Cung tham số, cung chính quy, cung song chính quy và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ===***=== TRẦN THANH HẢI CUNG THAM SỐ, CUNG CHÍNH QUY, CUNG SONG CHÍNH KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S Trần Văn Nghị HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài khóa luận tốt nghiệp, bảo tận tình thầy hướng dẫn phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi em có q trình nghiên cứu, tìm hiểu học tập nghiêm túc để hồn thành khóa luận Kết thu không nỗ lực thân mà có giúp đỡ q thầy cơ, gia đình bạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo giúp đỡ em Đặc biệt thầy Trần Văn Nghị thầy hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt đề tài phương pháp, lý luận nội dung suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trần Thanh Hải LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo Trần Văn Nghị Trong khóa luận có tham khảo kết nghiêm cứu nhà khoa học Em xin khẳng định kết khóa luận khơng chép từ đề tài Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trần Thanh Hải MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ Euclide .3 1.2 Một số hệ tọa độ thường dùng 1.3 Giải tích vectơ Chương CUNG THAM SỐ .10 1.1 Định Nghĩa 10 1.2 Ví dụ 10 1.3 Một số dạng tập .11 Chương CUNG CHÍNH QUY 24 2.1 Cung quy 24 2.2 Độ dài tham số hóa tự nhiên cung quy 25 2.3 Độ cong cung quy ý nghĩa hình học độ cong 28 2.4 Một số dạng tập .30 Chương CUNG SONG CHÍNH QUY 49 3.1 Định nghĩa 49 3.1.1 Cung song quy .49 3.2 Định lý lý thuyết đường  51 3.3 Một số dạng tập .52 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 Lý chọn đề tài MỞ ĐẦU Hình học mơn khoa học nghiên cứu tính chất định tính định lượng hình Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác mà có ngành hình học khác Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tơpơ… Hình học Vi phân ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải tốn hình học Ở khái niệm cung quy cung song quy khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết đường  Với mong muốn tìm hiểu sâu đối tượng nói hướng dẫn thầy hướng dẫn, định chọn đề tài để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận hệ thống phân dạng dạng tập cách chi tiết cung tham số, cung quy cung song quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cung tham số, cung quy cung song quy b) Phạm vi nghiêm cứu Phạm vi nghiên cứu lý thuyết tập cung tham số, cung quy cung song quy Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phân loại, hệ thống dạng tập cung tham số, cung quy cung song quy 5 Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 0: Kiến thức chuẩn bị Chương 1: Cung tham số Chương 2: Cung quy Chương 3: Cung song quy Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ Euclide    n  khơng gian Euclide n chiều Tích vơ hướng hai vectơ a b      2 n kí hiệu a.b , chuẩn kí hiệu a ,  a.a  a  a a không gian Euclide n chiều, tức không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide n chiều n n  Khoảng cách hai điểm M , N thuộc      MN họ ( O , e1 , e2 ,…, ), O  n gốc tọa độ, n en Mục tiêu afin     n n n ( e1 , e2 ,…, en ) sở  Điểm M  có tọa độ ( x , x ,…, x ) đối n    i với mục tiêu có nghĩa OM  i1 i x e Các hàm số x , x ,…, n x  n gọi hàm tọa độ Cũng kí hiệu mục tiêu (hệ tọa độ) afin n Ox x x    Khi sở ( e1 , e2 ,…, en ) trực chuẩn, tức   e e   i j ij ij 0   i  j 1 ( i , j = 1, 2, …,n) ta hệ Descartes vng góc Khi đó, M có n n tọa độ ( x , x ,…, x ), N có tọa độ ( y , y ,…, y ) khoảng cách M , N n  i1 yi  x i  Sau chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc  n ta đồng  n với □ với cơng thức tính khoảng cách n 1.2 Một số hệ tọa độ thường dùng 1.2.1 Hệ tọa độ Descartes Một hệ tọa độ Descartes Oxy xác định vị trí điểm mặt phẳng cho trước cặp số  x, y  Trong x y giá trị xác định đường thẳng có hướng vng góc với (cùng đơn vị đo) Hai đường thẳng gọi trục tọa độ (hay đơn giản trục) Trục nằm ngang gọi trục hoành, trục nằm dọc gọi trục tung, điểm giao hai trục gọi gốc tọa độ có giá trị  0, 0 1.2.2 Hệ tọa độ cực mặt phẳng Trong mặt phẳng □ cho hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Xét P  □ \ O Giả sử M điểm P , có tọa độ Descartes M  x, y  đặt tương ứng M với cặp số (r, ) theo cách sau đây:    Đặt r  OM (như r  ) Do M  nên OM  P   y0 y0   Ta đặt   Ox,OM đặt   2  Ox,OM     M r  O Cặp số  r,  M  r,  x gọi tọa độ cực điểm M cho Kí hiệu M   r,  Số r gọi bán kính cực M ,  gọi góc cực M Từ định nghĩa suy    2 Rõ ràng ta có: r  x2  y   x  r cos  y  r sin  Công thức gọi công thức đổi tọa độ tọa độ Descartes tọa độ cực 1.2.3 Hệ tọa độ trụ không gian Cho hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz  Xét U   \ Oz Có thể cho ứng điểm M  x, y, z  U với ba số  r, ,  theo cách sau đây: lấy hình chiếu M M mặt phẳng tọa độ Oxy đặt      y  đặt     Ox,OM r  OM1 Ta đặt   Ox,OM1     y    z Bây điểm M tương ứng với số  r, ,  theo xác định Bộ ba số  r, ,  Descartes Oxyz viết gọi tọa độ trụ M hệ tọa độ M  r, ,  hay M   r, ,  Ta thấy r     2 Công thức đổi tọa độ tọa độ Descartes tọa độ trụ:  x  r cos   y  r sin   z   1.2.4 Hệ tọa độ cầu khơng gian Cho hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz 3 Xét U   \ Oz Có thể cho ứng điểm M  x, y, z  U với ba số  r, ,  theo cách sau: đặt r   OM  2   ... dạng tập cách chi tiết cung tham số, cung quy cung song quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cung tham số, cung quy cung song quy b) Phạm vi nghiêm cứu... vi nghiên cứu lý thuyết tập cung tham số, cung quy cung song quy Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phân loại, hệ thống dạng tập cung tham số, cung quy cung song quy 5 Phương pháp nghiên cứu... nhiên cung quy 25 2.3 Độ cong cung quy ý nghĩa hình học độ cong 28 2.4 Một số dạng tập .30 Chương CUNG SONG CHÍNH QUY 49 3.1 Định nghĩa 49 3.1.1 Cung song quy