Quan hệ thứ tự bộ phận trên nửa nhóm và một số lớp ngôn ngữ phi nhóm

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh ngô thị thu hơng quan hệ thứ tự bộ phận trên nửa nhóm và một số lớp ngôn ngữ phi nhóm Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS: Lê Quốc Hán vinh 2004 3 Mở đầu Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình thức trong vài năm gần đây đã thực sự hấp dẫn nhiều tác giả trong và ngoài nớc. Nhiều công trình liên quan đến ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của các ngôn ngữ đã đợc công bố với nhiều kết quả sâu sắc và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết toán học và trong lĩnh vực máy tính. Có thể khảo sát các ngôn ngữ hình thức theo nhiều hớng tùy theo sự quan tâm và tính riêng biệt của ngời nghiên cứu. Do chuyên ngành chúng tôi chọn là Đại số và lý thuyết số, nên chúng tôi quan tâm nhiều đến vị nhóm cú pháp của các ngôn ngữ vì đó là cấu trúc cơ sở của đại số hiện đại. Trong [1]; [4]; [5]; [6] các tác giả đã nghiên cứu các ngôn ngữ mà vị nhóm cú pháp của nó là một nhóm và đã thu đợc nhiều kết quả đáng quan tâm.Trong [8], tác giả lại quan tâm đến lớp ngôn ngữ mà vị nhóm pháp của nó không phải là một nhóm, đó là ngôn ngữ thử đợc địa phơng và cũng thu đợc một số kết quả bớc đầu về dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp và ôtômát đoán nhận lớp ngôn ngữ này. Luận văn của chúng tôi tiếp tục hớng nghiên cứu mà [8] đã vạch ra với một số lớp ngôn ngữ rộng hơn nh ngôn ngữ chính qui mẫu, ngôn ngữ Lukaciewicz, ngôn ngữ Thierin. Luận văn gồm: Phần mở đầu, chơng 1, chơng 2 và phần kết luận. Chơng 1. Trình bày những kiến thức cơ sở về nửa nhóm các quan hệ trên một tập và trên một số lớp nửa nhóm đặc biệt. Chơng này gồm 2 tiết: Trong tiết 1, chúng tôi trình bày nửa nhóm quan hệ trên một tập, đặc biệt là quan hệ thứ tự bộ phận trên tập các lũy đẳng của một nửa nhóm và cấu trúc của nửa nhóm ngợc, các kết quả đáng chú ý của tiết này là mệnh đề 1.1.3 và định lý 1.1.4. Trong tiết 2, chúng tôi trình bày nửa nhóm bixyclic và quan hệ thứ tự trên nửa nhóm đó. Kết quả đáng chú ý trong tiết này là định lý 1.2.7. 4 Chơng 2. Trình bày về một số lớp ngôn ngữ phi nhóm, tức là lớp ngôn ngữ có vị nhóm cú pháp không phải là một nhóm, chơng này gồm 2 tiết Tiết 1, trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến ngôn ngữ hình thức nh vị nhóm cú pháp, ôtômát đoán nhận các ngôn ngữ và văn phạm sinh ra ngôn ngữ. Tiết 2, trình bày một số lớp ngôn ngữ phi nhóm và tập trung vào nghiên cứu lớp ngôn ngữ Thierin là lớp ngôn ngữ mà các nhóm con tối đại của vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ đó là tầm thờng (định lý 2.2.4 và mệnh đề 2.2.5). Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngời đã đặt cho tác giả một bài toán thú vị và đã giúp tác giả giải quyết trọn vẹn bài toán này một cách tận tình chu đáo. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Mai Văn T và các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo tác giả trong thời gian học tập cũng nh việc hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu nhà trờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban có liên quan đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh. Một lần nữa tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn trong lớp Cao học 10. Vinh, tháng 10/2004 Tác giả Chơng 1 Quan hệ thứ tự trên nửa nhóm 5 và nửa nhóm Bixyclic 1.1. Quan hệ thứ tự trên nửa nhóm Trong tiết này chúng tôi khảo sát quan hệ thứ tự trên nửa nhóm nói chung và trên một số lớp nhóm đặc biệt nói riêng để làm cơ sở cho việc trình bày sau này Giả sử S là một tập hợp. Khi đó mỗi tập con của tích Đề các S ì S = { (a, b) | a, b S } đợc gọi là một quan hệ trên tập S. Giả sử S là tập hợp và B S là tập hợp tất cả các quan hệ trên S. Ta đa vào B S phép toán hợp thành ( ) xác định nh sau: Giả sử , B S . Khi đó (a, b) , nếu tồn tại x S sao cho: (a, x) và (x, b) . 1.1.1. Mệnh đề. B S cùng với phép toán hợp thành là một vị nhóm với phần tử không. Chứng minh. Giả sử , , là các phần tử tùy ý của B S . Khi đó các điều kiện (a, b) ( ) và (a, b) ( ) đều tơng đơng với điều kiện: tồn tại các phần tử x, y S sao cho (a, x) , (x, y) và (y, b) . Do đó ( ) = ( ) nên phép toán hợp thành có tính chất kết hợp. Suy ra B S là một nửa nhóm. Trên S ta xác định quan hệ bằng nhau i nh sau: (a, b) i khi và chỉ khi a = b. Thế thì i là đơn vị của B S . Thật vậy, B S có (a, b) i x S : (a, x) i; (x, b) . a = x ; (x, b) (a, b) nên i = . Tơng tự i = nên i là đơn vị của B S . Trên S xác định quan hệ phổ dụng nh sau: (a, b) ; a, b S. Thế thì B S có: = và = nên là phần tử không của B. 6 Thật vậy, (a, b) . Khi đó theo định nghĩa của ,ta có (a, b) . Đảo lại, nếu (a, b) thì nên tồn tại x S sao cho (a, x) . Khi đó (x, b) nên (a, b) . Do đó = . Tơng tự, có = chứng minh mệnh đề 1.1.1. Giả sử B S . Ta xác định quan hệ -1 nh sau: (a, b) -1 (b, a) . Khi đó quan hệ -1 đợc gọi là quan hệ ngợc của quan hệ vì: -1 = i và -1 = i. Thật vậy, (a, b) -1 x S : (a, x) , (x, b) -1 . Khi đó: (a, b) -1 . Vì mỗi quan hệ trên S là một tập con của tích Đề các S ì S nên ta có thể đa vào B S quan hệ sau đây: , B S : khi và chỉ khi là tập con của , điều đó tơng đơng với (a, b) (a, b) a, b S. Vì B S gồm tất cả các tập con của SìS nên ta có thể thực hiện trong B S các phép toán Bun (Boole): hợp, giao và phần bù. Mệnh đề sau đây đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa. 1.1.2. Mệnh đề. Giả sử S là một tập hợp và B S là vị nhóm quan hệ trên S, là một tập các chỉ số , ( chạy qua ); , là các phần tử tùy ý thuộc nửa nhóm B S .Khi đó: i) và . ii) = ( ). iii) = ( ). iv) kéo theo -1 -1 . v) 1 = 1 . 7 vi) 1 = 1 . Bây giờ, ta chuyển sang quan hệ trên một nửa nhóm. Trớc hết, ta nhắc lại rằng phần tử e S đợc gọi là phần tử lũy đẳng nếu thoả mãn điều kiện e 2 = e. Không phải nửa nhóm nào cũng có lũy đẳng. Giả sử e là một lũy đẳng của S và H e là tập hợp các phần tử khả nghịch trong eSe = eS Se, thì H e là nhóm con tối đại của S và ngợc lại, nếu S có nhóm con tối đại G với phần tử đơn vị (trong G) là e thì G = H e . Hơn nữa, nếu e và f là các phần tử lũy đẳng khác nhau của nửa nhóm S. Khi đó H e H f = . Do đó, các nhóm con tối đại của một nửa nhóm S có thể đợc hình dung nh các đảo trong biển cả [2]. Giả sử S là một tập tùy ý và B S là vị nhóm quan hệ trên S .Khi đó quan hệ B S đợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận nếu: phản xạ (i ) phản đối xứng: -1 = i bắc cầu: . Bây giờ, giả sử S là nửa nhóm và E là tập các lũy đẳng của S. Quan hệ xác định nh sau Giả sử e, f E. Khi đó e f nếu ef = fe = e. 1.1.3. Mệnh đề. Quan hệ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên E (và đợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên trên E). Chứng minh. Vì e là lũy đẳng nên e 2 = e. Do đó e e. Suy ra có tính chất phản xạ. Mặt khác, nếu e f; f e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f. Vậy có tính chất phản đối xứng. 8 Hơn nữa, nếu e f và f g thì ef = fe = e và fg = gf = f. Do đó eg = (ef)g = e(fg) = ef = e và (ge) = g(fe)e = fe = e nên e g, suy ra có tính chất bắc cầu. Vậy là quan hệ thứ tự bộ phận trên E. Mệnh đề đợc chứng minh. Ta đa ra một lớp nửa nhóm và tập lũy đẳng E của nó khác rỗng. Giả sử S là một nửa nhóm và a,b S. Khi đó a và b đợc gọi là ngợc nhau nếu aba = a và bab = b. Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm ngợc nếu mỗi phần tử của S đều có một phần tử ngợc duy nhất. 1.1.4. Định lý. Ba điều sau đối với một nửa nhóm S là tơng đơng: (i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán đợc với nhau. (ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh trái duy nhất. (iii) S là nửa nhóm ngợc Chứng minh. Trớc hết, ta nhắc lại rằng một phần tử a S đợc gọi là phần tử chính quy nếu a aSa, hay nói cách khác a = xax với x nào đó thuộc S. Hơn nữa, f := xa cũng là một lũy đẳng và af = a. Khi đó phần tử b := xax. Ta chứng minh mệnh đề1.1.4 (i) (ii): Giả sử aS 1 = a aS là iđêan chính phải của S sinh bởi a. Vì S chính quy nên tồn tại x S sao cho x = axa. Khi đó e := ax là một lũy đẳng sinh ra aS 1 . Nếu f cũng là một lũy đẳng sinh ra iđêan aS 1 thì aS = fS = aS 1 . Khi đó ef = f và fe = e. Nhng theo i) có ef = fe nên e = f. 9 (ii) (iii). Giả sử iđêan chính phải aS 1 sinh bởi lũy đẳng e nghĩa là aS 1 = eS và iđêan chính trái S 1 a sinh bởi lũy đẳng f, nghĩa là S 1 a = Sf. Khi đó, từ aS 1 = eS suy ra tồn tại x S 1 sao cho a = ex nên ea = e 2 x = ex = a Ta lại có e = ay với y nào đó thuộc S 1 , nên a = ea = aya. Nếu y = 1 thì a = a 2 và a = aaa. Do đó trong mọi trờng hợp a là chính quy. Nh vậy, S là nửa nhóm chính quy và theo trên, mỗi phần tử a có một phần tử ngợc b = xax (nếu a = axa) nghĩa là aba = a; bab = b. Giả sử c là phần tử ngợc của a, ta cần chứng minh c = b. Thật vậy, từ aca = a; cac = c, ta có: abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca nên ab = ac và ba = ca theo (ii) (chú ý ab, ac, ba, ca là các lũy đẳng của S). Do đó b = bab = bac = cac = c b = c. (iii) (i). Rõ ràng một nửa nhóm ngợc thì chính quy, chỉ cần chứng minh hai lũy đẳng bất kỳ của S giao hoán đợc với nhau. Trớc hết, ta chứng minh tích của hai luỹ đẳng e và f là một lũy đẳng. Thật vậy, giả sử a là phần tử ngợc (duy nhất) của ef. Khi đó (ef).b.(ef) = af.ae 2 f = ef.a.ef = ef và b(ef).b = ae 2 .f.ab = ae.f.ae = ae = b. Theo iii) có ae = b = a. Tơng tự ta chứng minh đợc fa = a. Do đó a 2 = (ae)(fa) = a(ef).a = a, nên a là lũy đẳng. Khi đó a là phần tử ngợc của chính nó. Vì ef là phần tử ngợc của a, nên theo điều kiện ở iii) có a = ef. Nh vậy ef là lũy đẳng. Tơng tự, fe cũng là một lũy đẳng. Nhng khi đó (ef)(fe).(ef) = ef 2 .e 2 f = ef.ef = (ef) 2 = ef (fe)(ef)(fe) = fe 2 .f 2 e = fe.fe = (fe) 2 = fe. 10 Suy ra ef và fe ngợc nhau mà ef là lũy đẳng nên ef và fe ngợc nhau theo điều kiện iii) ef = fe (vì đều là phần tử ngợc của ef). Điều này kết thúc chứng minh định lý 1.1.4. 2.2. Nửa nhóm Bixyclic Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý và X là tập hợp các dãy hữu hạn các phần tử thuộc X. Nếu x = (x 1 , ., x n ) ; y = (y 1 , ., y n ) X thì ta định nghĩa tích xy := (x 1 , ., x m , y 1 , ., y n ). Khi đó X trở thành một nửa nhóm và gọi là nửa nhóm tự do trên tập X. Các phần tử thuộc X đợc gọi là các từ. Nếu ta đồng nhất phần tử x X với dãy (x) độ dài bằng 1, thì theo định nghĩa của tích trong X , ta có: (x 1 , ., x m ) = (x 1 ).(x 2 ) .(x m ) = x 1 x 2 .x m . Nh vậy X là tập sinh duy nhất tối tiểu của nửa nhóm X . Ta nói rằng X là nửa nhóm tự do sinh bởi X. Nếu ghép đơn vị 1 vào X , ta đợc vị nhóm 1 X = X 1 và 1 X đợc gọi là vị nhóm tự do sinh bởi X, ký hiệu là X * . Mệnh đề sau đây khá quen thuộc trong đại số hiện đại. 1.2.1. Mệnh đề. Giả sử X là nửa nhóm tự do sinh bởi tập X và f : X S là một ánh xạ bất kỳ từ X lên nửa nhóm S nào đó. Khi đó f có thể mở rộng một cách duy nhất tới đồng cấu : X S i . Giả sử X là một tập hợp tùy ý và X là nửa nhóm tự do sinh bởi X. Bây giờ, ta muốn đặt một số hệ thức xác định lên các phần tử thuộc X, chẳng hạn x 1 x 2 = x 3 2 4 x ; 3 1 x = x 1 x 2 x 3 . Giả sử các hệ thức đó là u = v ; , trong đó đối với mỗi phần tử thuộc tập chỉ số X thì u , v X . Giả sử 0 = {(u , v )| }, và là một quan hệ tơng đẳng trên X , là đồng cấu tự nhiên từ X lên X | . Khi đó tập 11 {x | x X} sinh ra nửa nhóm thơng X | và u = v ; . Nghĩa là tất cả các phần tử sinh của X | thực sự thoả mãn hệ thức xác định. Ta gọi X | là nửa nhóm sinh bởi tập X và cho bởi các hệ thức xác định u = v , . Ta chú ý rằng, thực ra X | đợc sinh ra bởi tập X . 1.2.2. Mệnh đề. Giả sử X là nửa nhóm tự do sinh trên tập X, 0 là một quan hệ bất kỳ trên X sinh bởi 0 , là đồng cấu tự nhiên từ X lên X | . Nếu S là một nửa nhóm bất kỳ và là một đồng cấu từ X vào S sao cho u = v đối với mỗi (u, v) 0 thì tồn tại một đồng cấu : X S sao cho = . Chứng minh. Trớc hết, ta chứng tỏ rằng nếu w và w' là các phần tử thuộc X mà w w' thì w = w' . Vì là tơng đẳng sinh bởi 0 , nên w w' khi và chỉ khi ta có thể đi từ w đến w' bằng một 0 - bắc cầu. Nhng điều cuối cùng có nghĩa là w = w 1 .u.w 2 và w' = w 1 .v.w 2 trong đó w 1 , w 2 X * và (u, v) 0 . Trong mỗi trờng hợp theo giả thiết, ta có u = v và do đó w = (w 1 )(u ).(w 2 ) = (w 1 ).(v )(w 2 ) = w' . Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ : X | S bằng cách đặt w . = w với mỗi w X .Theo chứng minh trên, ta có w = w' , nên w kéo theo w = w' . Từ đó suy ra tính đơn trị của . Miền xác định của là toàn bộ X | đợc suy ra từ kết quả '' Mỗi phần tử thuộc X | có dạng w với w nào đó thuộc X ''. Vì đẳng thức = đợc suy ra từ cách xác định , nên ta còn phải chứng minh là đồng cấu. Giả sử w, w' X . Khi đó [(w )(w' )] = [(w, w') ] = (ww') = (w )(w' ) = [(w ). ][w' ) ]. 12