Chuyên đề : Bất đẳng thức ( ôn THPT)

Chuyên đề : Bất đẳng thứcA- Mở đầu: Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiể

Chuyên đề : Bất đẳng thức

A- Mở đầu:

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat triển đa dang và phongphú

vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả

Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống

Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác

Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện

T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức

Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn

Danh mục của chuyên đề

16 Các bài tập nâng cao 23

19 Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình 31

20 Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên 33

21 Tài liệu tham khảo

2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng

3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc

4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu

2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình

3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên

1 1



3-một số hằng bất đẳng thức

+ A2  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z) 2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2  0 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2 2

c) Hãy tổng quát bài toán

giảia) Ta xét hiệu

2 2

2a2 b2 a2  abb2





VËy

2 2

DÊu b»ng x¶y ra khi a=bb)Ta xÐt hiÖu

2 2

2 2

2 2

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c

c)Tæng qu¸t

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

4 4

4

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

m n

0 2

0 2

0 2

m

q m p m

n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

Bµi tËp bæ xung

 2a b2  0 (bất đẳng thức này luôn đúng)

 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y Chứng minh

y x

y x

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

z y x

1 1

x (vì1x 1y 1z< x+y+z theo gt)

 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phảixảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Ph ơng pháp 3 : dùng bất đẳng thức quen thuộc

2)Bất đẳng thức Cô sy: n n a a a a n

n

a a

a a

3 2 1 3

2 1

2

2 a a n.x x n xa xa xa n

a           4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 111 9

c b

a (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 ( 1  x)( 1  y)( 1  z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

b c b a

4)Cho x 0,y 0 thỏa mãn 2 x y  1 ;CMR: x+y

c c a

b c b

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2

2

3 3

1

=

2 1

Vậy

2

1

3 3 3

b c b

a Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

3 1

ví dụ 4:

Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

      10

2 2 2 2

ab c

ac ab ab

ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

) ( ) (ac  bd  a b  c d

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

tacó ac+bd 2 2 2 2

. c d b

d c a

d c a

2 b c 

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1

6

5

  1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh)

c a b

c a b

c a b

a d

c b

d a d c

c d c b

b c b a a

Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã

d c b a

d a c b a

a c

b a

a c

b a

a



d c b a

d a

d c b a

a b d c b

b d

c b a

c b a d c

c d c b a

c d b a d

d d

c b a

d a d c

c d c b

b c b a

cd ab







2 2

cd d b

cd ab b

cd ab







2

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a

 gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

 Tõ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a

d c

999 1

 §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a

 =999+

999 1

khi a=d=1; c=b=999

2 2

n

a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

n

Gi¶i:

Ta cã

n n n k

1 1 1

2

1 2 2

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

k

1 1

1 1

1 1

3

1 2 1

1 1

1 1

3

1 2

1 3 1

2

1 1 2 1

2 2

2 2

2 2

Ph ơng pháp 7:

Dùng bất đẳng thức trong tam giác

L

u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

c a b

c b a

0 0

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác

ca bc ab c

b a ca bc

2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

Chứng minh rằng a2 b2 c2 2abc2

b c b

a

(1)Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

y 

; b =

2

y x

z 

; c =

2

z y

x y

z y

x x

z x y

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

z

nên ta có điều phải chứng minh

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111 9

z y

Gợi ý:

Đặt x  u , y  v  2u-v =1 và S = x+y =u 2 v2  v = 2u-1 thay vào tính S min Bài tập

b c b a

2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0

CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

2 2

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

1 2

1

2

1 1

1

2 2

2      nN;n 1 (1) Giải :

Với n =2 ta có

2

1 2 4

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

k k

k



k  k k

k

1 1

1 1

1 ) 1 (

1

1

1

2 2

1 1

k k k

b a b

2

2

1 1 1

1 1

1 1

a    a k  b k.a b 0

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  k k k k

b a b

a     a k  b k.a b 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

Ph ơng pháp 11: Chứng minh phản chứng

L u ý :

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức

đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

1 1 1



 thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

=x + y + z – (1x1y1z ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z > 1x1y1z

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao





y x

y x

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh2) Cho xy  1 Chứng minh rằng

xy y

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

y xy xy

x

x xy



    1 .1  0

) ( 1

1

) (

y x y xy

x

x y x

    

1   1 .1  0

1

2 2

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Iii / dùng bất đẳng thức phụ

¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c)

c c

b a

b c

a b a

b a

c c

a a

b b a

¸p dông B§T phô   2

x

y y

a

c b c

b

2 3

3

2 3

- NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1  x 4

(2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2  x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2  x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

Gi¶i :

V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã

x+ y + z 3 xyz3

Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =1   2

2 x y h a h a h   a xy

Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất  xy

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ

1 1 2

x y

x x x

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph ơng trình nghiệm nguyên

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn

x y

y z z

x y z

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

Nên không có cặp số nguyên dơng nào thoả mãn phơng trình

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : 0

0

x y

Tài liệu tham khảo

2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10

-nxb Đại học quốc gia hà nội 1998– 6 – 1998

3 – 6 – 1998 toán bồi dỡng học sinh đại số 9

-nhà xuất bản hà nội

4 – 6 – 1998 sách giáo khoa đại số 8,9,10

-nxb giáo dục 1998– 6 – 1998

-nhà xuất bản trẻ 1995– 6 – 1998

6 – 6 – 1998 Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i – 6 – 1998 hà nội