Thứ tự hartvvig nambooripad trên IITỬI nhóm chính quy và ứng dụng

Thứ tự Hartvvig - Nambooripad trên IITỬI nhóm chính quy và ứdg dung...12 2.1 Thứ tự Harvvig - Nambooripad trên nửa nhóm chính quy...12 2.2 Niía nhóm các ma trận Rixơ orthodox ...17 2.3 N

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Mọt số khái niệm cơ sở trong lý thuyết nửa nhóm 4

1.2 Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử không Định lý Rixơ 6 Chương 2 Thứ tự Hartvvig - Nambooripad trên IITỬI nhóm chính quy và ứdg dung 12

2.1 Thứ tự Harvvig - Nambooripad trên nửa nhóm chính quy 12

2.2 Niía nhóm các ma trận Rixơ orthodox 17

2.3 Nửa nhóm các ma trận Rixơ trên các vị nhóm chính quy .21

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

MỞ ĐẦU

Giả sử s là nửa nhóm chính quy và E là, tập các lũy đẳng của s. Khi đó

quan hệ < trên E cho bởi e < / nếu và chỉ nếu ef = fe =eìh một thứ tự

bộ phận trên E Năm 1980, R.E.Hartwig và K.S.S.Nambooripacl độc lập với nhau đã chứng minh được rằng quan hệ <* trên nửa nhóm chính quy s cho

bởi X <* y nếu và chỉ nếu tồn tại e, feE sao cho X = ey = yf là một quan

hệ thứ tự bộ phận trên s\ và thu hẹp quan hệ này trên E chính là thứ tự

bộ phận tự nhiên trên E xác định như trên Thứ tự <* được gọi là thứ tự Hartĩiĩlg - Narrihxyripad trẽn mía nhóm chính, quy s Dựa trên quan hệ thứ

tự này, nhiều kết quả về lý thuyết nửa nhóm đã được mở rộng và phát hiện, đặc biệt trong việc xét cấu trúc của nửa nhóm các ma trận Rixơ trên các vị nhóm chính quy

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo A cỉass of neguLar serrủgroups wi,th, rcgulamty-prcsennng element của tác giả J.B.Hickey đăng trên tạp chí

Semigroup Forum năm 2010 để tìm hiểu thứ tự Hartwig-Nambooripad trên nửa nhóm chính quy và ứng dụng vào việc xét các ma trận Rixơ trên các vị nhóm chính quy

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này trước hết chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở trong nửa nhóm như nhóm con, các phần tử khả nghịch trong vị nhóm, các quan hệ Grin trên nửa nhóm, các nửa nhóm đơn, nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngược Sau đó chúng tôi trình bày nửa nhóm ma trận trên một nhóm và Định

lý Rixơ đề làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Thít tự Hartvá - Narnboơripad trên nửa nhóm chỉnh, ợay và ứng dụng.

Đây là nội dung chính của luận văn

Trong chương này, trước hết chứng tôi trình bày thứ tự Hartvvig -

Narn-booripad trên nửa nhóm chính quy và các tính chất của nó Sau đó chúngtôi tìm hiểu một số ứng đụng của thứ tự này trong việc xét cấu trúc củacác ma trận trên nửa nhóm và các vị nhóm chính quy Nhiều kết qua về lýthuyết nửa nhóm quen thuộc đã được tổng quát nhờ việc áp dụng thứ tựHartwig-Narnbooripad trong kỹ thuật chứng minh

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầygiáo, cô giáo trong Khoa Toán, Phòng sau đại học Trường Đại học Vinh cùngcác giáo viên Trường THPT Hoàng Mai và các học viên cao học 19 - Đại số

đã quan tâm giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoànthành luận văn

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thề tránh khỏi những thiếu sót.Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiệnhơn Chúng tôi xin chân thành cảm (ỉn

Nghệ An, tháng 08 năm 2013

The giả

CH ƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM Cơ SỞ TRONG LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

Trước hết ta nhắc lại nhóm con tối đại trong nửa nhóm

Giả sử s là một nửa nhóm với đơn vị là 1 Nếu p và q là các phần tử thuộc

s sao cho pq = 1 thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q, còn q là nghịch đảo phải của p Phần tử khả nghịch hên', phải (trái) thuộc s được định nghĩa

là phần tử thuộc s có một nghịch đảo bên phải (trái) thuộc s Phần tử khả

nghịch thuộc s là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bênphải

Chú ý rằng các kết quả trong chương này đều đã được chứng minh trong

[1] , nên ta không trình bày chứng minh ở đây

1.1.1 Mệnh đề Giả sử s ỉà một nửa nhóm với phần tử đơn vị ỉà 1.

(ỉ) Tạp P{Q) tất cả các phần tử khả nghịch bên phái (trối) củn, s là một nửa nhóm của s chứa 1;

(ii) Tạp ư tất cả các phần tử khả nghịch thuộc s là một nhóm, cơn của s

và u = PPlQ;

(Ui) Mỗi nhóm cơn của s chứa 1 đều được chứa trong Ư.

1.1.2 Mệnh đề Gi,ả sửe là một lũy đẳng tủy ý thuộc nửa nhóm s và

H e là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhâm s Thế thì H( chứa mỗi nhóm con G của nửa nhóm s, mà G giao với H e

aNáb <^> S 1 a = s 1 b, a/M) aS 1 = bS 1

o^b S 1 aS 1 =S 1 bS l ,'D = á?oẩễ(=ẩẽo£f)

được gọi là các quan hệ Gri,n trên nửa nhóm s. Rõ ràng các quan hệ Grin làcác quan hệ tương đương trên s.

1.1.5 Định nghĩa Mọt nửa nhóm s được gọi là đơn phải (trải, đơn) nếu

s là iđêan phải (iđêan trái, iđêan hai phía) duy nhất của s.

Nửa nhóm s được gọi là nửa nhóm song đơn nếu s gồm và chỉ gồm một

1.1.7 Chú ý Giả sử s là một nửa nhóm và E = {e G s I e2 = e} là tậphợp tất cả các lũy đẳng của s. Trên E xác định quan hệ < cho bởi e <f<*

ef = fe = e Thế tln < là một thứ tự (bộ phận) trên E.

Thật vậy, vì c 2 = e nên e < e vỏi mọi e G E, vậy < phản xạ Nếu e < f

và / < e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f Vạy < phản xứng Cuối cùng nếu e < / và/<p thìef = fe = evàfg = gf = f nên eg = (ef)g

(trái, phải) thật sự duy nhất của s.

Giả sử s là nửa nhóm với phần tử không và < là thứ tự bộ phận tự nhiên

trên tập E các lũy đẳng của s. Thế thì lũy đẳng / G s được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nến / 7^ 0 và nếu e < f kéo theo e = 0 hoặc e = f.

1.1.8 Định nghĩa Nửa nhóm s được gọi là nửa nhóm đơn (0 - đơn) hoàn toàn nếu s là nửa nhóm đơn (0 - đơn) chứa lũy đẳng nguyên thủy

1.1.9 Định nghĩa, (i) Giả sử s là nửa nhóm Phần tử a G s được gọi là

phần tử chính, quy nếu có X £ s sao cho axa = a.

(ii) Nửa nhóm s được gọi là nửa nhớm chính quy nếu mọi phần tử cửa s

1.2 NỬA NHÓM MA TRẬN TRÊN MỘT NHÓM VỚI PHAN

ma trận Rixơ trên G° như sau:

Ao B = APB

Nếu A và B là các IX A - ma trận Rixơ trên G’ thì Ao B cũng vậy Thật vậy, nếu A = (<a) iX , B = (b) jụ thì (a)iÀ o (%, = (apxjb) jfX , (a,b G G; i,j G I;

A,/x G A) (1)

Hơn nữa, phép toán (o) có tính chất kết hợp:

Ao(BoC) = AP(BPG) = (APB)PC = (Ao B) o c

Vì vậy tập tất cả các I X A - ma trận Rixơ trên cp là một nửa nhóm đối với phép toán (o); và gọi là nửa nhóm I X A - ma trận Rixơ trẽn nhóm với phần

tử không Gp với ma trận đệm Jp, ký hiệu bcá '/áP(G\ /, A; JP) Khi đó G được

gọi là nhóm, cơ sở của

1.2.2 Mệnh đề Nửa nhóm I X A - ma trận R JXƠ /, A: P) trên nhóm với phần tử không Gr với ma trận đệm p là nửa nhàm chỉnh quij khi

và chỉ khi mỗi đờrig và mỗi cột cỉm p chứa một phần tử khác không.

Oiứng minh, Giả sử p = (p)\i; a, b E G: i,j G /; Ay G A.

Khi đó (a)ix AB = (b)jựA(a)i\ = (apxjbp^a)ỉ\ vế phải bằng (a)i\ klii và chỉ ktii (p)xibpfxi =a~ í Với (o)ix đã cho, tồn tại phần tử (b) 3ỊX rửnrthế thuộckhi và chỉ khi Pxj 7^ 0 và Pựi 0 với j G /, A G A nào đó, điều này xảy

ra kln và chỉ kln dòng thứ A và cột thứ i của p chứa một phần tử khác không cửa Gp ■

Do Mệnh đề 1.2.2, ta sẽ gọi ma trận p trên một nhóm với phần tử không

là chỉnh quy khi và chỉ khi mỗi dòng và mỗi cột của p chứa phần tử khác

không

Bây giờ, ta ký hiệu các phần tử của ơứP là (a)ix, trong đó a G G°, i G /,

L\ — I a G G, 2 G /} và ì)) u 0

Hị\ = Rị C\L\= {(a)i\ I d G Ch\

Trong [1] đã chứng minh được kết quả sau:

1.2.3 Mệnh đề (ỉ) Với mỗi ỉ G I, ỉíị ] là một iđêan phải của ; hai phần tửẩ& - tương đương của \ 0 thuộc cimg một Rị với ỉ nào đố thuộc I.

(ỉi) Nếu, p là chỉnh quy (mỗi dòng và mơi, cột của p chứa một phần tử khác không) thì với mỗi ỉ G I, Ffị ỉà iđêan phải 0 - tối tiểu của , và Rị là một 'Ch - lớp.

(Ui) Nếu với i nào đó thuộc ỉ) Pxi = 0 với mỗi A G A thì FQ L là iđêan hai phía của ơ/p, sao cho 'Vp o R) = 0; đặc biệt (lĩ)) 2 = 0.

Ta nhắc lại rằng, nửa nhóm ma trậ Rixơ (Ch /, A; Jp) được gọi là chỉnh quy khi và chỉ khi ma trận đệm p là ma trận chính quy.

1.2.4 Định lý Nửa nhóm ma trận Rixơ 0 - đơn khi và chỉ khi nó là chính quy, và khi đó nó là 0 - đơn hoàn toàn.

Chứng minh, Giả sử /CC = /CC(Cc I, A; P) là nửa nhóm ma trận Rixơ.

Trước hết giả sử^° không chính quy Do Mệnh đề 1.2.2 tồn tại dòng haycột của p gồm toàn phần tử không, chẳng hạn cột thứ i: Pxj = 0 với mọi

A G A Do Mệnh đề 1.2.3(hi), RÍ) là iđêan lũy linh khác không của \ do

X.

nếu 'Pxj 7^ 0nếu Pxj =0

Đảo lại, giả sử là chính quy Giả sử (a)ix và ịb)jịx là hai phần tử tùy

ý thuộc với a 7^ 0 Do Mệnh đề 1.2.2 tồn tại V G A và k G I sao cho

Pui 7^ 0 và, pxk 0 Giả sử c = bipuịapxkỴ1 và giả sử e là phần tử đơn vị của

G Thế thì (c)jv ° (p)iX ° ( e )kfx — và do đó ,y/ỉ ) là 0 - đơn

Do Mệnh đề 1.2.3(iv), các lũy đẳng khác không của là các phần tử

e.ị\ = (p^})i\ Tồn tại một phần tử như vậy với mỗi cặp i, A (zG/; A GA) sao cho p\j 7^ 0 Nếu e,ị\ o ejị Ầ = ejn o ax = ejfx thì i = j và À = Ị 1 , nên Cịx = ej fX Vậy mỗi lũy đẳng khác không của là nguyên thủy, nên là

0 - đơn hoàn toàn

Nếu là 0 - đơn hoàn toàn và do đó Plà chính quy, thì Mệnh đề 1.2.3(ii)

và Mệnh đề đối ngẫu cho thấy rằng mỗi Rị là một lớp và mỗi L\ là

-lớp

Bây giờ ta xét biểu diễn nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn bởi nửa nhóm ma trận Rixơ.

Theo Định lý 1.2.4, nửa nhóm ma trận e^°(G; I, A; P) trên một nhóm với

phần tử không G° là 0 - đơn hoàn toàn nếu ma trận đệm p là chính quy, tức

là không có dòng nào cột nào của p gồm toàn 0 Đó là một nửa của Định

lý Rixơ [1940] nói rằng một nhóm là không đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nóđẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rixơ chính quy trên một nhóm với phần tửkhông (Định lý 1.2.5) Ta sẽ thu được định lý này từ một định lý tổng quáthơn (Định lý 1.2.6) của Mile và Cliphớt [1956] đề cập tới một lớp chínhquy tùy ý của một nửa nhóm

Giả sử D là một & - lớp chính quy cửa nửa nhóm s. Giả sử {Rị I i E /}

và {Lx I A G A} là các tập các - lớp và 2zf - lớp tương ứng của s chứa

trong D TI lố thì tập các '34? - lớp của s chứa trong s là {Hị X IG /, A GA},

trong đó Hịx = Rị

nl/A-Chọn c34?- lớp của D chứa lũy đẳng e Ta sẽ ký hiệu R ( và L e tương ứng

bỏi Ri và Z/1, và do đó ký hiệu H e bởi Hu- Khi đó ta sẽ giả thiết / và A có

chung phần tử 1, điều này không sợ nhầm lẫn và cũng không làm mất tính

tổng quát Theo định lý Grin, Hu là nhóm con của s.

Vcắ rnỗi i G / và A G A chọn và cố định một phần tử 7*1 G H\ 1 và một

phần tử qx G Hỵx- Xác định A X I ma trận p = (p\i) trên HỸI như sau:

_ ỊP\n nếu qxn G i/n

\ 0 trong các trường hợp khác.

Giảsử^°(iTn; /, A; i3) là nửa nhóm / X A ma trận Rixơ trên nhóm với

phần tử không Hfu với ma trận đệm p Phép toán liai ngôi trong ,y^ ta ký hiệu là (o) Theo Định lý 2.17[1], qx, Ty G Hu kin và chỉ ktii Hịx chứa một lũy đẳng Theo Định lý 2.11 [1], mỗi cột và mỗi dòng của p đều chứa phần

tử khác không Theo Mệnh đề 1.2.2, 'SÚíP là chính quy và theo Định lý 1.2.4,

là 0 - đơn hoàn toàn

Nếu ta thực hiện cách chọn khác của H[ \ và của các phần tử ĩ'i và qx có

thề được một nửa nhóm ma trận Rixơ khác Bằng cách tính toán trựctiếp, ta có thể lập được ánh xạ đẳng cấu giữa và Ta sẽ tránh việc

đó trong chứng minh định lý sau đây bằng cách dùng khái niệm vết T của một Q) - lớp D Giả sử 0 là ký hiệu không phải là phần tử nào thuộc D, và giả sử T = D uo Xác định phép toán (*) trong T như sau, trong đó a và b

là các phần tử tùy ý thuộc p>.

ị _ịab nếu ab G R { , n Lị)

Ịo trong các trường hợp kliác: (1)

a * 0 = 0 * a = 0 * 0 = 0

Do đó tập T trở tlihnh phỏng nhóm T(*) Trên cơ sở các kết quả trong §

2.3[1 ] chứng tỏ được rằng phép toán (*) có tính kết hợp Tuy nhiên điều đó

sẽ suy ra ngay từ Định lýl.2.5 sau đây Thực ra ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tạiphép đẳng cấu từ lên T(*)

1.2.5 Định lý Mỗi phần tử thuộc D biểu diễn được một cách duy nhất ảưới dạng TịOqx với.\ a G H\ 1 , ỉ E I, A E A ánh, xạ một - một tp : e^o —y T xấc định bởi

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý quan trọng trong tiết này:

1.2.6 Định lý (Rixơ) Một nửa nhàm là 0 - đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nó đẳng cấu vôi nửa nhóm ma trận Rỉxơ chính quy trên một nhóm với phần tử không.

Chứng minh Nếu nửa nhóm đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rixơ chính

quy trên một nhóm với phần tử không thì nó là 0 - đơn hoàn toàn do Định

lý 1.2.4

CHƯƠNG 2 THỨTựHAKTWENG- NAMBOORIPAD TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY VÀ ƯNG DỤNG

2.1 THỨ Tự HAKTYVTNG - NAMBOORIPAD TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

Giả sử là rríột nửa nhóm Ký hiệu Rcg(S) = ịa £ s I 3.7; £ s : axa = a}

là tập hợp tất cả các phần tử chính quy cửa s.

Vrá mỗi pliần tử a E s\ phần tử b G s được gọi là tiền nghịch đảo (pre

-inverse) của a nếu OỈX 1 , = a Tập hợp tất cả các tiền nghịch đảo của a được

ký hiệu bởi Pre(a)

Phần tử ĩi E s được gọi là đơn vị giữa (mid - identity) trong một nửa

nhóm s nếu xuy = xy, Vr, y G s.

Giả sử s là một nửa nhóm và a G s là một phần tử cố định Trên s xác

định phép toán hai ngôi (o) cho bởi xoy = xay; Vr, y G s. Thế thì phép toán

o kết hợp và (sj o) trở thành một nửa nhóm, được gọi là một kiểu (variant) của s\ ký lúệu bởi (S\ a).

Đối với một nửa nhóm s tùy ý, mỗi phần tử chính quy trong một kiểu

(S, a) nào đó phải chính quy trong s, nhưng ngược lại có thể không đúng.Điều đó dẫn đến định nghĩa sau :

Nếu a, X là các phần tử thuộc một nửa nhóm s tlù ta nói rằng a hảo toàn tính chỉnh quy cùn, X (a preserves the regulaĩity of x) nếu X chính quy trong

(S, a).

Nếu s là nửa nhóm chính quy và RP(S) khác rỗng, thế tin RP(S) là một nửa nhóm con đơn hoàn toàn của S: trong trường hợp này tacóữG RP(S)

nếu và chỉ nếu (S\ d) là nửa nhóm chính quy Nếu s là nửa nhóm đơn hoàntoàn thì mỗi kiểu của s là chính quy, do đó s = RP(S).

Năm 1980, R E Hartwing và K s s Nambooripad đồng thời đã đưa

ra thứ tự sau đây, mà trong luận văn này được gọi là thứ tự Hartwing Nambooripad

-2.1.2 Định nghĩa Giả sử S* là một nua nhóm và iNà tập hợp các lũy đẳng

cửa s. Thế thì quan hệ < trên s cho bởi X < y (Be, / E E) : X = ey = fy

là một thứ tự bộ phận trên s (xem [4] và [8]) Thứ tự này được gọi là thứ tự Hartĩiĩlng - Narrihxyripaả trên nửa nhóm chính quy s.

Chú ý rằng cái thu hẹp của thứ tự đó là thứ tự bộ phận tự nhiền trên E

(xem 1.1.7) Hơn nữa, nếu s chính quy với RP(S) 7^ 0 tin mỗi phần tử chính

quy của RP(S) tối đại trong s dưới thứ tự Hartvùng - Nambooripad trên

Kết quả sau đây sẽ được sử dụng sau này

2.1.3 Mệnh đề ([3, Bổ đề 2.1]) Gi,ảsử< là thứ tự Harừimng -

Nam-boơripad trên nửa nhóm chỉnh quy S; X, Ịj G s và ý ỉa tiền nghịch đảo của

y Thế thì X < E(S(ý)) với X =XQ y = y Q X trong (s, ý).

1.2.4 Định nghĩa Giả sử s là một vị nhóm với GTà nhóm con các phần

tử khả nghịch của nó Khi đó:

(i) s được gọi ìầ ư - chính quy (unit regưlar) nếu mỗi phần tử cửa s có

nếu với mỗi phần tử X G s có đúng một phần tử g xG RP(S) sao cho X < g x

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng một nửa nhóm đơn hoàn toàn s là một

nửa nhóm RP - trội duy nhất, vì s = RP(S) và quan hệ thứ tự Hartwing

-Nambooripad quy về quan hệ bằng nhau Hơn nữa, một vị nhóm chính quy

là RP - trội (RP - trội duy nhất) nếu và chỉ nếu nó là ư - chính quy (tương ứng, ư - chính quy duy nhất).

2.1.5 Bổ đề Oi,ả sửT là một vị nhóm chỉnh quy với nhàm, con, các phần

2.1.6 Định nghĩa Nửa nhóm s được gọi là mỉa nhóm orthodox nếu s

là nửa nhóm chính quy và tập hợp các lũy đẳng E cửa s là nửa nhóm concủa s.

Theo định nghĩa, nếu s là nửa nhóm ngược thì s là nửa nhóm chính quy

Vbi mỗi phần tử a cửa nhm nhóm s\ ký hiệu V(a) = {6 E s I cửxi =

a, bab = 6} là tập hợp tất cả các phần tử ngược của a trong s Nếu s là nửanhóm orthodox thì V(a)V(6) c l/(a6),Va, h G s Tương tự nhận được:

2.1.7 Bổ đề Giả sử s là nửa nhớm ơrthodox và a, b G s Thế thì Pre(b)Pre(a) c Pre(ơb).

Chứng minh Giả sử á G Pre(a), tí G Pre(tí) Thế thù a = aáa, b = btí h.

(RP- compliant) nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(Vr, yeT) (Vgr, h^G) X < g,y < h^xy < gh.

2.1.10 Ví dụ Giả sử T =< a, b I ah = 1 > là nửa nhóm byclic và / =

A = {1,2} Khi đó Tlà nửa nhóm ngược song đơn Giả sử s =y(T;I, A; p)

là nửa nhóm Rixơ với ma trận đệm p = ^ Thế thì s là nửa nhóm

chính quy vổi RP(S) 7^ 0, và thứ tự Hartvving - Nambooipad trên s là RP

- hòa hợp.

Thật vay, s có hai phần tử bảo toàn tính chính quy, đó là (1,1,1) và (1,1,2)

Nếu s G s sao cho 1 < (1,1,1) thế thì 5 lũy đẳng vì (1, 1, 1) lũy đẳng và

s = (1, e, 1) với e <G E(p) nào đó Đảo lại, nếu s = (1, e, 1) với e G E(T)-> thế thì s < (1,1,1) và do đó {s G s I s < (1,1,1)} = {(1, e, 1) I e G E(T)} Tương tự ta tìm được {s G s I s < (1,1,2)} = {(1, e, 2) I e G E(T)} Suy

ra thứ tự Hartvứng - Nanìbooipad trên s là RP - hòa họp.

Kết quả sau đây là một sự tổng quát hóa của Định lý 3.1 của [2] khi ápdụng cho nửa nhóm chính quy

2.1.11 Định lý Giả sử T là một vị nhóm ớúnh, quy Thế thì thứ tự trên

T là RP - hòa hợp nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm ơrthodox.