Về k dãy chính quy và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ NGỌC HUYEN VỀ k-DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ NGỌC HUYEN VỀ k-DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM HỮU KHÁNH Mục lục TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU AnnR(x) : Linh hóa tử phần tử x AnnR(M) : Linh hóa tử mơđun M AssR(M) : Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M AttR(A) : Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun A Spec(R) : Tập iđêan nguyên tố vành R depth(I, M) : Độ sâu M I fdepth(I, M) : Độ sâu lọc M I k-depth(I, M) : k—độ sâu M I ZDR(M) : Tập ước không M RiF : Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử hiệp biến F Ext : Hàm tử mở rộng rI(•) : Hàm tử I-xoắn rI(M) : Môđun I-xoắn R—mơđun M HI(•) : Hàm tử đối đồng điều thứ i R—môđun HỊ(M) :I Môđun đối đồng điều thứ i R—môđun M iđêan Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài "Về k—dãy quy ứng dụng” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Phạm Hữu Khánh chưa công bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, ngày 25 tháng năm 2020 Học viên thực Phạm Thị Ngọc Huyền MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại m M R—môđun hữu hạn sinh Chúng ta biết môđun đối đồng điều địa phương (M) nói chung khơng Noether khơng Artin Vì vậy, người ta tìm điều kiện hữu hạn cho môđun Hj(M) để hiểu môđun Năm 1990, C Huneke [7] đưa giả thuyết: "Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương H(M) tập hữu hạn với R-môđun hữu hạn sinh M, với iđêan I với số nguyên i." G Lyubeznik [10] Huneke - R Y Sharp [8] chứng minh giả thuyết cho trường hợp vành địa phương đẳng đặc số Mặc dù A Singh [17] M Katzman [9] đưa ví dụ mơđun hữu hạn sinh mà có số mơđun đối đồng điều địa phương với vô hạn iđêan nguyên tố liên kết, giả thuyết cho nhiều trường hợp Vấn đề đặt với điều kiện tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Hj(M) tập hữu hạn Năm 2008, Nông Quốc Chinh Lê Thanh Nhàn [6] giới thiệu khái niệm k—dãy quy mở rộng khái niệm dãy quy sau Cho k > số nguyên Một dãy phần tử x , ,x r G I gọi k-dãy quy M I xi k, với i = 1, ,r Một phần tử X G m gọi k-phần tử quy M x / p, với p G Ass (M) thỏa mãn dim R/p > k i R Độ dài cực đại k—dãy quy M I gọi k—độ sâu M I kí hiệu k-depth(I, M) Bằng cách sử dụng khái niệm k—dãy quy k—độ sâu, Nơng Quốc Chinh Lê Thanh Nhàn đưa số kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Mục đích luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kết k—dãy, k—độ sâu ứng dụng vào việc nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương báo [6] Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chứng minh chi tiết kết về: Tập iđêan nguyên tố liên kết; Dãy quy độ sâu; Môđun đối đồng điều địa phương Chương 2: k—dãy quy ứng dụng Chương trình bày chứng minh chi tiết kết k—dãy quy, k—độ sâu kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành đào tạo thạc sĩ Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn thầy Phạm Hữu Khánh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tận tình hướng dẫn khích lệ tơi vượt qua lúc khó khăn suốt thời gian thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy khoa Tốn, trường Đại học Quy Nhơn tận tình bảo, dạy dỗ truyền đạt cho tơi nhiều kiến thức bổ ích suốt thời gian học Đại học Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy đồng nghiệp trường TH - THCS Bùi Thị Xuân, gia đình, người thân bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực khoá luận Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Phạm Thị Ngọc Huyền Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ Trong toàn chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương để làm sở cho Chương Trong chương ta xét R vành giao hoán, M R—môđun 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Trước hết, nhắc lại định nghĩa iđêan nguyên tố liên kết với số kí hiệu dùng luận văn Định nghĩa 1.1.1 Cho M R—môđun x phần tử M Khi đó, (i) Tập AnnR(x) = {a G R | ax = 0} gọi linh hóa tử phần tử x; (ii) Tập AnnR(M) = {a G R | ax = 0, Vx G M} gọi linh hóa tử môđun M Chú ý 1.1.2 AnnR(x) AnnR(M) iđêan R Định nghĩa 1.1.3 Cho M R—môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x G M, x = cho AnnR(x) = p Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass (M) Ass(M) R không muốn nhấn mạnh vào vành R Như vậy, ASSR(M) = {p ị Spec(R) | 3x ị M,x = 0,p = AnnR(x)} Nhận xét 1.1.4 Cho p iđêan nguyên tố liên kết R AssR(R/p) = {p} Chứng minh Với = x = a + p ị R/p, ta có AnnR(x) = {b ị R | b(a + p) = 0} = {b ị R | ba + p = 0} = {b ị R | ba ị p} = {b ị R | b ị p} = p Vậy ASSR(R/p) = {p} □ Định nghĩa 1.1.5 Phần tử a vành R gọi ước không R— môđun M tồn x ị M, x = cho ax = Tập ước khơng M kí hiệu ZD (M) R Định lý 1.1.6 ([12], Định lí 6.1) Cho R vành Noether M R-môđun khác khơng Khi đó, (i) Phần tử cực đại họ iđêan F = {AnnR(x) | = x ị M} iđêan nguyên tố liên kết M (ii) ZDR(M) = u peAssR ( p M) Chứng minh (i) Giả sử p = Ann(x) ị F, p phần tử cực đại F Ta cần chứng minh p nguyên tố Với a, b ị R mà ab ị p, bị p ta có, abx = 0, bx = Do = bx ị M nên Ann(bx) ị F Vì Ann(x) c Ann(bx) Ann(x) phần tử cực đại nên Ann(bx) = Ann(x) Do abx = —dãy quy M p G Supp (M) cho dim R/p > k x R p Giả sử G X khơng phải dãy quy Mp Khi tồn qRp G Ass (Mp) Rp cho X G qRp Từ ta có x 1 G q q G Ass (M), dim R/q > k Điều mâu R thuẫn với giả thiết x k—dãy quy M Ngược lại, dãy quy Mp, vp X G phải k—dãy quy M Khi tồn p p Ta có Supp(M) chứa x1 Giả sử x1 không G Ass M, dimR/p > k cho x1 G X G pRp G AssMp Điều mâu thuẫn với giả thiết X phần tử 1 quy Mp (ii) x1, ,xn k—dãy quy M Suy X , , X Mp dãy quy, vp G n Supp M, dim R/p > k Theo Định lý 1.2.8, "'1, , Xp Mp dãy quy Từ (i) ta suy xí , ,xtn k—dãy quy M (iii)Cho x k—dãy quy M Giả sử dim(0 :M x) > k Khi ta chọn p G AssR(0 :M x), dim R/p > k Từ thấy p £ AssR(M), dimR/p > k x £ p Điều mâu thuẫn với giả thiết x k—dãy quy M Vì ta có dim(0 : x) < k M Ngược lại, giả sử x khơng phải k—phần tử quy Khi tồn p £ AssM cho dimR/p > k, x £ p Ta cần chứng minh dim(0 : x) > k Thật vậy, p £ Ass M M nên p = AnnR(m) với m £ M Suy x £ AnnR(m) Từ ta có xm = suy m £ (0 :M x) Khi p £ Ass(0 :M x) Mặt khác, dim(0 :M x) = max{dim R/q | q £ Ass(0 :M x)} > dim R/p > k Điều mâu thuẫn với giả thiết dim(0 :M x) < k □ Cho dãy x = (xi, , x ) phần tử m, ta đặt n T(x,M)= Ụ Ass (M/C^1 , ,xtn)M} t , ,t €N i n Chú ý T(x, M) nói chung khơng phải tập hữu hạn Katzman [[9], Hệ 1.3] cho ví dụ vành Noether địa phương (R, m) với hai phần tử x,y £ m cho Ass(H( ) xy R (R)) tập vô hạn, tập Un Ass(R/(xn,yn)R) tập eN vơ hạn Sau đây, đưa số trường hợp T(x, M) tập hữu hạn Mệnh đề 2.1.3 ([6]) Cho x = (xi, ,xn) k-dãy quy M Khi có {p £ £ T(x, M) : dimR/p > k} = {p £ Ass(M/(xi, , xn)M) : dimR/p > k} Đặc biệt, tập {p T(x, M) : dim R/p > k} hữu hạn Chứng minh Cho p £ T(x, M) cho dim R/p > k Khi tồn số nguyên dương t1, , tn cho p £ Ass(M/(xt1 , , xtn )M) Suy pRp £ AssRp (Mp/ n (xti, ,xtn)Mp), depthR (Mp/(xt1 , ,xn)Mp) = Với a £ R, kí hiệu p a ảnh a Rp Chú ý xi , ,x n dãy k—dãy quy M theo Bổ t đề 2.1.2(ii) Vì dimR/p > k, theo t tn Bổ đề 2.1.2(i) có "'1 , , 'X' dãy quy Mp, dãy quy cực đại depth (Mp/(x1 , ,xtn)Mp) = Do X , , X Rp 1 n dãy quy cực đại Mp Vì thế, pRp € Ass(Mp/(x , ,x )Mp) Do đó, p € n Ass(M/(x1, ,xn)M) Suy {p € T(x, M) : dim R/p > k} c {p € Ass(M/(xi, , xn)M) : dim R/p > k} Chiều ngược lại hiển nhiên Đặc biệt, Ass(M/(x , ,x )M) tập hữu hạn nên {p n € T(x,M) : dim R/p > k} tập hữu hạn □ Hệ 2.1.4 ([6]) (i) Nếu x = (x1, ,xn) dãy quy M, T(x, M) = Ass(M/(xi, , xn)M) (ii) Nếu x = (x1, ,xn) dãy quy lọc M, T(x, M)\{m} = Ass(M/(x1, , xn)M)\{m} Trong trường hợp này, T(x, M) tập hữu hạn Chứng minh Với k = k =1 Mệnh đề 2.1.3, có điều phải chứng minh □ Tiếp theo, nhắc lại lý thuyết biểu diễn thứ cấp Macdonald [12] giới thiệu năm 1973, theo nghĩa đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ Một R—môđun S gọi thứ cấp S = với r € R, phép nhân r S toàn cấu lũy linh Nếu S thứ cấp ựAnii/,-(S) = p iđêan nguyên tố Khi ta nói S môđun p—thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp R—mơđun M phân tích M = M + • • • + Mr thành tổng hữu hạn môđun p -thứ cấp M Môđun M gọi biểu diễn i i M = M có biểu diễn thứ cấp Biểu diễn thứ cấp M = M + • • • + M gọi tối tiểu khơng có M thừa r i p = pj với i = j Vì tổng hai môđun p—thứ cấp môđun p—thứ i cấp nên biểu diễn thứ cấp M đưa dạng tối tiểu Iđêan nguyên tố p gọi nguyên tố gắn kết R—mơđun M M có mơđun thương p—thứ cấp Tập iđêan nguyên tố gắn kết M ký hiệu AttR(M) Định lý sau M mơđun biểu diễn Att (M) tập hữu R hạn Định lý 2.1.5 ([12], Định lý 6.9) Giả sử M = M1 + -+ Mr biểu diễn thứ cấp tối tiểu M M p -thứ cấp Khi i i AttR(M) = {p1, .,pr} Kết sau Macdonald phạm trù môđun biểu diễn chứa phạm trù môđun Artin Định lý 2.1.6 ([12], Định lý 5.2) Mọi R-môđun Artin biểu diễn Chứng minh Giả sử M R—môđun Artin không biểu diễn Xét tập môđun khác không, không biểu diễn M Tập khác rỗng có chứa M Vì M R—mơđun Artin nên tập có phần tử cực tiểu N Do N môđun không biểu diễn nên N không môđun thứ cấp Vì N mơđun Artin khác khơng khơng môđun thứ cấp nên N tổng hai môđun thực N N2 Hơn nữa, tính chất cực tiểu N tập ta xét nên N1, N2 môđun biễu diễn Vì N tổng hai mơđun biễu diễn N , N nên N môđun biễu diễn Điều mâu thuẫn với cách chọn N Vậy M môđun biễu diễn □ Bổ đề 2.1.7 ([15]) Cho M m—đầy đủ ađic M Khi ta có ASSR M = {p n R : p G ASSR M} Mệnh đề 2.1.8 ([6]) Cho x = (x1, ,xn) dãy quy hốn vị M Khi có d \ / T (x, M) C u U( Att (H,(M/£XjM)))u{m} J £{1,- ,n} i=0 jeJ i Trong trường hợp này, T(x, M) tập hữu hạn Chứng minh Định nghĩa R m—đầy đủ ađic R Mỗi R—mơđun A Artin có cấu trúc tự nhiên R—môđun với cấu trúc này, Ass A = {pnR : p R G ASSR A} (Bổ đề 2.1.7) Mỗi R—môđun hữu hạn sinh N, theo Bổ đề 2.1.7 kéo theo Ass N = {p R n R : p G ASSR N}, N m—đầy đủ ađic N Do đó, đủ để chứng minh mệnh đề trường hợp R = R Cho n > d — Khi dim(M/(x , , Xn)M) < Do đó, Supp(M/(xi, , xn)M) u {m} = Ass(M/(xi, , xn)M) u {m} Do đó, theo ([2], 11.3.3) có Ass (M/(xt1 , , xtn ) M ) C Supp (M/(x1 , , xn)M) n C Ass(M/(x1, , xn)M) u {m} d/ Cu( i=0 \ Att (Hm(M/(xi, ,Xn)M))} u {m}i với t , ,t Vì kết trường hợp n Cho n < d — Khi phép quy nạp theo n lý luận tương tự chứng minh ([15], 3.1), chứng minh (Att (Hịn(M/ (x1\ x‘-)M)^i C u (Att (H,m(M/£xjM)^ u{m} J £{1, ,n} jEJ với t-í, ,t > với i > Do đó, theo ([2],11.3.3) ta có 2.2 n k—độ sâu Cho M R—môđun hữu hạn sinh với dim M = d I iđêan R Định nghĩa 2.2.1 ([6], 3.1) Cận k—dãy quy M I gọi k—độ sâu M I kí hiệu k-depth(I; M) Bổ đề 2.2.2 ([6], 3.2) Giả sử dim M/IM = d — r Khi có (i) k-depth(I; M) < r với k = 0,1, , d — r (ii) k-depih(I; M) = TO với k > d — r Chứng minh (i) Cho k < d — r Khi với k—dãy quy M I phần hệ tham số M Chú ý phần hệ tham số M I có độ dài tối đa r Do đó, k-depih(I; M) < r (ii) Cho k > d — r Giả sử k-depih(I; M) = n < TO Cho x1, ,xn k—dãy quy M I Nếu I dim(R/p) > k C p với p G Ass(M/(x1, ,xn)M) thỏa mãn d— r = dimM/IM > dimM/pM = dimR/p > k > d— r, Điều vô lí Do I p với p vậy, tồn phần tử x n+1 G G Ass(M/(x1, ,xn)M) thỏa mãn dim(R/p) > k Vì I cho x1, ,xn+1 k—dãy quy M Vì k-depth(I; M) > n + Điều mâu thuẫn □ Bổ đề 2.2.3 Cho r số nguyên dương Giả sử dim M/IM > k Khi mệnh đề sau tương đương: (i) dimExtR(R/I; M) < k với i < r; (ii) I chứa k—dãy quy M có độ dài r Chứng minh (i) (ii) : Vì dimExtR(R/I; M) < k nên với p G Ass M, dim R/p > k ta có I p Do đó, tồn phần tử X —dãy G I cho X1 (/ p, với p G Ass M, dim R/p > k hay X1 k quy M Theo Bổ đề 2.1.2 (i), dim(0 : X ) < k Ta chứng minh kết M quy nạp theo r Trường hợp r = 1, từ chứng minh ta suy kết Giả sử r > Vì dim(0 : X ) < k nên dimExtR(R/I; : X ) < k với i Xét dãy M M khớp 0 :M X1 M —V X1 M ta có dãy khớp ExtR(R/I; M) ExtR(R/I; X1M) với i Do dim (ExtR(R/I; X M)) < k với i < r Từ dãy khớp X1M M M/X1M ta có dãy khớp ExtR+ (R/I;0 :M X1) ExtR(R/I; M) ExtR(R/I; M/X1M) ExtR+ (R/I; X1M) với i Từ dimExtR(R/I; M/X1 M) < k, Vi < r — Theo giả thiết quy nạp, tồn x , ,x r k—dãy quy M/x M I Do đó, xi, ,x k—dãy quy M r I (ii) (i) : Giả sử xi, ,xr k—dãy quy M I Cho p ị Supp M/IM cho dim R/p > k, theo Bổ đề 2.1.2(i), X, , "'1' Mp-dãy quy IRp Từ (ExtR(R/I; M)) = với p R p i < r Do p ị SuppExtR(R/I; M) Suy ra, dimExtR(R/I; M) < k với i < r □ Định nghĩa 2.2.4 ([6], 3.3) Một k—dãy quy xi, ,xn M I gọi cực đại không tồn phần tử y ị I cho xi, ,x ,y k—dãy quy n M I Từ Bổ đề 2.2.2(i) Bổ đề 2.2.3 có kết sau Mệnh đề 2.2.5 ([6], 3.4) Giả sử dimM/IM > k Khi đó, k-dãy quy cực đại M I có độ dài hữu hạn có độ dài k-depth(I; M) Từ định nghĩa ta dễ dàng suy x ị I k—phần tử quy M, k-depth(I; M) = k-depth(I; M/x1M) + Kết thể số đặc trưng k-depth Mệnh đề 2.2.6 ([6], 3.5) Cho k > số nguyên I iđêan R Giả sử dim M/IM > k Khi có k-depth(I; M) = min{depth(IRp; Mp) : p ị Supp(I/IM), dim R/p > k} = min{i : dimExti(R/I; M) > k} Chứng minh Đặt r = k-depth(I; M) Cho xi, ,x k—dãy quy cực đại r M I Khi với i < r có dim(ExtR(R/I; M)) < k dim(ExtR(R/I; M)) > k theo (Bổ đề 2.2.3) Do r = min{i : dim(ExtR(R/I; M)) > k} Hơn nữa, i < r ExtR(Rp/IRp; Mp) = với p > G Supp M/IM với dim R/p k ExtR(Rp/IRp; Mp) = Do r = min{depth(IRp; Mp) : p G Supp M/IM, dim R/p > k} Mệnh đề chứng minh xong □ Cho I iđêan R với dim M/IM = d — r Theo Bổ đề 2.2.2, 0-depth(I; M) < 1-depth(I; M) < < (d — r)—depth(I; M) < r, k-depth(I; M) = TO với k > d — r 2.3 Kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Chúng ta biết tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Ass Hi(M) không hữu hạn trường hợp tổng qt Mục đích phần R trình bày kết hữu hạn tập Ass Hi(M) R Giả sử dimM/IM = s Với k = 0,1, ,s, đặt n = k-depth(I; M) Chú ý k k-depth(I; M) = TO với k > s Chúng ta giới thiệu vài kết liên quan tới hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Hỹ* (M) Hơn nữa, mô tả cụ thể tập hữu hạn Ass(Hỹ (M)) Định lý 2.3.1 ([6], 4.1) Cho dimM/IM = s Đặt H = {p k Khi G Ass(Hỹ (M)) : dimR/p > k} với k = 0, 1, , s k = Hk = {p G Ass(ExtR (R/I; M)) : dimR/p > k} k Trong trường hợp này, H tập hữu hạn với k = 0,1, , s k Chứng minh Cho k G {0,1, , s} Chú ý n < ro theo Bổ đề 2.2.2(i) Theo Mệnh k đề 2.2.6 có nk = min{depth(IRp; Mp) : p G Supp(M/IM), dim R/p > k} Do đó, tồn iđêan nguyên tố p G Supp(M/IM) cho dim R/p > k depth(IRp; Mp) = nk Từ suy (Hj' (Mp))p = HR (Mp) = Do đó, p G Supp(Hn (M)) Gọi p' k k iđêan nguyên tố nhỏ Supp(Hỹ (M)) cho p' C p Khi p' G AssHjk(M)) k dimR/p' > dimR/p > k Do đó, p' G H H = k k Giả sử p G Ass(Hn(M)) cho dim R/p > k Khi pRp e Ass(Hn (M))p = AssCHỹR(Mp)) k Suy HR (Mp) = Chúng ta chứng minh depth(IRp; Mp) = n Thật vậy, cho xi, , x k k—dãy quy M I Khi nk X, , x*- dãy quy Mp IRp theo Bổ đề 2.1.2(i) Do đó, depth(IRp; Mp) > nk Vì HằỊ, (Mp) = nên depth(IRp; Mp) < nk Do depth(IRp, Mp) = nk Theo ([14],1.1) có Ass(HnR (Mp)) = Ass(ExtnR (Rp/IRp; Mp)) k k p Do đó, p G p Ass(Hn (M)) pRp G Ass(HnR(Mp)), pRp G k AssịExiR (Rp/IRp; Mp)) Từ suy p G Ass(Hn (M)) p G k Ass(ExtRR (R/I; M)) k Vì Ass(ExtRR (R/I; M)) tập hữu hạn nên H tập hữu hạn □ k k Với số nguyên i > 0, biết liệu giá Hi(M) tập đóng phổ R Chú ý Supp(Hi(M)) đóng Spec R Hi(M) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu Do đó, quan tâm đến câu hỏi liệu tập hợp tất số nguyên tố liên kết tối tiểu Hi(M) hữu hạn Định lý 2.3.1 đưa vài số i cho tập tất số nguyên tố liên kết chiều cao H|(M) hữu hạn Kết sau đây, hệ Định lý 2.3.1, chứng minh tính khơng triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương Hệ 2.3.2 ([6], 4.2) Cho I iđêan R Giả sử dim M/IM = s Đặt nk = kdepth(I; M) với k = 0,Khi Hp (M) = với k = 0, 1, , s Đặt n = k-depth(I; M) với k = 0, , dim M/IM Khi có Ass(Hỹ (M)) = k Ass(ExtR (R/I; M)), Ass(Hỹ (M)) tập hữu hạn Kết 0 hệ Định lý 2.3.1, mô tả tập iđêan nguyên tố liên kết Hỹ (M) Hệ 2.3.3 ([6], 4.3) Cho I iđêan R với dimM/IM > Đặt n1 = 1-depth(I; M) Khi có Ass(Hn (M)) u {m} = Ass(ExtR (R/I; M)) u {m} Đặc biệt Ass(Hp (M)) tập hữu hạn Tiếp theo mô tả tập Ass(Hp (M)) Trước hết, có bổ đề sau Bổ đề 2.3.4 ([6], 4.4) Cho K R—môđun T mơđun K Khi Ass K u Supp T = Ass(K/T) u Supp(T) Hơn nữa, SuppT tập hữu hạn Ass(K/T) c Ass K u {m} Chứng minh Hiển nhiên có Ass K c Ass(K/T) u Supp(T) Cho p ị Ass(K/T)\ Supp T Khi p = (T : m) với m phần tử thuộc K Do R pm c T Vì p ị Supp T, có Tp = Vì (pm)p = Vì pm sinh hữu hạn phần tử, viết pm = (m , ,mt)R, m G K Kí hiệu m ảnh m (pm)p Với i = 1, ,t, i i 1= m i nên tồn ri G p cho rimi = Đặt r = r r Khi r / p r(pm) = Từ suy p C Ann(rm) Lấy a G Ann(rm) t Khi arm = ar G Ann(m) C (T : m) = p Vì r / p, có a G p Do đó, r p = Ann(rm) Vì vậy, p G AssK Bây giả sử Supp T tập hữu hạn Lấy p = m cho p G Supp T Khi p phần tử nhỏ Supp T Do đó, p G Ass T Từ p G Ass K Vì Supp T C Ass K u {m} Suy Ass(K/T) c Ass(K/T) u SuppT = Ass K u Supp T c Ass K u Ass K u {m} = Ass K u {m} Bổ đề chứng minh xong □ Bổ đề 2.3.5 ([15], 5.2) Supp H|(M) tập hữu hạn với i < 2-depth(I; M) Đặc biệt, Ass H(M) tập hữu hạn với i < 2-depth(I; M) Định lý sau cho ta kết hữu hạn cho tập Ass(Hn (M)) Định lý 2.3.6 ([6], 4.5) Cho I iđêan R với dimM/IM > Đặt n2 = 2-depth(I; M) giả sử n > Cho x1, ,xn 2—dãy quy M I Đặt M = M/(x1, ,xn 2- 2- )M P = un=- Supp(H}(M)) Khi có Ass(Hn(M)) u P = Ass(ExtR(R/I; M/H0(M))) u P (2.1) Đặc biệt, Ass(H^ (M)) tập hữu hạn Chứng minh Trường hợp n = Chúng ta có Ass(H (M)) = Ass(H (M/H (M))) = Ass(Ext R(R/I;M/H (M))), (2.1) 1 trường hợp Trường hợp n > Đặt M = M/x M Vì x 2—phần tử quy M nên 1 theo Bổ đề 2.1.2(iii) ta có dim(M :R x ) < Do H (M) = H (M/(0 :M x )) với j > Từ dãy khớp j j M/(0 :M x1) — M 0, M1 có dãy khớp sau (2.2) Hj- (M) Hj- (M1) Hj(M) — Hj(M) 1 với j > Kí hiệu T ảnh ánh xạ Hn (M) Hỹ (M ) dãy khớp (2.2) Vì 2-1 2-1 n2 > 2, có (0 :Hp(M) x1) = Hn - (M1)/T Vì T thương Hỹ - (M), chúng 2 ta có SuppT c Supp(Hỹ (M)) c P Từ Bổ đề 2.3.4 có 2-1 Ass(H^(M)) u P = Ass(0 :Hp(M) x1) u P = (Ass(Hỹ - (M1)/T) u Supp T) u P = (Ass(HIn - (M1)) u SuppT) u P = Ass(HIn - (M1)) u P Chú ý 2-depth(I; M ) = n — 1 Đặt P1 = u”=- Supp(H}(M1)) Từ (2.2) kéo theo Supp(HIi- (M1)) C Supp(HIi- (M)) u Supp(HIi(M)) với i > Do đó, P c P Bằng giả thiết quy nạp, Ass(Hỹ - (M1)) u P1 = Ass(ExtR(R/I; M/H0(M))) u P1 Từ (2.3) có Ass(HIn (M)) u P = Ass(HIn - (M1)) u P 2 = (Ass(HIn - (M1)) u P1) u P = (Ass(ExtR(R/I; M/H0(M))) u P1) u P = Ass(ExtR(R/I; M/H0(M))) u P, (2.1) chứng minh Vì P tập hữu hạn (Bổ đề 2.3.5) nên Ass(Hf2 (M)) tập hữu hạn □ KÊT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy, độ sâu mơđun đối đồng điều địa phương Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất k—dãy quy, k—độ sâu Trình bày chứng minh chi tiết kết hữu hạn tập nguyên tố liên kết |^J Ass (M/(x^, ,xtn)M) x1, ,xn k—dãy ti , ,t €N n quy M Trình bày chứng minh chi tiết kết hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương {p G AssH*(M) : dim R/p > k} n = k-depth(I; M) k Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann, Asymptotic stability of AssR(M/I M ), Proc Amer Math n Soc., (1) 74 (1979), 16-18 [2] M Brodman and R Y Sharp " Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [3] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536 [4] W Bruns and H.J Herzog, Cohen-Macaulay Rings, Cambridge University Press (1993) [5] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte CohenMacaulay Mod- uln, Math Nachr., 85 (1978), 57-73 [6] N Q Chinh and L T Nhan, On the associated primes and the support of local cohomology modules, Algebra Colloq 15(2008), no 4, 599-608 [7] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., (1992), 93-108 [8] C Huneke and R Y Sharp, Bass numbers of local cohomology modules, Trans Amer Math Soc., 339 (1993), 765-779 [9] M Katzman, An axample of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra 252 (2002), 161-166 [10] G Luybeznik, Finiteness properties of local cohomoly modules (an application of D- modules to commutative algebra), Invent Math., 113 (1993), 41-55 [11] R Lu and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Proc Amer Math, Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912 [12] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11 ( 1973) 23-43 [13] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ Press, 1986 [14] Th Marley, Associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 104 (2001) 519-525 [15] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [16] R Y Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J London Math Soc., (2) 34 (1986), 212-218 [17] A Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., (2000), 165-176 ... Một k? ? ?dãy quy M m gọi k? ? ?dãy quy M Một phần tử x G m gọi k? ??phần tử quy M x / p với p G Ass(M) thỏa mãn dim R/p > k Từ định nghĩa thấy 0? ?dãy quy khái niệm dãy quy biết, 1? ?dãy quy khái niệm dãy. .. Noether nên tồn k G N cho Mn = Mk, Vn > k - Nếu M = M M/M = 0, Ass (M/M ) = nên tồn p k k tồn M /M k+ 1 thuẫn k c R k k+1 G AssR(M/Mk) Khi M/Mk, cho Mk+1/Mk = R/pk+1 ta có Mk c Mk+1 c M Điều mâu... (iii)Ta có dãy khớp ngắn: K ri(N) K N K N/ri(N) K Tác động môđun đối đồng điều vào ta dãy khớp dài: K H° ^ri(N)} K H0(N) —— H?(N/r(N)} K Hi (ri(N)} K H1(N) —— Hi (N/r(N)} K? ??•• K Hi(ri(N)} K Hi(N)