Thứ tự hartvvig nambooripad trên IITỬI nhóm chính quy và ứng dụng

21 MỤC LỤC MỞ ĐẦU s s Trang GiảLỤC sử nửa nhóm quy E là, tập lũy đẳng Khi MỤC quan hệ < E cho e < / ef = fe =eìh thứ 2tự MỞ ĐẦU phậnChương E.1 Năm 1980,chuẩn R.E.Hartwig K.S.S.Nambooripacl độc lập với Kiến thức bị 1.1 Mọt số khái niệm sở lý thuyết nửa nhóm chứng minh quan hệ ị _ịab ab G R{, n Lị) Ịo trường hợp kliác: (1) a*0 = 0*a = 0*0 = Do tập T trở tlihnh nhóm T(*) Trên sở kết § 2.3[1 ] chứng tỏ phép toán (*) có tính kết hợp Tuy nhiên điều suy từ Định lýl.2.5 sau Thực ta chứng tỏ tồn phép đẳng cấu từ lên T(*) 11 1.2.5 Định lý Mỗi phần tử thuộc D biểu diễn cách ảưới dạng TịOqx với.\ a G H\1, ỉ E I, A E A ánh, xạ - : e^o —y T xấc định ,X í TịOqx a 7^ (a)ÍÀ^=xy < gh 2.1.9 Chú ý Chú ý thứ tự nửa nhóm đơn hoàn toàn RP - s s hòa hợp, RP(S) = thứ tự quan hệ nhan Cũng vậy, T vị nlióm quy với nhóm phần tử khả nglụch G điều kiện tính RP - hòa hợp thứ tự T trở thành (Vr, yeT) (Vgr, h^G) X < g,y < h^xy < gh 2.1.10 Ví dụ Giả sử T =< a, b I ah = > nửa nhóm byclic / = A = {1,2} Khi Tlà nửa nhóm ngược song đơn Giả sử s =y(T;I, A; p) nửa nhóm Rixơ với ma trận đệm p = ^ Thế s nửa nhóm quy vổi RP(S) 7^ 0, thứ tự Hartvving - Nambooipad - hòa hợp Thật vay, s s RP có hai phần tử bảo toàn tính quy, (1,1,1) (1,1,2) s Nếu s G cho < (1,1,1) lũy đẳng (1, 1, 1) lũy đẳng s = (1, e, 1) với e s < (1,1,1) {s G Tương tự ta tìm {s G s s I s < (1,1,1)} = {(1, e, 1) I e G E(T)} I s < (1,1,2)} = {(1, e, 2) I e G E(T)} Suy thứ tự Hartvứng - Nanìbooipad s RP - hòa họp Kết sau tổng quát hóa Định lý 3.1 [2] áp dụng cho nửa nhóm quy 2.1.11 Định lý Giả sử T vị nhóm ớúnh, quy Thế thứ tự T RP - hòa hợp T nửa nhóm ơrthodox 16 cho X < g, y < h Thế theo Bổ đề 2.1.5, g~Ả G Pre(x), hr1 G Pre(y) Do (g/ỳ)-1 = hr1g~1 G Pre(g) theo Bỗ đề 2.1.7 Từ xy < gh thứ tự Hartvving - Nambooipad s RP - hòa hợp.B X, 2.1.12 Ký hiệu Giả sử s nửa nhóm Đối với cặp phần tử y thuộc s\ ký hiệu ưXyj := {u G s I xuy = xy} 2.1.13 Bổ đề OìẢ sửw G S1x, z G yS1^, y, s, G S) Thế Px,y — &w,z- Chứng minh, Ta có w = st, z = yt vái s,t G s~1 Giả sử u G ưXy, xuy = xy nên u;/// = (sx)u(yt) = s(xuy)t = sxyt = wt Do ĨJ> G Uw,t- B Từ Bỗ đề 2.1.4 trực tiếp suy 2.1.14 2.1.15 Hệ wJPx, zồ£y s ưXy = ưwz Bổ đề OiảsửS =y(G;I, A; JP) lờ, nửa nhóm Rixxl nhâm, G Oi,ả sửx, y G s Thế ưXy ỉà đường hoành J4? - lớp s Chứng rmnh, Giả sử X = (i,ữ,À), y = (J, 6, ỳ) G s Giả thiết * = (k,c,v) c Ưx.y Thế (k,c,v) (j,b,y) = (i,ữ,A) nghĩa (?;, npxkCpjvby ụ,) = (ý ơ/pẰjby ịì) Suy P\kcpvj = P\j, từ 2T = Đảo lại, với Ả; G /, ?; G A, phần tử (k,p\£p\jp~j ,v) G UXy nên £4,í/ = I kel,ve A} 17 minh Bổ đề 2.1.15 Do đơn giản ký hiệu cách viết ư\j thay cho ưXyy Như ư\j = ưạ^x)(j t b,ụ) i G /, ỊI G A a,b G G 2.1.17 Chú ý Giả sử s nửa, nhóm e lũy đẳng s s Khi eSe gọi vị nhóm địa phương Nliórn phần tử khả nghịch eSe ký hiệu Ge (e G E(S)) nhóm tối đại s Ge lớp chứa e s Sau nạy quan tâm tới vị nhóm eSe cửa nửa nhóm s, quy e lũy đẳng thuộc RP(S) Định lý 2.1.19 đưa kết liên quan đến nhóm Ge vổi e G RP(S) Trước hết, xin nhắc lại số kết [5] 2.1.18 Bo đề Giả sử s nửa nhóm a G RP{S) Khi đó: (ỉ) Nếu h G s cho a G bS n Sb b G RP( S) (ii) Nếu a G RP(S) Ha c RP(S) Ha rKG - lớp chứa a s 2.1.19 Định lý Giả sử s nửa nhóm, chính, quy, e lũy đẳng RP(S) Ge nhóm phồn tử khả nghịch eSe Thế Ge c e(RP{S))e G Chứng minh Giả sử X G e Thế X tương đương với e X G RP(S) theo Bổ đề 2.1.18 Như X = exe G e(RP(S))e s\ 18 nhóm với phần tử không Tiết trình bày điều kiện liên quan đến nửa nhóm orthodox 2.2.1 Định nghĩa ký hiệu Suốt tiết này, chứng ta giả thiết / A tập hợp, G nhóm với đơn vị p = (pẰi ) A X I - ma trận G Đối với A GA (ị G /) chứng ta ký hiệu dòng thứ A (cột thứ i) p Bow\(P) (tương ứng, C()lj {P)) Thế định nghĩa quan hệ '■V' dòng P quy tắc: A,ỊI G A, Bowx(P) ~ Baw,(P) «=>3g G G: pxk = gPịxk, V7c G I Tương tự, ta định nghĩa quan hệ rJ tập hợp cột jPbỏi quy tắc: 2, j G /, Coli(P) rJ Colj(P) 3h G G: Pù =pvjh, Vu G A Hai quan hệ 'v/ hai quan hệ tương đương Nếu Bơwx(P) ~ Bon ụ(p) (Colj(P) Colj(P)) nói Bou\{P) tỷ lệ trái RƠWỊX{P) (tương ứng, Colị(p) tỷ lệ phải Colj(P) ), hay đơn giản hơn: hai dòng (cột) tỷ lệ trái (tỷ lệ phải) với Đối với A, ịi G A và2, j G /, xác định phần tử a\ụij qxị_àj :=pxipị2PfijP\j2.2.2 Bổ đề (ì) Giả sử A, ịi G A Thế Bowx(P) ~ BOWỊX(p) A=>- QXịũj = 1, V2, j G I (ii) Giả sửi,j G / Thế Coli(p) = Colj(P) qXfxij — 1, VA, /i G A Chứng rrủrứi (i) Giả thiết Bơw\ (P) ~ BowịX(P) Thế có g G G cho PA/C = Vfc G / Như vậy, tất 2, j G / ta có = P\ÌPÌ1ÌPMP\Ị= {ỊfP)ụ.iP~^Pụ.j{9PTụ.Ị = !• Đảo lại, giả sử [...]... Hartwing và K s s Nambooripad đồng thời đã đưa ra thứ tự sau đây, mà trong luận văn này được gọi là thứ tự Hartwing Nambooripad 2.1.2 Định nghĩa Giả sử S* là một nua nhóm và iNà tập hợp các lũy đẳng cửa s Thế thì quan hệ < trên là một thứ tự bộ phận trên s s cho bởi X < y (Be, / E E) : X = ey = fy (xem [4] và [8]) Thứ tự này được gọi là thứ tự Hartĩiĩlng - Narrihxyripaả trên nửa nhóm chính quy s Chú... rằng cái thu hẹp của thứ tự đó là thứ tự bộ phận tự nhiền trên E (xem 1.1.7) Hơn nữa, nếu quy của RP(S) tối đại trong s chính quy với RP(S) 7^ 0 tin mỗi phần tử chính s dưới thứ tự Hartvùng - Nambooripad trên Kết quả sau đây sẽ được sử dụng sau này 2.1.3 Mệnh đề ([3, Bổ đề 2.1]) Gi,ảsử< là thứ tự Harừimng - Nam- boơripad trên nửa nhóm chỉnh quy S; X, Ịj G y Thế thì X < 1.2.4 s và ý ỉa tiền nghịch đảo...12 CHƯƠNG 2 THỨTựHAKTWENG- NAMBOORIPAD TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY VÀ ƯNG DỤNG 2.1 THỨ Tự HAKTYVTNG - NAMBOORIPAD TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY 2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu Rcg(S) là tập hợp tất cả các phần tử chính quy cửa s Giả sử là rríột nửa nhóm Ký hiệu = ịa £ s I 3.7; £ s : axa = a} Vrá mỗi pliần tử a E s\ phần tử b G s được gọi... Hệ thống các kiến thức cơ sở về nửa nhóm như nhóm con các phần tử khả nghịch trong vị nhóm, các quan hệ Grin trong nửa nhóm đơn, nửa nhóm các ma trận Rixơ trên một nhóm và Định lý Rixơ 2 Trình bày quan hệ thứ tự Hartvrìg - Nambooripad trên một nửa nhóm chính quy và các tính chất của nó (Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.19) 3 Trình bày một tính chất cửa nửa nhóm các ma trận Rixơ trên một nhóm (Định lý 2.2.11)... A; P) là nửa nhóm Rixơ, trong đó T là vị nhóm chính, quy với nhóm các phần tử nghịch G và p là I X A - ma trận đệm với cấc thành phần trong G Thế thì thứ tự Hartuig - Namhooripad trên s là RP - hòa hợp nếu và chỉ nếu thứ tự Hartuúg - Namhooripad trên G là RP - hòa, hợp Chứng minh, Giả thiết rằng thứ tự trên s là RP - hòa hợp và a, h E T; ợ, h, G G sao cho a, < Cỹ, ỉ) < h Chọn ỉ E /, A E A và xét các... Định lý 2.1.12 và Định lý 2.3.10 ■ 25 và chỉ 'nếu vị nhàm chính, quy T là nửa nhóm ư - chỉnh quy duy nhất Ch,ÍỂng minh, Giả sử s là RP- trội và a G T Chọn i G / và A GA Thế thì (i, a, A) G s Do đó (Ạ, a, A) < (j, gì ỳ) vái g G G và j G / và g GA nào đó, và từ đó theo Định lý 2.3.10, a < g Do đó T là nửa nhóm £/- chính qny Bậy giờ giả sử A là nhóm iTP - trội duy nhất và a G TỊ, g < G như trên sao cho... tử thuộc một nửa nhóm tlù ta nói rằng a hảo toàn tính chỉnh quy cùn, X (a preserves the regulaĩity of x) nếu X chính quy trong (S, a) 13 Nếu s là nửa nhóm chính quy và RP(S) khác rỗng, thế tin RP(S) là một nửa nhóm con đơn hoàn toàn của S: trong trường hợp này tacóữG RP(S) (S\ d) là nửa nhóm chính quy Nếu s toàn thì mỗi kiểu của s là chính quy, do đó s = RP(S) nếu và chỉ nếu là nửa nhóm đơn hoàn Năm... {(1, e, 1) I e G E(T)} I s < (1,1,2)} = {(1, e, 2) I e G E(T)} Suy ra thứ tự Hartvứng - Nanìbooipad trên s là RP - hòa họp Kết quả sau đây là một sự tổng quát hóa của Định lý 3.1 của [2] khi áp dụng cho nửa nhóm chính quy 2.1.11 Định lý Giả sử T là một vị nhóm ớúnh, quy Thế thì thứ tự trên T là RP - hòa hợp nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm ơrthodox 16 cho X < g, y < h Thế thì theo Bổ đề 2.1.5, g~Ả G Pre(x),... nlióm chính quy với nhóm con các phần tử khả nglụch G thế thì điều kiện đối với tính RP - hòa hợp của thứ tự trên T trở thành (Vr, yeT) (Vgr, h^G) X < g,y < h^xy < gh 2.1.10 Ví dụ Giả sử T =< a, b I ah = 1 > là nửa nhóm byclic và / = A = {1,2} Khi đó Tlà nửa nhóm ngược song đơn Giả sử s =y(T;I, A; p) là nửa nhóm Rixơ với ma trận đệm p = ^ Thế thì s là nửa nhóm chính quy vổi RP(S) 7^ 0, và thứ tự Hartvving... nghĩa Nửa nhóm s được gọi là mỉa nhóm orthodox nếu là nửa nhóm chính quy và tập hợp các lũy đẳng E cửa của s Theo định nghĩa, nếu s s là nửa nhóm con s là nửa nhóm ngược thì s là nửa nhóm chính quy s Vbi mỗi phần tử a cửa nhm nhóm s\ ký hiệu V(a) = {6 E a, bab = 6} là tập hợp tất cả các phần tử ngược của a trong nhóm orthodox thì V(a)V(6) c l/(a6),Va, 2.1.7 Bổ đề Giả sử s s Nếu h G s Tương tự nhận được: ... nửa nhóm ma trận Rixơ quy nhóm với phần tử không - đơn hoàn toàn Định lý 1.2.4 12 CHƯƠNG THỨTựHAKTWENG- NAMBOORIPAD TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY VÀ ƯNG DỤNG 2.1 THỨ Tự HAKTYVTNG - NAMBOORIPAD TRÊN... [8]) Thứ tự gọi thứ tự Hartĩiĩlng - Narrihxyripaả nửa nhóm quy s Chú ý thu hẹp thứ tự thứ tự phận tự nhiền E (xem 1.1.7) Hơn nữa, quy RP(S) tối đại s quy với RP(S) 7^ tin phần tử s thứ tự Hartvùng... nhóm RP - trội nhất, = RP(S) quan hệ thứ tự Hartwing Nambooripad quy quan hệ Hơn nữa, vị nhóm quy RP - trội (RP - trội nhất) - quy (tương ứng, - quy nhất) 2.1.5 Bổ đề Oi,ả sửT vị nhóm chỉnh quy