Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VIẾT TN GIẢI TÍCH SĨNG NHỎ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BIỂU DIỄN CÁC HÀM Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Quỳnh Nga Hà Nội, 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cơ, người giao đề tài tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tơi hồn thành khố học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, tồn thể đội ngũ giảng viên khoa Tốn trường đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán giảng viên khoa Khoa học trường Đại học Sao Đỏ, tạo điều kiện giúp tơi hồn thành chương trình cao học Và cuối cùng, xin cảm ơn người thân gia đình tơi, tập thể lớp K13: Tốn giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ động viên nhiều suốt thời gian học tập nghiên cứu Hà nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Mục lục Mở đầu Chương 1.Một số khái niệm kết ban đầu 1.1.Không gian Lp(R), ≤ p ≤ ∞ 1.2.Phép biến đổi Fourier 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1(R) 1.2.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2(R) 1.3.Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ .10 1.4.Sóng nhỏ Haar 13 1.5.Không gian H R 17 Chương 2.Sóng nhỏ xấp xỉ đa phân giải .22 2.1.Xấp xỉ đa phân giải 23 2.2.Xây dựng sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải 25 2.3.Sóng nhỏ có giá compact 40 Chương 3.Biểu diễn hàm sóng nhỏ .46 3.1.Cơ sở không gian Banach 46 3.2.Cơ sở không điều kiện không gian Banach 48 3.3.Sự hội tụ chuỗi sóng nhỏ Lp(R) 52 3.4.Sự hội tụ điểm chuỗi sóng nhỏ 59 3.5.Sóng nhỏ thiết lập sở không điều kiện cho H1(R) Lp(R) với < p 63 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích sóng nhỏ phát triển tương đối gần đây, vào năm 80 kỷ XX Sóng nhỏ nhận quan tâm rộng rãi nhiều nhà khoa học kỹ sư thuộc nhiều lĩnh vực khác cơng cụ đa với nội dung tốn học phong phú có tính ứng dụng cao Đó lý có nhiều sách báo khoa học viết đề tài Ta tìm thấy ứng dụng sóng nhỏ giải tích tín hiệu, xử lý ảnh, nén liệu, nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, phát máy bay tàu ngầm, kỹ thuật ảnh y khoa Giải tích sóng nhỏ xem lựa chọn thay cho giải tích Fourier cửa sổ cổ điển Những viên gạch xây dựng nên giải tích Fourier cửa sổ sóng sin cosin nhân với cửa sổ trượt Trong giải tích sóng nhỏ, cửa sổ sóng mẹ Sóng mẹ khơng phải nhân với sin hay cosin mà tịnh tiến giãn nở phép tịnh tiến giãn nở Đó cách mà sóng mẹ tạo thành sóng nhỏ khác Những sóng nhỏ viên gạch xây dựng nên giải tích sóng nhỏ Nhờ mà phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm phép biến đổi Fourier cửa sổ chỗ có khả phóng to hay thu nhỏ, tức cửa sổ thời gian tần số tự động thu nhỏ với thành phần có tần số cao mở rộng với thành phần có tần số thấp Đó tính chất mong chờ giải tích thời gian - tần số Sóng nhỏ ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn khác nhau, ví dụ lý thuyết giả vi phân, lý thuyết toán tử, biểu diễn hàm đặc trưng không gian hàm Cũng tương tự chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu hay hàm qua sóng sin cosin, ta dùng sóng nhỏ để biểu diễn tín hiệu hay hàm dạng chuỗi Hơn nữa, chuỗi Fourier, sóng sin cosin chọn làm hàm sở, sau tính chất chuỗi tạo kiểm tra chuỗi sóng nhỏ, ta chọn tính chất mong muốn trước tìm hàm sở thoả mãn tính chất Đặc biệt, chuỗi sóng nhỏ hàm sở không thiết phải tạo thành hệ độc lập tuyến tính Tính chất có ưu điểm ta cần lưu trữ hệ số sóng nhỏ với độ xác thấp mà hồi phục lại tín hiệu với độ xác tương đối cao Ta xem giải tích sóng nhỏ tinh luyện giải tích Fourier biểu diễn hàm nhiều trường hợp đơn giản nhiều nhờ số lượng hệ số so với giải tích Fourier cổ điển, ví dụ biểu diễn hàm cưa Điều dẫn đến tỷ số nén tín hiệu sử dụng chuỗi sóng nhỏ tốt sử dụng chuỗi Fourier, theo nghĩa liệu phải dùng để khơi phục lại tín hiệu ban đầu Trên thực tế, tỷ số nén số chuỗi sóng nhỏ vượt trội hẳn chuỗi Fourier việc phục hồi dấu vân tay đến mức quan an ninh quốc gia Mỹ FBI sử dụng chúng để lưu trữ truyền kho sở liệu khổng lồ Do tính thời tính ứng dụng cao sóng nhỏ nội dung tốn học phong phú nó, tơi định chọn “Giải tích sóng nhỏ ứng dụng biểu diễn hàm” làm đề tài luận văn tốt nghiệp Luận văn chia thành ba chương với phần mở đầu, kết luận chung danh mục tài liệu tham khảo Trong chương nhắc lại kết lý thuyết không gian Lp, phép biến đổi Fourier, không gian H1(R), mà không chứng minh kết Bên cạnh chúng tơi trình bày khái niệm sóng nhỏ ví dụ Chương luận văn trình bày xấp xỉ đa phân giải, xây dựng sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, sóng nhỏ có giá compact với số ví dụ chứng minh đầy đủ, chi tiết Ở chương chúng tơi trình bày ứng dụng sóng nhỏ biểu diễn hàm Cụ thể, nhắc lại số kết sở sở không điều kiện không gian Banach, sau chúng tơi nghiên cứu hội tụ chuỗi sóng nhỏ Lp(R), hội tụ điểm chuỗi sóng nhỏ ứng dụng thiết lập sở không điều kiện cho H1(R) Lp(R) Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống chi tiết số nét giải tích sóng nhỏ với ứng dụng biểu diễn hàm Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sóng nhỏ - Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải cách xây dựng sóng nhỏ - Nghiên cứu biểu diễn hàm sóng nhỏ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Giải tích sóng nhỏ ứng dụng biểu diễn hàm Phương pháp nghiên cứu Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu, đặt câu hỏi tìm câu trả lời, chứng minh chi tiết khẳng định khơng có chứng minh Những đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết vấn đề liên quan đến giải tích sóng nhỏ ứng dụng biểu diễn hàm L2(R) điều dễ hiểu; thấy điều sử dụng ∧ ∧ (Hf ) (ξ) = −i (sgnξ) f (ξ) Định lý 3.5.1 Giả sử T toán tử Calderón – Zygmund cho ¸ ¸ Tf (x) dx = R f ∈ L2 (R) ∩ L∞ (R) ¸ R T ∗f (x) dx = 0, R f (x) dx = T ∗ đối ngẫu T Khi T thác triển thành toán tử bị chặn H1(R) Lp (R) , < p < ∞, với chuẩn toán tử phụ thuộc vào "T "L2(R) số xuất bất đẳng thức (3.5.5), (3.5.6) (3.5.7) Chứng minh Ta cần chứng tỏ toán tử T ánh xạ nguyên tử vào phân tử với chuẩn phân tử bị chặn độc lập với nguyên tử Cho a nguyên tử với supp (a) ⊂ I Tính bị chặn T L2 (R) suy "T a"L2 (R) ≤ C"a"L2(R) ≤ C|I| Cho x ∈/ − (3.5.8) 3I y ∈ I, vậy, y0 điểm I |y − y0| ≤ |x − y| Sử dụng (1.5.3), (iii) (3.5.7) ta thu ¸ y − y0 | ¸ |T a (x)| = [K (x, y) − K (x, y )] a (y) dy ≤ C3| |a (y)| dy Bất đẳng thức: | I I y − y 0| ≤ |x − y| suy |x − y| |x − y| ≥ |x − y| + |y − y0| ≥ |x − y0| Do đó, bất đẳng thức Schwarz cho |T a (x)| ≤ C ¸ C |y − y0| |a (y)| dy |x − y0| C3 ≤ C I "a"L2(R) ¸  |x − y0| C ≤ |I| |x − y0| I |y − y 0|  21 dy (3.5.9) x 3I (cũng trường hợp khác, không gây ∈/ nhầm lẫn, C ký hiệu số khác nhau) Chọn < b < 2 xét ¸ b |· − y0 | 2b Ta = L2(R) R |y − |T a (y)| dy  y0 |  ¸ ¸   = +  |y − C 3I (3I) y0| 2b |T a (y)| Các bất đẳng thức (3.5.8) (3.5.9) suy  ¸  b 2b−1 Ta +C |· − ≤ C |I| |y − L2(R) y0 | (3I) y0| 2b−1 ≤ C |I| "T a" t 1− L2(R) Tay0| |· − dy   2b−4 dy |I| C (3.5.10) Bất đẳng thức với (3.5.8) t = b 2b cho ta t 2t 1− ≤ C|I| 1−t |I| − = C, L2(R) điều phần (ii) (1.5.6) Điều kiện mô - men (1.5.6) (i) cho Ta suy từ ¸R a (x) dx = giả thiết Điều chứng tỏ toán tử T bị chặn H1(R) Trường hợp < p ≤ suy từ phép nội suy H1(R) L2(R) Trường hợp < p < ∞ quy trường hợp vừa chứng minh chứng tỏ toán tử liên hợp T ∗ bị chặn H1(R) Điều chứng minh tương tự vừa làm với T, sử dụng (3.5.6) thay cho (3.5.7) Q Bây trở lại nội dung mục xây dựng sở sóng nhỏ khơng điều kiện Chúng ta bắt đầu với kết sau đây: Định lý 3.5.2 Giả sử ψ sóng nhỏ trực chuẩn cho ψ ψr có chung hàm L1 - trội giảm theo bán kính W thỏa mãn ¸∞ sW (s) ds < ∞ Khi đó, tốn tử Tβ xác định (3.5.2) (3.5.3) bị chặn H1(R) Lp (R) , < p < ∞, với chuẩn bị chặn số độc lập với dãy β có hữu hạn phần tử phần tử khác Chứng minh Rõ ràng Tβ bị chặn L2 (R) hệ {ψj,k |j, k ∈ Z} sở trực chuẩn L2 (R) : "Tβf " L2(R) = |βj,k (f, ψj,k)| ≤ Z |(f, ψj,k)| = "f L22(R) " j,k∈ Với f ∈ L2 (R) , ¸ ¸ Tβf (x) dx = R= R Tβ∗ f (x) dx, T βf T ∗f tổ hợp tuyến tính hữu hạn ψj,k β ¸ = ψˆ (0) = R ψ (x) dx Điều lại ta phải chứng minh (3.5.5), (3.5.6) (3.5.7) để ta áp dụng Định lý 3.5.1 Để chứng minh (3.5.5), dùng (3.5.4), ta |Kβ (x, y)| ≤ C Z 2j W 2j−1 |x − y| j∈ =C j W j=−∞ − y| ≤ 2C ¸ 1t |x − y| W = 2C ¸∞ j−1 |x − y| + C j= ∞ ¸ dt + 2C j W 2j−1 |x 1t |x − y| dt W |x − y| ∞ W (s) ds = 4C |x − y| "W "L1(0,∞) Để chứng minh (3.5.6) giả sử x0 < x Ta chứng tỏ C ∂Kβ (x, y) với y ∈ R ≤ ∂x |x − y| (3.5.11) Dễ thấy bất đẳng thức (3.5.11) suy (3.5.6) Để thấy điều ta dùng Định lý giá trị trung bình để thu điểm xr ∈ (x0, x) cho ∂Kβ (xr, y) ≤ C |x0 − x| |Kβ (x0, y) − Kβ (x, y)| ≤ |x0 − x| ∂ |xr − y| x Nhận xét (3.5.6) suy y ∈/ (x0 , x) Nếu y ≥ x, rõ ràng r |x − y| ≥ |x − y| |x − y| ≥ Nếu y ≤ x0 sử dụng (3.5.6) ta thu được: |xr − y| ≥ |x0 − y| ≥ |x − y| − |x − x0 | ≥ |x − y| Do đó, |Kβ (x0, y) − Kβ (x, y)| ≤ 4C |x0 − x| ≤ |x − y| |x − x0| |x − y| Vì vậy, ta cần chứng minh (3.5.11) Chúng ta sử dụng Bổ đề 3.3.1 W giảm, ta ∂Kβ (x, y) = Z ∂x ≤ βj,k 2j j r 2ψ jx − k ψ (2jy − k) 22j W 2jx − k W 2jy − k Z k∈ j,k∈ j∈ Z j∈ ¸ = 2C ¸∞ t |x − y| dt 22j W 2j−1 |x − y| ≤ 2C ≤C tW Z ∞ 2s W (s) |x − y| ¸∞ 8C = sW (s) ds |x − y| |x − y| 2ds Điều chứng minh (3.5.11) ta có (3.5.6) Bất đẳng thức (3.5.7) có từ lập luận tương tự Định lý chứng minh Q Bây chứng minh tính khơng điều kiện sở sóng nhỏ Lp (R) , < p < ∞ Định lý 3.5.3 Giả sử ψ sóng nhỏ trực chuẩn cho ψ ψr có chung hàm L1 - trội giảm theo bán kính W thỏa mãn ¸∞ sW (s) ds < ∞ Khi đó, hệ { ψj,k| j, k ∈ } Z sở không điều kiện Lp (R) , < p < ∞ Chứng minh Chúng ta bắt đầu chứng minh hệ xét sở Lp (R) , < p < ∞ Để làm điều này, cho Sm,nf tổng 11 riêng “hình chữ nhật” chuỗi sóng nhỏ f , tức Sm,nf = (f, ψj,k)ψj,k, (3.5.12) |j|≤m |k|≤n với f ∈ Lp (R) , < p < ∞ Toán tử xác định Định lý 3.5.2 Đầu tiên với f ∈ Lp (R) , < p < ∞ ε > tìm m n đủ lớn cho "f − Sm,nf "Lp(R) < ε Cho C = sup "Tβ " < ∞, Tβ toán tử Định lý 3.5.2 supremum lấy tất dãy β = {βj,k } xét Định lý 3.5.2 Vì L2 (R) ∩ Lp (R) trù mật Lp (R) ta tìm g ∈ L2 (R) ∩ Lp (R) cho Chúng ta viết "f − g"Lp(R) < ε C+ "f − Sm,nf "p ≤ "f − g"p + "g − Sm,ng"p + "Sm,n (g − f )"p (3.5.13) ε ; Định lý Tổng vế phải (3.5.13) nhỏ C+3 εC 3.5.2, tổng cuối nhỏ Phần lại phải làm đánh giá C+3 "g − Sm,ng"p với g ∈ L2 (R) ∩ Lp (R) Do tính đối ngẫu tính trù mật L2 (R) ∩ r (R) (R) (ở = 1) r p p L L + tìm r p pr h ∈ L2 (R) ∩ (R) cho ¸ Lp ε "g − Sm,ng"p ≤ [g (x) − Sm,ng (x)] h (3.5.14) (x)dx + C+ R Sử dụng bất đẳng thức Schwarz suy ¸ [g (x) − S g (x)] h (x)dx ¸ g m,n = (x)(x) h (x) − Sm,nh dx R 11 R ≤ "g"2 "h − Sm,nh"2 Do {ψj,k | j, k ∈ Z} sở trực chuẩn L2 (R) , tìm m n đủ lớn cho "h − Sm,nh"2 < Do ε "g"2 (C + 3) ε "f − Sm,nf "p ≤ ε ε εC + + = ε + "g"2 (C + 3) C + C + (C + 3) "g" Tính biểu diễn f = Z k∈ j∈ Z cj,kψj,k (3.5.15) với hội tụ Lp (R) , < p < ∞, suy từ tính trực chuẩn hệ { ψj,k| j, k ∈ Z} Nếu (3.5.15) đúng, nhân hai vế với ψm,n lấy tích phân thu cm,n = (f, ψm,n) Tính khơng điều kiện sở sóng nhỏ suy từ Định lý 3.5.2 Định lý 3.2.3 Q Định lý 3.5.4 Giả sử ψ sóng nhỏ trực chuẩn L2(R) cho ψ ψr có chung hàm L1 - trội giảm theo bán kính W thỏa mãn ¸∞ sW (s) ds < ∞ Khi đó, hệ {ψj,k | j, k ∈ Z} sở không điều kiện H1(R) Kết luận Luận văn trình bày tổng quan số kết sau đây: Trình bày vài nét sóng nhỏ, xấp xỉ đa phân giải, cách xây dựng sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, tính chất sóng nhỏ có giá compact Trình bày ứng dụng sóng nhỏ việc biểu diễn hàm không gian Lp(R) H1(R) Đặc biệt nghiên cứu hội tụ theo chuẩn, hội tụ điểm hội tụ không điều kiện chuỗi sóng nhỏ Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG , Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] O Christensen (2003), An Introduction to Frames and Riesz Bases, Birkhaăuser, Boston [4] C.K Chui (1992), An Introduction to Wavelets, Academic Press, New York [5] I Daubechies (1992), Ten Lectures on Wavelets, CBS-NSF Regional Conferences series in Applied Mathematics, 61, SIAM, Philadelphia [6] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys 27(5), 1271-1283 [7] L Debnath (1998), Wavelet Transforms and Their Applications, Birkhaăuser, Boston [8] D.L Donoho (1993), “Unconditional Bases are Optimal Bases for Data Compression and for Statistical Estimation”, Appl Comput Harmon Anal, 1(1) 100-115 [9] E Hernandez, G Weiss (1996), A First Course on Wavelets, CRC Press, Boca Raton [10] Y Meyer (1990), Wavelets and Operators, Herman, Paris ... biểu diễn hàm Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sóng nhỏ - Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải cách xây dựng sóng nhỏ - Nghiên cứu biểu diễn hàm sóng nhỏ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Giải tích sóng nhỏ. .. Giải tích sóng nhỏ xem lựa chọn thay cho giải tích Fourier cửa sổ cổ điển Những viên gạch xây dựng nên giải tích Fourier cửa sổ sóng sin cosin nhân với cửa sổ trượt Trong giải tích sóng nhỏ, ... sóng nhỏ Lp(R), hội tụ điểm chuỗi sóng nhỏ ứng dụng thiết lập sở không điều kiện cho H1(R) Lp(R) Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống chi tiết số nét giải tích sóng nhỏ với ứng dụng biểu