Đạo hàm suy rộng và ứng dụng

Trong đó ý tưóng cơ báncna lý thuyet này là xap xí hàm loi ho¾c hàm Lipschitz cho trưócbang cá m®t t¾p hop, đưoc goi là t¾p dưói vi phân, nam trong khônggian đoi ngau, thay vì chí có vói

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòngĐai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trongnhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giáitích đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và

nghiên cúu.Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên

và tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, ngày 10 tháng 9 năm 2009

Tác giá

Lê Chí Thanh

LèI CAM ĐOAN

Tác giá xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tác giá dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm

Hà N®i, ngày 10 tháng 9 năm 2009

Tác giá

Lê Chí Thanh

Mnc lnc

1.1 Khái ni¾m không gian Banac h v à m®t so tính c hat 3

1.2 Đao hàm F réc het v à Gâteaux 7

1.3 Ket lu¾n 18

2.1 Khái ni¾m mó đau ve dưói vi phân hàm loi 192.1.1 Đ%nh nghĩa và nhung khái ni¾m cơ bán cna hàm loi192.1.2 Dưói vi phân hàm loi 222.2 Dưói vi phân cna hàm loi liên tuc và núa liên tuc dưói 282.2.1 Dưói vi phân cna hàm loi liên tuc 282.2.2 Dưói vi phân cna hàm loi núa liên tuc dưói 322.3 M®t so phép toán dưói vi phân và bài toán úng dung 35

Chương 3 Dưái vi phân cúa hàm Lipschitz đ%a phương 43

3.1 Khái ni¾m mó đau ve dưói vi phân cna hàm Lipschitz đ%a phương 433.1.1 Đ%nh nghĩa và nhung van đe cơ bán 433.1.2 Moi liên h¾ vói đao hàm và dưói vi phân hàm loi 50

3.2 M®t so phép toán ve dưói vi phân suy r®ng 56

3.3 Ket lu¾n 63

Chương 4 Đoi đao hàm và dưái vi phân 64 4.1 Nón pháp tuy en v à đ o i đao hàm 64

4.1.1 Nón pháp tuy en 64

4.1.2 Đoi đao hàm v à m®t so tính c hat cơ bán 72

4.2 Dưói vi phân qua giói han 79

4.2.1 Dưói vi phân 79

4.2.2 M®t so quy tac tính toán 80

4.3 Ket lu¾n 93

Ket lu¾n 94

Tài li¾u tham kháo 95

X ∗ không gian đoi ngau cna không gian Banach X

B ρ (x) hình cau đóng tâm x, bán kính ρ

limsup giói han trên cho dãy so thnc

Limsup giói han trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (x¯, Ω) nón pháp tuyen Mordukhovich cna Ω tai x¯

Nˆ (x¯, Ω) nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯

f t (x; v) đao hàm theo hưóng cna f tai x theo hưóng v

f 0(x; v) đao hàm theo hưóng suy r®ng (đao hàm

Clarke) cna f tai x theo hưóng v

∂ ∞ f (x) dưói vi phân suy bien cna f tai x

D ∗ F (x¯, y¯) đoi đao hàm Mordukhovich cna F tai (x¯, y¯)

Dˆ ∗ F (x¯, y¯) đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, y¯)

x ∗ ω k −→ x ∗ ∗ h®i tu theo tôpô yeu∗

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Sn phát minh ra các phép tính vi-tích phân vào cuoi the ký XVII cna

I Newton và G M Leibniz đã đưa toán hoc sang m®t giai đoan mói.Trái qua thòi gian, lý thuyet phép tính vi-tích phân đưoc phát trienmanh me do nhung van đe toán hoc đưoc đ¾t ra Như ta đã biet, tronggiái tích co đien, ngay cá trong R1 nhieu hàm tù khoáng (a, b) vào

R1 không khá vi Vì v¾y rat khó xap xí hàm này bói m®t hàm tuyentính

Đe giái quyet van đe này, nhung năm 60 cna the ký XX, R T afellar đã xây dnng lý thuyet dưói vi phân cho hàm loi Đen nhung năm

Rock-70, F H Clarke đã xây dnng lý thuyet dưói vi phân và dưói vi phânsuy r®ng cna hàm Lipschitz đ%a phương Trong đó ý tưóng cơ báncna lý thuyet này là xap xí hàm loi (ho¾c hàm Lipschitz) cho trưócbang cá m®t t¾p hop, đưoc goi là t¾p dưói vi phân, nam trong khônggian đoi ngau, thay vì chí có vói m®t hàm tuyen tính như trong trưònghop khá

vi Ngay sau sn ra đòi lý thuyet vi phân cna Clarke, năm 1976 B S.Mordukhovich đã đe xuat và xây dnng lý thuyet vi phân vói cách tiepc¾n:

- Đ%nh nghĩa khái ni¾m dưói vi phân cna các hàm so nh¾n giá tr%trong t¾p so thnc suy r®ng;

- Sú dung dưói vi phân đe đ%nh nghĩa nón pháp tuyen (nói chung làkhông loi) cna các t¾p hop;

- Sú dung nón pháp tuyen (không loi) đe đ%nh nghĩa đoi đao hàm cnaánh xa đa tr%;

- Phát trien các quy tac tính toán;

- Áp dung các khái ni¾m và quy tac tính toán nói trên đe chúng minhcác đ%nh lý cơ bán, nghiên cúu ho¾c đ¾c trưng các tính chat đángquan

2tâm cna ánh xa và hàm so trong các lý thuyet toán hoc, đưa ra các thu¾t toán giái quyet các bài toán khác nhau.

Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve sn phát trien cna phéptính vi-tích phân và m®t so úng dung cna nó, tôi đã chon nghiên cúu

đe tài "Đao hàm suy r®ng và Úng ding"

2 Mnc đích nghiên cNu

Đe tài nghiên cúu các ket quá đat đưoc ve đao hàm suy r®ng và vóim®t so úng dung vào bài toán toi ưu

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vi¾c nghiêu cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ các kháini¾m đao hàm và trình bày m®t so úng dung cna tùng khái ni¾m trongm®t so bài toán

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

- Vi phân Fréchet, Gâteaux

- Dưói vi phân cna hàm loi

- Dưói vi phân cna hàm đ%a phương

- Đoi đao hàm Mordukhovich

5 Phương pháp nghiên cNu

- Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo

- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

6 NhÑng đóng góp cúa đe tài

Trình bày m®t cách có h¾ thong các kien thúc cơ bán ve lý thuyetđao hàm suy r®ng cùng vói m®t so bài toán úng dung

Chương 1 M®t so kien thNc cơ bán

chat

Muc này trình bày m®t so tính chat cơ bán cna không gian Banach

và đao hàm Fréchet, Gâteaux se đưoc sú dung ve sau

Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan) M®t không gian đ%nh

chuan thnc (phúc) là m®t không gian vectơ thnc (phúc) X cùng vói m®t ánh xa X → R, đưoc goi là chuan và kí hi¾u ".", thóa mãn:

i) "x" ≥ 0, ∀x ∈ X và "x" = 0 neu và chs neu x = 0;

ii) "αx" = |α| "x", ∀x ∈ X và ∀α ∈ R (hay C);

iii) "x + y" ≤ "x" + "y", ∀x, y ∈ X.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Dãy Cauchy) M®t dãy vectơ (x n ) trong không gian

đ%nh chuan đưoc goi là dãy Cauchy neu vói moi ε > 0 ton tai m®t so M thóa mãn

"x m − x n " < ε, ∀m, n > M.

Đ%nh lý 1.1.1 Ta có nhung đieu ki¾n sau là tương đương:

(a) (x n ) là m®t dãy Cauchy;

(b) "x p n − x q n " → 0 khi n → ∞, vói moi c¾p dãy tăng cúa nhung so nguyên dương (p n ) và (q n );

x p

n → 0 khi n → ∞, vói moi dãy tăng cúa nhung so nguyên dương (p n ).

Nh¾n xét 1.1 Rõ ràng moi dãy h®i tu đeu là dãy Cauchy.

Th¾t v¾y, neu "x n − x" → 0 thì "x p n − x q n " ≤ "x p n − x"+"x q n − x" →

0

vói moi c¾p dãy tăng cna chí so (p n ) và (q n)

Đieu ngưoc lai trong trưòng hop tong quát không đúng

Ví dn 1.1.1 Cho P ([0, 1]) là không gian các đa thúc trên [0, 1]

vói chuan P = max P (x) Đ%nh nghĩa:

x n , n = 1, 2

n!

Thì (P n ) là m®t dãy Cauchy, nhưng nó không h®i tu trong P ([0, 1]).

Bo đe 1.1 Neu (x n ) là m®t dãy Cauchy cúa m®t không gian đ%nh chuan,

thì dãy cúa chuan ("x n ") là h®i tn.

Lưu ý rang bo đe này kéo theo moi dãy Cauchy là b% ch¾n, túc là neu

(x n ) là m®t dãy Cauchy, thì có m®t so M thóa mãn "x n " ≤ M vói ∀n.

Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach) M®t không gian đ%nh chuan

X đưoc goi là đú neu moi dãy Cauchy trong X h®i tn tói m®t phan tú cúa

X M®t không gian đ%nh chuan đú đưoc goi là m®t không gian Banach.

Ví dn 1.1.2 Chúng ta se chí ra rang không gian l2 bao gom tat cá

nhung dãy so phúc x = (x n) sao cho chuoi

∞

.∞

n= 1

|x n | h®i tu vói chuan

Lay (a n ) là m®t dãy Cauchy trong l2 Giá sú (a n ) = (α n,1, α n,2, ) Vói

ε > 0 tùy ý, ton tai m®t so N0 thóa mãn

Nhưng đieu này cũng có nghĩa là, vói moi k dãy (α n,k) là m®t dãy

Cauchy trong C và vì v¾y nó h®i tu

Kí hi¾u: α k = lim

n→∞ α n,k , k = 1, 2 và a = (α k)

Chúng ta se chúng minh rang a là m®t phan tú cna l2 và rang dãy (a n)

h®i tu tói a Th¾t v¾y, tù (1.1) cho m → ∞ ta đưoc

Đieu này chúng minh rang dãy a = (α n ) là m®t phan tú cna l2 Hơn

nua, khi ε là nhó tùy ý (1.2) kéo theo

‚ ∞

túc là dãy (a n ) h®i tu tói a trong l2

Ví dn 1.1.3 M®t ví du quan trong khác cna không gian Banach là

không gian C ([a,b]) nhung hàm liên tuc (giá tr% thnc ho¾c phúc) trên

m®t đoan [a, b] Nhac lai rang chuan trên C ([a,b]) đưoc đ%nh nghĩa

Lay (f n ) là m®t dãy Cauchy trong C ([a,b]) Vói ε > 0 tùy ý ton tai N0 ∈

N

sao cho

"f n − f m " < ε, ∀m, n ≥ N0;

và vì v¾y cũng có

|f n (x) − f m (x) | < ε, ∀m, n ≥ N0, ∀x ∈ [a, b]. (1.3)

Đieu này kéo theo rang (f n (x)) là m®t dãy Cauchy vói moi x ∈ [a, b]

Tính đn cna R (ho¾c C) cho phép ta xác đ%nh

f (x) = lim

n→∞ f n (x), x ∈ [a, b].

Bây giò, cho m → ∞ trong (1.3) ta đưoc

|f n (x) − f (x)| ≤ ε, ∀n ≥ N0, ∀x ∈ [a, b]. (1.4)

Lay x0 ∈ [a, b] Khi đó f N0 là liên tuc trên [a, b], ton tai m®t so δ > 0

thóa mãn |f N0 (x0) − f N0 (y) | < ε, vói moi y ∈ [a, b] thóa mãn |x0 − y| < δ Suy ra

|f (x0) − f (y)| ≤ |f (x0) − f N0 (x0)| + |f N0 (x0) − f N0 (y) | + |f N0 (y) − f

nên dãy (f n ) h®i tu đeu tói f

Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Chuoi h®i tu và h®i tu tuy¾t đoi) M®t chuoi

Trong trưòng hop đó ta

viet đưoc goi là h®i tn tuy¾t

đoi.

.∞

n= 1

x n = x

n= 1

"x n " < ∞, thì chuoi

Trong trưòng hop tong quát, m®t chuoi h®i tu tuy¾t đoi không nhatthiet h®i tu

n

Đ%nh lý 1.1.2 M®t không gian đ%nh chuan là không gian Banach neu

và chs neu moi chuoi h®i tn tuy¾t đoi là h®i tn.

Đ%nh lý 1.1.3 M®t không gian vectơ con đóng cúa m®t không gian

Banach là m®t không gian Banach.

Nh¾n xét 1.2 M®t so không gian náy sinh tn nhiên trong úng dung là

không đn Nó có the đưoc bo sung (thêm nhung phan tú mói) thànhm®t không gian đn

Cho (E, ".") là m®t không gian đ%nh chuan không đn M®t không gian

Goi B1, B2 là nhung không gian Banach trên m®t trưòng F (có the là

thnc ho¾c phúc) Giá sú rang T : B1 → B2 là m®t toán tú (không nhat

thiet tuyen tính) vói mien xác đ%nh D(T ) = B1

Đ%nh nghĩa 1.2.1 (Đao hàm Gâteaux) Giá sú x là m®t phan tú co

đ%nh cúa B1 Toán tú T : B1 → B2 đưoc goi là khá vi Gâteaux tai x neu ton tai m®t toán tú tuyen tính liên tnc A thóa mãn

vói moi h ∈ B1, ó đó t → 0 trong F.

Toán tú A đưoc goi là đao Gâteaux cúa T tai x, và giá tr% cúa nó tai h đưoc kí hi¾u bói A(h) = dT (x, h).

Tù đ%nh nghĩa trên, đao hàm Gâteaux cna m®t toán tú tù B1 vào

B2 tai x ∈ B1 là m®t toán tú tuyen tính tù B1 vào B2 Chú ý rang

neu T là m®t toán tú tuyen tính, thì dT (x, h) = T (h), túc là dT (x)

Đ%nh lý 1.2.1 Neu đao hàm Gâteaux ton tai, nó là duy nhat.

Chúng minh Giá sú rang hai toán tú A1 và A2 thóa mãn (1.5) Thì vói moi h ∈ B1 và vói moi t > 0 ta có:

( x + th ) − T

( x )

t

− A1

∈ B1 Neu f có đao hàm riêng liên tuc theo tùng điem thì vi phân Gâteaux cna f là

df (x, h) = ∂f (x)

h

∂x k k

k=1

Vói m®t x0 ∈ B1 co đ%nh, đao hàm Gâteaux

Đây đưoc goi là ma tr¾n Jacobian cna f tai x Chú ý rang neu M = 1

thì ma tr¾n thu đưoc là m®t vectơ hàng

.

Ví dn 1.2.6 Cho B = C [a,b] là không gian đ%nh chuan cna hàm liên tuc

giá tr% thnc trên [a, b] vói chuan đưoc đ%nh nghĩa bói "x" = sup

Vói giá thiet cna g ta có the đoi cho thú tn cna phép lay vi phân và phép

lay tích phân Khi đó ta có

Đ%nh lý 1.2.2 (Đ%nh lý giá tr% trung bình)[10, Theorem 8.2.2] Giá

sú hàm f có đao hàm Gâteaux df (x, h) tai moi điem x ∈ B Khi đó vói bat kì hai điem x, x + h ∈ B ton tai m®t hang so ξ ∈ (0, 1) thóa mãn

t + s ) − Φ(

t ) .

s

= lim

s→0

f ( x + th + sh ) − f ( x +

th ) .s

= df (x + th, h).

Áp dung đ%nh lý giá tr% trung bình vói hàm m®t bien cho Φ ta đưocΦ(1) − Φ(0) = Φ t (ξ) vói ξ ∈ (0, 1).

Đ%nh nghĩa này không the đưoc sú dung trong trưòng hop cna ánh

xa đưoc xác đ%nh trên m®t không gian Banach, bói vì h là m®t vectơ,

và phép chia cho m®t vectơ là vô nghĩa M¾t khác, phép chia cho

m®t vectơ có the de dàng tránh đưoc khi viet lai (1.12) là:

f (x + h) = f (x) + f t (x).h + hω(h), (1.13)

ó đó ω là m®t hàm (mà phu thu®c trên h) thóa mãn ω(h) → 0 khi h → 0.

Tương đương chúng ta có the nói rang f t (x) là đao hàm cna f tai x neu

h → 0 khi h → 0, thưòng đưoc kí hi¾u

Đ%nh nghĩa cơ só trên (1.14) có the đưoc suy r®ng cho bao gom

ánh xa tù m®t không gian Banach vào m®t không gian Banach Đieunày dan đen khái ni¾m vi phân Fréchet và đao hàm Fréchet

Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Đao hàm Fréchet) Cho x là m®t điem co đ%nh

trong không gian Banach B1 M®t toán tú tuyen tính liên tnc A : B1

→ B2 đưoc goi là đao hàm Fréchet cúa toán tú T : B1 → B2 tai x neu:

"h"

Đao hàm Fréchet tai x đưoc kí hi¾u là T t (x) hay dT (x).

Trong trưòng hop cna m®t hàm giá tr% thnc f : R → R, đao hàm

thông thưòng tai x là m®t so bieu dien đ® doc cna đo th% hàm so tai x Đao hàm Fréchet cna f không là m®t so nhưng là m®t toán tú tuyen tính tù R vào R Sn ton tai đao hàm thông thưòng f t (x) kéo theo sn ton tai đao hàm Fréchet tai x.

Trong giái tích co đien, tiep tuyen cna m®t đưòng cong là m®tđưòng thang đưoc hình thành bang cách xap xí tot nhat vói đưòngcong trong lân c¾n cna điem tiep xúc Tương tn, đao hàm Fréchet cna

m®t toán tú f có the đưoc giái thích là phép xap xí tuyen tính đ%a phương tot nhat Ta xét bien đoi trong f khi đoi so cna nó thay đoi tù

x tói x + h, và sau đó ta xap xí thay đoi này bói m®t toán tú tuyen

tính A túc là:

f (x + h) = f (x) + Ah + ε, (1.18)

ó đó ε là sai so trong xap xí tuyen tính Vì v¾y, ε có b¾c giong như đ® lón h, trù trưòng hop khi A là bang đao hàm Fréchet cna f Trong trưòng hop như v¾y, ε = O(h), túc là ε nhó thua h khi h → 0 Trong

nghĩa này, đao hàm Fréchet đưa đen xap xí tuyen tính tot nhat cna f gan x Cuoi cùng, neu A là m®t toán tú tuyen tính, thì đao hàm cna

A chính là A và xap xí tuyen tính tot nhat cna A là A.

Đ%nh lý 1.2.3 Neu m®t ánh xa có đao hàm Fréchet tai m®t điem, thì

nó có đao hàm Gâteaux tai điem đó và cá hai đao hàm là bang nhau Chúng minh Lay T : B1 → B2, và x ∈ B1 Neu T có đao hàm Fréchet tai x thì:

lim

"h"→0 " T ( x + h ) − T ( x ) − Ah "

= 0,

"h"

vói toán tú tuyen tính liên tuc A : B1 → B2 Đ¾c bi¾t, vói bat kì h ∈ B1

Vì v¾y A là đao hàm Gâteaux cna T tai x.

H¾ quá 1.1 Neu đao hàm Fréchet ton tai, nó là duy nhat.

Ví dn 1.2.7 Cho f : R2 → R đưoc đ%nh nghĩa

Tuy nhiên đao hàm đó không phái là phan chính tuyen tính cna so gia

cna hàm trên tai điem (0, 0) Th¾t v¾y, neu đ¾t h2 = h12 thì

Do đó f không khá vi Fréchet tai (0, 0).

Ví dn 1.2.8 Xét toán tú T : C [a,b] → C [a,b] đưoc đ%nh nghĩa

ó đó K : [a, b] × [a, b] → R và f : [a, b] × R → R là nhung hàm đưoc đưa

ra Neu f là đn trơn, thì

1

1

h

ó đó đao hàm Fréchet A = T t (u) là

Đ%nh lý 1.2.4 Neu m®t toán tú đưoc xác đ%nh trên m®t t¾p con mó cúa

m®t không gian Banach là khá vi Fréchet tai m®t điem, thì nó liên tnc tai điem đó.

Chúng minh Cho Ω là m®t t¾p mó trong không gian Banach B1, và lay

T1 là m®t toán tú tù Ω vào không gian Banach B2 Lay x ∈ Ω và ε >

0 thóa mãn x + h ∈ Ω ó đó "h" < ε Thì:

"T (x + h) − T (x)" = "Ah + Φ(x, h)" → 0,

khi "h" → 0 Đieu này chúng minh rang T là liên tuc tai x.

Nhieu đ%nh lý, ket quá, và thu¾t toán cna giái tích thông thưòng cóthe de dàng mó r®ng cho đao hàm Fréchet Ví du, quy tac thưòngdùng cho phép tính vi phân cna tong và tích (trong trưòng hop cnahàm) cna hai hay nhieu hàm áp dung cho đao hàm Fréchet

Đ%nh lý 1.2.5 (Chain Rule)[10, Theorem 8.2.5] Cho B1, B2, B3 là nhung không gian Banach thnc Neu g : B1 → B2 là khá vi Fréchet tai

ó đó d = g(x + h) − g(x) Vì v¾y

"Φ(x + h) − Φ(x) − f t (y)d " = O("d").

Trong bieu dien cna "d − g t (x)h " = O("h"), ta thu đưoc

"Φ(x + h) − Φ(x) − f t (y)g t (x)h " = O("h") + O("d").

Khi đó g là liên tuc tai x, bói Đ%nh lý 1.2.4 ta có "d" = O("h") và vì

v¾y

Φt (x)h = f t (g(x))g t (x)h.

Đ%nh lý 1.2.6 M®t toán tú tuyen tính T tù m®t không gian Banach vào

m®t không gian Banach là khá vi Fréchet neu và chs neu T là b% ch¾n Trong trưòng hop đó, T t = T

Đ%nh nghĩa 1.2.3 (Đao hàm Fréchet cap hai) Neu T : B1 → B2 là khá vi Fréchet trên m®t t¾p mó Ω ⊂ B1 và T t là khá vi Fréchet tai x ∈

Ω, thì T đưoc goi là khá vi Fréchet cap hai tai x Đao hàm Fréchet

cúa T t tai x đưoc goi là đao hàm Fréchet cap hai cúa T và đưoc kí hi¾u là T tt (x).

Chú ý rang neu T : B1 → B2 là khá vi Fréchet trên m®t t¾p mó

Ω ⊂ B1, thì T t là m®t ánh xa tù B1 vào B(B1, B2) (trong đó B(B1, B2 ) kí hi¾u không gian tat cá nhung ánh xa tuyen tính b% ch¾n tù B1

vào B2).Tù đó, neu T tt (x) ton tai thì nó là m®t ánh xa tuyen tính b% ch¾n tù B1 vào B(B1, B2 ) Neu T tt ton tai tai moi điem cna Ω thì T tt : B1 → B(B1, B(B1, B2))

Trong giái tích co đien, sn tương tn cna công thúc (1.13) cho đao

hàm cap hai có the đưoc viet là

f (x + h) = f (x) + f

t (x)h +

1

f tt (x)h2 + O(h2), (1.19)2

ó đó O(h2) thay cho m®t hàm ϕ(h) = ω(h)h2 thóa mãn lim ω(h) = 0.

h→0

Rõ ràng (1.19) là khai trien Taylor thu gon cna f (x + h) trong lũy

thùa

cna h Đieu đó nói lên rang f t (x) là h¾ so cna so hang tuyen tính h và

2 tt (x) là h¾ so cna so hang b¾c hai h Vì v¾y (1.19) có the đưoc sú dung đe tìm f tt trong cách làm tương tn (1.13) sú dung tính f t

Mó r®ng (1.19) cho trưòng hop đao hàm Fréchet cap hai cna m®t

hàm giá tr% vô hưóng trên m®t không gian Banach, nó dưòng như

thích hop cho vi¾c giái thích f tt (x)h2 là ket quá cna úng dung cnatoán tú tuyen

tính f tt (x) cho c¾p (h, h), và O(h2) là m®t hàm ϕ thóa mãn "ϕ(h)"

ó đó f ij kí hi¾u đao hàm riêng cap hai M¾t khác, f tt (x, x) là toán

tú song tuyen tính đưoc tao thành bói ma tr¾n cna đao hàm riêng cap

hai cna f Vói m®t hàm khá vi cap hai f : R N → R, ta có f ij = f ji, nên

ma tr¾n là đoi xúng Đieu này dan đen ket quá sau cho m®t c¾p tong

Trong trưòng hop tong quát, ta có the đ%nh nghĩa đao hàm Fréchet

cap hai f tt (x) là m®t toán tú song tuyen tính đoi xúng Vói m®t ánh xa song tuyen tính đoi xúng ϕ, ϕ(h, k) đưoc xác đ%nh duy nhat bói giá tr

% cna

Công thúc này có the đưoc sú dung đe thu đưoc m®t khai trien cho

f tt (x)(h, k) trong nhung so hang cna f tt (x)(h, h).

Ví dn 1.2.10 Xét m®t toán tú tích phân không tuyen tính T : C [a,b] →

C [a,b] đưoc đ%nh nghĩa bói

ó đó K là m®t hàm liên tuc cna ba bien (t, s, u), khá vi cap hai vói

tương úng cho u Khi đó

Ve trái cna (1.28) bieu dien giá tr% tai t cna hàm T tt (x)(h, h) thu đưoc bói úng dung cna toán tú song tuyen tính T tt (x) cho c¾p cna hàm (h,

h) Rõ ràng, T tt (x) đưoc áp dung cho m®t c¾p tong quát cna nhung hàm (h, k) cho

M®t trong nhung úng dung chính cna lý thuyet vi phân là tìm cnc tr

% cna các phiem hàm Tuy nhiên van đe náy sinh là khi tìm cnc tr%cna m®t so phiem hàm không trơn (không khá vi) tai m®t so điemthì lý thuyet vi phân nêu trên không v¾n dung đưoc Do đó, trongchương tiep theo ta se mó r®ng khái ni¾m vi phân cho dưói vi phâncna hàm loi

Chương 2 Dưái vi phân hàm loi

Trong chương này chúng ta se trình bày nhung kien thúc cơ báncna hàm loi và dưói vi phân cna hàm loi can dùng trong quá trìnhnghiên cúu m®t so bài toán toi ưu không trơn

2.1.1 Đ%nh nghĩa và nhÑng khái ni¾m cơ bán cúa hàm loi

Cho X là không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff và hàm f : X → R, trong đó R = R ∪ {−∞, +∞}, các t¾p

dom f = {x ∈ X| f (x) < +∞} ,

epi f = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} ,

đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cna hàm f

Đ%nh nghĩa 2.1.1 Hàm f : X → R đưoc goi là loi neu trên đo th% cúa

nó là m®t t¾p loi trong X × R Neu dom f ƒ= ∅ và f (x) > −∞ vói moi x ∈ X ta nói hàm f là chính thưòng.

Nh¾n xét 2.3 Tù đ%nh nghĩa hàm loi ta thay rang vói D là m®t t¾p loi

trong X và vói x1, x2 ∈ D và λ ∈ [0, 1] ta có

f [(1 − λ)x1 + λx2] ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2), (2.1)

ó đó ve phái và ve trái đưoc xác đ%nh ( Neu dau đang thúc xáy ra trong

(2.1) vói ∀λ ∈ R thì f đưoc goi là hàm affine ) Hàm f (x) đưoc goi là

lõm trên D neu −f (x) là loi.

Đ%nh nghĩa 2.1.2 (Hàm núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói) M®t hàm

f : X → R đưoc goi là núa liên tnc dưói tai m®t điem x ∈ X neu

M®t hàm mà núa liên tnc trên và núa liên tnc dưói tai x là liên tnc tai

x theo nghĩa thông thưòng.

Đ%nh nghĩa 2.1.3 Cho X là không gian đ%nh chuan.

1) Ta nói rang f là hàm Lipschitz trên t¾p D ⊂ X, neu ton tai so k sao cho

|f (x) − f (x t)| ≤ k"x − x t ", x, x t ∈ D.

2) Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a phương tai x ∈ X, neu ton tai so

ε > 0 sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D.

3) Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a phương trên D, neu nó Lipschitz đ%a phương tai moi điem cúa D.

M¾nh đe 2.1.1 [24, Proposition 2.3] M®t hàm loi chính thưòng f

trên

X là liên tnc tai moi điem trong cúa mien huu hi¾u cúa nó.

Đ%nh lý 2.1.1 [24, Theorem 2.2] Cho m®t hàm loi chính thưòng f trên

X Ta có các khang đ%nh sau là tương đương:

i) f là liên tnc tai điem x0 ∈ X;

ii) f là b% ch¾n trên tai lân c¾n cúa x0 ∈ X;

Chúng minh [(i) ⇒ (ii)] Neu f là liên tuc tai m®t điem x0 thì ton tai

m®t lân c¾n U cna x0 thóa mãn f (x) < f (x0) + 1 vói moi ∀x ∈ U

[(ii) ⇒ (iii)] Tù giá thiet suy ra ton tai lân c¾n U cna x0 và c > 0 sao cho f (x) ≤ c, ∀x ∈ U Đ¾t

V = {(x, α) ∈ X × R| x ∈ U, α > c} ,

ta có V ⊂ epif và V là t¾p mó, nên ta suy ra int(epif ) ƒ= ∅.

[(iii) ⇒ (iv)] Neu int(epif ) ƒ= ∅ thì ton tai m®t t¾p mó U và

m®t khoáng mó I ⊂ R thóa mãn U × I ⊂ epif , do đó U ⊂ domf ,

túc là int(domf ) ƒ= ∅ Xét t¾p compact bat kì C ⊂ int(domf ) và

lay B là hình cau đơn v% trong X Vói moi r > 0, t¾p C + rB là

compact, và ho nhung t¾p đóng {(C + rB)\int(domf ), r > 0} có m®t

giao là rong Trong bieu dien cna tính compact cna C + rB m®t ho

con huu han cna nhung ho này phái có m®t giao bang rong, do đó

vói r > 0 ta phái có (C + rB) \int(domf ) = ∅, nghĩa là (C + rB) ⊂

int(domf ) Bói M¾nh đe

2.1.1 hàm f là liên tuc trên int(domf ) Kí hi¾u µ1 và µ2 là cnc đai

và cnc tieu cna f trên C + rB Lay x, x t là hai điem phân bi¾t trong

x, x t thóa mãn x ∈ C, x t ∈ C

|f (x) − f (x t)| ≤ k "x − x t " ,

đieu này chúng minh cho tính Lipschitz cna f trên C.

(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng.

2.1.2 Dưái vi phân hàm loi

Khái ni¾m hàm khá vi nhieu bien đưoc biet đen bói Jacobi vàhàm khá vi trong không gian đ%nh chuan bói Fréchet và Gâteaux

Neu hàm f đat cnc tr% tương úng tai x, gradient cna f là bang 0 tai

điem đó Van đe náy sinh trong lý thuyet toi ưu, lý thuyet trò chơi dan đen nhung hàm không khá vi mà ta phái tìm cnc tieu cna

nhung hàm đó Ví du như, ta nói đen hàm f (x) = |x| không khá vi

tai x = 0, nhưng nó là hình bao trên (upper envelope) cna hàm khá

vi x → αx khi α bien thiên trên [−1, 1] Như v¾y chúng ta se thay

rang bat kì hàm núa liên tuc loi có the đưoc xap xí bói m®t hàm

khá vi, ví du hàm x → |x| có the đưoc xap xí bói hàm f λ đưoc xác đ

Như v¾y, neu ta quan tâm đen cnc tieu cna x → |x| vói chú ý rang tai

điem 0 hàm không khá vi thì đ%nh lý Fermat không áp dung đưoc.Thnc te, ta có the sú dung đ%nh lý Fermat, súa đoi khái ni¾m gradient

và tong quát hóa riêng nó

Sau đó sú dung ket quá này, ta se phát trien m®t so tính toán chodưói vi phân tương tn cho tính toán vi phân thông thưòng Ta se thietl¾p đieu ki¾n mà công thúc sau thóa mãn

∂(f + g)(x0 ) = ∂f (x0) + ∂g(x0)

∂(f ◦ A)(x0 ) = A T ∂f (Ax0),

Đ%nh nghĩa 2.1.4 Cho f : X → R vói f (x0 ) huu han tai x0 ∈ X, và

X ∗ là không gian đoi ngau cúa không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương

Hausdorff X M®t phan tú p ∈ X ∗ đưoc goi là m®t dưói gradient cúa f tai điem x0 neu

f (x) − f (x0) ≥ (p, x − x0), ∀x ∈ X. (2.2)

T¾p tat cá dưói gradient cúa f tai x0 đưoc goi là dưói vi phân cúa f tai x0 và đưoc kí hi¾u là ∂f (x0 ).

Hàm f đưoc goi là dưói khá vi tai x0 neu ∂f (x0) ƒ= ∅.

Nh¾n xét 2.4 Rõ ràng rang p ∈ X ∗ là m®t dưói gradient cna f tai

x0 neu và chí neu ton tai α ∈ R sao cho hàm affine x → (p, x) + α

không tr®i hơn f khap nơi và bang f (x0) tai điem x0

Đ%nh lý 2.1.2 [20, Proposition 1.26] Cho f : X → R là loi và x ∈

Đ%nh lý 2.1.3 [24, Theorem 2.6] Cho f là hàm loi chính thưòng trong

X Vói bat kì t¾p b% ch¾n C ⊂ int(domf ) thì t¾p ∪

x∈C ∂f (x) là khác rong và b% ch¾n Đ¾c bi¾t ∂f (x0 ) là khác rong và b% ch¾n tai moi x0 ∈

int(domf ).

Chúng minh Ta biet rang neu x0 ∈ int(domf ) thì f có m®t hàm

affine h(x) thóa mãn h(x0) = f (x0), túc là h(x) = (p, x − x0) + f

(x0) vói p ∈ ∂f (x0) Vì v¾y ∂f (x0) ƒ= ∅ vói moi x0 ∈ int(domf ).

Bây giò ta xét t¾p b% ch¾n bat kì C ⊂ int(domf ) Khi đó theo chúng

minh trong Đ%nh lý 2.1.1 ta có r > 0 thóa mãn C + rB ⊂ int(domf ), ó

đó B kí hi¾u hình cau đơn v% trong X Bói đ%nh nghĩa, vói bat kì x

∈ C và p ∈ ∂f (x) ta

có (p, y − x) + f (x) ≤ f (y) vói moi y Nhưng theo Đ%nh lý 2.1.1 thì ton

tai γ > 0 thóa mãn

|f (x) − f (y)| ≤ γ"y − x", ∀y ∈ C + rB.

Do đó |(p, y − x)| ≤ γ "y − x" vói ∀y ∈ C + rB, túc là |(p, u)| ≤ γ "u"

H¾ quá 2.1 Cho f là m®t hàm loi chính thưòng trên X Vói bat kì

t¾p con loi b% ch¾n C cúa int(domf ) ton tai m®t hang so dương γ

thóa mãn

f (x) = sup {h(x)| h ∈ Q0} , ∀x ∈ C,

ó đó moi h ∈ Q0 có dang h(x) = (a, x) − α vói "a" ≤ γ.

Ta xét m®t so ví du ve dưói vi phân hàm loi

Ví dn 2.1.11 Cho f : R n → R là m®t hàm thuan nhat dương, nghĩa

là m®t hàm loi f : R n → R thóa mãn f (λx) = λf (x), λ > 0 Khi đó

∂f (x0) = {p ∈ R n | (p, x0) = f (x0 ), (p, x) ≤ f (x), ∀x} (2.3)Th¾t v¾y, sú dung dưói vi phân hàm loi ta tính dưói vi phân cnahàm trên

Nh¾n xét 2.5 Neu ta thêm vào đieu ki¾n f (−x) = f (x) ≥ 0 thì

đieu

ki¾n (p, x) ≤ f (x) tương đương vói |(p, x)| ≤ f (x), ∀x ∈ R n

Ví dn 2.1.12 Tính dưói vi phân cna hàm f (x) = "x" trong không

Ví dn 2.1.13 Cho C là m®t t¾p loi đóng trong R n, và

f (x) = min ."y − x" vói y ∈ C .

Kí hi¾u π C (x) là hình chieu cna x trên C, nên ta có: "π C (x) − x"

= min ."y − x" vói y ∈ C và (x − π C (x), y − π C (x) ) ≤ 0, ∀y ∈ C

ó đó N C (x0) kí hi¾u nón chuan tac cna C tai x0 và B(0, 1) là hình

cau Euclide đơn v%

Nón chuan tac N C (x0) cna m®t t¾p loi C ∈ R n tai m®t điem x0 ∈ R n

đưoc xác đ%nh bói công thúc

f (x) − f (x0), ∀x ∈ R n.

Vì v¾y, p ∈ ∂f (x0)