Đạo hàm suy rộng và ứng dụng

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi ln quan tâm, đ®ng viên t¾n tình hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hon thnh bỏn luắn ny H Nđi, ngy 10 tháng năm 2009 Tác giá Lê Chí Thanh LèI CAM ĐOAN Tác giá xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tác giá dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Hà N®i, ngày 10 tháng năm 2009 Tác giá Lê Chí Thanh Mnc lnc Má đau Chương 1 M®t so kien thNc bán 1.1 Khái ni¾m khơng gian Banach m®t so tính chat 1.2 Đao hàm Fréchet Gâteaux 1.3 Ket lu¾n 18 Chương Dưái vi phân hàm loi 19 2.1 Khái ni¾m mó đau ve dưói vi phân hàm loi 19 2.1.1 Đ%nh nghĩa nhung khái ni¾m bán cna hàm loi19 2.1.2 Dưói vi phân hàm loi .22 2.2 Dưói vi phân cna hàm loi liên tuc núa liên tuc dưói 28 2.2.1 Dưói vi phân cna hàm loi liên tuc .28 2.2.2 Dưói vi phân cna hàm loi núa liên tuc dưói .32 2.3 M®t so phép tốn dưói vi phân tốn úng dung 35 2.4 Ket lu¾n 42 Chương Dưái vi phân cúa hàm Lipschitz đ%a phương 43 3.1 Khái ni¾m mó đau ve dưói vi phân cna hàm Lipschitz đ%a phương 43 3.1.1 Đ%nh nghĩa nhung van đe bán 43 3.1.2 Moi liên h¾ vói đao hàm dưói vi phân hàm loi 50 iii 3.2 M®t so phép tốn ve dưói vi phân suy r®ng 56 3.3 Ket lu¾n 63 Chương Đoi đao hàm dưái vi phân 64 4.1 Nón pháp tuyen đoi đao hàm 64 4.1.1 Nón pháp tuyen 64 4.1.2 Đoi đao hàm m®t so tính chat bán 72 4.2 Dưói vi phân qua giói han 79 4.2.1 Dưói vi phân 79 4.2.2 M®t so quy tac tính tốn 80 4.3 Ket lu¾n 93 Ket lu¾n 94 Tài li¾u tham kháo 95 BÁNG KÍ HIfiU F :X ⇒Y domF ánh xa đa tr% tù X vào Y mien huu hi¾u cna F gphF đo th% cna F R = R ∪ {−∞, +∞} so thnc suy rđng X khụng gian oi ngau cna khơng gian Banach X BX hình cau đơn v% đóng khơng gian X Bρ(x) hình cau đóng tâm x, bán kính ρ limsup giói han cho dãy so thnc Limsup giói han theo nghĩa Painlevé - Kuratowski int Ω phan cna Ω cl Ω bao đóng cna Ω co Ω bao loi cna Ω cone Ω nón loi sinh bói Ω N (x¯, Ω) Nˆ (x¯, Ω) nón pháp tuyen Mordukhovich cna Ω tai x¯ f (x; v) nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯ đao hàm theo hưóng cna f tai x theo hưóng v f 0(x; v) đao hàm theo hưóng suy r®ng (đao hàm t Clarke) cna f tai x theo hưóng v ∂∞f (x) D∗ F (x¯, y¯) Dˆ ∗ F (x¯, y¯) ω xk x ∗ ω −→ x∗k −→ x∗ Ω x −→ x¯ f dưói vi phân suy bien cna f tai x đoi đao hàm Mordukhovich cna F tai (x¯, y¯) đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, y¯) h®i tu theo tơpơ yeu h®i tu theo tơpơ yeu∗ h®i tu Ω x → x¯, f (x) → f (x¯) x −→ x¯ ε↓0 ε → 0, ε ≥ Mé ĐAU Lý chon đe tài Sn phát minh phép tính vi-tích phân vào cuoi the ký XVII cna I Newton G M Leibniz đưa toán hoc sang m®t giai đoan mói Trái qua thòi gian, lý thuyet phép tính vi-tích phân đưoc phát trien manh me nhung van đe tốn hoc đưoc đ¾t Như ta biet, giái tích co đien, cá R1 nhieu hàm tù khống (a, b) vào R1 khơng vi Vì v¾y rat khó xap xí hàm bói m®t hàm tuyen tính Đe giái quyet van đe này, nhung năm 60 cna the ký XX, R T Rockafellar xây dnng lý thuyet dưói vi phân cho hàm loi Đen nhung năm 70, F H Clarke xây dnng lý thuyet dưói vi phân dưói vi phân suy r®ng cna hàm Lipschitz đ%a phương Trong ý tưóng bán cna lý thuyet xap xí hàm loi (ho¾c hàm Lipschitz) cho trưóc bang cá mđt hop, oc goi l dúi vi phõn, nam khơng gian đoi ngau, thay chí có vói m®t hàm tuyen tính trưòng hop vi Ngay sau sn đòi lý thuyet vi phân cna Clarke, năm 1976 B S Mordukhovich đe xuat xây dnng lý thuyet vi phân vói cách tiep c¾n: - Đ%nh nghĩa khái ni¾m dưói vi phân cna hàm so nh¾n giá tr% t¾p so thnc suy r®ng; - Sú dung dưói vi phân đe đ%nh nghĩa nón pháp tuyen (nói chung khơng loi) cna t¾p hop; - Sú dung nón pháp tuyen (khơng loi) đe đ%nh nghĩa đoi đao hàm cna ánh xa đa tr%; - Phát trien quy tac tính tốn; - Áp dung khái ni¾m quy tac tính tốn nói đe chúng minh đ%nh lý bán, nghiên cúu ho¾c đ¾c trưng tính chat đáng quan tâm cna ánh xa hàm so lý thuyet tốn hoc, đưa thu¾t tốn giái quyet tốn khác Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve sn phát trien cna phép tính vi-tích phân m®t so úng dung cna nó, tơi chon nghiên cúu đe tài "Đao hàm suy r®ng Úng ding" Mnc đích nghiên cNu Đe tài nghiên cúu ket đat đưoc ve đao hàm suy r®ng vói m®t so úng dung vào tốn toi ưu Nhi¾m nghiên cNu Vi¾c nghiêu cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ khái ni¾m đao hàm trình by mđt so ỳng dung cna tựng khỏi niắm m®t so tốn Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Vi phân Fréchet, Gâteaux - Dưói vi phân cna hàm loi - Dưói vi phân cna hàm đ%a phương - Đoi đao hàm Mordukhovich Phương pháp nghiên cNu - Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu NhĐng đóng góp cúa e ti Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong cỏc kien thúc bán ve lý thuyet đao hàm suy r®ng vói m®t so tốn úng dung Chương M®t so kien thNc bán 1.1 Khái niắm khụng gian Banach v mđt so tớnh chat Muc trình bày m®t so tính chat bán cna không gian Banach đao hàm Fréchet, Gâteaux se đưoc sú dung ve sau Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan) M®t khơng gian đ%nh chuan thnc (phúc) m®t khơng gian vectơ thnc (phúc) X vói m®t ánh xa X → R, đưoc goi chuan kí hi¾u ".", thóa mãn: i) "x" ≥ 0, ∀x ∈ X "x" = neu chs neu x = 0; ii) "αx" = |α| "x", ∀x ∈ X ∀α ∈ R (hay C); iii) "x + y" ≤ "x" + "y", ∀x, y ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Dãy Cauchy) M®t dãy vectơ (xn) khơng gian đ%nh chuan đưoc goi dãy Cauchy neu vói moi ε > ton tai m®t so M thóa mãn "xm − xn" < ε, ∀m, n > M Đ%nh lý 1.1.1 Ta có nhung đieu ki¾n sau tương đương: (a) (xn) m®t dãy Cauchy; (b) "xpn − xqn" → n → ∞, vói moi c¾p dãy tăng cúa nhung so nguyên dương (pn) (qn); (c) xp n−1 − xp dương (pn) n → n → ∞, vói moi dãy tăng cúa nhung so nguyên Nh¾n xét 1.1 Rõ ràng moi dóy hđi tu eu l dóy Cauchy Thắt vắy, neu "xn − x" → "xpn − xqn" ≤ "xpn − x"+"xqn − x" → vói moi c¾p dãy tăng cna chí so (pn) (qn) Đieu ngưoc lai trưòng hop tong qt khơng Ví dn 1.1.1 Cho P ([0, 1]) không gian đa thúc [0, 1] vói chuan = max " " P [0,1] | P (x) Đ%nh nghĩa: | x2 + Pn(x) = + x + + 2! xn , n! n = 1, Thì (Pn) m®t dãy Cauchy, khơng h®i tu P ([0, 1]) Bo đe 1.1 Neu (xn) m®t dãy Cauchy cúa m®t khơng gian đ%nh chuan, dãy cúa chuan ("xn") h®i tn Lưu ý rang bo đe kéo theo moi dãy Cauchy b% ch¾n, túc neu (xn) m®t dãy Cauchy, có m®t so M thóa mãn "xn" ≤ M vói ∀n Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Khơng gian Banach) M®t khơng gian đ%nh chuan X đưoc goi đú neu moi dãy Cauchy X h®i tn tói m®t phan tú cúa X M®t khơng gian đ%nh chuan đú đưoc goi m®t khơng gian Banach Ví dn 1.1.2 Chúng ta se chí rang không gian l2 bao gom tat cá nhung dãy so phúc x = (xn) cho chuoi ∞ |xn| h®i tu vói chuan n= ∞ |xn| không gian Banach "x" n=1 = Lay (an) m®t dãy Cauchy l2 Giá sú (an) = (αn,1, αn,2, ) Vói ε > tùy ý, ton tai m®t so N0 thóa mãn ∞ |αm,k − αn,k| < ε2 , ∀m, n ≥ N0 (1.1) k=1 Đieu kéo theo rang vói moi k ∈ N co đ%nh vói moi ε > ton tai m®t so N0 thóa mãn |αm,k − αn,k| < ε, ∀m, n ≥ N0 Nhưng đieu có nghĩa là, vói moi k dãy (αn,k) l mđt dóy Cauchy C v vỡ vắy nú hđi tu Kớ hiắu: k = lim , k = 1, a = (α ) k n→∞ n,k Chúng ta se chúng minh rang a m®t phan tú cna l2 rang dãy (an) h®i tu tói a Th¾t v¾y, tù (1.1) cho m → ∞ ta đưoc ∞ |αk − αn,k| ≤ ε2, (1.2) k=1 vói moi n ≥ N0 Khi ∞ k= |αN0,k| < ∞, bói bat thúc Minkowski, ta có ‚ ‚ ∞ ∞ 2 , |αk| = , (|αk| − |αN0,k| + |αN0,k|) k=1 k= ‚ ≤, ∞ k=1 ‚ ≤, ∞ ‚ (|αk| − |αN ,k|) , + ∞ |αN ,k| k=1 ‚ |αk − αN ,k | , + ∞ k=1 |αN ,k | < ∞ k=1 Đieu chúng minh rang dãy a = (αn) m®t phan tú cna l2 Hơn nua, ε nhó tùy ý (1.2) kéo theo ‚ ∞ lim "a − an" = lim , n→∞ n→∞ (|αk − αn,k|) = 0, k=1 túc dãy (an) h®i tu tói a l2 Ví dn 1.1.3 M®t ví du quan khác cna không gian Banach không gian C([a,b]) nhung hàm liên tuc (giá tr% thnc ho¾c phúc) m®t đoan [a, b] Nhac lai rang chuan C([a,b]) đưoc " " đ%nh |nghĩa | f = max f (x) [a,b] ((x∗, 0), (x, y) − (xk, yk ))+λk(r−rk) ≤ 2εk("x − xk"+"y − y k "+|r−rk |) vói kmoi ((x, y), r) ∈ epif vói (x, y) ∈ Bρk ((xk, yk)) |r − rk| ≤ ρk, k = 1, 2, Đieu cho ta ((x∗ k , 0), λk ) ∈ Nˆ2ε (((xk, yk), rk), epif ), k = 1, 2, (4.38) k Bây giò sú dung tính núa compact dưói cna M lõn cắn cna x, ta chon mđt dóy yk M (xk ) bao gom m®t dãy h®i tu tói điem y¯ ∈ Φ(x¯) Khi rk → m(x¯), ta thu đưoc y¯ ∈ M (x¯) rk → f (x¯, y¯) k → ∞ Cho qua giói han (4.38) k → ∞, ta có (x∗ , 0) ∈ ∂ ∞ f (x¯, y¯) dan đen bao hàm thúc (4.36) Đe thu đưoc bao hàm thúc (4.32), tù (4.36) ta áp dung Đ%nh lý 4.2.1(ii) cho tong cna nhung hàm (4.33) vói bieu dien thú hai cna nón pháp tuyen Mordukhovich (4.15) đ%nh nghĩa cna đoi đao hàm Đ%nh lý đưoc chúng minh Bây giò ta xét trưòng hop Φ ánh xa đơn tr% Lipschitz đ%a phương lân c¾n cna x¯ Khi bao hàm thúc (4.32) rõ ràng (4.31) có thêm quy tac đoi bien cho dưói vi phân Mordukhovich cna hàm hop (4.30) Khi ta có đ%nh lý sau Đ%nh lý 4.2.3 Cho Φ : X → Y ánh xa đơn tr% liên tnc Lipschitz lân c¾n cúa cho ϕ : X × Y → R vi ch¾t tai (x¯, x¯ Khi ta có Φ(x¯)) ∂(ϕ ◦ Φ)(x¯) = ϕt (x¯, y¯) + ∂ ϕt (x¯, y¯), Φ y¯ = Φ(x¯) (4.39) (x¯) vói x y Chúng minh Do tính vi ch¾t cna ϕ tai (x¯, y¯) vói y¯ = Φ(x¯), vói bat kì dãy γν ↓ ton tai m®t dãy ρν ↓ thóa mãn |ϕ(u, Φ(u)) − ϕ(x, Φ(x)) − (ϕt (x¯, y¯), u − x) − ϕt (x¯, y¯), Φ(u) − Φ(x) | x y ≤ γν ("u − x" + "Φ(u) − Φ(x)") ∀x, u ∈ Bρν (x¯), ν = 1, 2, (4.40) Chon ωbat kì x∗ ∈ ∂(ϕ ◦ Φ)(x¯) Theo (4.13) ta có đưoc dãy xk → ∗ x¯, ∗ x , Φ)(x ) (ϕ Φ)(x¯) (ϕthóa mãn x∗ ε ◦ ◦ k↓ k → k −→ xk∗ ∈ ∂ˆεk (ϕ ◦ Φ)(xk ) ∀k = 1, 2, (4.41) Khi xk → x¯, k → ∞ ta chon m®t dãy k1 < k2 < < kν < cna nhung so nguyên dương thóa mãn "xkν − x¯" ≤ ρν /2 vói moi ν Bói (4.41) nên ta có the chon < ην ≤ ρν/2 thóa mãn ,x− ϕ(x, Φ(x)) − ϕ(xkν , Φ(xkν )) − k ν x ∗ kν x ≥ −2εkν "x − xkν " ∀x ∈ Bην (xkν ), ν = 1, 2, (4.42) Cho A m®t hang so Lipschitz cna Φ m®t lân c¾n cna x¯ mà bao gom tat cá xk vói k đn lón Chú ý rang x ∈ Bρν (x¯) neu x ∈ Bην (xkν ) vói moi ν, ta suy tù (4.40) (4.42) rang y (x¯, y¯), Φ(x) ϕy (x¯, y¯), Φ(xkν ) − − ϕx (x¯, y¯), x − xkν ∗ t t t− x ϕ k ν ≥ −[2εkν + γν (A + 1)] "x − xkν " ∀x ∈ Bην (xkν ), ν = 1, 2, Tù tù (4.12) ta có t ∗ t x ϕy (x¯, y¯), kν − ϕx (x¯, y¯) ∈ Φ(xkν ) ∂ˆε¯ vói ε¯ν := 2εkν + γν (A + 1) (4.43) ν vói moi ν = 1, 2, Cho qua giói han (4.43) ν → ∞ sú dung (4.13), ta có ∗ t t x − ϕ (x¯, y¯) ∈ ∂ ϕ (x¯, y¯), Φ(x¯) , x y mà đieu chúng minh bao hàm thúc “⊂” (4.39) Đe kiem tra bao hàm thúc ngưoc lai (4.39) ta sú dung nhung đoi so tương tn vói điem x∗ ∈ ϕt (x¯, y¯), Φ (x¯) Đ%nh lý đưoc chúng minh y Tiep theo ta xét quy tac đoi bien cho dưói vi phân Mordukhovich dưói vi phân suy bien cna hàm hop (4.30) trưòng hop hàm khơng trơn ϕ ánh xa vi ch¾t Φ giua khơng gian Banach tùy ý Đ%nh lý 4.2.4 [19, Theorem 4.3] (i) Cho Φ : X → Y vi ch¾t tai x¯ vói Φt (x¯) ngh%ch (nghĩa 1-1 tồn ánh) cho ϕ : X × Y → R đưoc bieu dien ϕ(x, y) = ϕ1(x) + ϕ2(y) ó ϕ1 là vi ch¾t tai x¯ y¯ = Φ(x¯) Khi ta có ϕ2 núa liên tnc dưói lân c¾n ∂(ϕ ◦ Φ)(x¯) = ϕ1t (x¯) + (Φt (x¯))∗ ∂ϕ2 (y¯) (ii) Cho ϕ Φ thóa mãn giá thiet (i) trù rang ϕ1 liên tnc Lipschitz lân c¾n cúa x¯ Khi ta có ∂ ∞ (ϕ ◦ Φ)(x¯) = (Φt (x¯))∗ ∂ ∞ ϕ2 (y¯) Chúng minh Trong trưòng hop đưoc xét ta có (ϕ ◦ Φ)(x) = ϕ1(x) + ϕ2(Φ(x)) (4.44) Đe chúng minh (i), sú dung Đ%nh lý 4.2.1(i) ta đưoc ∂(ϕ ◦ Φ)(x¯) = ϕt (x¯) + ∂(ϕ2 ◦ Φ)(x¯) Vì v¾y ta se chí rang ∂(ϕ2 ◦ Φ)(x¯) = (Φt (x¯))∗ ∂ϕ2 (y¯) vói (4.45) y¯ = Φ(x¯) Trưóc het ta kiem tra bao hàm thúc “⊃” (4.45) Xét bat kì ∗ y ∈ ∂ϕ2 (y¯), ta tìm đưoc dãy yk → mãn y¯,∗ykω −→ ∗ ϕ2 (yk ) → ϕ2 (y¯) k → ∞ ϕ2(yk) vói moi k = 1, 2, Sú ∗ k ∈ ∂ ˆε y εk ↓ thóa y∗ k dung đ%nh lý ánh xa ngưoc cho ánh xa vi ch¾t, ta có đưoc Φ−1 đơn tr% đ%a phương vi ch¾t y¯ vói đao hàm ch¾t (Φt (x¯))−1 tai tai điem Do đó, Φ m®t phép đong phơi đ%a phương quanh x¯ Sú dung phương pháp tương tn chúng minh cna Đ%nh lý 4.2.3, vói bat kì dãy γν ↓ ta có ρν ↓ 0, xν → x¯, m®t dãy kν → ∞ ν → ∞ thóa mãn ϕ2 (Φ(x))−ϕ (Φ(x ))− ν (Φt (x¯))∗ y ∗ , x − xν −(2Aεk kν ≥ ) "x − xν" +γ ν y∗ k ν ν vói bat kì x ∈ Bρν (xν ), ó A m®t hang so Lipschitz cna Φ m®t lân c¾n cna x¯ bao gom tat cá Bρν (xν ) ν = 1, 2, Bói (4.13) kéo theo bao hàm thúc “⊃” (4.35) Đe kiem tra bao hàm thúc ngưoc lai ta bieu dien ϕ2 dưói dang ϕ2(y) = (ψ ◦ Φ−1)(y) vói ψ := (ϕ2 ◦ Φ) (x) Bây giò áp dung bao hàm thúc “⊃” (4.35) cho hàm hop ψ ◦ Φ−1 sú dung (Φ−1 )t (y¯) = (Φt (x¯))−1 , ta thu đưoc bao hàm thúc “⊂” (4.35) Khang đ%nh (i) đ%nh lý đưoc chúng minh Đe chúng minh (ii), dưói giá thiet đưoc đưa tù Đ%nh lý 4.2.1(ii) ta có ∂ ∞ (ϕ ◦ Φ)(x¯) = ∂ ∞ (ϕ2 ◦ Φ)(x¯) Đang thúc ∂ ∞ (ϕ2 ◦ Φ)(x¯) = (Φt (x¯))∗ ∂ ∞ ϕ2 (Φ(x¯)) có the đưoc chúng minh tương tn (4.35) bang cách sú dung (4.17), đ%nh nghĩa nón pháp tuyen Mordukhovich (4.2) chúng minh (4.32) Đ%nh lý 4.2.3 Ta thưòng sú dung m®t h¾ cna Đ%nh lý 4.2.4 cho vi¾c bieu dien nón pháp tuyen Mordukhovich (4.2) cna nhung t¾p có dang Φ−1(Λ) := {x ∈ X| Φ(x) ∈ Λ} ó Φ : X → Y Λ ⊂ Y H¾ 4.2 Cho Φ vi ch¾t tai x¯ vói Φt (x¯) ngh%ch, cho Λ đóng quanh điem y¯ = Φ(x¯) ∈ Λ Khi ta có N (x¯; Φ−1 (Λ)) = (Φt (x¯))∗ N (y¯; Λ) Chúng minh H¾ đưoc suy trnc tiep tù Đ%nh lý 4.2.4(i) ϕ1 = ϕ2 = δ(., Λ) Sau ta nêu lên moi liên h¾ giua dưói vi phân Clarke vói dưói vi phân Mordukhovich dưói vi phân suy bien Đ%nh nghĩa 4.2.3 (Khơng gian Asplund) M®t khơng gian Banach X đưoc goi không gian Asplund neu không gian đoi ngau X ∗ tách đưoc Kí hi¾u ∂C ϕ(x¯) dưói vi phân suy r®ng Clarke đưoc trình bày Chương 2, cl∗ kí hi¾u phép lay bao đóng tơpơ yeu∗ cna X∗ Khi ta có the chúng minh đưoc moi liên h¾ sau Đ%nh lý 4.2.5 [16, Theorem 3.57] Cho X không gian Asplund ϕ : X → R thưòng núa liên tnc dưói quanh x¯ ∈ domϕ ta có Khi ∂C ϕ(x¯) = cl∗ [co∂ϕ(x¯) + co∂ ∞ ϕ(x¯)] = cl∗ co[∂ϕ(x¯) + ∂ ∞ ϕ(x¯)] Đ¾c bi¾t, ϕ liên tnc Lipschitz quanh x¯ ta có ∂C ϕ(x¯) = cl∗ co∂ϕ(x¯) Sau ta se đưa m®t vài ví du tính tốn đoi đao hàm cna nhung hàm đơn gián Các ví du đưoc trình bày [4] Ví dn 4.2.20 Cho hàm f = |x|, x ∈ R é hai chương trưóc ta biet rang hàm f loi Lipschitz R, gphf = {(x, |x|)|x ∈ R} Áp dung cơng thúc tính nón pháp tuyen (4.1), (4.3) (4.4) ta có ˆ N ((0, 0); gphf ) = (x1 , x2 ) ∈ R : x2 ≤ − |x1 | , N ((0, 0); gphf ) = Nˆ ((0, 0); gphf ) ∪ (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 = |x1 | Nên vói y∗ ∈ R, ta tính đưoc [ y∗, y∗] neu y∗ > 0,  − D f (0)(y ) = {−y∗, y∗} neu y∗ < 0,  {0} neu y∗ = ∗ ∗ Ví dn 4.2.21 Cho hàm f (x) = |x1| − |x2| vói moi x = (x1, x2) ∈ R2 lay x¯ = (0, 0) Hàm f không loi, khơng lõm, khơng quy Clarke tai x¯ = (0, 0) Đe tính đoi đao hàm D∗ f (x¯)(.) : R ⇒ R2 ta phái xác đ%nh nón pháp tuyen N (x¯; gphf ) Ta có gphf = {(x1, x2, t) : t = f (x1, x2)} = {(x1, x2, t) : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, t = x1 − x2} ∪ {(x1, x2, t) : x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, t = x1 + x2} ∪ {(x1, x2, t) : x1 ≤ 0, x2 ≤ 0, t = −x1 + x2} ∪ {(x1, x2, t) : x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, t = −x1 − x2} Kí hi¾u t¾p loi đa di¾n ó ve phái tương úng lan lưot F1, F2, F3, F4 Giá sú rang z = (x1, x2, t) ∈ gphf Neu z thu®c phan tương đoi cna F1 (tương úng cho F2, F3, F4) ta có nón Fréchet Nˆ (z; gphf ) = {λ(1, −1, −1) : λ ∈ R} (tương úng, Nˆ (z; gphf ) = {λ(1, 1, −1) : λ ∈ R} , Nˆ (z; gphf ) = {λ(−1, 1, −1) : λ ∈ R} Nˆ (z; gphf ) = {λ(−1, −1, −1) : λ ∈ R}) Neu x1 > x2 = z ∈ F1 ∩ F2 Vì ˆ T (z; F1 ) = (v1 , v2 , α) ∈ R3 : v2 ≥ 0, = v1 − v2 − α mà theo Bo đe Farkas (m®t bat thúc (a0, x) ™ ket cna h¾ (ai, x) ™ 0, i = 1, , m neu chí neu ton tai nhung so thnc khơng âm λ1, , λm thóa mãn m λiai = a0) nên ta có i=1 Nˆ (z; F1 ) = {(η1 , η2 , θ) = −λ(0, 1, 0) − µ(1, −1, −1) : λ ≥ 0, µ ∈ R} Tương tn Nˆ (z; F2 ) = {(η1 , η2 , θ) = −λt (0, −1, 0) − µt (1, 1, −1) : λt ≥ 0, µt ∈ R} Do Nˆ (z; gphf ) = Nˆ (z, F1 ) ∩ Nˆ (z, F2 ) , ta suy rang Nˆ (z; gphf ) = {(−µ, µ − λ, µ) : 2µ ≥ λ ≥ 0} Rõ ràng nón pháp tuyen Fréchet khơng phu thu®c vào v% trí cna z ƒ= núa đưòng thang F1 ∩ F2 Neu x1 < x2 = 0, z ∈ F3 ∩ F4 L¾p lu¾n tương tn ta đưoc Nˆ (z; gphf ) = {(µ, λ − µ, µ) : 2µ ≥ λ ≥ 0} Neu x1 = x2 > 0, z ∈ F1 ∩ F4 Nˆ (z, gphf ) = {(−λ − µ, µ, µ) : −2µ ≥ λ ≥ 0} Neu x1 = x2 < 0, z ∈ F2 ∩ F3 Nˆ (z; gphf ) = {(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ ≥ λ ≥ 0} Neu x1 = x2 = 0, z = (x¯, 0) ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 Vì Tˆ ((x¯, 0); F1 ) = {(v1 , v2 , α) : v1 ≥ 0, v2 ≥ 0, = v1 − v2 − α} nên tù Bo đe Farkas ta có Nˆ ((x¯, 0); F1 ) = {−λ1 (1, 0, 0) − λ2 (0, 1, 0) − µ(1, −1, −1) : λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, µ ∈ R} L¾p lu¾n tương tn ta tính đưoc nón pháp tuyen Nˆ ((x¯, 0); Fi ) (i = 2, 3, 4) Khi sú dung cơng thúc Nˆ ((x¯, 0); gphf ) = \4 Nˆ ((x¯, 0); Fi) i=1 ta có the chúng tó rang Nˆ ((x¯, 0); gphf ) = {(0, 0, 0)} Ket hop ket thu đưoc ta có: N ((x¯, 0); gphf ) = lim sup Nˆ (z; gphf ) z→(x¯,0) = cone {(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪ {(−µ, µ − λ, µ) : 2µ ≥ λ ≥ 0} ∪ {(µ, λ − µ, µ) : 2µ ≥ λ ≥ 0} ∪ {(−λ − µ, µ, µ) : −2µ ≥ λ ≥ 0} ∪ {(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ ≥ λ ≥ 0} Tù ta đưoc   {(y∗, −y∗), (y∗, y∗), (−y∗, y∗), (−y∗, −y∗)}  ∪ ∗ + , ): ≥ ≥ 0}  {(−λ∗ y∗ −y 2y∗ λ∗   ∪ {(−λ∗ + y∗, y∗ ) : 2y∗ ≥ λ∗ ≥ 0} y∗ > 0,  D∗ f (x¯) {(y∗, −y∗), (y∗, y∗), (−y∗, y∗), (−y∗, −y∗)} (y ∗ ) =  ∪ {(y∗, −y∗ − λ∗) : −2y∗ ≥ λ∗ ≥ 0}   ∪ {(−y∗, y∗ + λ∗) : −2y∗ ≥ λ∗ ≥ 0} y∗ < 0,   y∗ =  {(0, 0)} 4.3 Ket lu¾n Trong chương này, trình bày nhung khái ni¾m bán cna nón pháp tuyen Fréchet, nón Mordukhovich, đoi đao hàm Fréchet, đoi đao hàm Mordukhovich vói m®t so tính chat bán, dưói vi phân qua giói han, dưói vi phân suy bien Trình bày m®t so quy tac tính tốn dưói vi phân cna tong dưói vi phân cna hàm hop vói m®t so ví du minh hoa cho vi¾c tính tốn đoi đao hàm cna mđt so hm n giỏn KET LUắN Luắn ó trỡnh by mđt cỏch ngan gon, cú hắ thong cỏc khỏi niắm v mđt so tớnh chat cna đao hàm suy r®ng Cu the: Chương Chương 2: Trình bày m®t so kien thúc ve khơng gian Banach m®t so tính chat cna đao hàm Fréchet, Gâteaux Trình bày khái ni¾m tính chat bán cna hàm loi, dưói vi phân hàm loi vói m®t vài quy tac tính tốn dưói vi phân Sú dung dưói vi phân cna hàm loi đe minh hoa úng dung m®t tốn cu the Chương 3: Trình bày nhung van đe bán cna dưói vi phân suy r®ng Clarke cna hàm Lipschitz đ%a phương, so sánh vói dưói vi phân hàm loi đao hàm Fréchet, Gâteaux Đong thòi trình bày m®t so quy tac tính tốn cho dưói vi phân suy r®ng Chương 4: Trỡnh by mđt cỏch ngan gon nhung khỏi niắm c bán nhat ve lý thuyet đoi đao hàm dưói vi phân đưoc đe xuat bói B S Mordukhovich Cu the: l mđt so khỏi niắm ve oi ao hm, dưói vi phân qua giói han m®t so quy tac tính tốn dưói vi phân cho hàm tong, hàm hop vói m®t so ví du minh hoa Sn mú rđng khỏi niắm ao hm l rat huu ớch cho sn phát trien cna giái tích khơng trơn úng dung khác Ngồi nhung khái ni¾m đao hm suy rđng ó oc trỡnh by luắn nhieu khái ni¾m đao hàm khác đưoc tiep tuc mú rđng v phỏt trien nh: khỏi niắm Jacobian xap xí m®t loai đao hàm đa tr% đưoc đưa bói Jeyakumar Luc Vói pham vi thòi gian có han chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu xót Mong q thay ban đong hoc góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cám ơn Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] A N Kolmogorov, S V Fomin (1971), Cơ só lý thuyet hàm giái tích hàm, Nhà xuat bán Giáo duc [2] Nguyen Xuân Tan, Nguyen Bá Minh (2007), Lý thuyet toi ưu không trơn, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [3] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [4] Nguyen Đơng n (2007), Giái tích đa tr%, Nhà xuat bán Khoa hoc tn nhiên Cơng ngh¾ [B] Tài li¾u tieng Anh [5] J -P Aubin (1998), Optima and Equilibria: An Introduction to Nonlinear Analysis, Second Edition, Springer [6] D P Bertsekas (2003), Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts [7] S Boyd and L Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press [8] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [9] F H Clarke (1989), Methods of Dynamic and Nonsmooth Optimization, Society for industrial and Applied Mathematic Philadelphia, Pennsylvania 96 [10] L Debnath and P Mikusin´ski (1990), Introduction to Hilbert Spaces with Applications, Academic Press [11] I Ekeland and R Témam (1999), Convex Analysis and Variational Problems, Society for industrial and Applied Mathematic Philadelphia [12] G G Magaril-Il’yaev and V M Tikhomirov (2003), Convex Analysis: Theory and Application, American Mathematical Society [13] V Jeyakumar and D T Luc (2008), Nonsmooth Vector Function and Continuous Optimition, Springer-Verlag [14] G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: "Nonconvex Optimization and its Application", (78), Springer, New York [15] B S Mordukhovich (1994), "Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mapping", Journal of Mathematical Analysis and Application, (183), 250-288 [16] B S Mordukhovich (2006a), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer [17] B S Mordukhovich (2006b), Variational Analysis and Generalized Differentiation, II: Application, Springer [18] B S Mordukhovich and Y Shao (1996), "Nonsmooth analysis in Asplund spaces", Transactions of the American Mathematical Society, (348), 1230-1280 [19] B S Mordukhovich and Y Shao (1995), "On Nonconvex Subdifferential Calculus in Banach Spaces", Journal of Convex Analysis, (2), 211-227 [20] R R Phelps (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin [21] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [22] R T Rockafellar and R J.-B Wets (1998), Variational Analysis, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg [23] W Schirotzek (2006), Nonsmooth Analysis, Springer [24] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers ... phân cho hàm loi Đen nhung năm 70, F H Clarke xây dnng lý thuyet dưói vi phân dưói vi phân suy r®ng cna hàm Lipschitz đ%a phương Trong ý tưóng bán cna lý thuyet xap xí hàm loi (ho¾c hàm Lipschitz)... cna nó, tơi chon nghiên cúu đe tài "Đao hàm suy r®ng Úng ding" Mnc đích nghiên cNu Đe tài nghiên cúu ket đat đưoc ve đao hàm suy r®ng vói m®t so úng dung vào tốn toi ưu Nhi¾m nghiên cNu Vi¾c nghiêu... (1.17) Đao hàm Fréchet tai x đưoc kí hi¾u T t(x) hay dT (x) Trong trưòng hop cna m®t hàm giá tr% thnc f : R → R, đao hàm thơng thưòng tai x m®t so bieu dien đ® doc cna đo th% hàm so tai x Đao hàm Fréchet