Một số tính chất của hàm biến phân chính quy và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- LƯƠNG THỊ MỸ HẠNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BIẾN PHÂN CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LƯƠNG THỊ MỸ HẠNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BIẾN PHÂN CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương Pháp Tốn Sơ Cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng năm 2020 Tác giả Lương Thị Mỹ Hạnh LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS Lê Văn Dũng - người tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn thạc sỹ Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giảng dạy cho em suốt kỳ học thạc sỹ vừa qua, kiến thức mà em tiếp thu tạo cho em tảng vững đường nghiên cứu khoa học Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến tất bạn bè, gia đình, người bên động viên giúp đỡ em vượt qua hồn thành khóa học Lương Thị Mỹ Hạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Những kí hiệu dùng luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1.1.1 Không gian mẫu biến cố 1.1.2 Xác suất biến cố 11 1.1.3 Xác suất có điều kiện 13 1.1.4 Các biến cố độc lập 13 1.1.5 Cơng thức xác suất tồn phần công thức Bayes 14 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT 14 1.2.1 Biến ngẫu nhiên 14 1.2.2 Hai loại biến ngẫu nhiên 14 1.2.3 Hàm phân phối xác suất 16 1.2.4 Kì vọng 16 1.2.5 Phương sai độ lệch chuẩn 17 1.2.6 Trung vị 17 1.2.7 Mốt 17 1.2.8 Biến ngẫu nhiên độc lập 18 1.2.9 Một số phân số xác suất quan trọng 18 1.2.10 Các định lí giới hạn 21 CHƯƠNG HÀM BIẾN PHÂN CHÍNH QUY 23 2.1 LÝ THUYẾT KARAMATA 23 2.2 TÍNH CHẤT VỀ GIỚI HẠN 27 2.3 TÍNH CHẤT VỀ TÍCH PHÂN 2.4 LÝ THUYẾT TAUBERTAN 28 34 2.4.1 Ánh xạ Laplace - Stieltjes 34 2.4.2 Dãy số 35 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 37 3.1 GIỚI THIỆU 37 3.2 MỘT SỐ BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG 38 3.3 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 39 3.4 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm biến phân quy khái niệm trừu tượng Để nắm kiến thức hàm biến phân quy địi hỏi người học phải có tư logic, khả sáng tạo biết xâu chuỗi nhiều đơn vị kiến thức Trong chương trình phổ thơng, kiến thức hàm biến phân quy đề cập thơng qua nội dung đạo hàm tích phân Kiến thức hàm biến phân quy phổ thơng định nghĩa, phép tốn để vận dụng giải số toán đạo hàm tích phân Đây phần kiến thức hàm biến phân quy ứng dụng hàm biến phân quy Ngồi ứng dụng giải tích, hàm biến phân quy cịn có ứng dụng vật lý, đạo hàm tích phân Kiến thức hàm biến phân quy công cụ hữu hiệu việc giải tốn đạo hàm, tích phân, tổ hợp xác suất, Hàm biến phân quy vận dụng để giải toán thực tế sống Là giáo viên trường trung học phổ thông với mong muốn tìm hiểu sâu sắc hàm biến phân quy ứng dụng hàm biến phân quy nhằm có nhìn tồn diện hàm biến phân quy từ đưa cách truyền đạt để học sinh nắm bắt tiếp cận kiến thức đạo hàm tích phân cách tồn diện, dễ dàng tơi định chọn đề tài "Một số tính chất hàm biến phân quy ứng dụng" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức hàm biến phân quy, tính chất hàm biến phân quy ứng dụng - Hệ thống phân loại số tốn giải cách sử dụng kiến thức hàm biến phân quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức hàm biến phân quy - Các tốn giải cách sử dụng kiến thức hàm biến phân quy Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến hàm biến phân quy Nghiên cứu, phân tích tài liệu để thực luận văn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành tốn, giáo viên phổ thơng đối tượng quan tâm đến hàm biến phân quy Cấu trúc luận văn A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Cơ sở lý thuyết xác suất 1.1 Xác suất quy tắc tính xác suất 1.2 Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Chương 2: Hàm biến phân quy 2.1 Lý thuyết Karamata 2.2 Tính chất giới hạn 2.3 Tính chất tích phân 2.4 Lý thuyết Taubertan Chương 3: Ứng dụng lý thuyết xác suất 3.1 Giới thiệu 3.2 Một số bổ đề quan trọng 3.3 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập 3.4 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi C Kết luận 49 Tn ′ ′ = P(| ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))| > ε) ∩ (Tn ≤ mn ) k=1 Tn ′ ′ + P(| ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))| > ε) ∩ (Tn > mn ) k=1 Tn ′ ′ ≤ P( max | ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))| > ε) + P(Tn > mn ) 1≤k≤mn k=1 Áp dụng bất đẳng thức Markov Bổ đề 3.6 ta được: mn ′ ′ ′ − E(Xnk ))|2 ) + P(Tn > mn ) P(|Sn | > ε) ≤ E( max | ∑ cnk (Xnk 1≤k≤mn ε k=1 P(|Sn′ | mn c ′ ′ > ε) ≤ ln (4n) ∑ E(cnk ((Xnk − E(Xnk )))2 ) + P(Tn > mn ) ε k=1 mn c ′ ′ − E(Xnk ))2 + P(Tn > mn )) ≤ ln (4n) ∑ c2nk E(Xnk ε k=1 mn c ′ ′ ) )) + P(Tn > mn )) ≤ ln (4n) ∑ c2nk (2E((Xnk ) )) + E(E((Xnk ε k=1 mn c ′ ) ) + P(Tn > mn )) ≤ ln (4n) ∑ c2nk E((Xnk ε k=1 = mn c ln (4n) c2nk E(((Xnk )2 )I(|cnk Xnk | ≤ 1)) + P(Tn > mn )) ∑ ε k=1 = mn c 2 ln (4n) )) + P(Tn > mn )) c E(((X ) )I(|X | ≤ nk nk ∑ nk ε2 |C | nk k=1,cnk=0 Áp dụng Bổ đề 3.1 Với q = t = P(|Sn′ | > ε) ≤ εc2 ln2 (4n) = εc2 ln2 (4n) mn ∑ k=1,cnk =0 mn ∑ |cnk | (cnk c2nk ( c12 P(|X| ≥ nk (P(|X| ≥ k=1,cnk =0 = 0)ta được: |cnk | ) + E(X I(|X| 2 |cnk | ) + cnk E(X I(|X| ≥ ≥ |cnk | ))) + P(Tn |cnk | ))) + P(Tn > mn ) > mn ) Mặt khác: P(|Sn′ | > ε) ≍ εc2 ln2 (4n) ≍ εc2 ln2 (4n) ≍ εc2 ln2 (4n) P mn ∑ mn ∑ k=1,cnk =0 (|cnk |r l( |c1nk | ) + |cnk |r l( |c1nk | )) + P(Tn > mn ) k=1,cnk =0 mn ∑ (|cnk |r l( |c1nk | ) + c2nk |cnk |r−2 l( |c1nk | )) + P(Tn > mn ) (|cnk |r l( |c1nk | ) + P(Tn > mn ) k=1,cnk =0 Vậy: Sn′ −−−−→ n → ∞ 50 P * Tiếp theo ta chứng minh Sn′ −−−−→ Với ε > bé tùy ý: Tn P(|Sn′′ | ′′ ′′ > ε) = P(| ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))| > ε) k=1 Tn ′′ ′′ = P(| ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))| > ε) ∩ (Tn ≤ mn ) k=1 Tn ′′ ′′ + P(| ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))| > ε) ∩ (Tn > mn ) k=1 mn ′′ − E(′′nk ))| > ε) + P(Tn > mn ) ≤ P( max | ∑ cnk (Xnk 1≤k≤mn k=1 Áp dụng bất đẳng thức Markov Bổ đề 3.6 ta được: mn ′′ ′′ P(|Sn′′ | > ε) ≤ E( max | ∑ cnk (Xnk − E(Xnk ))|) + P(Tn > mn ) ε 1≤k≤mn k=1 mn ′′ ′′ − E(Xnk ))| + P(Tn > mn ) P(|S”n | > ε) ≤ ∑ E|cnk ((Xnk ε k=1 mn ′′ ′′ ≤ ∑ |cnk |E|(Xnk − E(Xnk ))| + P(Tn > mn ) ε k=1 mn ′′ ′′ ≤ ∑ |cnk |(E(Xnk ) + E(E(Xnk ))) + P(Tn > mn ) ε k=1 mn ′′ ) + P(Tn > mn ) ≤ ∑ |cnk |E(Xnk ε k=1 mn = ∑ |cnk |E|Xnk I(|cnk Xnk | > 1)| + P(Tn > mn ) ε k=1 1 mn |cnk |E|Xnk I(|Xnk | > )| + P(Tn > mn ) = ∑ ε k=1,cnk =0 |cnk | Áp dụng Bổ đề 3.1 với p = t = P(|Sn′′ | > ε) ≤ c ε mn ∑ k=1,cnk =0 |cnk | )(cnk |cnk |E(|X|I(|X| > = 0) ta được: |cnk | )) + P(Tn > mn ) Mặt khác: P(|Sn′ | ≍ c ε > ε) ≍ mn ∑ k=1,cnk =0 c ε mn ∑ k=1,cnk =0 |cnk ||cnk |r−1 l( |c1nk | ) + P(Tn > mn ) |cnk |r l( |c1nk | ) + P(Tn > mn ) → n → ∞ P Vậy: Sn′′ −−−−→ n → ∞ 51 Ví dụ 3.3 Cho < r < Xét dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) liên tục, độc lập đơi có phân bố xác suất với hàm mật độ xác suất chung: f (x) = r xr+1 x ≥ x < Ta có E(|X1 |r I(|X1 | ≤ x)) = x < E(|X1 |r I(|X1 | ≤ x)) = ln x x ≥ H(x) = E(|X1 |r I(|X1 | ≤ x)) = hàm biến phân chậm Xét (Tn ; n ≥ 1) dãy biến phân độc lập với (Xn ; n ≥ 1), có phân bố Poisson với tham số λ > 0, tức là: k P(Tn = k) = e−λ λk! , k ∈ R Khi P(Tn > k) → k → ∞ Xét dãy số (cnk ; ≤ k ≤ n, n ≥ 1) với cnk = ln(n)k với ≤ k ≤ n Ta có: n ln3 (4n) )) ≤ c sup( x) ≍ x ln x −r −∞ Xét (Tn ; n ≥ 1) dãy biến phân độc lập với (Xn ; n ≥ 1), có phân bố Poisson với tham số λ > Khi đó: P(Tn > k) → k → ∞ 52 Xét dãy số (cnk ; ≤ k ≤ n, n ≥ 1) với cnk = Ta có: n (4n) ln2 (4n) ∑ |cnk |r l( |c1nk | ) ≤ c lnnr−1 → n → ∞ Vậy: k=1 Tn ln(n) P ∑ 1k (Xk − E(X1 )) −−−−→ n → ∞ k=1 ln(n)k với ≤ k ≤ n 53 KẾT LUẬN Trong luận văn thực công việc sau: - Hệ thống lại sở lý thuyết xác suất - Nghiên cứu hàm biến phân quy áp dụng vào nghiên cứu hội tụ theo xác suất tổng ngẫu nhiên có trọng số dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mô men tuyệt đối cấp r vô hạn với < r < Đối với trường hợp < r ≤ biến ngẫu nhiên không cần giả thiết độc lập, nên luận văn không xét Luận văn đưa ví dụ minh họa cho kết thu Một phần luận văn công bố báo Luật số lớn tổng ngẫu nhiên có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men cấp r vơ hạn, Tạp chí khoa học, Trường Đại Học Sư Phạm-ĐH Đà Nẵng,30(04),1-7 Mặc dù cố gắng thời gian khả có hạn nên khơng thể tránh thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hồ Minh Châu, Lê Văn Dũng, Lương Thị Mỹ Hạnh (2018),Luật số lớn tổng ngẫu nhiên có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men cấp r vơ hạn, Tạp chí khoa học, Trường Đại Học Sư Phạm-ĐH Đà Nẵng,30(04),1-7 [2] Lê Văn Dũng (2016), Giáo trình Xác suất thống kê, NXB Thông tin Truyền thông [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001),Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Tiếng Anh [4] Bingham N, Goldie C and Teugels J (1989), Regular Variation,Cambridge University Press [5] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces, Statistics and Probability Letters 80 (2010) 756–763 [6] Dung LV, Son TC and Hai Yen NT (2018), Weak Laws of Large Numbers for sequences of random variables with infinite rth moments, Acta Mathematica,156,408-423 [7] Nakata T (2016), Weak laws of large numbers for weighted independent random variables with infinite mean, Statistics and Probability Letter, 109, 124 - 129 [8] Szewczak Z S (2010), Marcinkiewicz laws with infinite moments, Acta Mathematica Hungarica, 127, 64 - 84 [9] Sung S H (2014), Marcinkiewicz–Zygmund Type Strong Law of Large Numbers for Pairwise i.i.d Random Variables, Journal of Theoretical Probability, 27, 1, 96 – 106 55 [10] Su C Tong T J (2004), Almost sure convergence of the general Jamison weighted sum of B-valued random variables, Acta Mathematica Sinica, English Series, 20, 1, 181 – 192 DAr HOC DA NANG TRUONGBAIHOCSUPHAM , 9C&P So:WD/QD-DHSP CONG BoA xX HOI CHiT NGHiA VI¥T NAM DQc I$p - TI]' - H~oh phuc Da Ngng, ()f thdng iL ndm cltJlJ3 QUYETDlNH V~ vi~c giao d~ tai va trach nhiem huang din lu$n van thac si HIEU TRUONG TRUONG DAI HOC SU PHAM Can cir Nghi dinh s6 32/CP 04/411994 cua Chinh phu v~ viec l~p D~i hoc Da N~ng; Can cir Thong nr s6 08/2014/TT-BGDDT 20/3/2014 cua BQ Giao due va Dao tao v~ viec ban hanh Quy chS t6 chirc va hoat dQng cua dai hoc vung va cac co sa giao due dai hoc vien; Can cir Quyet dinh s6 6950/QD-DHDN 01112/2014 cua Giam d6c Dai hoc Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiem vu, quyen han cua Dai hoc Da N£ng, cac co sa giao due dai hoc vien va cac dan vi tnrc thuQc; Can cu Thong tu s6 15/2014m-BGDDT 15/5/2014 ella BQ Giao dt)C va.DflOt~o v~ vi~c ban hanh Quy ehS Dao t~o trinh dQth~c sl; Can cu QuySt dinh 1060/QD-DHSP 0111112016 ella Hi~u tnrang Truong D~i hQc Su ph~m - DIffiN v~ vi~c ban hanh Quy dinh dao t~o trinh dQ tlwc sl; Xet d~ nghi clla Ban Chll nhi~rn Khoa Toan v~ vi~c Quy@t dinh giao d~ tai va tnich nhi~m huang dan lu~n van th~c sl; Xet d~ nghi Cllaong Truang Ph6ng Dao t~o, QUYETBlNH: Di~u 1: Giao cho hQc vien LuO'og Thi My H~nh, nganh PhU'O'Dgphap toan sO'cAp d~t t~i dan vi ph6i hqp dao t~o Truong D~i hQc Quang Binh, khoa 36, tht)'c hi~n d~ tai Iu~n van MQt tinh chit cua ham bi~o phao chinh quy va trng dl}ng, duai st)'huang d~n clla TS Le Van Dung, TrU'(yugD~i hQc Su ph~m - D~i hQc Ba Ning sa Di~u 2: HQc vien cao hQCva nguai huang d~n co ten a Di~u duqc huang cac quy€n 19i va thlJc hi~n nhi~m vt) dung thea Quy chS dao t~o trinh dQ th~c SI BQ Giao d\lc va Dao t~o ban hanh va Quy dinh v~ dao t~o trinh dQth~c sl CllaTruang Dl;lihQc Su phl;lmD~i hQcDa N£ng Di~u 3: Cac ong (ba) Truang Ph6ng T6 chlrc - Hanh chinh, Dao tl.lO,K~ ho~ch Tai chinh, Khoa Toan, nguai huang d~n lu~ van va hQCvien co ten tren can cu QuySt djnh thi hanht m~UTRU6NG Noi nh~n: - Nhuf)i~u 3; - Luu: vT, Dao tl,lo PGS.TS LUU TRANG \ ceNG HoA xA ngr cHu Ncni.t vIBT NAM D+r Hec o,q NANc TRIJONG DAI HQC STI PHAM DQc lap - TH - H4nh phric BIEN BA1\ HQP HQI DONG CHAM LUA.N VAN THAC SI TOn AC tai MQt s6 tinh ch5t cria hirm bii5n ph6n chinh quy vir img dpng Ngdnh: Phuong ph6p to6n so c6p Theo Quytlt dinh thdnh 10p HQi d6ng ch6m lufln vdn thpc si so 6$tqo-DHSP nsdy @t thdneOdmzOZO Ngdy hep HQi d6ng: ngdylQthdnr ZOZO Danh sdch chc thinh vi€n HQi tl6ng: HO VA TEN STT Hii CUONG VI TRONG HQI DONG TS LC Trung Chir tich PGS.TS Truong C6ng Quynh Thu k1i TS Chu Vdn TiQp Ph6n biqn PGS.TS TrAn E4o D6ng Phin biQn PGS.TS TrAn Vdn An a Thdnh vi6n c6 Thu Uy viOn 0) mit: b Thdnh vi6n vlng m[t: o ki HOi d6ng b5o c6o quStrinh hgc tflp, nghiOn criu cria hoc vi€n cao-hgc vd dgc ly lich khoa hqc (c6 vdn bin kdm theo) 7.Hgc viOn cao hgc trinh bdy lufln vdn C6c phin biQn dgc nhQn x6t vd n6u c0u h6i (c6 Hgc vi6n cao hgc 10 tr6ldi Hgi d6ng hep ri6ng v[n bin kdm theo) c6c c6u h6i cria thdnh vi6n HQi d6ng AC Aanh gia 11 Truong ban ki6m phi6u c6ng b6 k6t quA l2.KCt lu6n cira HQi