Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S Rn.. 18 1.7.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm S0Rn.. 26 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ

Mục lục

1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) 6

1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 11

1.3 Đạo hàm của hàm suy rộng 13

1.4 Giá của hàm suy rộng 13

1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E0(Rn) 15

1.6 Tích chập 17

1.7 Phép biến đổi Fourier 17

1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) 18

1.7.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm S0(Rn) 25

1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng với giá compact E0(Rn) 26

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian Lp(R) 28

2.2 Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không gian Lp(π) 32

2.3 Dáng điệu của dãy P- đạo hàm trong không gian Lp(Rn) 34

2.4 Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P- đạo hàm và bất đẳng thức tích chập 38

Kết luận 42

Mở đầu

Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toánhọc nói chung và của Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier là một trong lớpnhững phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất.Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vôhạn thông qua giá của biến đổi Fourier (gọi là phổ) Vấn đề này có ý nghĩa rấtlớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giảitích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lýthuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làmhai chương:

Chương 1: Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suyrộng Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về không gian các hàm cơbản, không gian các hàm suy rộng, tích chập của hàm suy rộng, phép biến đổiFourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả liên quanđến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo

Chương 2: Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giácủa biến đổi Fourier Chương này là phần chính của luận văn, trình bày tínhchất của hàm số qua hình học của phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệucủa dãy các đạo hàm, dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn, dãy cácP- đạo hàmhình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá của biến đổi Fourier, bấtđẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến

Chương 1

CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ

BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM

SUY RỘNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản

về lý thuyết hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]) Chúng tôichỉ rõ những khái niệm và kết quả chính được sử dụng ở chương sau

Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), chúng tachỉ ra một số ký hiệu được trình bày trong luận văn

Cho N = {1, 2, } là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } là tập các sốnguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức Đơn vị ảo√−1 = i.

Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ = {α = (α1, , αn) | αj ∈Z+, j = 1, 2, , n},

Rn là không gian Euclid n chiều x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ Rn với chuẩn Euclid

trong đó suppu = {x ∈ R| u(x) 6= 0}.

Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu

Ký hiệuF là phép biến đổi Fourier, bf (hay F f) là ảnh Fourier của hàm f, supp bf

là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàmf Các giới hạn lim

m→∞ am, lim

m→∞ am, lim

m→∞

am

tương ứng là giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy hàm {a m }∞m=1

Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các

ví dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )

Định nghĩa 1.1 Không gian S (Rn) là tập hợp

Ví dụ 1.1 Không gian C0∞(Rn) là không gian con của không gian các hàm giảmnhanh S (Rn )

Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞(Rn)

Khi đó, ta đặt

suppϕ = K, Klà tập compact trong Rn.

Với mọi x / ∈ K, suy ra

Dβϕ (x) = 0 ∀β ∈Zn+.

Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e−kxk2, x ∈Rn Khi đó ϕ là hàm số thuộc khônggian các hàm giảm nhanh S (Rn ).

Chứng minh Theo giả thiết, ta có kxk 2 = x21+ x22+ + x2n nên

Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa về sự hội tụ trong không gian S (Rn ))

Dãy hàm {ϕk}∞k=1 trong không gianS (Rn) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (Rn)

Chú ý 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) là không gian con củakhông gian Lp(Rn) với 1 ≤ p ≤ ∞.

Chứng minh Ta chọn hàm ϕ ∈ S (Rn) Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L∞(Rn) Nên ta chỉcần xét 1 ≤ p < ∞ Theo định nghĩa, ta có

1

1 + x21
(1 + x 2

n )

dx1 dxn. (1.1)Mặt khác

điều này cho ta hàm ϕ ∈ L p (Rn) Chứng minh được hoàn thành

Chú ý 1.2 Nếu hàm a (.) ∈ C∞(Rn) sao cho với mỗi α ∈ Zn+có một số thực

m = m (α), và một số dương c = c (α) có |D α a (x)| < c(1 + kxk)m, khi đó ánh xạbiến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian cáchàm giảm nhanh S (Rn) vào chính nó

Định lý 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) là không gian đầy đủ.Chứng minh Lấy dãy hàm{ϕm}∞m=1là một dãy Cauchy trong không gianS (Rn ),nghĩa là dãy hàm xαDβϕm(x) ∞

m=1 ∀α, β ∈Zn

+ hội tụ đều trên từng tập pact trong Rn đến một hàm ψ ∈ C∞(Rn)

com-Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) cho nên dãy hàm {ϕm}∞m=1 hội tụ trong

Rn Khi đó, tồn tại hàm ϕ 0 ∈ C∞(Rn) thỏa mãn

Với mọiβ ∈Zn+ do đó dãy hàmDβϕm(x) ∞

m=1 liên tục trong Rn, nên hàmψ (x)

liên tục trong Rn Như vậy, ta nhận được

(

ϕm(x) → ϕ0(x) trong Rn

Dβϕ m (x) → ψ (x) trong Rnđiều này dẫn đến, hàm ϕ0(x)khả vi cấpβ và

Khi đó, tồn tại m0 thỏa mãn

Định nghĩa 1.3 Ta nói rằngf là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếmhàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rn)

Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(Rn) được viết là f, ϕ Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là tập hợp tất cả các hàm suyrộng tăng chậm

Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) có thể xây dựng mộtcấu trúc không gian vectơ trên Rn, nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toántuyến tính như sau

•Phép cộng : với các hàm f1, f2 ∈ S0(Rn) tổng các hàm f1 + f2 được xácđịnh như sau

(f1+ f2) : ϕ → hf1+ f2, ϕi = hf1, ϕi + hf2, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn)

•Phép nhân với số thực : với hàmf ∈ S0(Rn) , λ ∈ Rn tích λf được xác địnhnhư sau

Ví dụ 1.3 Với1 ≤ p ≤ ∞, không gianLp(Rn) là không gian con của không giancác hàm tăng chậm S0(Rn), tức là với mỗi hàm f ∈ Lp(Rn) thì hàm suy rộng

f : ϕ → hf, ϕi =

Z

Rn

f (x)ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn)

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rn )

Ví dụ 1.4 Hàm δa Dirac tại a là phiếm hàm xác định như sau

hδ, ϕi = ϕ (−a) ∀ϕ ∈ S (Rn)

Khi đó δ a là hàm suy rộng tăng chậm

Chứng minh Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tạia là một phiếm hàm tuyến tính,

1.3 Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4 Cho hàm suy rộng f ∈ S0(Rn) , α = (α1, , αn) ∈ Zn+ Đạohàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu là Dαf, là ánh xạ

từ không gian S (Rn) vào không gian C được xác định bởi

Dαf : ϕ 7→ (−1)|α|hf, Dαϕi ∀ϕ ∈ S (Rn)

Với mỗi hàm suy rộng f ∈ S0(Rn) , α ∈ Zn+ đạo hàm suy rộng cấp α củahàm suy rộng tăng chậmf cũng là một hàm suy rộng tăng chậm Nói cách khác,đạo hàm suy rộng Dαf là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S (Rn)

vào không gian C Do đó, đạo hàm Dαf là một hàm suy rộng trong không giancác hàm tăng chậm S0(Rn)

Ví dụ 1.5 Cho hàm θ (x) được xác định sau

θ (x) =

(

1 vớix > 0

0 vớix ≤ 0.

Tìm đạo hàm của hàm suy rộng θ (x)

Chứng minh Theo định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng, ta có

Khi đó, đạo hàm của hàm suy rộng θ chính là hàm Dirac δ0 Chứng minhđược hoàn thành

Trước hết, ta định nghĩa thế nào là hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhautại một điểm trong Rn Cùng với đó ta sẽ định nghĩa giá của hàm suy rộng trongkhông gian các hàm tăng chậm S0(Rn)

Định nghĩa 1.5 Cho x ∈ Rn, các hàm suy rộng f, g ∈ S0(Rn) Ta nói rằnghàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈Rn của x để

hf, ϕi = hg, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn) , suppϕ ⊂ ω.

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộng f 6= g tại x ∈Rn, nếu vớimọi lân cận mởω ⊂Rn của điểmxđều tồn tại một hàmϕ ∈ C0∞(Rn), suppϕ ⊂ ω

sao cho

hf, ϕi 6= hg, ϕi

Định nghĩa 1.6 (Giá của hàm suy rộng)

Cho hàm suy rộng f ∈ S0(Rn) Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau

Khi đó, giá của hàm suy rộng δ0 là suppδ0= {0}

Chứng minh Ta xét σ 6= 0 Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S(R) thỏa mãn

1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E0(Rn)

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu về đặc điểm của hàm suy rộng với giácompact E0(Rn) Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không gian

E (Rn)

Định nghĩa 1.7 Không gian E (Rn ) là không gian tôpô tuyến tính các hàm

ϕ ∈ C∞(Rn) với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕk}∞k=1 các hàm trong khônggian C∞(Rn) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C∞(Rn) nếu

ii) Giả sửf là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ bảnE (Rn ).Khi đó, ta có thể thu hẹp hàm f trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )

thành hàm suy rộng có giá compact

Ví dụ 1.7 Hàm Dirac δ 0 là hàm suy rộng thuộc không gian hàm suy rộng giácompact E0(Rn) Hơn nữa, không tồn tại hàm g ∈ L1loc(Rn) thỏa mãn

hδ0, ϕi =

Z

Rn

g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (Rn)

Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại hàm g ∈ L1loc(Rn) thỏa mãn

hδ0, ϕi =

Z

Rn

g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (Rn) (1.9)Chọn hàm

Chứng minh được hoàn thành

Mệnh đề 1.1 i) Cho hàm suy rộngf ∈ E0(Rn) , ϕ ∈ C0∞(Rn)và suppf ∩suppϕ =

Định lý 1.3 Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f, g ∈ L1(Rn) Khi đó tích chập củahàm g và hàm f là f ∗ g tồn tại và tích chập f ∗ g ∈ L1(Rn), đồng thời ta có bấtđẳng thức

Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổiFourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), khônggian các hàm tăng chậm S0(Rn), không gian hàm suy rộng với giá compact

E0(Rn)

1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm

e−ixξ(−iDx)β (−ix)αϕ (x)
dx,

Như vậy, với mỗi α, β ∈Zn+, có

Đối với phép biến đổi Fourier ngược F−1 ta chứng minh tương tự.

Chứng minh được hoàn thành

F ϕ (ξ) = (2π)−n/2

Z

Rn

e−ixξϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn) ,

Chứng minh được hoàn thành.

Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier,trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )

Mệnh đề 1.7 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó

i) F ϕ (ξ − h) = F e ihx ϕ (x)
(ξ) , ξ, h ∈Rn.

ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−ihξF ϕ (ξ) , ξ, h ∈Rn

iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−nF ϕ (ξ/t) , t 6= 0, ξ ∈Rn

Chứng minh i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có

1.7.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng

chậm S0(Rn)

Trong phần này, ta sẽ phát biểu tiêu chí xác định ảnh Fourier, ảnh Fourierngược của hàm suy rộng thuộc không gian các hàm suy rộng tăng chậmS0(Rn).Sau đó, ta dùng định nghĩa được nêu trên, để vận dụng vào giải ví dụ minh họakèm theo

Định nghĩa 1.12 Cho hàm f ∈ S0(Rn) Ảnh Fourier của hàm suy rộng tăngchậm f, ký hiệu là bf (hay F f), là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi

ˆ

f , ϕ= hf, ˆ ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn)

Định nghĩa 1.13 Với hàm f ∈ S0(Rn) Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộngtăng chậm f, ký hiệu ^f hay F−1(f ) là hàm suy rộng tăng chậm được xác địnhbởi

1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng

với giá compact E0(Rn)

Định nghĩa 1.14 Cho hàm suy rộng f ∈ E0(Rn) Do không gian E0(Rn) ⊂

S0(Rn) nên ảnh Fourier F f được xác định như sau

F f : ϕ → hf, F ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn)

Khi đó, ta biết rằng hàm suy rộngF f có thể viết dưới dạng hàm thông thường

(2π)−n/2 fx, e−ixξ Như vậy, nếu hàm suy rộng f ∈ E0(Rn) thì ảnh Fourier F f

là một hàm suy rộng từ không gian Rn vào không gian C được xác định bởi:

ξ → (2π)−n/2 fx, e−ixξ Hàm suy rộng F f (ξ) có thể thác triển lên thành mộthàm nguyên xác định trên không gian Cn như sau ξ → (2π)−n/2 fx, e−ixξ, ξ ∈

Cn

Sau đây ta trình bày điều kiện cần để một hàm giải tích ψ là biến đổi Fouriercủa một hàm suy rộng có giá chứa trong hình cầu đóng (xem [3])

Định lý 1.4 Cho ψ : Cn →C là hàm giải tích Khi đó, điều kiện cần để có một

số R > 0, một hàm suy rộng f ∈ E0(Rn) , suppf ⊂ B[0, R] sao cho ψ (ξ) = F f (ξ)

là tồn tại số R, N, C > 0 sao cho

exη−ixς(−iD)αψ (x) dx ∀α ∈Zn+, (ξ = ς + iη)

nên |ξαF ψ (ξ)| ≤ CeR|η| do đó, với mỗi N > 0 đều có CN > 0 thỏa mãn

|F ψ (ξ)| < CN(1 + kξk)−NeRk=ξk ∀ξ ∈Cn.

Tương tự, có

|Dα(F ψ) (ξ)| = |F (xαψ) (ξ)| ≤ CR|α|eRk=ξk ∀ξ ∈Cn, α ∈Zn+

nên F ψ (ξ) là hàm giải tích trên không gian Cn

Định lý được chứng minh

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu các tính chất của hàm số trực tiếp thôngqua giá của ảnh Fourier (hay gọi là phổ) của chính hàm số đó Cụ thể, mô tảdáng điệu của dãy các đạo hàm trong các không gian Lp(R) , Lp(π) , Lp(Rn)

với phổ củahàm f trong không gian một chiều Lp(R)

Định lý 2.1 (xem[4]) Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và f ∈ C∞(R) thỏa mãn f(m) ∈ L p (R),

m = 0, 1, Khi đó, luôn tồn tại giới hạn

kf(k)kp ≤ π

2 kf k1−k/mp kf(m)kk/mp .

Bất đẳng thức Bernstein Cho 1 ≤ p ≤ ∞, σ > 0, f ∈ Lp(R) và supp bf ⊂ [−σ, σ].Khi đó

d ≤ sup{|ξ| : ξ ∈ supp bf }. (2.4)Với sup{|ξ| : ξ ∈supp bf } = ∞ điều này là hiển nhiên, nên ta chỉ cần chứng minh(2.4) cho trường hợp sup

n

|ξ| : ξ ∈supp bf (ξ)

o

< ∞ Thật vậy, sử dụng bất đẳngthức Bernstein, ta nhận được

kf(m)kp ≤ [sup{|ξ| : ξ ∈supp bf }]mkf kp ∀m = 0, 1,

Và (2.4) là hệ quả của bất đẳng thức trên

Cuối cùng chúng tôi cho rằng

ξm

h(ξ)

ξm

dξ

≤ √C12π

Dβ h(ξ)Pm(ξ)

dξ.

2.4 Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm

và bất đẳng thức tích chập

Trong phần này, ta bắt đầu nghiên cứu kỹ hơn về tính chất phổ của dãy Pđạo hàm hình thành từ toán tử vi phân, trực tiếp thông qua giá của biến đổiFourier (xem [6])

-Định lý 2.5 Cho 1 ≤ p < ∞, P (x) là đa thức n biến, f ∈ Lp(Rn) Khi đó, vớimọi m ∈Z+ ta có

supp \P D¯
f ⊂suppf ⊂ˆ supp \P D¯
f ∪ A.

Vì vậy, theo (2.27) suy ra σ / ∈ supp \P D¯
f , σ ∈ A ∩ supp bf Cho nên, tồntại số ε > 0 sao cho B (σ, ε) ∩

Vì σ ∈supp bf nên tồn tại hàm ϕ ∈ C0∞(Rn) , suppϕ ⊂ B (σ, ε/2)sao cho h f , ϕi 6=b

0 Khi đó, do h (ξ) = 1 Trong B (σ, ε/2), ta nhận được

0 6= h f , ϕi = hb f , hϕi = hhb f , ϕi = 0b

và đây là điều mâu thuẫn Định lý được chứng minh xong

Tiếp theo, ta sẽ trình bày kết quả mở rộng về bất đẳng thức tích chậpcủa hai hàm nhiều biến trong không gian nhiều chiều

... 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VƠ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER< /h2>

Trong chương này, ta nghiên cứu tính chất hàm số trực tiếp thôngqua giá ảnh Fourier (hay gọi phổ) hàm số. .. hàm giải tích ψ biến đổi Fouriercủa hàm suy rộng có giá chứa hình cầu đóng (xem [3])

Định lý 1.4 Cho ψ : Cn →C hàm. .. thành.

Dưới ta trình bày số tính chất khác phép biến đổi Fourier, trong khơng gian hàm giảm nhanh S (Rn )

Mệnh đề 1.7 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn)