SKKN: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn Đại số

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số 3) Nhiệm vụ đề tài: 3.1 Đề tài đa số kiến thức bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức học sinh THCS 3.2 Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải toán bất đẳng thức ,áp dụng để giải tËp 3.3 Rót mét sè nhËn xÐt vµ chó ý cho phơng pháp 3.4 Chọn lọc ,hệ thống số tập hay gặp cho phù hợp với phơng pháp giải 3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị,giải số phơng trình không mẫu mực 4) Phạm vi đề tài Phát triển lực t học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức (phân môn đại số) ®èi víi häc sinh kh¸, giái líp 8,líp 5) Đối tợng nghiên cứu phơng pháp tiến hành Đề tài áp dụng với học sinh lớp lớp Tiến hành thực đề tài luyện tập,ôn tập cuối chơng, cuối kỳ cuối năm đặc biệt phụ đạo học sinh giái ,«n thi cÊp 6) Dù kiÕn kÕt đề tài Khi cha thực đề tài này: Học sinh giải đợc số tập bất đẳng thức đơn giản,hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn,ngại làm tập bất đẳng thức Nếu thực đợc đề tài học sinh có hứng thú giải toán bất đẳng thức,làm tập tốt hơn,tự giải đợc tập bất đẳng thức dạng tơng tự,hạn chế đợc sai lầm giải toán bất đẳng thức Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số B Nội dung phơng pháp giải Phần I: Một số kiến thức bất đẳng thức 1, Định nghĩa * a>b a -b>0 * a≥b ↔ a -b≥0 *a c → a > c (tính chất bắc cầu) (tính chất đối xứng) * Tính chất đơn điệu phép cộng: a>b a+c>b+c HƯ qu¶ : a>b → a-c>b-c * a > b vµ c > d → a + c > b + d a > b vµ c < d → a - c > b - d Chó ý: Kh«ng đợc trừ vế bất đẳng thức chiều *Nhân hai vế bất đẳng thức với số dơng bất đẳng thức không đổi chiều a > b vµ c > → ac > bc * Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều a > b vµ c < → ac < bc Ngun Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số *Nhân vế hai bất đẳng thức chiều hai vế không âm: a ≥ b ≥ ; c ≥ d ≥ → ac ≥ bd ≥ *N©ng lịy thõa tõng vế bất đẳng thức a > b > → an > bn víi mäi n → an > bn víi n lỴ a>b > → an > bn với n chẵn * So sánh hai lũy thừa số m > n > a > th× am > an m > n > < a < am < an * Lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức hai số dấu đổi chiều bất đẳng thức a < b ab > > 3, Một số bất đẳng thức cần nhớ : * a2 ≥ víi mäi a, dÊu b»ng x¶y vµ chØ a = * ≥ với a, dấu xảy a = * -≤a ≤ * ≤ + , dấu xảy ab * - * Bất đẳng thức Côsi : Víi sè d¬ng a , b ta cã : a+b ab Dấu đẳng thức xảy : a = b *Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Với số a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 Dấu đẳng thức xảy vµ chØ ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) a b = x y II Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp1: Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B , ta cÇn chØ r»ng A-B≥0 - Lu ý đẳng thức: ( a b)2 = a2 ± 2ab + b2 ≥ ( a +b +c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca ≥ - VÝ dô : Bài 1.1 : Chứng minh rằngvới x,y ta cã : x2 + ≥ xy Gi¶i : XÐt hiƯu : A = x2+ - xy = = ≥ x,y => A ≥ víi mäi x,y x2 + Dấu '' = '' xảy xy (đpcm) 2x = y Bµi 1.2 : Víi mäi sè : a, b, c chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 +3 ≥ 2(a + b + c) Gi¶i : Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Ta xét hiệu : B = a2 + b2 + c2 +3 - 2( a + b + c) = a2 + b2 + c2 +3 - 2a - 2b - 2c = (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1) = (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 ≥ Do (a - 1)2 (b - 1)2 ≥ ≥ (c - 1)2 a b c → A =(a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 Hay a2 + b2 + c2 +3 ≥ ≥ a, b, c 2(a + b + c) a, b, c Dấu xảy a = b = c = Bµi 1.3 : Chøng minh r»ng víi mäi x,y ta lu«n cã: x2 + y2 +1 ≥ xy + x + y Gi¶i : Ta xÐt hiƯu C = x2 + y2 +1 - xy - x -y = ( 2x2 +2 y2 +2 - 2xy - 2x -2y ) = = Do (x - y)2 (x - 1)2 (y - 1)2 ≥ ≥ ≥ x,y x y Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số C= x,y Hay x2 + y2 +1 ≥ xy + x + y Dấu xảy x = y = Bµi 1.4 : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : a) b) a2 + b2  a + b  ≥    c) HÃy tổng quát toán Giải : a2 + b2  a + b  −    a) XÐt hiÖu : D = = 2(a + b ) − ( a + 2ab + b ) = 1 (2a + 2b − a − b − 2ab) = (a − b) ≥ 4 a, b DÊu '' = '' x¶y a = b b) Häc sinh lµm tơng tự câu a c) Tổng quát Lời bình: Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa phơng pháp đơn giản phổ biến Với hệ thống tập giáo viên đa từ Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp đà tạo cho học sinh có hứng thú học tập ban đầu tiếp cận với dạng toán bất đẳng thức 2.Phơng pháp2: Sử dụng tính chất bắc cầu - Kiến thức : A B B C A C - Lu ý : + + x th× x2 x (v× x - x2 = x (1 - x) ) (1 - x) (1 - y) (1 - z) = - x - y - z + xy + yz + zx - xyz Bµi tËp 2.1: Cho x, y, z chøng minh r»ng: a) x+ y + z - xy - yz - zx b) x2 + y2 +z2 + x2 y + y2 z + z2x Lời giải: a) Vì x, y, z nªn ta cã: (1 - x) , (1 - y) , (1 - z) Do ®ã: x+ y + z - xy - yz - zx = x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) (1) Mặt khác ta có: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = - x - y - z + xy + yz + zx - xyz → x+ y + z - xy - yz - zx -xyz (2) ( xyz ) Từ (1) (2) ta cã x+ y + z - xy - yz - zx (®pcm) b)Ta chøng minh: x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x Ta cã : x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x = x2(1 - y) + y2 (1 - z ) + z2 (1 - x) x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) (v× x2 x, y2 y, z2 z ) Do ®ã : x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x ( theo c©u a) VËy x2 + y2 +z2 + x2 y + y2 z + z2x Bài 2.2: Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Cho a,b,c số đo độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 +2abc < Lêi gi¶i: Tríc hÕt ta chøng minh a, b, c < ThËt vËy nÕu a th× tõ b+ c > a suy a + b + c > trái giả thiết Ta l¹i cã (1-a)(1-b)(1-c) = - a - b - c + ab + ac + bc - abc > → abc < ab + bc + ca - (1) ( v× a + b + c = 2) Mµ = ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + (ab + ac + bc ) → ab + ac + bc = - (2) Tõ (1) vµ (2) suy abc < - - Hay a2 + b2 + c2 +2abc < (đpcm Phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh - Một số đẳng thức thờng dùng : * (A+B)2=A2+2AB+B2 * (A-B)2=A2-2AB+B2 * (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC * (A+B)3=A3+3A2B+3AB2 + B3 Bµi 3.1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x , y , z ta lu«n cã: x2+ 2y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2z - (1) Lêi gi¶i: Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Vì x , y , z số nguyên nên: x2+ 2y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2z - (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) +( z2 - 2z + 1) + (x- y)2 + (y - z)2 + (z - 1)2 + Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh Bài 3.2: Với a , b , c > chøng minh: Lêi giải: Vì a , b , c > nên: a2 + b2 + c2 (bc + ac - ab) a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab ( a + b + c )2 Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh Bài 3.3: Chứng minh r»ng: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 x Lêi gi¶i: Ta cã (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 (x2 - 7x + )(x2 - 7x + 12) + 9 NguyÔn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số (x2 - 7x + - )(x2 - 7x + + 3) + (x2 - 7x + )2 - + (x2 - 7x + )2 Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh Bài 3.4 : Chứng minh bất đẳng thức : a3 + b3 a + b  ≥    ; ®ã a > ; b > Lêi gi¶i : Víi a > ; b > => a + b > Ta cã : a + b3  a + b  ≥     a+b  a+b a+b  .( a − ab + b ) ≥           a2 - ab + b2 a+b   ≥   4a2 - 4ab + 4b2 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ ≥ a2 + 2ab + b2 3(a + b)2 Bất đẳng thức cuối với a , b Suy : a3 + b3  a + b  ≥    10 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 10 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số 1 ( + + )2 a b c ≥ ( → F 81 1 + + 2) a b c ≥ ≥ 27 + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = Vậy MinF = 33 Bài : Cho G = : a = b = c = 3 yz x − + zx y − + xy z − xyz Tìm giá trị ln nht ca G Lời giải : Tập x¸c định : x Ta cã : G = ≥ x −1 x ; y ≥ y−2 y + + x −1 ≤ Theo BĐT C«si ta cã : T¬ng tù : → G ≥ 2; z y−2 ≤ y 2 z −3 z x −1 +1 ; → x −1 ≤ x z −3 ≤ z 1 + + ≤ 2 2 39 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 39 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Vậy MaxG = 1 + + 2 2 đạt đợc x = ; y = ; z = x Bài a, Tìm giá trị nhỏ H = x với x > x x2 b Tìm giá trị lớn K = Hớng dẫn : áp dụng bất đẳng thức Côsi làm tơng tự nh : - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) phơng trình sau suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) phơng trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài : Giải phơng trình : 13 x −1 +9 x +1 = 16x Lêi gi¶i: §iỊu kiƯn : x ≥ (*) 40 Ngun ThÞ Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 40 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x = 13.2 ≤ + 3.2 13( x - + x −1 +9 x +1 x +1 ) + 3(x + + ) = 16x DÊu '' = '' x¶y   x −1 =   x +1 = ⇔  ⇔ x= tho¶ mÃn (*) Phơng trình (1) có nghiệm Vậy (1) có nghiÖm x = ⇔ dÊu '' = '' (2) xảy Bài 2: a Tìm giá trị lớn L= 2x b Giải phơng trình : 2x + 2x + − 2x - x2 + 4x - = (*) Lời giải : a Tóm tắt : ( ⇔ 2x − + 2x − + − 2x ≤ − 2x )2 ≤ 2(2x - + - 2x) = → MaxL = x = b TX§ : x 2 41 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 41 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số (*) 2x 2x + VP = (x - 2)2 + ≥ = x2 - 4x + , dÊu '' = '' x¶y x = → với x = ( thoả mÃn TXĐ ) VT = VP = phơng trình (*) có nghiệm x = Bài : Giải phơng trình : x Giải : TXĐ : -2 ≤ VP = (x - 3)2 + VT2 = ( 6−x → VT ≤ ≥ + x x+2 + ≤ = x2 - 6x + 13 DÊu '' = '' x¶y x = x+2 1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 , dÊu '' = '' x¶y 6−x = x+2  x=2 giá trị x để VT = VP Phơng trình vô nghiệm Bài : Giải phơng trình : x 12 x + 16 HD : x − 12 x + 16 ≥ DÊu '' = '' x¶y : 2; y − y + 13 + =5 y − y + 13 ≥ x − =  y − =  => VT ≥ x =  y = phơng trình có nghiệm : x = ; y = - Dïng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình : 42 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 42 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi phơng trình cđa hƯ , suy ln vµ kÕt ln nghiƯm Lu ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 ≥ 2ab b a + c < ; c > => a < b c a >1 b nÕu a > b > - C¸c ví dụ : Bài : Giải hệ phơng trình : x + y − y + =  2  x + x y − 2y = Lêi gi¶i: Ta cã: x +2y -4y+3=0 x2 + x2y2 - 2y = ⇔ ⇔ x2 x = - - 2(y - 1) 2y ≤ 1+ y ≤ ⇔ x ( v× + y2 ≤ ≥ -1 2y) ⇔ ⇔ x ≤ -1 ≤ - (*) x ≤ (**) Tõ (*) vµ (**) → x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã : y = Hệ phơng trình có nghiệm : x = -1 ; y = - KiÕn thức : Biến đổi phơng trình hệ , sau so sánh với phơng trình lại , lu ý dùng bất đẳng thức quen thuộc Bài : Giải hệ phơng trình : x + y + z =1  4  x + y + z = xyz Lêi gi¶i : 43 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 43 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số áp dụng : B§T : A2 + B2 Ta cã : x4 + y4 → x + y4 + z MỈt kh¸c : ≥ ≥ ≥ 2AB dÊu '' = '' x¶y A = B 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 x2y2 + y2z2 y2z2 + z2x2 x2y2 + z2x2 → 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) → x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 (*) 2x2yz 2xy2z 2xyz2 2xyz(x + y + z) = 2xyz xyz Tõ (*) vµ (**) → x4 + y4 + z4 (**) ≥ xyz DÊu '' = '' x¶y : x = y = z mµ x + y + z = nªn : x = y = z = VËy hƯ phơng trình có nghiệm : x = y = z = 3 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng phơng pháp Bài : Giải hệ phơng trình x + y + z = 14  ( + + )( x + y + z ) =  2x 3y 6z  (víi x, y, z > 0) 44 Ngun ThÞ Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 44 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Lời giải : a b + ≥2 b a ¸p dơng : NÕu a, b > th× : (2) ( + + )(3 x + y + z ) = 36 x y z x y x z y z ( + ) + 3( + ) + 2( + ) = 22 y x z x z y MỈt khác : x, y, z > nên x y ( + ) ≥ 12 y x x z 3( + ) ≥ z x ; z y 2( + ) ≥ y z x y x z y z ( + ) + 3( + ) + 2( + ) ≥ 22 y x z x z y DÊu '' = '' x¶y x = y = z , thay vào (1) ta đợc : x + x2 + x3 = 14 ⇔ x-2=0 ⇔ ⇔ (x - 2)(x2 + 3x + 7) = x=2 Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z = Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Ngoài có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải , học sinh phải nắm đợc kiến thức bất đẳng thức vận dụng đợc Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên 45 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 45 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Bài : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 1 + + x y z =2 Lêi giải : Không tính tổng quát , ta gi¶ sư x 2= 1 + + x y z ≤ z → 2z ≤ y ≥ z , ta có : , mà z nguyên d¬ng VËy z = Thay z = vào phơng trình ta đợc : 1 + =1 x y Theo gi¶ sư , x ≥ y , nªn = 1 + x y ≤ y Y nguyên dơng nên y = y = Với y = không thích hợp Víi y = ta cã : x = VËy (2 ; ; 1) lµ mét nghiƯm phơng trình Hoán vị số , ta đợc nghiệm phơng trình : (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) IV:Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hai sè x vµ y mµ x+y=1 CMR : a) x2 +y2 46 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 46 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số b) x4+y4 Bài 2: Cho a,b, c, d ,e số thực CMR: a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) Bài 3: Cho hai số dơng x,y x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 2n+1 Bài 11: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác CMR: a −b b−c c −a + + < a+b b+c c +a V : Kết đạt đợc 47 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 47 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy cho học sinh thấy học sinh đà xác định đợc loại toán cách làm ,nhiều em học sinh đà làm đợc tập bất đẳng thức đà có hớng thú học toán Kết kiểm tra trớc thực đề tài: Số lợng Điểm học sinh Giỏi Điểm 30 12 Điểm trung bình 13 Điểm yếu Điểm Kết kiểm tra sau áp dụng đề tài : Trong năm học 2001-2002, năm học 2006- 2007, năm học 2010-2011 đợc phân công bồi dỡng học sinh giỏi lớp ,tôi đà sử dụng đề tài để bồi dỡng học sinh giỏi ,kết đội tuyển học sinh giỏi tốt Cụ thể : năm học 2001-2002 đội tuyển xếp thứ 3/ 25 trờng,năm học 2006- 2007 đội tuyển xếp thứ 2/ 25 trờng 02 học sinh vào đội tuyển tỉnh,năm học 20102011 đội tuyển xÕp thø 2/ 25 trêng vµ 02 häc sinh vµo đội tuyển tỉnh VI:Bài học kinh nghiệm 48 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 48 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Qua việc hớng dẫn học sinh làm tập cho thấy phần kiến thức đề tài phần kiến thức mở giáo viên đa vào cuối luyện tập , tự chọn nên nội dung học sinh phức tạp , khó hình dung , cần đa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao tập nhµ , kiĨm tra häc sinh … Sau híng đẫn xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện kỹ làm tập cho học sinh Cần đa nội dung vào dạy cho phù hợp ,tr¸nh dån Ðp häc sinh tiÕp nhËn kiÕn thøc mét cách thụ động mà đạt kết không mong muốn VII: Phạm vi áp dụng đề tài Đề tài số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức phân môn đại số đợc áp dụng cho học sinh lớp 8, thích hợp học sinhlớp với đối tợng học sinh giỏi C: kết luận Các tập bất đẳng thức thờng tơng đối khó ®èi víi häc sinh , nhng híng dÉn häc sinh xong đề tài số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức , học sinh thấy việc làm toán bất đẳng thức rễ Đồng thời đứng trớc toán khó cho dù dạng tËp nµo häc sinh cịng cã híng suy nghÜ vµ tËp suy luËn , c¸c em sÏ cã tù tin Chuyên đề còn nhiều thiếu sót , mongđợc ủng hộ thày cô giáo để đề tài ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Tháng năm 2011 Ngời thực đề tài 49 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 49 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Nguyễn Thị Hoàng Hoan Nhận xét đánh giá Tổ khoa học tự nhiên trờng THCS Hồng TiÕn ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… Nhận xét đánh giá Ban Gi¸m HiƯu trêng THCS Hång TiÕn ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 50 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 50 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… …………………………………………… Nhận xét đánh giá Phòng Giáo Dục Đào tạo Khoái Châu ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 51 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 51 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… A Mở đầu 1) Lý chọn đề tài: Trong chơng trình toán THCS , toán bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng xuyên suốt cấp học đặc biệt trờng chuyên lớp chọn Các toán bất đẳng thức có mặt hai phân môn hình học phân môn đại số Lớp 6, lớp7 toán bất đẳng thức đa phần toán đơn giản, sang đến lớp 8, lớp toán dạng đa dạng phong phú hơn,đòi hái häc sinh ph¶i biÕt vËn dơng nhiỊu kiÕn thøc cách linh hoạt sáng tạo giải đợc.Dạng toán giúp học sinh phát triển t hình thành phẩm chất trí tuệ rõ nét.Các toán chứng minh bất đẳng thức mang nội dung giáo dục t tởng quan trọng,các em biết so sánh để tìm đợc tốt ,cái dễ ,điều thú vị 52 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 52 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số công việc đời sống hàng ngày.Chính tầm quan trọng mà toán bất đẳng thức có mặt kỳ thi học sinh giỏi thi cấp3 Một thực trạng dạy dạng toán bất đẳng thức trờng THCS là: Khái niệm ,các tính chất bất đẳng thức không đa cụ thể Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập cha khai thác, phân tích đề cách tỉ mỉ hay mở rộng thành toán mới,cha phân loại phơng pháp giải tập cách rõ ràng Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức kiến thức ,không liền mạch , phơng pháp giải hạn chế ,các toán chứng minh bất đẳng thức thờng cách giải mẫu , không theo phơng pháp định nên học sinh không xác định đợc hớng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh THCS có nhiều hạn chế khả t cha tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong năm thực tế giảng dạy trờng THCS Hồng Tiến có tham gia công tác bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8,lớp kết thu đợc tốt, phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số đợc dùng để bồi dỡng học sinh giỏi viết đề tài để đồng chí đồng nghiệp tham khảo mong đợc góp ý đồng nghiệp để công tác bồi dỡng học sinh giỏi đợc hoàn thiện Trong nội dung đề tài xin đợc giới thiệu số phơng pháp hay đợc sử dụng chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng bất đẳng thức đà biết , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào ®iỊu kiƯn cho tríc, vµ mét sè bµi tËp vËn dụng phân môn đại số nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh 53 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 53 ... chứng minh Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo 27 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 27 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số +... pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số (x2 - 7x + - )(x2 - 7x + + 3) + (x2 - 7x + )2 - + (x2 - 7x + )2 Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh Bài 3.4 : Chứng. .. 24 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phân môn đại số Bài 7.3: Chứng minh bất đẳng thøc sau: a) ++ …+ n1) n1) Phơng pháp : Đổi biến số - Kiến thức