Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VIẾT TUÂN GIẢI TÍCH SÓNG NHỎ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BIỂU DIỄN CÁC HÀM Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Quỳnh Nga Hà Nội, 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơ n sâu sắc đối với cô, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khoá học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên khoa Toán trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 về sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiê n cứu. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán bộ giảng viên khoa Khoa học c ơ bản trường Đại học Sao Đỏ, đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học. Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân trong gia đình tôi, tập thể lớp K13: Toán giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Hà nội, n gày 20 tháng 6 năm 2011 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga. Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác. Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011 Tác giả Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1.Một số khái niệm và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.Không gian L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ. . . . . . . . . . . . 10 1.4.Sóng nhỏ Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.Không gian H 1 trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2.Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.Xấp xỉ đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.Xây dựng một sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải . . . . . . . 25 2.3.Sóng nhỏ có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3.Biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.Cơ sở của không gian Bana ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.Cơ sở không điều kiện của không gian Banach. . . . . . . . 48 3.3.Sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong L p (R) . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.Sự hội tụ điểm của chuỗi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 3.5.Sóng nhỏ thiết lập cơ sở không điều kiện cho H 1 (R) và L p (R) với 1 < p 63 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Giải tích sóng nhỏ được phát triển tương đối g ần đây, vào những năm 80 của thế kỷ XX. Sóng nhỏ nhận được sự quan tâm rộng rãi của nhiều nhà khoa học và kỹ sư thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau do nó l à một công cụ đa năng với nội dung toán học phong phú và có tính ứng dụng cao. Đó là lý do tại sao có rất nhiều sách và bài báo khoa học viết về đề tài này. Ta có thể tìm thấy những ứng dụng của sóng nhỏ trong giải tích tín hiệu, xử l ý ảnh, nén dữ liệu, nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, phát hiện máy bay và tàu ngầm, kỹ thuật ảnh trong y khoa. . . . Giải tích sóng nhỏ có thể xem như mộ t lựa chọn thay thế cho giải tích Fourier cửa sổ cổ điển. Những viên gạch xây dựng nên giải tích Fourier cửa sổ là các sóng sin và cosin nhân với một cửa sổ trượt. Trong giải tích sóng nhỏ, cửa sổ là một sóng mẹ. Sóng mẹ này không còn phải nhân với sin hay cosin nữa mà nó được tịnh tiến và giãn nở bởi các phép tịnh tiến và giãn nở bất kỳ. Đó là cách mà sóng mẹ tạo thành các sóng nhỏ khác. Những sóng nhỏ này chính là những viên gạch xây dựng nên giải tích sóng nhỏ. Nhờ đó mà phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm hơn phép biến đổi Fourier cửa sổ ở chỗ nó có khả năng phóng to hay thu nhỏ, tức là cửa sổ thời gian tần số sẽ tự động thu nhỏ với những thành phần có tần số cao và mở rộng với những thành phần có tần số thấp. Đó là tính chất được mong chờ nhất trong giải tích thời gian - tần số. Sóng nhỏ có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán khác nhau, ví 2 dụ như trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết toán tử, biểu diễn các hàm và đặc trưng các không gian hàm. . . Cũng tương tự như chuỗi Fourier biểu diễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thể dùng sóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi. Hơn nữa, đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và cosin được chọn làm các hàm cơ sở, sau đó các tính chất của chuỗi tạo ra mới được kiểm tra nhưng trong chuỗi sóng nhỏ, ta có thể chọn những tính chất mong muốn trước rồi mới tìm những hàm cơ sở thoả mãn tính chất trên. Đặc biệt, trong chuỗi sóng nhỏ các hàm cơ sở không nhất thiết phải tạo thành một hệ độc lập tuyến tính. Tính chất này có ưu điểm là ta chỉ cần lưu trữ các hệ số sóng nhỏ với độ chính xác thấp mà vẫn có thể hồi phục lại tín hiệu với độ chính xác tương đối cao. Ta có thể xem giải tích sóng nhỏ như là một s ự tinh luyện của giải tích Fourier do biểu diễn của các hàm trong nhiều trường hợp là đơn giản hơn nhiều nhờ số lượng các hệ số ít hơn so với giải tích Fourier cổ điển, ví dụ như trong biểu diễn các hàm răng cưa. Điều này dẫn đến tỷ số nén một tín hiệu khi sử dụng chuỗi sóng nhỏ tốt hơn là sử dụng chuỗi Fourier, theo nghĩa là ít dữ liệu phải dùng để khôi phục lại tín hiệu ban đầu. Trên thực tế, tỷ số nén của một số chuỗi sóng nhỏ là vượt trội hơn hẳn chuỗi Fourier trong việc phục hồi dấu vân tay đến mức cơ quan an ninh quốc gia Mỹ FBI sử dụng chúng để lưu trữ và truyền đi một kho cơ sở dữ liệu khổng lồ. Do tính thời sự và tính ứng dụng cao c ủa sóng nhỏ c ũng như nội dung toán học phong phú của nó, tôi quyết định chọn “Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu d iễn các hàm” làm đề tài luận văn tốt 3 nghiệp. Luận văn được chia thành ba chương cùng với phần mở đầu, kết luận chung và danh mục tài liệu tham khảo. Trong chương 1 chúng tôi nhắc lại những kết quả cơ bản của lý thuyết không gian L p , phép biến đổi Fourier, không gian H 1 (R), mà không chứng minh những kết quả đó. Bên cạnh đó chúng tôi trình bày khái niệm sóng nhỏ và ví dụ. Chương 2 của luận văn trình bày về xấp xỉ đa phân giải, xây dựng sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, sóng nhỏ có giá compact cùng với một số ví dụ và các chứng minh đầy đủ, chi tiết. Ở chương 3 chúng tôi trình bày ứng dụng của sóng nhỏ trong biểu diễn các hàm. Cụ thể, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kết quả về cơ sở và cơ sở không điều kiện của không gian Banach, sau đó chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong L p (R), sự hội tụ điểm của chuỗi sóng nhỏ và ứng dụng thiết lập cơ sở không điều kiện cho H 1 (R) và L p (R). 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết một số nét chính của giải tích sóng nhỏ cùng với ứng dụng của nó trong biểu diễn các hàm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sóng nhỏ. - Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải và cách xây dựng sóng nhỏ. - Nghiên cứu biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm. 5. Phương pháp nghiên cứu 4 Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu, đặt các câu hỏi và tìm câu trả lời, chứng minh chi tiết những khẳng định không có chứng minh. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các vấn đề chính liên quan đến g iải tích s óng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm. [...]... theo R Cách đơn giản nhất để ψ phủ toàn bộ R là ta xét các hàm ψ(x − k), k ∈ Z Cũng như sóng sin, ta cũng phải xét các sóng có tần số khác nhau Để thuận lợi cho việc tính toán, ta sẽ sử dụng các mũ nguyên của 2 trong việc chia tần số, tức là xét các sóng nhỏ ψ(2j x − k), k, j ∈ Z với lưu ý rằng ψ(2j x − k), k, j ∈ Z nhận được từ hàm sóng nhỏ ψ(x) bởi 12 phép giãn nở nhị phân (nhân với 2j ) và phép... rằng các toán tử đó ánh xạ các nguyên tử vào các phân tử với các chuẩn phân tử bị chặn Chúng ta sẽ thấy, vai trò cơ bản của một sóng nhỏ thích hợp ψ để các nhân cho chúng ta các tổng riêng khác nhau của khai triển sóng nhỏ f, ψj, k ψj, k j∈Z k∈Z là các toán tử Calderón – Zygmund ánh xạ các nguyên tử vào các phân tử với các chuẩn bị chặn đều Điều này cho phép chúng ta sử dụng Định lý 3.2.6 để chỉ ra... ∈ Z} là một cơ sở không điều kiện của các không gian mà chúng ta đang nghiên cứu 22 Chương 2 Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution analysis – MRA) được Mallat và Meyer đưa ra vào năm 1986 Ý tưởng này đóng góp vào việc xây dựng các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn mới Về mặt toán học, ý tưởng chính của xấp xỉ đa phân giải là biểu diễn một hàm (một tín hiệu) f như là một giới... với f Các quá trình xấp xỉ liên tiếp này tương ứng với các độ phân giải khác nhau Lịch sử của sự hình thành xấp xỉ đa phân giải là một ví dụ tuyệt vời cho thấy các ứng dụng đã góp phần thúc đẩy sự phát triển lý thuyết Khi Mallat lần đầu tiên tiếp xúc với cơ sở sóng nhỏ của Meyer, ông đang làm việc trong lĩnh vực xử lý ảnh Ở đó, ý tưởng nghiên cứu các hình ảnh một cách đồng thời ở nhiều độ phân giải. .. Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác trong L1 (R) ∩ L2 (R) mà xấp xỉ f trong L2 (R) có thể sử dụng để định ˆ nghĩa f 10 Định lý 1.2.5 (Định lý Plancherel) Cho f, g ∈ L2 (R) Khi đó 1 ˆ f, g ˆ 2π f, g = (1.2.10) Đặc biệt: f 1.3 1 2 = (2π)− 2 f 2 (1.2.11) Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ Ta ký hiệu L2 (0, 2π) là tập hợp tất cả các hàm đo được f : (0, 2π) −→ C với 2π 0 |f (x)|2dx < ∞ Các. .. gian L2 (0, 2π) và L2 (R) khá khác nhau Do mọi hàm trong L2 (R) phải dần tới 0 tại ±∞ nên einx không thuộc vào L2 (R) Nếu ta đi tìm những sóng để sinh ra L2 (R) thì những sóng này phải dần tới 0 tại ±∞ Trong thực tế, ta cần những sóng giảm rất nhanh tại ±∞ Điều đó có nghĩa là ta đi tìm những sóng nhỏ để sinh ra L2 (R) Cũng như trong trường hợp không gian L2 (0, 2π), ta muốn tìm một hàm duy nhất ψ để... (x)|2 dx = ψ 2 Do đó, nếu ψ là sóng nhỏ trực chuẩn thì ||ψ||2 = 1 1.4 Sóng nhỏ Haar Cho hàm Haar   1  1 nếu 0 ≤ t < ,    2  1 ψ(t) := −1 nếu ≤ t < 1,  2     0  trong các trường hợp khác (1.4.1) Khi đó ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn Thật vậy, trước tiên ta chứng minh ψ(t) ∈ L2 (R) Ta có ∞ −∞ 1 2 |ψ (t)|2 dt = 0 + 1 dt+ 0 dt + 0 = 1 1 2 Bây giờ ta chứng minh ψj,k (t) là hệ trực chuẩn... Minkowski cho các tích phân) Cho 1 ≤ p < ∞ và F (x, y) là một hàm đo được trên R × R Khi đó 1 p p R R |F (x, y)| dx dy ≤ R R |F (x, y)|p dy 1 p dx (1.1.4) Định lý 1.1.3 (Hội tụ bị chặn của Lebesgue) Cho {fn} là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên tập mở Ω của Rn Giả sử: i) fn(x) −→ f (x) h.k.n trên Ω; ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |fn (x)| ≤ g(x) h.k.n trên Ω Khi đó f khả tích và f (x)dx... |f (x)|2dx < ∞ Các hàm trong L2(0, 2π) có thể thác triển trên toàn bộ R, cụ thể là f (x) = f (x − 2π), ∀x ∈ R Do đó L2 (0, 2π) thường được gọi là không gian các hàm bình phương khả tích tuần hoàn chu kỳ 2π Ta dễ dàng kiểm tra rằng L2(0, 2π) là một không gian vectơ Bất kỳ hàm f nào trong L2 (0, 2π) đều có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗi Fourier ∞ f (x) = (1.3.1) cn einx , n=−∞ trong đó hằng số cn... có nghĩa là, f ∈ H 1 nếu và chỉ nếu f = g + ih, với g, h ∈ ReH 1 ; trong trường hợp này ||f ||H 1 = ||g||ReH 1 + ||h||ReH 1 19 xác định một chuẩn trên H 1 Không gian H 1 chúng ta vừa định nghĩa gồm có các hàm trong L1 (R) Câu hỏi tự nhiên là, liệu có tồn tại một sự mô tả đơn giản các hàm đó không Quả thật tồn tại, một đặc trưng của H 1 , qua các phần tử sơ cấp, được gọi là các “nguyên tử” Điều này . biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm. 5. Phương pháp nghiên cứu 4 Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, . của giải tích sóng nhỏ cùng với ứng dụng của nó trong biểu diễn các hàm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sóng nhỏ. - Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải và cách xây dựng sóng nhỏ. - Nghiên cứu biểu. Fourier biểu diễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thể dùng sóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi. Hơn nữa, đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và