Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng thân, đặc biệt hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành khóa luận Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lòng biết ơn chân thành tới thầy Khuất Văn Ninh, quan tâm, bảo, góp ý kiến thầy giáo, giáo tổ hình học, thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện có hạn kinh nghiệm kiến thức thân em nhiều hạn chế khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy giáo bạn đọc nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm hồn thiện, phát triển khóa luận sau Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khỏe đến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Trần Thanh Khuê Trần Thanh Khuê - K35 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trần Thanh Kh - K35 CN Toán LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hồn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với bảo, giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Em mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc để khóa luận ngày hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Trần Thanh Khuê MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Phần tử hữu hạn 22 2.3 Xấp xỉ phần tử hữu hạn 23 2.4 Các dạng phần tử thường dùng 24 2.4.1 Phần tử chiều 24 2.4.2 Phần tử hai chiều 25 2.4.3 Phần tử ba chiều 25 2.5 Xấp xỉ phần tử tham chiếu 27 2.5.1 Định lý 27 2.5.2 Phần tử tham chiếu 27 2.5.3 Về phép biến đổi hình hoc phần tử tham chiếu phần tử thực 29 2.6 Xây dựng hàm N(£˜ ) N(£˜ ) 34 2.6.1 Phương pháp tổng quát 34 2.6.2 Tính chất hàm N(£˜ ) N(£˜ ) 38 Chương 3: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào tốn kỹ thuật 40 3.1 Tính chất học tổng quát toán đàn nhớt 40 3.2 Về phương pháp giải tốn đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt .44 3.2.1 Nguyên lý tương ứng 44 3.2.2 Phát biểu tốn biên đàn nhớt tuyến tính 45 3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp 45 3.3 Giải tốn đàn nhớt tuyến tính phương pháp phần tử hữu hạn .46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giai đoạn phát triển học môi trường liên tục liên hệ chặt chẽ với hoàn thiện phương pháp tính tốn việc sử dụng rộng rãi máy tính điện tử Q trình giải tốn kỹ thuật thường dẫn tới kết cục phải giải phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đại số Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hồn thiện phương pháp tính phương diện Tốn học khơng hồn tồn đồng với việc hồn thiện phương pháp tính Cơ học mơi trường liên tục Sở dĩ việc nghiên cứu hồn thiện phương pháp tính thuộc lĩnh vực Cơ học môi trường liên tục bao gồm nghiên cứu hoàn thiện cách giải mặt Tốn học mà có việc nghiên cứu hồn thiện mơ hình tính tốn, hồn thiện cách đặt toàn dựa vào khái niệm Vật lý yêu cầu kỹ thuật cho toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn Người ta thường hay sử dụng rộng rãi phương pháp biến phân làm cơng cụ để hồn thiện phương pháp tính học mơi trường iên tục Trong số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai biến phân hiệu ứng dụng rộng rãi lĩnh vực Cơ học môi trường liên tục học kết cấu, động lực học ổn định cơng trình, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, học chất lỏng chất khí, học đất,… Phương pháp phần tử hữu hạn xem công cụ vạn năng, tiện lợi ứng dụng rộng rãi ngành xây dựng bản, giao thông, thủy lợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,… Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải toán ổn định động lực học cơng trình Cần ý rằng, sử dụng máy tính điện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn khơng Trần Thanh Kh - K35 CN Tốn Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán làm phát triển nhảy vọt phương pháp tính rời rạc hóa ta thay hệ liên tục mơ hình rời rạc, mà tạo hiệu ngược lại, tức cho phép lập phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát hệ rời rạc Nhờ tạo khả cho ta đơn giản hóa tốn hai chiều, ba chiều toán chiều Với mong muốn tìm hiểu kiến thức phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng khác phương pháp để giải số tốn kỹ thuật trên, tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng” sở nhằm nghiên cứu vấn đề phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải số toán kỹ thuật khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn - Cách giải số toán kỹ thuật phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm kiếm tài liệu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Thống kê tốn học Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận luận văn gồm chương: Chương 1: Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào toán kỹ thuật Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán &xj + F¯s = (3.29) y &u¯s ℰ¯ ¯s¯ ( &xj + = &u¯y ) &xi (3.30) biến đổi điều kiện biên: u¯s = U¯s (3.31) Γu o¯¯¯s¯y nj = T¯s ,xi ∈ ΓT (3.32) giả thiết mặt biên không phụ thuộc thời gian (chuvển vị bé) Phương trình (3.29), (3.30), (3.31), (3.32) với quan hệ ứng suất - biến dạng (3.27), (3.28) tương đương hình thức với tốn đàn hồi miền hình học giống nhau, chịu tác dụng chuyển vị U¯s = U¯s (xj,g), lực mặt = T¯ (x ,g) lực khối = F¯ (x ,g), ta gọi s j s j T¯s ¯ Fs tốn đàn hồi kết hợp Khi biến khơng gian biến thời gian biểu diễn hàm phân ly biến: O y Ui = Ui (xj)Ui (t), O y Fi = Fi (xj)Fi (t),… (3.33) phân bố không gian chuyển vị lực tác dụng toán đàn hồi kết hợp giống toán đàn nhớt gốc Theo (3.24) điều kiện để tách biến là: r(t) = const 3.3 Giải tốn đàn nhớt tuyến tính phương pháp phần tử hữu hạn Ta tìm chuyển vị theo dạng hàm: u(t) = uO uy (t) Biến đổi Laplace: u¯ (¯g¯) = y u u¯ ¯ ¯ ¯ (g) O (3.34) (3.34) ¯¯ ¯¯ ƒ o¯ t ℰ¯ dV = ƒ u¯ t ƒV dV + ƒ u¯ t ƒT dΓ (3.35) V V T đó: o¯ t = [o¯¯ 1¯1¯,o¯¯ 2¯2¯,o¯¯ 3¯3¯,o¯¯ 1¯2¯,o¯¯ 2¯3¯,o¯¯ 1¯3¯ ] (3.37) ℰ¯ t = [ℰ¯ 1¯1¯,ℰ¯ ¯2¯2¯,ℰ¯ ¯3¯3¯,ℰ¯ ¯ ¯,ℰ¯ ¯2¯3¯,ℰ¯ 1¯3¯] (3.38) o¯ = C˜ ℰ¯ (3.27)) (xem C˜ = g.C¯ (xem (3.28)) C¯ = Laglace(C) E(t) C= C (1 + r)(1 − 2r) (3.39) Quan hệ biến dạng chuyển vị: ℰ¯ = Du¯ (D toán tử vi phân công thức Cauchy) (3.40) Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ta xét xấp xỉ phần tử e bất kỳ, từ (3.35) ta suy chuyển vị ue (t) phần tử là: ¯¯¯ ¯¯¯¯ ¯ ue (t) = uOe uy (t) biến đổi Laglace ⟹ u e (g) = uOe uy (g) (3.41) Lưu ý rằng:  uOe: chuyển vị phần tử thành phần phụ thuộc biến không gian, không phụ thuộc biến thời gian Đây thành phần chuyển vị đàn hồi phần tử  uy (t): hàm chuyển vị theo thời gian, thành phần khơng phụ thuộc biến khơng gian Đây thành phần chuyển vị nhớt vật rắn Gọi:  Ue (t) chuyển vị nút phần tử e thời điểm t Ảnh qua biến đổi Laplace Ue (g)  UOe giátrị chuyển vị đàn hồi nút phần tử e thời điểm t  Se (t) hàm xấp xỉ chuyển vị qua giá trị chuyển vị nút phần tử e Từ (3.41), (3.40), (3.27) suy ra: ¯¯¯ ¯¯¯ ¯¯¯¯ u¯ e (g) = Se Ue (g) = Se UOe uy (g) (3.42) ℰ¯ e¯ = Du¯¯ e¯ = DSe UOe u¯¯ y¯ (3.43) o¯¯ e¯ = C˜ ℰ¯ e¯ = C˜ DSe UOe u¯¯ y¯ (3.44) viết lại ngun lý cơng ảo cho tốn đàn hồi kết hợp, với ne số phần tử toán: ne ˜ ) ƒ U¯ ¯y¯ UOe e t S t Dt C t D Se UOe ¯u¯¯ y¯ dV e=1 Ve ne ne ¯ ¯ ¯ t t¯ ¯ = ) ƒ U¯ ¯y¯ UOe Se ƒV dV + ) ƒ Uy UOe Se ƒΓ dΓ Đặt Re = DSe t t e=1 Ve (3.45) e=1 Ve UO véc-tơ chuyển vị toàn hệ - ma trận Te ma trận định vị phần tử e toàn hệ Ta suy ra: UOe = Te UO Từ (3.45) ta có: ne ˜ ) ƒ U¯ ¯y¯ UO e e t t t t T R C Re Te UO ¯u¯¯ y¯ dV e=1 Ve ne ne ¯ ¯¯ t t t¯ = ) ƒ U¯ ¯y¯ UO Te Se ƒV dV + ) ƒ Uy UO Te Se ¯ƒΓ dΓ e=1 Ve t t t (3.46) e=1 Ve Nhận xét rằng: U¯ ¯y¯, t đưa ngồi dấu tích phân dấu tổng UO chúng khơng phụ thuộc tọa độ khơng gian Ta khử thành phần tương ứng vế n )e ƒ Te Re ˜C t Re Te UO ¯u¯¯ y¯ dV t t e=1 Ve ne t t ne ¯ t t ¯ (3.47) = ) ƒ Te Se ƒV dV + ) ƒ Te Se ¯ƒΓ dΓ e=1 Ve e=1 Ve ˜ t Biến đổi Laplace ngược (3.47), ý có ƒCΓ , uy , ƒV , ¯ ¯¯ chứa biến g: (ký hiệu Laplace–1 (ƒ) biến đổi Laplace ngược hàm hàm ƒ) ne t t ) Te [ ƒ Re e=1 –1 ˜t (Laplace (C u¯¯ y¯)) Re dV] Te UO Ve ne ne t t t = ) ƒ Te Se ƒV dV + ) ƒ Te e=1 Ve Ký hiệu: Ke = ∫V e Re t t Se ƒΓ dΓ (3.48) e=1 Ve (Laplace (C˜t u¯¯ y¯)) ma trận độ cứng phần tử –1 Re dV (3.49) ne K= ) Te t Ke Te ne e=1 ne (3.50) t t F = ) ƒ Te Se ƒV dV + ) ƒ Te e=1 Ve t t Se ƒΓ dΓ (3.51) e=1 Ve Ta đến biểu thức sau: K.UO = F (3.52) Giải hệ phương trình đại số tuyến tính ta tìm UO chuyển vị đàn hồi nút Do đó, nghiệm đàn nhớt : u(t) = UO uy (t) (3.53) Để tìm hàm uy (t) ta lưu ý đến giả thiết UO nghiệm đàn hồi, từ suy ma trận K phải ma trận t Đây ma trận độ cứng đàn hồi Điều cho ta hệ thức sau: (Laplace–1 (C˜t u¯¯ y¯)) phải ma trận số t, nghĩa là: A (C˜t u¯¯ y¯) = (3.54) g đó: A ma trận số g, g ảnh t qua biến đổi Laplace Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 50 Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 51 KẾT LUẬN Trong thời gian qua, với nỗ lực thân với giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh thầy cô giáo tổ Giải tích em hồn thành Khóa luận Khóa luận trình bày kiến thức phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng phương pháp vào toán kỹ thuật Trên sở xây dựng hệ thống kiến thức chuẩn bị, khóa luận cố gắng làm rõ sở phương pháp phần tử hữu hạn , nội dung phương pháp ứng dụng phương pháp vào toán biên với vật liệu đàn nhớt – đẳng hướng – đẳng nhiệt Với phạm vi khóa luận thời gian có hạn khả hạn chế thân nên việc thực đề tài hạn chế Để hồn thiện đề tài em mong nhận đóng góp, đánh giá thầy giáo tồn thể bạn Em xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Chu Quốc Thắng, (1997) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hồ Anh Tuấn – Trần Bình, (1978) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Lê Văn Bình, (2004) Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng, Khoa KT&CN – Đại học Mở Bán công TP HCM Phan Đình Huấn, (2004) Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn, NXB TPHCM Trần Ích Thịnh – Ngô Như Khoa, (2007) Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa Học Kỹ Thuật A.B Fadeev,(1995) PPPTHH địa học, NXB Giáo Dục Rao S.S (1989) The Finite Element Methor in Engineering, Pegamon Press Mingjun Chen - Zongying Chen - Guanrong Chen, (1997) Approximite solutions of operator equations, Editor-in-Chief: Charles K.Chui ... Tổng quan phương pháp xấp xỉ khác Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Phần tử hữu hạn 22 2.3 Xấp xỉ phần tử hữu hạn ... cứu: Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng sở nhằm nghiên cứu vấn đề phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải số toán kỹ thuật khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phần tử hữu hạn, ... i,i = 1,2,… ,thì trở thành phương Chương Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1 Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự phương pháp Rayleigh-Ritz để tìm nghiệm xấp xỉ