Đa nội suy Lagrange và ứng dụng trong toán sơ cấp

TôixincamđoanLu¾nvănlàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtôidưóisnhưóng danc naTS.NguyenVănKhái.. HàN®i,tháng12năm2016 Hocviên DươngTh%Anh... MUCLUC 1.1 M®tvàivanđeveđathúc...6 1.2 Bàitoánn®isuy.

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAOTRƯèN GĐAIHOCSƯPHAMHÀN®I2

TôixinbàytólòngbietơnsâusactóiTS.NguyenVănKhái,ngưòithayđãt¾

ntìnhhưóngdantôitrongsuotquátrìnhhoct¾pđetôicóthehoànthànhlu¾nvăncnamình

GiámHi¾u,PhòngSauđaihoc,cácthaycôgiáotrongKhoaToán,trưòngĐaihocSưphamHàN®i2đãgiúpđõvàtaomoiđieuki¾nchotôitrongsuotquátrìnhhoct

TôixincamđoanLu¾nvănlàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtôidưóisnhưóng

danc naTS.NguyenVănKhái.

Trongquátrìnhnghiêncúu,tôikethùacácthànhtnucnacácnhàkhoahocvóilòngbietơntrântrong

HàN®i,tháng12năm2016

Hocviên

DươngTh%Anh

MUCLUC

1.1 M®tvàivanđeveđathúc 6

1.2 Bàitoánn®isuy 7

1.3 Côngthúcn®isuyLagrange 9

1.4 Saisocnaphépn®isuy 10

1.5 ĐathúcChebyshev 11

1.6 Vanđechonmocn®isuy 11

1.7 Snh®itucnaquátrìnhn®isuy 13

2 M®tsoNngdnngcúađathNcn®isuyLagrangetrongtoán sơcap 17 2.1 Úngdungcnađathúcn®isuyLagrangetrongbàitoántong huuhan 17

2.2 Úngdungcnađathúcn®isuyLagrangetrongbàitoánđa thúc 32

2.3 Úngdungcnađathúcn®isuyLagrangetrongbàitoánn®i suybatđangthúcb¾chai 67

3

1 Lídochonđetài

Trongthnctecónhieutrưònghoptacanpháixácđ

%nhđưocbieuthúccn a hàmy=f( x),trongkhichíbietcácgiátr

%ròiracy0,y1, ,y ntai cácđiemtươngúngx0,x1, ,x n é m®ts o trưònghopkhác,t

ađãbietbieuthúcc n a hàmy = f(x)nhưngquáphúctap.K h i đóngưòitaxâydnng

m®tđathúcP (x)thóamãn:

P (x i )=f(x i ),i=0,n.

ĐathúcP(x)xâydnngnhưtrênđưocgoilàđathúcn®isuycnaf(x)úngvóicácmo cn®isuyx0,x1, ,x n

đódưóisnhưóngdancnaTS.NguyenVănKhái,tôiđãchonđetài:

"ĐathÚcn®isuyLagrangev à Ú n g d i n g trongtoánsơcap"

2 MncđíchnghiêncNu

Nghiêncúum®tsovanđecnađathúcn®isuyLagrangevàúngdungtrongtoánsơcap

(Euclid)chođathúcP (x)b¾cnvàđathúcQ(x)b¾cm(m<n)vóicách¾sothnc

.Khiđó,tontaicácđathúcduynhatS(x)vàR(x)saocho

P (x)=Q(x).S(x)+R(x), (1.1.1)

GiásúđathúcP(x)=a0+a1x + +a n x n vóin+1h¾sobatđ

%nha i ,i=0,n.T ù đieuki¾n(1.2.2)tacóh¾n +1phươngtrìnhtuyentínhvói(n+

1)ana i (i=0,n)

a0+a1x1+ +a n x n=

y i ( i=0,n) (1.2.3)

0 1

0 1

0 1

H¾cónghi¾mduynhatkhivàchíkhiđ%nhthúccnamatr¾nh¾socnanó

khác0.Đ%nhthúccnah¾phươngtrìnhnàylà

V (x0,x1, ,x n−1 ,x)

=V(x0,x1, ,x n−1 )(x−x0)(x−x1) (x−x n−1 ). (1.2.7)Đ¾cbi¾t

V (x0,x1, ,x n−1 ,x n)

a) deg(Q(x)) ≤n−1.

(−1) k b) Q(t k)=.T n (t k )−P(t k).=

lưongđưocphandư,nhưngtas e làmphéptínhthêmchínhxácneutăngthêmmocn®isuy.Vanđenàyđưocgoilàsn h®itucna quátrìnhn®is u y vàđưocphátbieulaim®tcách

Vóimoin , taxâydnngđathúcn®is u y LagrangeP n (x)c n a hàms o

y =f( x)úngvói(n+1)mocn®isuyx (n) ,x (n) , ,x (n)

0 1 n

Đ%nhnghĩa1.7.2.Chohàmy=f( x)xácđ%nhtrên [a,b].Khiđóf( x) đưocgoilàhàmnguyêntrênđoan [a,b]neunócóthekhaitrienthành

− 0 − 1 − n

(n+1) n+1≤ |a n+1|+|a n+2|(e|(x−x0)|)+ +|a n +k |(e|(x−x0)|) −

Nhânhaivecnađangthúcvói[e(b −a)] n+1tađưoc:

CHƯƠNG2 M®TSOÚNGDUNGCÚAĐATHÚCN®ISUYLAGRANGETRONGTOÁ

NSƠCAP

2.1

ÚngdnngcúađathNcn®isuyLagrangetrongbàitoántonghÑuha n

Bàitoán2.1.1.Chodãysothnc(u n)n≥1 vàS(n)= .u n

i.Chúngminh

i=1 S(n)làđathúcb¾cd>0theobien∀x∈N ∗ khi vàchíkhiu n làđathúc

=a k+1G k+1(n)+a k G k (n)+ +a1G1(n)+a0n.

TheogiáthietquynaptacódegG i (n)=i+1,∀ i≤k.SuyradegG k

d

d d

5C1

+

− n−2

−4 −

225C4.

n−5

Bàit¾p2.1.3.TínhtongV(n)=.n (k+1)2

−

44

Bàit¾p2.1.5.C h o dãygom2 n+1songuyêndươngliêntieps a o chotongbìnhph

ươngc n a n +1sohangđaubangtongbìnhphươngc n a n socòn lai.C h ú n g tótron gdãys o đóchúaso 2 0 1 0

Bàit¾p2.1.6.C h o dãygom2 n+1songuyêndươngliêntieps a o chotongbìnhph

ươngc n a n +1sohangđaubangtongbìnhphươngc n a n socòn lai.C h ú n g tótron gdãys o đóchúaso 2 0 1 3

Bàit¾p2.1.7.C h o dãygom2 n+1songuyêndươngliêntieps a o chotongbìnhph

ươngc n a n +1sohangđaubangtongbìnhphươngc n a n socòn lai.Ch ún g tótron

gdãyso đókhôngcó so2016

c2(x−a)(x−b) (c−a)(c−b) =x

Bàitoán2.1.4.Choa1,a2, ,a m đôim®tphânbi¾t,chúngminhrang:

a k (x−a2)(x−a3) (x−a m) +a k (x−a1)(x−a3) (x−a m)

a m −a1)(a m −a2) (a m −a m1)

Ápdungc ô n g thúcn®is u y Lagrangechođathúcf (x)=x kvóic á c

f (x1)

(x1−x2)(x1−x3) (x1−x m)

f (x2)+

(sin3◦ −sin1 ◦)(sin3◦ −sin2 ◦)

Ápdungbàitoán2 1.5vóif (x)= x ;x1=s i n 1◦ ;x2=s i n 2◦;

x − a − b − c (x−a)(x−b)(x−c)

c) Xétđathúcf(x)=x m −Q(x−x i)

i=1

(x j − x i)

m

j j=1

(c−a)(c−b) Ápdungbàit¾p2.1.14tacóđieupháichúngminh.

(c−a)(c−b) Ápdungbàit¾p2.1.16tacóđieupháichúngminh.

1+

(c−a)(c−b)(c−d)

1+

2.2 ÚngdnngcúađathNcn®isuyLagrangetrongbàitoánđathNc

Bàit¾p2.2.1.Xácđ%nhđathúcb¾chainh¾ngiátr%bang3;5;−1taix

bang1;2;7tươngúng

=

4−3+

27 81+ .

Tùđócóf(3)=31.

1 2

(a −a2)(a1 −a3) (a1 −a n)

(x−a1)(x−a3) (x−a n)

+f(a2)

(a −a1)(a2 −a3) (a2 −a n)

(x−a1)(x−a2) (x−a n−1)

(a n −a1)(a n −a2) (a n −a n−1 )(x−a n)

Bàit¾p2.2.6.Phâ n tíchphânthúcs a u thànhtongc n a c á c phânthúctoigián

x3 3x+1 . (x−1)(x2−4)

Bàit¾p2.2.7.Phâ n tíchphânthúcs a u thànhtongc n a c á c phânthúc

5 8(x−1)

A

x−a

B + x−b

4928(x−1)(x−4)(x−5)

=.2k ( n + 1)!

(1)n−k+1 (k−1)!

(n−2−k)! −

k=1

i=1 n+1

V¾yP(n+1)= 1

n

(−1) n−k kC k+1

n+2 k=0 n+2

C k

C k

n n

=.(−1) n−k k=0

V¾ytacóđieupháichúngminh

−

12

) 1 1 1 12( +1)( + )( −0)(1−1)

2)(1−

2)(1−0)

3x − 3 x +1≤ 3 M

M +1

3Vói|x|≤1thì|f(x)|≤1< 3 2

so vôtí.Tìm tatc á c ác đathúccó h¾s o thncsaochođoth

%cnamoiđathúcđókhôngchúabatkì"điemhonhop"nàocá

Lòigiái.

Cácđathúccantìmlàcácđathúcb¾cm®tvóih¾sohuutí

Th¾tv¾y,tùcôngthúcn®isuyLagrange,tacóketquásauđây:Neuđathúcf(x)t hóamãnđieuki¾nf(r)∈Qvóimoir∈Qthìtatcácách¾socnaf(x)đeulàsohu

utí.Vìv¾y,neuđathúccóm®th¾sovôtíthìse

f (x)=a0+a1x + +a n−1 x n−1 +a n x n ,a i ∈Q,i =0,n.

Khôngmattínhtongquát,c ó thegiás ú rangf(x)cóc á c h¾s o nguyên,bóivìhait¾

phopnghi¾mc n a haiđathúcf(x)=rvàa f (x)=artrùngnhauvóialàsonguyên(r

làs o huutí).Hơnnua,neutakíhi¾u:

g(x)=a n−1 f(x) ,

thìg(x)làđathúcvóicách¾songuyên,cóh¾sođautiênbang1.Phươn g trìnhf(x)= rcóm®tnghi¾mvôtíneuvàchíneuphươngtrình

k k=−njƒ=k,j=−n

.P (k)(−1) p−k C k k=0

Choplàm®tsonguyêntolé.Tìmsonguyêndươngnnhónhatsaochotontaiđath úcP(x) ∈Z[x]b¾cnthóamãn:

i) P(0)=P(1)=1vàtontaiítnhatm®ts o tnnhiêna đeP (a)chiahetchop

ii) P(m)ho¾cchiahetchopho¾ccósodưbang1,vóimoim ∈Z+

Lòigiái.

Chúngminhtươngtnbài2.2.32tacón ≥p−1.

Đongnhath¾sotacóa n=

f(x i)

i=0P r (x i)

k k=1

n ,

k=

k k

x2f r (x2) + + 1

x n f r (x n)

1+

x2f r (x2) + + 1

x n f r (x n)

1+

x i

i=1 jƒ=i,j=1

Dethayh¾socnax n−1làu k DoP(x) ≡x k nên

u k = 0vóik=0,n−2vàu n−1 =1.

V¾ycácsou1,u2, ,u n−1nguyên.

Bâygiòtađichúngminhu knguy ênvóik ≥n.

− .c i x n−i

j

Nhândòngthújcnah¾vóic jvàc®nglaitađưoc

j i=1

Vóicácx iđưoc chonnhưbàit¾p2.2.25thìdohàmsocosxngh

%chbientrong(0 ,π)nêntac ó

x−x j

Dox n ∈[a,b]nênt n ∈[−1,1]vóin=1,k.

Ápdungc ô n g thúcn®is u y LagrangechođathúcT k−1 (x)taik điem

√ α−a β))2−4γ(x−a)(x−b)].

2 Ápdungcôngthúcn®isuyLagrangechotamthúcb¾chaiG(x)tai

a +b cácmocn®isuyx1=a,x2=

a +b

,x3=b,tacó

2

(x− 2 )(x b) a+ b ( x − a )( x − b ) G(x)=G(a)

(a− a+b )(a b)

4 δ (a−b)2

Lu¾nvănđãtrìnhbàychitietveđathúcn®isuyLagrange(Bàitoán,côngthúcLagrange,saiso,chonmocn®isuyvàsnh®itucnaquátrìnhn®isuy)úngdungcnađathúcn®isuyLagrangetrongm®tsobàitoánsơcap(Bà i toántínhtong,bàitoánđathúc)

Tuynhiên,dothòigianc óhanvàtrìnhđ®bánthâncòn hanchetôichưacóđieuki¾nnghiêncúusâuvàr®nghơnvenhungúngdungcnađathúcn®isuyLagrange.Tôisetiep

tucnghiêncúubosungđelu¾nvăntróthànhtàili¾uhuuíchtrongvi¾cboidưõnghocsinhkhágióicáccap

[3]NguyenM i n h C h ư ơ n g (chnbiên),NguyenVănK h á i , KhuatVănNinh,Ngu

yenVănTuan,NguyenT ư ò n g ( 2 0 0 9 ) ,Giáitíchso,NXBG i á o duc.