Cung tham số, cung chính quy, cung song chính quy và ứng dụng

Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống và phân dạng các dạng bài tập một cách chi tiết nhất về cung tham số, cung chính quy và cung song chính quy.. Nhiệm vụ ng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em

Đặc biệt là thầy Trần Văn Nghị thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt

đề tài về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trần Thanh Hải

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân

và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Nghị

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiêm cứu của một nhà khoa học Em xin khẳng định kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất kì đề tài nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trần Thanh Hải

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

0.1 Không gian vectơ Euclide 3

0.2 Một số hệ tọa độ thường dùng 4

0.3 Giải tích vectơ 6

Chương 1 CUNG THAM SỐ 10

1.1 Định Nghĩa 10

1.2 Ví dụ 10

1.3 Một số dạng bài tập 11

Chương 2 CUNG CHÍNH QUY 24

2.1 Cung chính quy 24

2.2 Độ dài và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy 25

2.3 Độ cong của cung chính quy và ý nghĩa hình học của độ cong 28

2.4 Một số dạng bài tập 30

Chương 3 CUNG SONG CHÍNH QUY 49

3.1 Định nghĩa 49

3.1.1 Cung song chính quy 49

3.2 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong 3 51

3.3 Một số dạng bài tập 52

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toán hình học Ở đó các khái niệm về cung chính quy và cung song chính quy là những khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết đường trong  3

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống và phân dạng các dạng bài tập một cách chi tiết nhất về cung tham số, cung chính quy và cung song chính quy

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là cung tham số, cung chính quy và cung song chính quy

b) Phạm vi nghiêm cứu

Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về cung tham số, cung chính quy và cung song chính quy

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập về cung tham số, cung chính quy và cung song chính quy

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 4 chương:

Chương 0: Kiến thức chuẩn bị Chương 1: Cung tham số

Chương 2: Cung chính quy Chương 3: Cung song chính quy

Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1 Không gian vectơ Euclide

Điểm M   n có tọa độ (x ,1 x ,…,2 x ) đối n

với mục tiêu trên có nghĩa là

1

n i i i

1 2

Ox x x n

Khi cơ sở (e1

,e2,…,en

) là trực chuẩn, tức là

0

0.2 Một số hệ tọa độ thường dùng

0.2.1 Hệ tọa độ Descartes

Một hệ tọa độ Descartes Oxy xác định vị trí một điểm trên mặt phẳng

cho trước bằng một cặp số x y Trong đó x và y là giá trị được xác định , 

bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo) Hai đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (hay đơn giản là trục) Trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục nằm dọc gọi là trục tung, điểm giao nhau của hai trục gọi là gốc tọa độ và có giá trị là 0,0 

P O Giả sử M là điểm của P , có tọa độ Descartes M x y ,  có thể

đặt tương ứng M với cặp số mới ( , ) r  theo cách sau đây:

M r  hoặc M r, Số r gọi là bán kính cực của M , còn  gọi là góc

cực của M Từ định nghĩa suy ra rằng 02

Rõ ràng ta có:

2 2

cossin

0.2.3 Hệ tọa độ trụ trong không gian

Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong 3 Xét 3  

0.2.4 Hệ tọa độ cầu trong không gian

Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong  Xét 3 3  

\

Có thể cho ứng mỗi điểm M x y z , , U với một bộ ba số mới r, ,  theo

z





Bộ số r, ,  được xác định như trên gọi là tọa độ cầu của M đối với

hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz và viết M r , ,  hay M r, , 

(trong tọa độ cầu) Rõ ràng r  , 00 2,

tự như tên của quy tắc xác định nó

0.3.3 Giới hạn của hàm vectơ

khi x tiến đến p trên U nếu có  0 để khi d x p ,  thì

thì  liên tục tại p Nếu 

liên tục tại mọi p Uthì 

liên tục trên U

tại p tương đương với i liên tục tại p

0.3.4 Đạo hàm của hàm vectơ một biến

Kí hiệu J là khoảng, đoạn, nửa khoảng của (kể cả trường hợp J có

mút  hay  ) và được gọi là khoảng tổng quát của Xét hàm vectơ

Một cách tổng quát có thể định nghĩa đạo hàm cấp cao theo quy nạp: giả

sử  k xác định tại lân cận t thì 0  k là một hàm vectơ tại lân cận đó và giả

sử hàm này có đạo hàm tại t , kí hiệu là 0  1 

Ta nói  khả vi lớp C tại k t nếu tồn tại các đạo hàm cấp 1, 2 , , k tại 0

lân cận của t0 và  k liên tục tại t0

0.3.5 Nguyên hàm và tích phân của hàm vectơ một biến

k k

Chương 1 CUNG THAM SỐ 1.1 Định Nghĩa

Cho J là một khoảng trong Mỗi ánh xạ :J   gọi là một cung n

tham số trong n Tập điểm  J gọi là ảnh của cung đó và J được gọi là miền tham số của 

Lấy điểm O cố định trong n, ta gọi hàm vectơ

( ,a b  ,0 O e e, , 1 2

là một mục tiêu trực chuẩn của 2 Tùy theo a  hay 0 a  mà ảnh của nó là 0nhánh phải hay nhánh trái của hypebol

7) Cung đinh ốc nón:  t acos , sin ,t t t t a0 (tọa độ ở đây là tọa

độ Descartes vuông góc trong 3) Ảnh của cung nằm trên mặt nón tròn xoay

0

x  y z 

1.3 Một số dạng bài tập

Dạng 1 Tìm ảnh của cung trong hệ tọa độ Descartes

Bài 1 Trong 2, cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy Xác định ảnh của

cung tham số : J   , 2  t x t   ,y t  cho bởi công thức:

2 2

2 2

2

x t

2

y t

a b  (H) Vậy  J nằm trên hypebol (H)

Ngược lại, nếu điểm M x y  ,   H thì x y 0

11

1

11

Ngược lại cho điểm M x y  ,   E , M   a,0 thì có  để x cos

a   , sin

11

b  t (công thức lượng giác của

cung chia đôi) hay  

2 2

11

d) Khử tham số t như sau: Với t 0 ta đặt 1 2

1

t x

11

t t

, c)  t Ochte1shte2

Dạng 2 Tìm ảnh của cung trong hệ tọa độ cực

Bài 1 Trong E2, cho hệ tọa độ cực r,, gốc O Tìm ảnh của cung tham số

b) Đổi

cos

a r



 thành cosr  a hay sang tọa độ Descartes xa

Suy ra ảnh  J là một đường thẳng song song với trục Oy

c) Đổi

cos

b r

Dạng 3 Tìm quỹ đạo chuyển động của một chất điểm

Bài 1 Trong E2, cho hệ tọa độ Descartes Oxy Một đoạn thẳng có độ dài 2a

a 0 chuyển động có 2 đầu mút A và B chạy trên hai trục tọa độ 'Ox x , '

y Oy Gọi M là hình chiếu vuông góc của điểm gốc O trên đoạn thẳng đó

Tìm quỹ đạo của điểm M



sin

r OB

Đây là phương trình quỹ đạo theo tọa độ cực

Đổi ra hệ tọa độ Descartes ta được  2 23 2 2 2

Bài 2 Trong  , cho hệ tọa độ Descartes Oxy Một điểm M cố định trên

đường tròn   tâm I, bán kính R Tìm quỹ đạo của điểm M khi   lăn không trượt

a) trên trục tọa độ 'x Oy ,

b) trên và bên ngoài một đường tròn,

c) trên và bên trong một đường tròn

Giải

a) Ta định hướng 2 bởi cơ sở e e 1, 2

chỉ hướng Ox và Oy Gọi P là hình chiếu vuông góc của I lên 'Ox x Gọi t là góc định hướng giữa IM

và IPtheo hướng e e 1, 2

nếu M nằm ở phía dương của Ox

Còn khi M nằm ở phía âm của Ox thì t là góc giữa IM

và IP

theo hướng e e 1, 2

Vậy khi M nằm ở phía dương của Ox thì lấy, còn khi M

nằm ở phía âm của Ox thì lấy t 0 Khi đó OP là độ dài cung tròn MN nhìn

Bài 3 Trong  cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz , một đường thẳng

song song với trục Oz và cách Oz một khoảng cách a 0 Đường  quay

xung quanh Oz theo một vận tốc v không đổi Tìm quỹ đạo của điểm P chạy

trên  theo quy luật:

a) Vận tốc của P không đổi

b) Vận tốc của P tại mỗi điểm tỉ lệ với khoảng cách từ P tới mặt phẳng Oxy

Giải

a) Lấy điểm xuất phát từ P là A1,0,0 Gọi P là hình chiếu vuông góc của 0

P lên mặt phẳng Oxy Khi đó, tại thời điểm t ta có:

ℓ

A

hệ này được gọi là một cung

Nếu ' t 0 ta nói  là phép đổi tham số bảo tồn hướng hay  và 

cùng hướng Nếu ' t  thì ta nói 0  là phép đổi tham số đảo hướng hay 

và  ngược hướng Quan hệ tương đương ở đây là quan hệ tương đương theo

lí thuyết tập hợp Mỗi lớp tương đương theo quan hệ đó gọi là một cung định

diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó

2.1.3 Điểm chính quy, điểm kì dị

Cho cung  có tham số hóa :J   Điểm n  t0 gọi là điểm chính

quy của  nếu ' t0 0

Nếu điểm  t0 không là điểm chính quy thì  t0

được gọi là điểm kì dị

2.1.4 Cung chính quy, tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện

Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là cung

chính quy

Giả sử  t0 là điểm chính quy của cung 

Tiếp tuyến của  tại  t0 là đường thẳng đi qua  t0 có vectơ chỉ phương là ' t 0

Pháp tuyến của  tại  t0 là đường thẳng đi qua  t0 và vuông góc với tiếp tuyến

Pháp diện của  tại  t0 siêu phẳng đi qua  t0 và vuông góc với tiếp tuyến tại  t0

2.2 Độ dài và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy

Hình 6

Cho cung :a b,  n (cung đoạn) Chia a b thành những đoạn bởi , 

dãy điểm at0 t1 t k b rồi lập tổng    1

tập số này có cận trên đúng (tức là supremum) Ta gọi cận trên đúng này là độ

dài của cung đã cho và kí hiệu là   

Định lí Nếu cung :[ , ]a b En khả vi tới lớp C (tồn tại đạo hàm1  '

liên tục trên một đoạn a b nên , 

nó liên tục đề trên đoạn đó Do đó với   đã cho có thể tìm được 0   để 0

b k

Một tham số hóa :r J   , n sr s  của một cung chính quy  gọi là

một tham số hóa tự nhiên của nó nếu r s  s'  1  J (còn gọi là tham số

hóa độ dài cung)

2.3 Độ cong của cung chính quy và ý nghĩa hình học của độ cong

Công thức tính độ cong của cung chính quy trong 3

Cho cung chính quy với tham số hóa bất kì : J   , 3 t p t  Lấy một tham số hóa tự nhiên của nó 3  

r I   sr s mà : J I là phép

đổi tham số từ t sang s thì : r ,  s t

2 2

2 2

Dạng 1 Tìm điểm chính quy của một cung

Bài 1 Cho cung  có tham số hóa tự nhiên là t   t  acos ,a sint t ,

Do đó, ' t  Vậy  không có điểm kì dị 0

Bài 2 Trong E3, cho cung  có tham số hóa tự nhiên

Do đó, ' t  Vậy cung  là cung chính quy 0

Dạng 2 Tìm tham số hóa tự nhiên của cung chính quy

Bài 1 Chứng minh rằng mọi cung chính quy (kể cả cung chính quy định hướng) đều có tham số hóa tự nhiên

Vậy mọi cung chính quy đều có tham số hóa tự nhiên

Bài 2 Tìm tham số hóa tự nhiên của cung trong 3 có biểu thức tọa độ

  t acos ,a sin ,t t bt

Giải Cách 1 Ta có '  t  asin , cos ,t a t b





Do đó, tham số hóa tự nhiên của cung là

Dạng 3 Tính độ dài của cung chính quy

Bài 1 Xét cung trong 2 xác định bởi t   t xx t , y t  trong hệ

tọa độ Descartes vuông góc Oxy Hãy tính độ dài của cung đoạn xác định bởi

t t

t t

0 0

2 2

t t

0 0

2 2

t t

1 0

1

t

t t t

1 0

t

t t t

Bài 2 Trong  , tính độ dài cung đoạn có biểu thức tọa độ Descartes sau đây: 3

a)    sin , 1 cos , 4 cos

Dạng 4 Tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện

Bài 1 Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz của 3, cho cung đinh ốc tròn  xác định bởi t  t  acos ,a sin ,t t bt a0,b0

a) Viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng trực đạc tại mỗi điểm,

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nghiêng một góc không đổi với mặt phẳng Oxy còn các pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz , 

c) Xác định ảnh của cung xác định bởi t  t  t cB t 

Vậy w

có dạng w ' ''  asintacos ,t acost asin ,t b

thoả mãn điều kiện:

Vậy sin const hay các pháp tuyến chính của nó tạo với mặt phẳng tọa

độ Oxy một góc  không đổi

Từ phương trình của pháp tuyến chính ta thấy nó luôn đi qua điểm 0,0,bt 

(cho   ) Do đó, các pháp tuyến chính luôn cắt Oz với mọi t a

c) Theo phần trên, vectơ chỉ phương trùng pháp tuyến chính là

Bài 2 Xét hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trong mặt phẳng 2 và cung

 trong  xác định bởi 2 t t x t   ,y t  và giả sử  có tiếp tuyến tại mọi điểm Đặt M  t , gọi P là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành Ox , T và N theo thứ tự là giao điểm của Ox với tiếp tuyến và pháp tuyến của  tại M (giả sử có các giao điểm điểm đó) (xem hình 7)

a) Tính PT (tiếp ảnh), PN (pháp ảnh), tính độ dài các đoạn thẳng MT , MN

b) Tìm  sao cho pháp ảnh tại mọi điểm bằng a  không đổi, 0

c) Tìm  sao cho tiếp ảnh tại mọi điểm bằng a  không đổi, 0

d) Tìm  sao cho độ dài đoạn thẳng MN a không đổi, 0

e) Tìm  sao cho độ dài đoạn thẳng MT a0 không đổi

T

y t x t x t y t x

y t y

N d Ox, suy ra tọa độ của N là nghiệm của hệ phương trình

0

N

N

x t x t y t y t x

x t y

b) Để pháp ảnh tại mọi điểm bằng a 0 không đổi tức là PN a không 0

đổi, điều này tương đương với    

c) Để tiếp ảnh tại mọi điểm bằng a  không đổi tức là 0 PT a không 0

đổi, điều này tương đương với    

ye C

Vậy  là đường tròn tâm Ic,0, bán kính R=a

e) Độ dài đoạn thẳng MT a0 không đổi, điều này tương đương với

1 tantan





tan2

a) Gọi  là cung chính quy trong  không đi qua O và tiếp tuyến tại mọi 2

điểm của nó đi qua O Chọn (0,0) O là gốc tọa độ của mỗi mục tiêu trong 

Giải sử M   có tọa độ M x t y t      Vì M  nên 0 x t   ,y t  Ta 0

có phương trình tiếp tuyến tại M của  là:

 Do tiếp tuyến tại

M đi qua O nên nếu x t  hoặc   0 y t    0

thuẫn với giả thiết M 0 vậy x t và   y t  Nên từ   0  

Giả sử M   có tọa độ M x t y t      Vì M  nên 0 x t   ,y t  0

Phương trình pháp tuyến tại M của  là:

Chương 3 CUNG SONG CHÍNH QUY 3.1 Định nghĩa

3.1.1 Cung song chính quy

Cho cung  có tham số hóa :J En, t t Điểm  t0 được

gọi là điểm song chính quy nếu ' t 0 và " t 0 độc lập tuyến tính

Nếu mọi điểm của cung đều là điểm song chính quy thì cung đó đuợc gọi là

cung song chính quy

thẳng b đi qua  t0 vuông góc với cả  và p gọi là trùng pháp tuyến của

cung tại  t0 (“trùng” là hai lần vuông góc)

Mặt phẳng chứa p và b được gọi là mặt phẳng pháp diện

Mặt phẳng chứa  và p được gọi là mặt phẳng mật tiếp

Mặt phẳng chứa  và b được gọi là mặt phẳng trực đạc

Gọi T N B là trường mục tiêu Frénet dọc  , coi nó là trường mục tiêu , , 

dọc theo cung tham số r và coi độ cong, độ xoắn của  là hàm dọc theo r (tức hàm số trên I ) thì công thức Frénet cho:

Để tính độ xoắn , ta hãy tính ''' '''  Do ' '' cùng phương với

B nên để tính  ''' '''  , chỉ cần xét thành phần chứa B trong khai 