + Γ Γ (3.46) đưa ngồi dấu tích phân dấu tổng chúng không phụ thuộc tọa độ không gian Ta khử thành phần tương ứng vế Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 48 Khóa luận tốt nghiệp + = Γ Γ Biến đổi Laplace ngược (3.47), ý có , , , (3.47) Γ chứa biến : (ký hiệu a lace ( ) biến đổi Laplace ngược hàm hàm ) a lace Ký hiệu: =∫ (3.49) = + a lace Γ Γ (3.48) ma trận độ cứng phần tử (3.50) = = Ta đến biểu thức sau: + Γ = Γ Giải hệ phương trình đại số tuyến tính ta tìm vị đàn hồi nút Do đó, nghiệm đàn nhớt : ( )= Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán ( ) (3.51) (3.52) chuyển (3.53) 49 Khóa luận tốt nghiệp Để tìm hàm ma trận ( ) ta lưu ý đến giả thiết nghiệm đàn hồi, từ suy phải ma trận Đây ma trận độ cứng đàn hồi Điều cho ta hệ thức sau: a lace đó: phải ma trận số , nghĩa là: = ma trận số , (3.54) ảnh t qua biến đổi Laplace Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 50 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trong thời gian qua, với nỗ lực thân với giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh thầy cô giáo tổ Giải tích em hồn thành Khóa luận Khóa luận trình bày kiến thức phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng phương pháp vào toán kỹ thuật Trên sở xây dựng hệ thống kiến thức chuẩn bị, khóa luận cố gắng làm rõ sở phương pháp phần tử hữu hạn , nội dung phương pháp ứng dụng phương pháp vào toán biên với vật liệu đàn nhớt – đẳng hướng – đẳng nhiệt Với phạm vi khóa luận thời gian có hạn khả cịn hạn chế thân nên việc thực đề tài hạn chế Để hoàn thiện đề tài em mong nhận đóng góp, đánh giá thầy giáo tồn thể bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn 51 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Chu Quốc Thắng, (1997) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hồ Anh Tuấn – Trần Bình, (1978) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Lê Văn Bình, (2004) Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng, Khoa KT&CN – Đại học Mở Bán công TP HCM Phan Đình Huấn, (2004) Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn, NXB TPHCM Trần Ích Thịnh – Ngô Như Khoa, (2007) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật A.B Fadeev,(1995) PPPTHH địa học, NXB Giáo Dục Rao S.S (1989) The Finite Element Methor in Engineering, Pegamon Press Mingjun Chen - Zongying Chen - Guanrong Chen, (1997) Approximite solutions of operator equations, Editor-in-Chief: Charles K.Chui Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 52 ... 1,2, …, trở thành phương pháp Khóa luận tốt nghiệp Chương Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự phương pháp Rayleigh-Ritz... Khóa luận tốt nghiệp 2.4.2 Phần tử hai chiều Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc 2.4.3 Phần tử ba chiều Dạng tứ diện: Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc Phần tử bậc Dạng lăng trụ: Phần. .. cứu: ? ?Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng? ?? sở nhằm nghiên cứu vấn đề phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải số toán kỹ thuật khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phần tử hữu hạn,