SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng A T VN Lí DO CHN TI Toỏn hc l mt khoa hc t nhiờn, toỏn hc i t rt sm nhm ỏp ng nhu cu o c rung t v xõy dng nh ca Cng ngy xó hi loi ngi cng tin dn lờn mc cao hn v n ang ang trỡnh cao nht t m loi ngi cha tng cú Do ú toỏn hc cng khụng nm ngoi quy lut phỏt trin t s khai n hin i Toỏn hc nghiờn cu rt nhiu, rt a dng v phong phỳ Trong ú cỏc bi toỏn v bt ng thc l nhng bi toỏn khú , gii c cỏc bi toỏn v bt ng thc, bờn cnh vic nm vng khỏi nim v cỏc tớnh cht c bn ca bt ng, cũn phi nm c cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc Cú nhiu phng phỏp chng minh bt ng v ta phi cn c vo c thự ca mi bi toỏn m s dng phng phỏp cho phự hp Mi bi toỏn chng minh bt ng thc cú th ỏp dng c nhiu phng phỏp gii khỏc , cng cú bi phi phi hp nhiu phng phỏp mt cỏch hp lớ mi gii c Bi toỏn chng minh bt ng thc c dng nhiu vo cỏc dng bi toỏn gii v bin lun phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh c bit , tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca biu thc v thi hc sinh gii huyn, thnh ph, tuyn sinh vo lp 10 thng cú bi toỏn bt ng thc, ú sỏch giỏo khoa ph thụng li trỡnh by Vỡ vy hc sinh cn thit phi nm c nhng kin thc c bn v bt ng thc Trong thc t trng THCS v THPT, hc sinh gp nhiu khú khn gii cỏc bi toỏn liờn quan v bt ng thc , vỡ cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc thng khụng cú cỏch gii mu, khụng theo mt phng phỏp nht nh nờn hc sinh khụng xỏc nh c hng gii bi toỏn Mt khỏc vỡ nhn thc ca hc sinh THCS V THPT cũn cú nhiu hn ch v kh nng t cha tt ú hc sinh cũn lỳng tỳng nhiu v khụng bit dng kin thc vo gii cỏc dng bi khỏc Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Trong ni dung ca ti ny xin c trung gii thiu cỏc tớnh cht c bn, mt s phng phỏp hay c s dng chng minh bt ng thc nh : dựng nh ngha , bin i tng ng , dựng cỏc bt ng thc ó bit , phng phỏp phn chng, tam tc bc hai ., mt s bi dng v cỏc ng dng ca bt ng thc nhm giỳp hc sinh bt lỳng tỳng gp cỏc bi toỏn v chng minh hay dng bt ng thc , giỳp hc sinh cú th t nh hng c phng phỏp chng minh, gii cỏc bi toỏn liờn quan v hng thỳ hn hc v bt ng thc núi riờng v b mụn Toỏn núi chung Qua ti (mt s phng phỏp chng minh bt ng thc v ng dng ca bt ng thc ) tụi mun giỳp hc hc sinh cú thờm mt s phng phỏp chng minh bt ng thc ú l lý tụi chn ố ti ny, nghiờn cu khụng trỏnh nhng sai sot mỏc phi rt mong c s gúp ý ca cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn ti c hon thin hn, tụi xin chõn thnh cm n! NHIM V NGHIấN CU - k nng gii cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc - k nng dng bt ng thc gii cỏc bi toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht-nh nht, gii h phng trỡnh, phng trỡnh nghim nguyờn, phng trỡnh vụ t I TNG NGHIấN CU - Hc sinh trung hc c s - Cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc v ng dng ca nú 4- PHNG PHP NGHIấN CU : Qua quỏ trỡnh hc t trc n nay, tham kho ti liu, thu thp ti liu, ỳc rỳt, tng kt kinh nghim, kim tra kt qu kim tra cht lng hc sinh, nghiờn cu h s ging dy, iu tra trc tip thụng qua cỏc gi hc, th hin trờn nhiu i tng hc sinh khỏc : Hc sinh gii, khỏ v hc sinh trung bỡnh v mụn Toỏn PHM VI NGHIấN CU Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Gii hn phn chng minh bt ng thc v cỏc ng dng ca bt ng thc chng trỡnh toỏn trung hc c s B GII QUYT VN PHN I C S Lí LUN gii c bi toỏn ũi hi mi ngi phi c k bi toỏn xem bi toỏn yờu cu cỏi gỡ, phi s dng nhng phng phỏp no gii, ó gp bi toỏn no ó gii cú dng tng t nh bi toỏn ú hay khụng t ú cú th tỡm cỏch gii i vi hc sinh trung hc c s vic dng khin thc lý thuyt, nhn dng bi toỏn tỡm cỏch gii cha c rốn luyn nhiu ụi lỳc trỡnh by ny cũn s si Khi nghiờn cu v bt ng thc ta thy rng nú tht s cú tỏc dng rốn luyn v phỏt huy kh nng t gii toỏn khụng ch riờng gỡ bt ng thc m cũn gii cỏc dng toỏn khỏc bi mun gii c nú ũi hi phi tht s cú mt kin thc toỏn hc rt ln Phng phỏp gii cỏc bi toỏn bt ng thc khụng õu xa xụi ngoi chng trỡnh ca cỏc em hc sinh trung hc c s Nhng vic cỏc em dng nú nh th no ú l ct li Mun lm c iu ú ũi hi hc sinh phi tht s nm vng kin thc, phi cú lp lun lụgic, xột y cỏc mt khỏc ca bi toỏn, nhn dng c bi toỏn c bit cỏc hc sinh khỏ gii phi linh hot, sỏng to khụng ch gii c bi toỏn m cũn phi khỏi quỏt c dng ca nú ua phng phỏp chung cho cỏc bi toỏn khỏc tung t Khi ging dy cho hc sinh cỏc giỏo viờn phi rốn luyn cho cỏc em nm chc phn lý thuyt, a cỏc vớ d minh ho c th, cỏc bi dng, nờn chỳ ý to cho cỏc em cỏch nhỡn nhn mt bi toỏn gii khụng nờn gii tt, lm tt to cho hc sinh khú hiu thm khụng hỡnh thnh c lụgic ca toỏn hc Thi lng chng trỡnh dnh cho bt ng thc ph thụng c s l hn ch Do ú vic hc v dng thnh thao cho cỏc em s khú khn vi cỏc em cú hc lc trung bỡnh, khỏ PHN NI DUNG CA TI I> CC KIN THC CN LU í 1) nh ngha bt ng thc Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng + a nh hn b , kớ hiu a < b + a ln hn b , kớ hiu a > b , + a nh hn hoc bng b , kớ hiu a b, + a ln hn hoc bng b , kớ hiu a b , 2) mụt s tớnh cht ca bt ng thc: a) Nu a > b v b > c thỡ a > c (tớnh cht bc cu) b) Nu a > b v c bt kỡ thỡ a + c > b + c Tc l: Khi cng vo v ca bt ng thc vi cựng mt s bt kỡ thỡ bt ng thc khụng i chiu c) Nu a > b + c thỡ a b > c Tc l: Ta cú th chuyn mt s hng ca bt ng thc t v ny sang v v phi i du s hng ú d) Nu a > b v c > d thỡ a + c > b + d Tc l: Nu cng v vi v ca bt ng thc cựng chiu ta c mt bt ng thc cựng chiu Chỳ ý: Khụng c cng v vi v ca bt ng thc ngc chiu e) Nu a > b v c < d thỡ a c > b d Tc l: Nu tr v vi v ca bt ng thc ngc chiu ta c mt bt ng thc cựng chiu vi bt ng thc b tr Chỳ ý: Khụng c tr v vi v ca bt ng thc cựng chiu f) Nu a > b v c > thỡ ac > bc Nu a > b v c < thỡ ac < bc Tc l: Nhõn v ca mt bt ng thc vi cung mt s dng thf bt ng thc khụng i chiu Nhõn v ca mt bt ng thc vi cựng mt s õm thỡ bt ng thc i chiu g) Nu a > b > v c > d > thỡ ac > bd Tc l: Nu ta nhõn v vi v hai bt ng thc cựng chiu cú cỏc v u dng thỡ ta c mt bt ng thc cung chiu Chỳ ý: Khụng c nhõn v vi v ca hai bt ng thc ngc chiu h) Nu a > b > thỡ 1 > >0 b a Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Tc l: Nu nhõn v ca bt ng thc u dng thỡ phộp ly nghch o di chiu ca bt ng thc k) Nu a > b > v n nguyờn dong thỡ a n > b n Nu a > b v n nguyờn dong thỡ a n + > b n +1 Mt s bt ng thc thụng dng + A 0( A = A = 0); A = A + A B B A B (B 0) A B A B + A B + A + B A + B Du = xy v ch A, B Cựng du + A B A B Du = xy v ch A B hoc AB0 2 + A > B A >B 2 + a (a = a = 0) + a + b 2ab (Du = xy v ch a = b ) a b + + (Vi a, b cựng du) b a Chỳ ý: chng minh mt bt ng thc cú nhiu cỏch, tu thuc vo tng dng ca bi toỏn Sau õy l mt s cỏch thng dựng II> CC PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC Png phỏp s dng nh ngha chng minh A B (hoc A > B ) ta chng minh A B (hoc A B > ) - Lu ý : A2 vi mi A ; du '' = '' xy A = - Vớ d : Bi toỏn 1.1 Chng minh bt ng thc Cụsi i vi hai s thc khụng õm ( cũn gi l bt ng thc clit ) a + b ab a,b R* Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Du = xy v ch a = b Tht vy, a + b ab a + b ab ( a b)2 Vi mi a,b Du = xy v ch a = b Bi toỏn 1.2 hoctoancapba.com a + b + c2 a + b + c a, b, c Chng minh 3 ữ vi mi s thc Phõn tớch: õy l mt ng thc khỏ quen thuc, ta cú th gii bng cỏch xột hiu v trỏi v v phi Li gii: Xột hiu a + b + c2 a + b + c 3a + 3b2 + 3c2 (a + b + c)2 ữ = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 = a + b + c2 a + b + c Vy 3 ữ Du = xy a = b = c a + b + c2 a + b + c Do ú 3 ữ Khai thỏc bi toỏn: - Bng phng phỏp xột du ca hiu A B ta xột c s ỳng n ca bt ng thc A B ý rng vi s thc bt kỡ u, v ta cng cú: u + v2 u + v ữ - tng t nh chng minh trờn ta cú th chng minh bi toỏn sau Bi toỏn 1.3 Vi mi s : x, y, z chng minh rng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Li gii: Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Ta xột hiu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 vi mi x (y - 1)2 vi mi y (z - 1)2 vi mi z => H vi mi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) vi mi x, y, z Du bng xy x = y = z = Khai thỏc bi toỏn: Tng t ta cú th chng minh bi toỏn sau: Cho a, b, c, d, e l cỏc s thc : Chng minh rng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Bi toỏn 1.4 Chng minh rng: a + b vi mi a, b cựng du b a Li gii: a + b 2ab (a b) a b Ta cú: + = = b a ab ab (a b) a, b cựng du ab > ab a b Vy + du = xy v ch a b = hay a = b b a Khai thỏc bi toỏn: 1.4.1 Chng minh tng t nh trờn ta cú th chng minh c bi Toỏn sau Chứng minh với x thoả mãn x 5, ta có : - x + x Hng dn: Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 5- x + x ( ) - x + x + ( x )( x 1) x = ( x )( x 1) Đ úng dấu x = 1.4.2 Chng minh bt ng thc: ab + bc + ca < c vi a ,b l cnh 2 gúc vuụng ca tam giỏc ABC, cũn c l cnh huyn Hng dn: Ta cú : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 Xột: a2 + b2 + c2 ab bc ca = 2a + 2b + 2c 2ab 2bc 2ca ) = ( 2 ( a b ) + (b c) + (c a) > ( ) Bi toỏn 1.5 Chng minh rng nu a.b thỡ: + 1+ a 1+ b2 1+ ab Phõn tớch: Cng cú th xột hiu v thỡ mi s dng c gi thit a.b ( ab ) Li gii: Xột hiu: + = + 1+ a 1+ b2 1+ ab 1+ a 1+ ab 1+ b2 1+ ab 1) = (b a) (ab (1+ ab)(1+ a )(1+ b2 ) Khai thỏc bi toỏn: - Vi s dng a, b, c m abc , bt ng thc sau ỳng hay sai? Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Chỳng ta cú th phỏt trin bi toỏn tng quỏt hay khụng? Nu c, hóy phỏt biu bi toỏn tng quỏt + + 1+ a 1+ b2 1+ c2 1+ abc - Vi s x, y m x + y ta cú: + y x + + + 2x + y Phng phỏp bin i tng ng - chng minh A B ta bin i tng ng A B C D ú bt ng thc cui cựng C D l mt bt ng thc hin nhiờn ỳng hoc l bt ng thc n gin hn bt ng thc A B Sau khng nh c tớnh ỳng n ca btng thc C D ta kt lun bt ng thc A B ỳng - Mt s hng ng thc thng dựng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bi toỏn 2.1 Chng minh rng a, b, c, d R thỡ a + b2 + c2 + d + e2 a(b +c +d +e) Li gii Bt ng thc ang xột tng ng vi b ng thc sau: (nhõn hai v vi 4, chuyn v) (a 4ab + 4b2 ) + (a 4ac + 4c2 ) + (a 4ad + 4d ) +(a 4ae + 4e2 ) (a 2b)2 + (a 2c)2 + (a 2d)2 + (a 2e)2 Bi toỏn 2.2 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Cho a, b, c l cỏc s thc Chng minh rng: a + b2 +1 ab + a + b Li gii: Bt ng thc a + b2 +1 ab + a + b (a + b +1) 2(ab + a + b) (a 2ab + b2 ) + (a 2a +1) + (b 2b +1) (a b)2 + (a 1)2 + (b 1)2 ỳng iu cn chng minh Khai thỏc bi toỏn: Tng t nh bi toỏn trờn hóy chng minh bt ng thc sau: Cho a, b, c l cỏc s thc Chng minh rng: a + b + c + + bc ca ab a b c ữ Bi toỏn 2.3 x, y chng minh rng x + y4 xy3 + x y Li gii: Ta cú: Vy Bi toỏn 2.4 x + y4 xy3 yx = x (x y) y3 (x y) = (x y)2 (x + y )2 + 3y x + y4 xy3 + x y Chng minh rng Li gii Ta cú: (1) a + b3 + c3 3abc (1) a +b+c ( a + b + c) ( a + b2 + c2 ab ac bc ) a +b+c (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (2) 10 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Vy (a + b)(b + c)(c + a) > 5abc 54> Húng dn: 4( x12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 ) - x1 ( x + x + x + x ) = (x 4x1x + 4x 22 ) + ( x12 4x1x + 4x 32 ) + (ììì) ( x1 2x ) + ( x1 2x ) + ( x1 2x ) + ( x1 x 52 ) = 55> Hng dn: Ta cú a+b>c a ab + b > a3 + b3 + 3.abc = (a - b)(a2 ab + b2) + 3.abc > c.(a2 ab + b2) + 3.abc = c.(a2 + 2.ab + b2) = c.(a + b)2 > c.c2 = c3 56> Húng dn: Hay Xột: ab + bc + ca < 2.c2 ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ab bc ca = ( ) 1 2a + 2b + 2c 2ab 2bc 2ca ) = ( a b ) + (b c) + (c a) ( 2 57> Hng dn: Ta vit : a b c (1 a ).(1 b) a + b + ab + 2.ab a + b + c a + b + + 2.ab + ab + ac + bc a b c a +b+c + + vy bc + ac + ab + 1 + ab 58> Hng dn: 4( x ) ( z) ( x z) = ( + y) ( x ) ( y ) ( z ) ( + y ) ( y ) = ( y2 ) Cần chứng minh: + y 1-y (đúng) 93 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 59> Hng dn: Cỏch 1> Ta cú b + c 2bc;c + d 2cd;d + a 2ad; Cng v vi v ta c ( a + b + c + d ) ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ( a + b + c + d ) a + b + c + d + ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ( a + b2 + c2 + d ) ( a + b + c + d ) = ( a + b + c2 + d ) Cỏch ( a + b + c + d ) = ( 12 + 12 + 12 + 12 ) ( a + b + c + d ) ( a + b + c + d) = 60> Hng dn: 2 1 1 a + + b + ữ + + ữ 2 a b a b a + + b + = ữ ữ a b 2 + ữ 25 a+b = 2 61> Hng dn: Ta cú = ( a + b + c ) ( a + b ) c a + b ( a + b ) c Li cú ( a + b) 62> Hng dn: Ta cú Tng t 2 4ab a + b 16abc ( b + c2 ) ( a ) ( a ) 3a 4a a 4 0b ; 0c 3 94 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 63> Hng dn: ( + a + b + c) 4( a + b + c) Li cú a a ;b b ;c c Vy ( + a + b + c) ( a + b2 + c2 ) 64> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi Tng t a a b a b 3a + + 33 = b b c bc abc b b c 3b + + c c a abc c c a 3c + + a a b abc Cng v vi v ta c iu phi chng minh 65> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi a ( + b ) ( + c ) 3a a3 1+ b 1+ c + + 3 = + b + c 8 64 + b + c ( )( ) ( )( ) b3 + a + c 3b + + Tng t + a + c 8 ( )( ) c3 + a + b 3c + + + a + b 8 ( )( ) Cng v vi v ta c: a3 b3 c3 a + b + c 3 abc + + + = 2 ( + b) ( + c) ( + a ) ( + c) ( + a ) ( + b ) 95 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 66> Hng dn: 1 ab ( a + b ) ab 64 ab ab ab.( a + b ) ( ( a+ b ) ) ab ( p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ab v 1-2 ab ( ) ab ab ( ) ab ab ) ab + ab 1 = ab ab hay: 2 ( ) 67> Hng dn: Gi s ngc li c bn ng thc u ỳng Nhõn tng v ta cú : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a (1 a ) ] [ b(1 b) ] [ c(1 c) ] [ d (1 d ) ] > 256 (1) Mt khỏc , ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú : a (1 a ) a +1 a = 2 => a(1 - a) 4 c(1 - c) d(1 - d) Tng t : b(1 - b) Nhõn tng v cỏc bt ng thc ; ta cú : [ a(1 a)] [ b(1 b)] [ c(1 c)] [ d (1 d )] > 256 (2) T (1) v (2) suy vụ lý iu vụ lý ú chng t ớt nht mt bt ng thc cho u bi l sai 96 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 69> Hng dn: Ta cú : p - a = b+ca >0 Tng t : p - b > ; p - c > ; p dng kt qu bi (3.5) , ta c ; 1 4 + = p a p b ( p a ) + ( p b) c 1 + Tng t : pb p c a 1 + pa pc b 1 1 1 + + ) 4( + + ) => 2( pa pc pc a b c => iu phi chng minh Du '' = '' xy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi ú tam giỏc ABC l tam giỏc u iii TèM GI TR LN NHT, NH NH 70> Hng dn: p dng bt ng thc Cụ-si ta c A = x = 71> Hng dn: a) A = x + + x Hng dn: Xột A = = x ta c A = vi x = , max A = vi x=0 b) B = x2 + 6x Hng dn: Xột B2 = + (x 2)(6 x) ta cú x = B = x = 97 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng p dng bt ng thc Cụ-si a + b ab ta c max B = 2 x = x = 72> Hng dn: p dnh bt ng thc Bunhacụpski ta c max A = x = 73> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi v Bunhacụpski ta c A = 100 x = 10,max A = 1000 x = 10 74> Hng dn: Cỏch 1: a b ay bx A = x + y = 1(x + y) = + ữ(x + y) = a + + +b x y x y p dng bt ng thc Cụ-si cho hai s dng ta c x = a + ab A = a + b + ab = ( a + b) y = b + ab Cỏch Dựng bt ng thc Bunhacụpski a b a b A = (x + y).1 = (x + y) + ữ x + y ữ x y x y 75> Hng dn: Ta cú x + y 2x y ; z + y 2z y ; x + z 2x z Suy x + y4 + z4 x y2 + z2 y2 + x 2z Mt khỏc, chng minh rng nu a + b + c = thỡ a + b2 + c2 Do ú Vy 76> Hng dn: x y2 + z y2 + x 2z 3 A = x = y = z = 3 98 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng A = x y , ú A ln nht v ch A ln nht A2 ( Bunhacụpski) 77> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi cho s x + y + z v t 2x x = y = Vy max A = hoc x + 4y = y = 10 x = y = 10 78> Hng dn: P( x) = x +x+2 x ( x + 1) + = ( ) x ( x + 1) + + x ( x + 1) + = x ( x + 1) + + x ( x + 1) + x = dấu dẳng thức x ( x + 1) + = x = 79> Hng dn: z4 1 = + ( x + y4 ) Ta cú P = 4 P z 1+ z ( x + y ) x2 y T xy z + x z + y = 3z xy + + =3 z z2 p dng Cụsi cho s khụng õm 2 x x 4 1; ; x ; x cú + + x + x 4 = z z z z p dng Cụsi cho s khụng õm 1 1; ; ; y cú + 14 + 14 + y 4 y8 = y2 z z z z z z 2 2 99 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng p dng Cụsi cho s khụng õm 1; x ; y ; y cú + x + y + y 4 x y8 = 4xy Cng v vi v ca bt ng thc trờn ta c x2 y 1 4 + + 3.x + 3.y + + xy ữ = 12 dấu x = y = z = z P z z Vậy Pmax = x = y = z = 80> Hng dn: (x P= + y3 ) ( x + y ) ( x 1) ( y 1) x ( x 1) + y ( y 1) x2 y2 = = + y x ( x 1) ( y 1) 2xy ( x 1) ( y 1) x2 y2 x +1 x dấu = lại có ( x-1) = dấu x = y x 2 y 1+1 y = dấu y = ( y 1) 2 2xy P = dấu x = y = x y 2 Vậy Pmin = x = y = 81> Hng dn: Ta cú f ( x ) = 2x + 5x + + x + 2x = p dng Cụsi cho s khụng õm Ta cú ( x + ) ( 2x + 1) + ( x + ) ( 2x + 1) ( x + ) 2x x + + 2x + 3x + = 2 dấu dẳng thức khi: x + = 2x + x = p dng Cụsi cho s khụng õm ( x + 3) ( x + ) ( 2x + 1) 100 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Ta cú 4+x +3 x +7 = 2 Dấu dẳng thức : = x + x = ( x + 3) ( x + ) ( 2x + 1) + ( x + 3) 2x 3x + x + + 2x = 2 dấu dẳng thức x = Vậy: f ( x ) = x = 82> Hng dn: Ta cú T = ( x + y ) ( x + z ) = x + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz Từ: ( x + y + z ) xyz = x ( x + y + z ) = thay vào T ta có: yz T= + yz dấu dẳng thức yz = yz 83> Li gii x10 y10 + ữ x y Du = xy v ch x12 = y12 Ta cú 2 y x 16 x + y16 ) x y8 dấu x16 = y16 ( 2 1 Q x y8 + x y ( + x y ) = ( x y8 + 2x y + 1) ( + x y ) 2 2 1 = ( x y + 1) ( x y + 1) 2 lại có: ( 12 + 12 ) ( x y ) + 12 ( x y + 1) hay ( x y + 1) ( x y + 1) dấu x y = 84> Hng dn: Ta cú 1 a 1 3a 1 2 P = ( b + c ) + a + ữ = ( b + c ) + + ữ+ 2+ 2ữ a b c a b c b c 101 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng a2 1 a2 1 2 ( b + c ) + b2 + c ữ a ( b + c ) b2 + c2 ữ a2 Cú 2 a2 a2 1 2 b + c = dấu b + c = ( ) b2 + c ( ) b2 + c2 ữ a2 a2 4b c = a ; b = c a2 1 a2 = du = xy v ch Li cú + ữ b c b + c2 b = c a2 a2 2 2 P dấu b = c = Vậy Pmin = b = c = 2 85> Hng dn: x +1 = x3 x ( x 1) + 2x 2 x ( x 1) x2 2x = + 2 x x 86> Hng dn: p dng bt ng thc : a2 + b2 + c2 + d (a + c)2 + (b + d)2 A = x + 12 + (1 x) + 2 ( x + x ) + (1 + 2) = 10 x A = 10 =2 x= x 87> a) iu kin : x 1, y Bt ng thc Cauchy cho phộp lm gim mt tng : a+b ab õy ta mun lm tng mt tng Ta dng bt ng thc : a + b 2(a + b ) A = x + y 2(x + y 3) = 102 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng x = y x = 1,5 max A = x + y = y = 2,5 Cỏch khỏc : Xột A2 ri dựng bt ng thc Cauchy b) iu kin : x 1, y Bt ng thc Cauchy cho phộp lm tri mt tớch : Ta xem cỏc biu thc ab a+b x , y l cỏc tớch : x = 1.(x 1) , y = 2(y 2) x 1.(x 1) + x 1 Theo bt ng thc Cauchy : = = x x 2x y2 2.(y 2) + y 2 = = = y y 2y 2 x = x = 2 2+ M ax B = + = 4 y = y = 88> Hng dn: iu kin x t 2 x = y 0, ta cú : y = x 2 9 a = y + y = y ữ + max A = y = x = 4 4 89> Hng dn p dng | A | + | B | | A + B | A = x p dng cỏc bt ng thc bit p dng xột hiu 90> Hng dn x + x + 12 ( x + 2)(6 x) x 3{ Tp xỏc nh : x + x + ( x + 1)(3 x) (1) Xột hiu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nờn 2x + > nờn A > } 103 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Xột : A2 = ( ) ( x + 2)(6 x) ( x + 1)(3 x) Hin nhiờn A2 nhng du = khụng xy (vi A > 0) Ta bin i A2 di dng khỏc : A2 = (x + 2)(6 x) + (x + 1)(3 x) - ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) = = (x + 1)(6 x) + (6 x) + (x + 2)(3 x) (3 x) - ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) = (x + 1)(6 x) + (x + 2)(3 x) ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) + = ( ( x + 1)(6 x) ( x + 2)(3 x) A2 Do A > nờn A = ) + 3 vi x = 91> Li gii: Trc ht ta chng minh : a + b p dng (*) ta cú : S = 2(a + b ) (*) (a + b 0) x + y 2(x + y 2) = x= x = y maxS = x + y = y = 2 Cú th tớnh S ri ỏp dng bt ng thc Cauchy 92> Li gii: A = 3x + 3y 3x.3y = 3x + y = 34 = 18 A = 18 vi x = y = 93 Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a + b c + d T gi thit suy : a+b+c+d b c b+c c c a +b+c+d c+d c+d A= + = ữ ữ c+d a +b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b t a + b = x ; c + d = y vi x y > 0, ta cú : b+c A x+y y y x y x y x y 1 + = + 1+ = + ữ = 2y y x 2y x 2y x 2y x 2 104 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng d =0 , x = y , b+ca +d ; a = + 1,b = 1,c = 2,d = A = Chng hn II GII PHNG TRèNH 94> Hng dn : a Túm tt : ( x + 2x )2 2(2x - + - 2x) = x + 2x => MaxL = x = x 2 (*) x + 2x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + , du '' = '' xy x = => vi x = ( tho TX ) thỡ VT = VP = b TX : => phng trỡnh (*) cú nghim x = 95> Hng dn: TX : -2 x VP = (x - 3)2 + Du '' = '' xy x = VT2 = ( x + x + 1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT , du '' = '' xy x = x+2 x=2 => khụng cú giỏ tr no ca x VT = VP => Phng trỡnh vụ nghim 96> Hng dn: y y + 13 => VT x = x = Du '' = '' xy : y = y = x 12 x + 16 2; => phng trỡnh cú nghim : x = ; y = c KT LUN 105 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Cỏc bi v bt ng thc thng l tng i khú i vi hc sinh , nhng hng dn hc sinh xong ti (mt s phng phỏp chng minh bt ng thc v ng dng ca bt ng thc ), hc sinh s thy rng vic lm bi toỏn v bt ng thc s r hn ng thi ng trc bi toỏn khú cho dự dng bi no hc sinh cng cú hng suy ngh v suy lun , cỏc em s cú t tin hn Chuyờn cũn cú th cũn nhiu thiu sút , rt mong c s ng h ca cỏc Thy, Cụ giỏo V cỏc bn ti ngy cng hon thin hn Nhõn õy, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti Ban giỏm hiu nh trng, ban ch nhim Khoa Toỏn Tin, c bit l ging viờn.Th.S.NCS.Nguyn Quang Hoố ó to iu kin v trc tip hng dn , giỳp tụi hon thnh ti ny Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng MC LC MC LC 106 ************************************************************ TI LIU THAM KHO 1> 2> 3> 4> 5> 6> i s s cp v thc hnh gii toỏn Hong K( ch biờn) Bi c bn v nõng cao i s (Phan Vn c-Ngyn ThỏI Ho - Nguyn Th Thng Nguyn Anh Dng) Bi toỏn chn lc v BT (GS: Phan Huy Khi) Nõng cao v phỏt trin toỏn (V Hu Bỡnh) Toỏn nõng cao i s (Nguuyn Vnh Cn) Bt ng thc (Trn c Huyờn) 106 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 7> 8> Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn i s (V Dng Thy: Ch biờn) Nguyn Ngc m Nõng cao v phỏt trin toỏn V Hu Bỡnh) 107 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 [...]... ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng (2) ỳng (1) ỳng Bi toỏn 2.5 Chng minh rng a 2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1 + a 2 ) 6abc (1) Li gii: (a bc)2 + (b ac)2 + (c ab)2 0 (1) (2) ỳng (1) ỳng Khai hỏc bi toỏn: Tng t nh trờn ta cú th chng minh bi toỏn sau 2.5.1 (2) Cho a > 0; b > 0 và a 3 + b3 = a b Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + ab < 1 Hng dn: a 3 + b 3 =... 9 2 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Khai thỏc bi toỏn 22 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Chng minh tng t nh trờn ta cú th chng minh c cỏc bi toỏn sau 5.2.1 Chng minh rng vi mi a,b > 0 tho món a + b = 1 ta cú 5.2.2 1 1 + 2 6 ab a + b 2 Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 thoả mãn : a.b = 1, ta có: 1 1 2 + + 3 a b a+b Hng dn: 1 1 2 2 a+b a+b 2 + + = ( a +... chng minh rng x + 2y + 3z 14 2) Cho a,b,c 0 , chng minh rng: a + b + c = 1 a + b + b + c + c + a 6 3) Cho a,b,c 0 , chng minh rng: c(b c) + c)a c) ab 4) Chng minh rng: (a1 + a 2 + + a n )2 n(a 22 + a 22 + + a n 2 ) 28 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 5) Cho ax + by = C , chng minh rng: A2x 2 + B2 y2 A2B2C2 a 2B2 + b2A2 Bi toỏn 6.4 Chng minh. .. , n >1 Tng t nh trờn ta cú th chng minh cỏc bt ng thc sau 1) Cho a,b,c l 3 cnh ca mt tam giỏc vuụng vi c l cnh huyn Chng minh rng: a 2n + b2n c2n n N 2) n N , Chng minh rng: 22n + 2 > 2n + 5 3) n N , n >1, chng minh rng: 1 + 1 + + 1 < 2 1 n 12 22 n2 Bi toỏn 3.4 Chng minh rng vi a,b,c,d,e ( 0;1) thỡ 15 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng ( 1 a... ữ ( bc + b + 1) a 1 2 á p dụng bất đẳng thức Bunhia - copxki cho hai bộ số : 1 ; b;b c ta có : a 1 2 2 2 b + c + a ữ a; b; c và ( a) +( ) ( ) 2 2 + b c ( 1 + b + bc ) hay ( b) ( 2 ) 2 ( a + b + c ) 1 2 + b + b 2 c ữ ( bc + b + 1) a 1 1 2 + b + b c ữ 2 ( a + b + c) ( bc + b + 1) a 1 Bi toỏn 6.2 Cho n s thc a1,a 2 , ,a n v n s dng ( n 1 ) Chng minh rng a12 + a 22 + + a n... Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng * F(x) = ax 2 + bx + c 4ac-b 2 4a x R (a > 0) b) Phng phỏp *> Phng phỏp 1: chng minh bt ng thc M > N ta bin i M > N B2 4AC 0 (A > 0) Xột tam thc F(x) = Ax 2 + Bx + C ta ch cn chng minh F(x) 0 x R *> Phng phỏp 2: chng minh bt ng thc M > N ta bin i M > N B2 4AC 0 Xột tam thc F(x) = Ax 2 + Bx + C Ta ch cn chng minh: x 0 / aF(x 0 ) 0 *> Phng phỏp 3: chng minh. .. a Ta cú: 1 2 1 2 n n Du = xy ra khi v ch khi a1 = a 2 = = a n Chng minh bng phng phỏp quy np Bi toỏn 5.1 I C 1 1 +19 ữ a b c Cho a,b,c > 0 .Chứng minh ( a + b +c ) + Phõn tớch: V trỏi cha a,b,c > 0 v cỏc nghch o ca chỳng.vỡ vy ta ngh n vic dựng bt dng thc cụsi Li gii: 21 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 B ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Cỏch 1 p dng bt ng thc Cụsi cho cỏc b 3... Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 3 Phng phỏp quy np toỏn hc - Kin thc : chng minh mt bt ng thc ỳng vi n > 1 bng phng phỏp quy np toỏn hc , ta tin hnh : + Kim tra bt ng thc ỳng vi n = 1 (n = n0) + Gi s bt ng thc ỳng vi n = k > 1 (k > n0) + Chng minh bt ng thc ỳng vi n = k + 1 + Kt lun bt ng thc ỳng vi n > 1 (n > n0) Chỳ ý: Khi chng minh bt ng thc cú n s (n N) Thỡ ta... d) ( 1 e) > 1 a b c d e V hóy chng minh mt kt qu tng quỏt hn kt qu ca bi toỏn trờn li gii: Ta s chng minh kt qu tng quỏt sau õy Vi a1 ,a 2 , ,a n ( 0;1) ( n 2 ) ( 1 a1 ) ( 1 a 2 ) ( 1 a n ) > 1 a1 a 2 a n Chng minh bng quy np toỏn hc theo n - Vi n = 2 ( 1 a 1 ) ( 1 a 2 ) = 1 a 1 + a 1a 2 > 1 a 1 a 2 - Gi s kng nh ỳn vi n = k , ta s chng minh khng nh cng ỳng vi n = k + 1 Do khng... bi toỏn sau: 1) Cho a,b,c > 0 v a + b + c + d = 1 Chng minh rng a +b+c + b+c+d + b+d+a + c+d+a 2 3 2) Cho a,b,c,d > 0 , Chng minh rng: a) (1+ a)(1+ b)(1+ c) (1+ 3 abc ) b) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + + (a + d)(b + c) 6 4 abcd Bi toỏn 5.5 Cho x1,x 2 , ,x n 0;1 , chng minh rng: 25 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng (1+ x1 + + x n )2 4(x12