luận văn thạc sỹ toán học sự tương tự giữa số và hàm và ứng dụng trong toán sơ cấp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K f(x) ∈ K[x] f(x) = p α 1 1 p α 2 2 p α n n , p i (x) = (x − a i ), a i ∈ K. P + Q = R. n 0 (f) f max{degP, degQ, degR} ≤ n 0 (P.Q.R) − 1. P + Q = R P R + Q R = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f = P R g = Q R . f + g = 1 f  + g  = 0 f  = −g  f  f g  g = − g f = − Q P . P = m  (z −a i ) α i ; Q = n  (z −b t ) β t ; R = l  (z −c j ) γ j . P  P = m  α i z −a i Q  Q = n  β t z −b t R  R = l  γ j z −c j . f  f = P  P − R  R , g  g = Q  Q − R  R . Q P = − m  α i z −a i − l  γ j z −c j n  β t z −b t − l  γ j z −c j . D(z) =  (z −a i )  (z −b t )  (z −c j ). D(z) = n 0 (P QR) D(z) z −a i = n 0 (P QR) −1 = D(z) z −b t = D(z) z −c j . 1.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D(t) Q P = − m  α i z −a i − l  γ j z −c j n  β t z −b t − l  γ j z −c j . D(z) D(z) . 1.2 n 0 (P QR) −1. Q P n 0 (P QR) −1. P Q Q.(D. g  g ) = −P.(D. f  f ). P Q n 0 (P QR) −1. R = P + Q R n 0 (P QR) −1. max{degP, degQ, degR} ≤ n 0 (P QR) −1. ∀n ≥ 3 P, Q, R P n + Q n = R n . P, Q, R P n Q n R n degP + degQ + degR. max{degP n , degQ n , degR n } ≤ n 0 (P n Q n R n ) − 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇔ max{n.degP, n.degQ, n.degR} ≤ n 0 (P.Q.R) − 1 ↔ max{n.degP, n.degQ, n.degR} ≤ degP + degQ + degR −1, ⇒ n.degP ≤ degP + degQ + degR − 1 n.degQ ≤ degP + degQ + degR − 1 n.degR ≤ degP + degQ + degR − 1. n(degP + degQ + degR) ≤ 3(degP + degQ + degR) − 3. n ≥ 3 ⇒ P 2008 + Q 2009 = R 2010 . max{degP 2008 , degQ 2009 , degR 2010 } ≤ n 0 (P 2008 .Q 2009 .R 2010 ) − 1 ⇔ max{2008degP, 2009degQ, 2010degR} ≤ degP + degQ + degR −1 ⇒ 2008degP ≤ degP + degQ + degR − 1 2009degQ ≤ degP + degQ + degR − 1 2010degR ≤ degP + degQ + degR − 1 ⇒ 2008degP + 2009degQ + 2010degR ≤ 3(degP + degQ + degR) − 3 ⇔ 2005degP + 2006degQ + 2007degR ≤ −3. ⇒ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn P m + Q n = R k , 1 n + 1 m + 1 k < 1. max{degP m , degQ n , degR k } ≤ n 0 (P m .Q n .R k ) − 1, ⇔ max{mdegP, ndegQ, kdegR} ≤ degP + degQ + degR −1, ⇒ mdegP ≤ degP + degQ + degR − 1, ⇐⇒ 1 m ≥ degP degP + degQ + degR − 1 . 1 n ≥ degQ degP + degQ + degR − 1 , 1 k ≥ degR degP + degQ + degR − 1 . 1 m + 1 n + 1 k ≥ degP + degQ + degR degP + degQ + degR − 1 > 1. P, Q P 2 = Q 3 . deg(P 2 − Q 3 ) ≥ 1 2 deg(Q) + 1, deg(P 2 − Q 3 ) ≥ 1 3 deg(P ) + 1. R = P 2 − Q 3 ⇔ R + Q 3 = P 2 . max{degR, degQ 3 , degP 2 } ≤ n 0 (P 2 RQ 3 ) − 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... biu tữỡng tỹ cho số hồc Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, sỹ phĂt trin cừa số hồc chu Ênh hững nhiãu tứ sỹ tữỡng tỹ giỳa số nguyản v a thực Tực l, khi chựng minh mởt kát quÊ no õ cho số hồc, ngữới ta thỷ phĂt biu v chựng minh xem kát quÊ ny cõ úng cho a thực hay khổng Viằc giÊi quyát cĂc bi toĂn trản a thực ỡn giÊn hỡn do a thực cõ php tẵnh Ôo hm iãu ny hon ton hủp lỵ, bi têp hủp số nguyản v têp hủp... thnh tẵch cĂc a thực bĐt khÊ quy CĂc số hỳu t tữỡng ựng vợi cĂc hm hỳu t, ta biát deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q) v log(a.b) = log(a) + log(b), do õ bêc cừa a thực tẵch tữỡng tỹ nhữ logarit cừa hai số nguyản dữỡng BƠy giớ, chúng ta quan tƠm án sỹ tữỡng tỹ trong phƠn tẵch ra thứa số nguyản tố cho số nguyản v phƠn tẵch bĐt khÊ quy cho a thực Tực l tứ khĂi niằm số cĂc nghiằm phƠn biằt cừa a thực P... thực náu cõ số nghiằm phƠn biằt lợn hỡn bêc cừa a thực thẳ a thực õ bơng 0 Vẳ vêy, theo ( 1.25) ta suy ra P Q ch cõ th l a thực 0 Tực l, hai a thực P v Q trũng nhau 22 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng 2 Sỹ tữỡng tỹ số hồc cừa nh lỵ Mason v ựng dửng giÊ thuyát abc trong nghiản cựu số hồc Tứ thừa xữa, cĂc nh toĂn hồc  biát chuyn cĂc kát quÊ số hồc sang... hủp số nguyản v têp hủp cĂc a thực cõ sỹ tữỡng tỹ rĐt lợn CÊ hai têp hủp ãu cõ cĂc quy tưc cởng, trứ, nhƠn, chia nhữ nhau ối vợi số nguyản ta cõ số nguyản tố ối vợi a thực ta cõ a thực bĐt khÊ quy Hai số nguyản bĐt ký hoc hai a thực bĐt ký ta cõ th nh nghắa ữợc chung lợn nhĐt v tẳm ữủc bơng thuêt toĂn Euclid Mội số nguyản ãu phƠn tẵch thnh tẵch cĂc thứa số nguyản tố, mội a thực cõ phƠn tẵch... tỹ cho số nguyản a l rad(ab) v rad(ab) rad(a).rad(b) Vẳ vêy, nh lỵ Mason cho a thực ữủc 23 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn phĂt biu tữỡng tỹ cho số nguyản l giÊ thuyát abc GiÊ thuyát ny ữủc phĂt biu vo nôm 1985 bi J.Oesterle' trong mởt kát quÊ vã ữớng cong Elliptic cừa bở mổn hẳnh hồc Ôi số, ngay sau õ D.R.Masser phĂt biu dỹa vo sỹ tữỡng tỹ cừa số nguyản... Ơy chúng tổi phĂt biu 2 nh lỵ cho ữợc lữủng cừa hơng số C( ) (cõ th tẳm thĐy chựng minh mửc [3].) 2.1.3 nh lỵ: Tỗn tÔi hơng số tẵnh ữủc k > 0 sao cho vợi mồi bở ba (a, b, c) v cĂc số nguyản dữỡng thọa mÂn a + b = c v (a, b) = 1 ta cõ: c < exp{k(r(abc))15 } 2.1.4 nh lỵ: Tỗn tÔi hơng số tẵnh ữủc k > 0 sao cho vợi mồi bở ba số (a, b, c) v cĂc số nguyản dữỡng thọa mÂn a + b = c v (a, b) = 1 ta cõ:... tẳm số nguyản thọa iãu kiằn cho trữợc Theo bi toĂn (1.6 ): Cho a l số phực khĂc 0 khi õ, náu tỗn tÔi cĂc a thực mởt bián vợi hằ số phực f (t), g(t) thọa phữỡng trẳnh f 2 (t) = g 3 (t) + a thẳ f v g l cĂc a thực hơng Ta thay a thực trong bi toĂn ny bi cĂc số nguyản thẳ bi toĂn s cõ nghiằm Bi toĂn 2.5 Tẳm cĂc nghiằm nguyản cừa phữỡng trẳnh x3 y 2 = 4 Chúng ta cõ th giÊi bi toĂn trản dỹa vo số nguyản... bĐt ng thực trản khổng xÊy ra Vêy f v g l cĂc a thực hơng Lêp luên tữỡng tỹ thẳ bi toĂn trản văn cỏn úng khi m v n l cĂc số nguyản bĐt ký Bi toĂn 1.7: Cho a l mởt số phực khĂc 0 Khi õ, náu tỗn tÔi cĂc a thực mởt bián vợi hằ số phực f (t), g(t) thọa mÂn phữỡng trẳnh f m (t) = g n (t) + a, vợi m, n 2 l cĂc số nguyản dữỡng tũy ỵ, thẳ f v g l cĂc a thực hơng Thêt vêy, giÊ sỷ cĂc a thực f v g khổng... thuyát abc 2.1.1 GiÊ thuyát abc GiÊ sỷ a, b, c l cĂc số nguyản nguyản tố cũng nhau v thọa mÂn hằ thực a + b = c Khi õ vợi > 0 tỗn tÔi hơng số C( ) sao cho: max{| a |, | b |, | c |} C( )r(abc)1+ Ta thĐy náu bở ba (a, b, c) cĂc số nguyản dữỡng thọa mÂn: a + b = c v (a, b) = 1, thẳ tẵch abc ữủc lêp nản tứ cĂc số nguyản tố khĂc nhau, vợi phƯn lợn cĂc số mụ tữỡng ối b Ta t C( ) = inf (a,b,c)I vợi i... cho số mụ tờng quĂt rĐt khõ khôn náu dũng hơng ng thực Bi toĂn 1.10: Cho n l số nguyản lợn hỡn hoc bơng 3 Tẳm cĂc a thực mởt bián vợi hằ số phực f (t) v g(t) trong C[t] thọa mÂn phữỡng trẳnh (f + g)n = g n + f n 1.21 Xt trữớng hủp n l l GiÊ sỷ (f, g) = 1 thẳ gcd(f, g, f + g) = 1 Khi õ, Ăp dửng nh lỵ Mason hoc nh lỵ Fermat cho a thực, ta suy ra ữủc khổng tỗn tÔi hai a thực f (t) v g(t) trong . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K f(x). R. n 0 (f) f max{degP, degQ, degR} ≤ n 0 (P.Q.R) − 1. P + Q = R P R + Q R = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f = P R g = Q R . f + g = 1 f  + g  =