Về k dãy chính quy và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ NGỌC HUYỀN VỀ k−DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ NGỌC HUYỀN VỀ k−DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM HỮU KHÁNH i Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Dãy quy độ sâu 10 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 16 1.3.1 Hàm tử dẫn xuất phải 16 1.3.2 Môđun đối đồng điều địa phương 17 k−DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG 2.1 25 k−dãy quy kết hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết 25 2.2 k−độ sâu 31 2.3 Kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU AnnR (x) : Linh hóa tử phần tử x AnnR (M ) : Linh hóa tử mơđun M AssR (M ) : Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M AttR (A) : Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun A Spec(R) : Tập iđêan nguyên tố vành R depth(I, M ) : Độ sâu M I fdepth(I, M ) : Độ sâu lọc M I k-depth(I, M ) : k−độ sâu M I ZDR (M ) : Tập ước không M Ri F : Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử hiệp biến F Ext : Hàm tử mở rộng ΓI (•) : Hàm tử I−xoắn ΓI (M ) : Môđun I−xoắn R−môđun M HIi (•) : Hàm tử đối đồng điều thứ i R−môđun HIi (M ) : Môđun đối đồng điều thứ i R−môđun M iđêan I Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài "Về k−dãy quy ứng dụng” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Phạm Hữu Khánh chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, ngày 25 tháng năm 2020 Học viên thực Phạm Thị Ngọc Huyền MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại m M R−môđun hữu hạn sinh Chúng ta biết môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) nói chung khơng Noether khơng Artin Vì vậy, người ta tìm điều kiện hữu hạn cho mơđun HIi (M ) để hiểu môđun Năm 1990, C Huneke [7] đưa giả thuyết: "Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) tập hữu hạn với R−môđun hữu hạn sinh M , với iđêan I với số nguyên i." G Lyubeznik [10] Huneke - R Y Sharp [8] chứng minh giả thuyết cho trường hợp vành địa phương đẳng đặc số Mặc dù A Singh [17] M Katzman [9] đưa ví dụ mơđun hữu hạn sinh mà có số mơđun đối đồng điều địa phương với vô hạn iđêan nguyên tố liên kết, giả thuyết cho nhiều trường hợp Vấn đề đặt với điều kiện tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) tập hữu hạn Năm 2008, Nông Quốc Chinh Lê Thanh Nhàn [6] giới thiệu khái niệm k−dãy quy mở rộng khái niệm dãy quy sau Cho k ≥ số nguyên Một dãy phần tử x1 , , xr ∈ I gọi k−dãy quy M I xi ∈ / p, với p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) thỏa mãn dim R/p ≥ k , với i = 1, , r Một phần tử x ∈ m gọi k−phần tử quy M xi ∈ / p, với p ∈ AssR (M ) thỏa mãn dim R/p ≥ k Độ dài cực đại k−dãy quy M I gọi k−độ sâu M I kí hiệu k-depth(I, M ) Bằng cách sử dụng khái niệm k−dãy quy k−độ sâu, Nơng Quốc Chinh Lê Thanh Nhàn đưa số kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết mơđun đối đồng điều địa phương Mục đích luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kết k−dãy, k−độ sâu ứng dụng vào việc nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương báo [6] Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chứng minh chi tiết kết về: Tập iđêan nguyên tố liên kết; Dãy quy độ sâu; Mơđun đối đồng điều địa phương Chương 2: k−dãy quy ứng dụng Chương trình bày chứng minh chi tiết kết k−dãy quy, k−độ sâu kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành đào tạo thạc sĩ Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn thầy Phạm Hữu Khánh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tận tình hướng dẫn khích lệ tơi vượt qua lúc khó khăn suốt thời gian thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy cô khoa Tốn, trường Đại học Quy Nhơn tận tình bảo, dạy dỗ truyền đạt cho nhiều kiến thức bổ ích suốt thời gian học Đại học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy cô đồng nghiệp trường TH - THCS Bùi Thị Xuân, gia đình, người thân bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực khố luận Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Phạm Thị Ngọc Huyền Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong tồn chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương để làm sở cho Chương Trong chương ta xét R vành giao hốn, M R−mơđun 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Trước hết, nhắc lại định nghĩa iđêan nguyên tố liên kết với số kí hiệu dùng luận văn Định nghĩa 1.1.1 Cho M R−môđun x phần tử M Khi đó, (i) Tập AnnR (x) = {a ∈ R | ax = 0} gọi linh hóa tử phần tử x; (ii) Tập AnnR (M ) = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M } gọi linh hóa tử mơđun M Chú ý 1.1.2 AnnR (x) AnnR (M ) iđêan R Định nghĩa 1.1.3 Cho M R−môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M , x = cho AnnR (x) = p Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Ass(M ) không muốn nhấn mạnh vào vành R Như vậy, AssR (M ) = {p ∈ Spec(R) | ∃x ∈ M, x = 0, p = AnnR (x)} Nhận xét 1.1.4 Cho p iđêan nguyên tố liên kết R AssR (R/p) = {p} Chứng minh Với = x = a + p ∈ R/p, ta có AnnR (x) = {b ∈ R | b(a + p) = 0} = {b ∈ R | ba + p = 0} = {b ∈ R | ba ∈ p} = {b ∈ R | b ∈ p} = p Vậy AssR (R/p) = {p} Định nghĩa 1.1.5 Phần tử a vành R gọi ước không R−môđun M tồn x ∈ M , x = cho ax = Tập ước khơng M kí hiệu ZDR (M ) Định lý 1.1.6 ([12], Định lí 6.1) Cho R vành Noether M R−môđun khác không Khi đó, (i) Phần tử cực đại họ iđêan F = {AnnR (x) | = x ∈ M } iđêan nguyên tố liên kết M p (ii) ZDR (M ) = p∈AssR (M ) Chứng minh (i) Giả sử p = Ann(x) ∈ F , p phần tử cực đại F Ta cần chứng minh p nguyên tố Với a, b ∈ R mà ab ∈ p, b ∈ / p ta có, abx = 0, bx = Do = bx ∈ M nên Ann(bx) ∈ F Vì Ann(x) ⊂ Ann(bx) Ann(x) phần tử cực đại nên 28 dãy quy cực đại depthRp (Mp /(xt11 , , xtnn )Mp ) = Do xn x1 , , dãy quy cực đại Mp Vì thế, pRp ∈ Ass(Mp /(x1 , , xn )Mp ) Do đó, p ∈ Ass(M/(x1 , , xn )M ) Suy {p ∈ T (x, M ) : dim R/p ≥ k} ⊆ {p ∈ Ass(M/(x1 , , xn )M ) : dim R/p ≥ k} Chiều ngược lại hiển nhiên Đặc biệt, Ass(M/(x1 , , xn )M ) tập hữu hạn nên {p ∈ T (x, M ) : dim R/p ≥ k} tập hữu hạn Hệ 2.1.4 ([6]) (i) Nếu x = (x1 , , xn ) dãy quy M , T (x, M ) = Ass(M/(x1 , , xn )M ) (ii) Nếu x = (x1 , , xn ) dãy quy lọc M , T (x, M )\{m} = Ass(M/(x1 , , xn )M )\{m} Trong trường hợp này, T (x, M ) tập hữu hạn Chứng minh Với k = k = Mệnh đề 2.1.3, có điều phải chứng minh Tiếp theo, nhắc lại lý thuyết biểu diễn thứ cấp Macdonald [12] giới thiệu năm 1973, theo nghĩa đối ngẫu với lý thuyết phân tích ngun sơ Một R−môđun S gọi thứ cấp S = với r ∈ R, phép nhân r S toàn cấu lũy linh Nếu S thứ cấp AnnR (S) = p iđêan nguyên tố Khi ta nói S môđun p−thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp R−mơđun M phân tích M = M1 + · · · + Mr thành tổng hữu hạn môđun pi −thứ cấp Mi Môđun M gọi biểu diễn M = M có biểu diễn thứ cấp 29 Biểu diễn thứ cấp M = M1 + · · · + Mr gọi tối tiểu Mi thừa pi = pj với i = j Vì tổng hai mơđun p−thứ cấp môđun p−thứ cấp nên biểu diễn thứ cấp M đưa dạng tối tiểu Iđêan nguyên tố p gọi nguyên tố gắn kết R−môđun M M có mơđun thương p−thứ cấp Tập iđêan ngun tố gắn kết M ký hiệu AttR (M ) Định lý sau M mơđun biểu diễn AttR (M ) tập hữu hạn Định lý 2.1.5 ([12], Định lý 6.9) Giả sử M = M1 + · · · + Mr biểu diễn thứ cấp tối tiểu M Mi pi −thứ cấp Khi AttR (M ) = {p1 , , pr } Kết sau Macdonald phạm trù môđun biểu diễn chứa phạm trù môđun Artin Định lý 2.1.6 ([12], Định lý 5.2) Mọi R−môđun Artin biểu diễn Chứng minh Giả sử M R−môđun Artin không biểu diễn Xét tập môđun khác không, không biểu diễn M Tập khác rỗng có chứa M Vì M R−mơđun Artin nên tập có phần tử cực tiểu N Do N môđun không biểu diễn nên N không môđun thứ cấp Vì N mơđun Artin khác khơng khơng môđun thứ cấp nên N tổng hai môđun thực N1 N2 Hơn nữa, tính chất cực tiểu N tập ta xét nên N1 , N2 môđun biễu diễn Vì N tổng hai mơđun biễu diễn N1 , N2 nên N môđun biễu diễn Điều mâu thuẫn với cách chọn N Vậy M môđun biễu diễn 30 Bổ đề 2.1.7 ([15]) Cho M m−đầy đủ ađic M Khi ta có AssR M = {p ∩ R : p ∈ AssR M } Mệnh đề 2.1.8 ([6]) Cho x = (x1 , , xn ) dãy quy hốn vị M Khi có d i Att Hm (M/ T (x, M ) ⊆ J⊆{1,··· ,n} i=0 xj M ) j∈J ∪ {m} i Trong trường hợp này, T (x, M ) tập hữu hạn Chứng minh Định nghĩa R m−đầy đủ ađic R Mỗi R−môđun A Artin có cấu trúc tự nhiên R−mơđun với cấu trúc này, AssR A = {p ∩ R : p ∈ AssR A} (Bổ đề 2.1.7) Mỗi R−môđun hữu hạn sinh N , theo Bổ đề 2.1.7 kéo theo AssR N = {p ∩ R : p ∈ AssR N }, N m−đầy đủ ađic N Do đó, đủ để chứng minh mệnh đề trường hợp R = R Cho n ≥ d − Khi dim(M/(x1 , , xn )M ) ≤ Do đó, Supp(M/(x1 , , xn )M ) ∪ {m} = Ass(M/(x1 , , xn )M ) ∪ {m} Do đó, theo ([2], 11.3.3) có Ass(M/(xt11 , , xtnn )M ) ⊆ Supp(M/(x1 , , xn )M ) ⊆ Ass(M/(x1 , , xn )M ) ∪ {m} d i Att Hm (M/(x1 , , xn )M ) ⊆ i=0 ∪ {m} i với t1 , , tn Vì kết trường hợp Cho n < d − Khi phép quy nạp theo n lý luận tương tự chứng minh ([15], 3.1), chứng minh i (M/(xt1 , , xtn )M ) Att Hm n i Att Hm (M/ ⊆ i J⊆{1, ,n} xj M ) j∈J ∪{m} i 31 với t1 , , tn ≥ với i ≥ Do đó, theo ([2],11.3.3) ta có d Ass(M/(xt11 , , xtnn )M ) i Att Hm (M/(xt11 , , xtnn )M ) ⊆ i=0 i d i (M/ Att Hm ⊆ J⊆{1, ,n} i=0 xj M ) j∈J ∪ {m} i với t1 , , tn ≥ 1, mệnh đề chứng minh xong 2.2 k−độ sâu Cho M R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d I iđêan R Định nghĩa 2.2.1 ([6], 3.1) Cận k−dãy quy M I gọi k−độ sâu M I kí hiệu k-depth(I; M ) Bổ đề 2.2.2 ([6], 3.2) Giả sử dim M/IM = d − r Khi có (i) k-depth(I; M ) ≤ r với k = 0, 1, , d − r (ii) k-depth(I; M ) = ∞ với k > d − r Chứng minh (i) Cho k ≤ d − r Khi với k−dãy quy M I phần hệ tham số M Chú ý phần hệ tham số M I có độ dài tối đa r Do đó, k-depth(I; M ) ≤ r (ii) Cho k > d − r Giả sử k-depth(I; M ) = n < ∞ Cho x1 , , xn k−dãy quy M I Nếu I ⊆ p với p ∈ Ass(M/(x1 , , xn )M ) thỏa mãn dim(R/p) ≥ k d − r = dim M/IM ≥ dim M/pM = dim R/p ≥ k > d − r, Điều vơ lí Do I p với p ∈ Ass(M/(x1 , , xn )M ) thỏa mãn dim(R/p) ≥ k Vì vậy, tồn phần tử xn+1 ∈ I cho x1 , , xn+1 32 k−dãy quy M Vì k-depth(I; M ) ≥ n + Điều mâu thuẫn Bổ đề 2.2.3 Cho r số nguyên dương Giả sử dim M/IM ≥ k Khi mệnh đề sau tương đương: (i) dim ExtiR (R/I; M ) < k với i < r; (ii) I chứa k−dãy quy M có độ dài r Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Vì dim Ext0R (R/I; M ) < k nên với p ∈ Ass M , dim R/p ≥ k p Do đó, tồn phần tử x1 ∈ I cho x1 ∈ / p, với ta có I p ∈ Ass M , dim R/p ≥ k hay x1 k−dãy quy M Theo Bổ đề 2.1.2 (i), dim(0 :M x1 ) < k Ta chứng minh kết quy nạp theo r Trường hợp r = 1, từ chứng minh ta suy kết Giả sử r > Vì dim(0 :M x1 ) < k nên dim ExtiR (R/I; :M x1 ) < k với i Xét dãy khớp x1 → :M x1 → M −−→ x1 M → ta có dãy khớp ExtiR (R/I; M ) → ExtiR (R/I; x1 M ) → Exti+1 R (R/I; :M x1 ) với i Do dim ExtiR (R/I; x1 M ) < k với i < r Từ dãy khớp → x1 M → M → M/x1 M → ta có dãy khớp ExtiR (R/I; M ) → ExtiR (R/I; M/x1 M ) → Exti+1 R (R/I; x1 M ) với i Từ dim ExtiR (R/I; M/x1 M ) < k , ∀i < r − Theo giả thiết quy nạp, tồn 33 x2 , , xr k−dãy quy M/x1 M I Do đó, x1 , , xr k−dãy quy M I (ii) ⇒ (i) : Giả sử x1 , , xr k−dãy quy M I Cho p ∈ Supp M/IM cho dim R/p ≥ k , theo Bổ đề 2.1.2(i), Mp −dãy quy IRp Từ ExtiR (R/I; M ) p xr x1 , , = với i < r Do p ∈ / Supp ExtiR (R/I; M ) Suy ra, dim ExtiR (R/I; M ) < k với i < r Định nghĩa 2.2.4 ([6], 3.3) Một k−dãy quy x1 , , xn M I gọi cực đại không tồn phần tử y ∈ I cho x1 , , xn , y k−dãy quy M I Từ Bổ đề 2.2.2(i) Bổ đề 2.2.3 có kết sau Mệnh đề 2.2.5 ([6], 3.4) Giả sử dim M/IM ≥ k Khi đó, k−dãy quy cực đại M I có độ dài hữu hạn có độ dài k-depth(I; M ) Từ định nghĩa ta dễ dàng suy x1 ∈ I k−phần tử quy M , k-depth(I; M ) = k-depth(I; M/x1 M ) + Kết thể số đặc trưng k-depth Mệnh đề 2.2.6 ([6], 3.5) Cho k ≥ số nguyên I iđêan R Giả sử dim M/IM ≥ k Khi có k-depth(I; M ) = min{depth(IRp ; Mp ) : p ∈ Supp(I/IM ), dim R/p ≥ k} = min{i : dim Exti (R/I; M ) ≥ k} Chứng minh Đặt r = k-depth(I; M ) Cho x1 , , xr k−dãy quy cực đại M I Khi với i < r có dim(ExtiR (R/I; M )) < k dim(ExtrR (R/I; M )) ≥ k theo (Bổ đề 2.2.3) Do 34 r = min{i : dim(ExtiR (R/I; M )) ≥ k} Hơn nữa, i < r ExtiR (Rp /IRp ; Mp ) = với p ∈ Supp M/IM với dim R/p ≥ k ExtrR (Rp /IRp ; Mp ) = Do r = min{depth(IRp ; Mp ) : p ∈ Supp M/IM, dim R/p ≥ k} Mệnh đề chứng minh xong Cho I iđêan R với dim M/IM = d − r Theo Bổ đề 2.2.2, 0-depth(I; M ) ≤ 1-depth(I; M ) ≤ ≤ (d − r)−depth(I; M ) ≤ r, k-depth(I; M ) = ∞ với k > d − r 2.3 Kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Chúng ta biết tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương AssR HIi (M ) không hữu hạn trường hợp tổng qt Mục đích phần trình bày kết hữu hạn tập AssR HIi (M ) Giả sử dim M/IM = s Với k = 0, 1, , s, đặt nk = k-depth(I; M ) Chú ý k-depth(I; M ) = ∞ với k > s Chúng ta giới thiệu vài kết liên quan tới hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HInk (M ) Hơn nữa, mô tả cụ thể tập hữu hạn Ass(HIn2 (M )) Định lý 2.3.1 ([6], 4.1) Cho dim M/IM = s Đặt Hk = {p ∈ Ass(HInk (M )) : dim R/p ≥ k} với k = 0, 1, , s Khi ∅ = Hk = {p ∈ Ass(ExtnRk (R/I; M )) : dim R/p ≥ k} Trong trường hợp này, Hk tập hữu hạn với k = 0, 1, , s 35 Chứng minh Cho k ∈ {0, 1, , s} Chú ý nk < ∞ theo Bổ đề 2.2.2(i) Theo Mệnh đề 2.2.6 có nk = min{depth(IRp ; Mp ) : p ∈ Supp(M/IM ), dim R/p ≥ k} Do đó, tồn iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M/IM ) cho dim R/p ≥ k nk depth(IRp ; Mp ) = nk Từ suy (HInk (Mp ))p = HIR (Mp ) = Do đó, p p ∈ Supp(HInk (M )) Gọi p iđêan nguyên tố nhỏ Supp(HInk (M )) cho p ⊆ p Khi p ∈ Ass HInk (M )) dim R/p ≥ dim R/p ≥ k Do đó, p ∈ Hk Hk = ∅ Giả sử p ∈ Ass(HInk (M )) cho dim R/p ≥ k Khi nk pRp ∈ Ass(HInk (M ))p = Ass(HIR (Mp )) p nk Suy HIR (Mp ) = Chúng ta chứng minh depth(IRp ; Mp ) = nk Thật vậy, p cho x1 , , xnk k−dãy quy M I Khi x nk x1 , , dãy quy Mp IRp theo Bổ đề 2.1.2(i) Do đó, nk depth(IRp ; Mp ) ≥ nk Vì HIR (Mp ) = nên depth(IRp ; Mp ) ≤ nk Do p depth(IRp , Mp ) = nk Theo ([14],1.1) có nk Ass(HIR (Mp )) = Ass(ExtnRkp (Rp /IRp ; Mp )) p nk Do đó, p ∈ Ass(HInk (M )) pRp ∈ Ass(HIR (Mp )), p pRp ∈ Ass(ExtnRkp (Rp /IRp ; Mp )) Từ suy p ∈ Ass(HInk (M )) p ∈ Ass(ExtnRk (R/I; M )) Vì Ass(ExtnRk (R/I; M )) tập hữu hạn nên Hk tập hữu hạn Với số nguyên i ≥ 0, biết liệu giá HIi (M ) tập đóng phổ R Chú ý Supp(HIi (M )) đóng Spec R HIi (M ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu Do đó, quan tâm đến câu hỏi liệu tập hợp tất số nguyên tố liên kết tối tiểu HIi (M ) hữu hạn Định lý 2.3.1 36 đưa vài số i cho tập tất số nguyên tố liên kết chiều cao HIi (M ) hữu hạn Kết sau đây, hệ Định lý 2.3.1, chứng minh tính khơng triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương Hệ 2.3.2 ([6], 4.2) Cho I iđêan R Giả sử dim M/IM = s Đặt nk = k-depth(I; M ) với k = 0, 1, , s Khi HInk (M ) = với k = 0, 1, , s Đặt nk = k-depth(I; M ) với k = 0, , dim M/IM Khi có Ass(HIn0 (M )) = Ass(ExtnR0 (R/I; M )), Ass(HIn0 (M )) tập hữu hạn Kết hệ Định lý 2.3.1, mô tả tập iđêan nguyên tố liên kết HIn1 (M ) Hệ 2.3.3 ([6], 4.3) Cho I iđêan R với dim M/IM > Đặt n1 = 1-depth(I; M ) Khi có Ass(HIn1 (M )) ∪ {m} = Ass(ExtnR1 (R/I; M )) ∪ {m} Đặc biệt Ass(HIn1 (M )) tập hữu hạn Tiếp theo mô tả tập Ass(HIn2 (M )) Trước hết, có bổ đề sau Bổ đề 2.3.4 ([6], 4.4) Cho K R−môđun T mơđun K Khi Ass K ∪ Supp T = Ass(K/T ) ∪ Supp(T ) Hơn nữa, Supp T tập hữu hạn Ass(K/T ) ⊆ Ass K ∪ {m} Chứng minh Hiển nhiên có Ass K ⊆ Ass(K/T ) ∪ Supp(T ) Cho p ∈ Ass(K/T )\ Supp T Khi p = (T :R m) với m phần tử thuộc K Do pm ⊆ T Vì p ∈ / Supp T , có Tp = Vì (pm)p = Vì pm sinh hữu hạn phần tử, viết 37 pm = (m1 , , mt )R, mi ∈ K Kí hiệu (pm)p Với i = 1, , t, mi mi ảnh mi = nên tồn ri ∈ / p cho ri mi = Đặt r = r1 rt Khi r ∈ / p r(pm) = Từ suy p ⊆ Ann(rm) Lấy a ∈ Ann(rm) Khi arm = ar ∈ Ann(m) ⊆ (T :r m) = p Vì r∈ / p, có a ∈ p Do đó, p = Ann(rm) Vì vậy, p ∈ Ass K Bây giả sử Supp T tập hữu hạn Lấy p = m cho p ∈ Supp T Khi p phần tử nhỏ Supp T Do đó, p ∈ Ass T Từ p ∈ Ass K Vì Supp T ⊆ Ass K ∪ {m} Suy Ass(K/T ) ⊂ Ass(K/T ) ∪ Supp T = Ass K ∪ Supp T ⊂ Ass K ∪ Ass K ∪ {m} = Ass K ∪ {m} Bổ đề chứng minh xong Bổ đề 2.3.5 ([15], 5.2) Supp HIi (M ) tập hữu hạn với i < 2-depth(I; M ) Đặc biệt, Ass HIi (M ) tập hữu hạn với i < 2-depth(I; M ) Định lý sau cho ta kết hữu hạn cho tập Ass(HIn2 (M )) Định lý 2.3.6 ([6], 4.5) Cho I iđêan R với dim M/IM > Đặt n2 = 2-depth(I; M ) giả sử n2 ≥ Cho x1 , , xn2 −1 2−dãy quy −1 M I Đặt M = M/(x1 , , xn2 −1 )M P = ∪ni=1 Supp(HIi (M )) Khi có Ass(HIn2 (M )) ∪ P = Ass(Ext1R (R/I; M /HI0 (M ))) ∪ P Đặc biệt, Ass(HIn2 (M )) tập hữu hạn Chứng minh Trường hợp n2 = Chúng ta có Ass(HI1 (M )) = Ass(HI1 (M/HI0 (M ))) = Ass(Ext1R (R/I; M/HI0 (M ))), (2.1) 38 (2.1) trường hợp Trường hợp n2 > Đặt M1 = M/x1 M Vì x1 2−phần tử quy M nên theo Bổ đề 2.1.2(iii) ta có dim(M :R x1 ) ≤ Do HIj (M ) ∼ = HIj (M/(0 :M x1 )) với j ≥ Từ dãy khớp x1 → M/(0 :M x1 ) −−→ M → M1 → 0, có dãy khớp sau x1 HIj−1 (M ) → HIj−1 (M1 ) → HIj (M ) −−→ HIj (M ) (2.2) với j ≥ Kí hiệu T ảnh ánh xạ HIn2 −1 (M ) → HIn2 −1 (M1 ) dãy khớp (2.2) Vì n2 ≥ 2, có (0 :HIn2 (M ) x1 ) ∼ = HIn2 −1 (M1 )/T Vì T thương HIn2 −1 (M ), có Supp T ⊆ Supp(HIn2 −1 (M )) ⊆ P Từ Bổ đề 2.3.4 có Ass(HIn2 (M )) ∪ P = Ass(0 :HIn2 (M ) x1 ) ∪ P = (Ass(HIn2 −1 (M1 )/T ) ∪ Supp T ) ∪ P (2.3) = (Ass(HIn2 −1 (M1 )) ∪ Supp T ) ∪ P = Ass(HIn2 −1 (M1 )) ∪ P −2 Chú ý 2-depth(I; M1 ) = n2 − Đặt P1 = ∪ni=1 Supp(HIi (M1 )) Từ (2.2) kéo theo Supp(HIi−1 (M1 )) ⊆ Supp(HIi−1 (M )) ∪ Supp(HIi (M )) với i ≥ Do đó, P1 ⊆ P Bằng giả thiết quy nạp, Ass(HIn2 −1 (M1 )) ∪ P1 = Ass(Ext1R (R/I; M /HI0 (M ))) ∪ P1 Từ (2.3) có Ass(HIn2 (M )) ∪ P = Ass(HIn2 −1 (M1 )) ∪ P = (Ass(HIn2 −1 (M1 )) ∪ P1 ) ∪ P = (Ass(Ext1R (R/I; M /HI0 (M ))) ∪ P1 ) ∪ P = Ass(Ext1R (R/I; M /HI0 (M ))) ∪ P, 39 (2.1) chứng minh Vì P tập hữu hạn (Bổ đề 2.3.5) nên Ass(HIn2 (M )) tập hữu hạn 40 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy, độ sâu mơđun đối đồng điều địa phương Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất k−dãy quy, k−độ sâu Trình bày chứng minh chi tiết kết hữu hạn tập nguyên tố liên Ass M/(xt11 , , xtnn )M x1 , , xn k−dãy kết t1 , ,tn ∈N quy M Trình bày chứng minh chi tiết kết hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương {p ∈ Ass HInk (M ) : dim R/p ≥ k} nk = k-depth(I; M ) 41 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann, Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc Amer Math Soc., (1) 74 (1979), 16-18 [2] M Brodman and R Y Sharp " Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [3] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536 [4] W Bruns and H.J Herzog, Cohen-Macaulay Rings, Cambridge University Press (1993) [5] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte CohenMacaulay Mod- uln, Math Nachr., 85 (1978), 57-73 [6] N Q Chinh and L T Nhan, On the associated primes and the support of local cohomology modules, Algebra Colloq 15(2008), no 4, 599-608 [7] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., (1992), 93-108 [8] C Huneke and R Y Sharp, Bass numbers of local cohomology modules, Trans Amer Math Soc., 339 (1993), 765-779 42 [9] M Katzman, An axample of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra 252 (2002), 161-166 [10] G Luybeznik, Finiteness properties of local cohomoly modules (an application of D- modules to commutative algebra), Invent Math., 113 (1993), 41-55 [11] R Lu and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Proc Amer Math, Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912 [12] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11 ( 1973) 23-43 [13] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ Press, 1986 [14] Th Marley, Associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 104 (2001) 519-525 [15] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [16] R Y Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J London Math Soc., (2) 34 (1986), 212-218 [17] A Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., (2000), 165-176 ... tồn k ∈ N cho Mn = Mk , ∀n ≥ k Nếu Mk = M M/Mk = 0, AssR (M/Mk ) = ∅ nên tồn pk+1 ∈ AssR (M/Mk ) Khi tồn Mk+1 /Mk ⊂ M/Mk , cho Mk+1 /Mk ∼ = R/pk+1 ta có Mk Mk+1 ⊂ M Điều mâu thuẫn Vậy Mk =... bày kiến thức chứng minh chi tiết k? ??t về: Tập iđêan nguyên tố liên k? ??t; Dãy quy độ sâu; Mơđun đối đồng điều địa phương Chương 2: k? ? ?dãy quy ứng dụng Chương trình bày chứng minh chi tiết k? ??t k? ? ?dãy. .. chất k? ? ?dãy quy k? ??độ sâu giới thiệu [6] Đồng thời trình bày ứng dụng k? ? ?dãy quy k? ??độ sâu vào việc nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên k? ??t môđun đối đồng điều địa phương 2.1 k? ? ?dãy quy k? ??t