Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

Lý do chọn đề tài Những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn.. Đặc biệt trong lý thuyết này c

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC 5

1.1 Hàm chỉnh hình 5

1.1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 5

1.1.2 Tích phân Cauchy 11

1.1.3 ánh xạ bảo giác 16

1.1.4 Thặng dư 18

1.2 Hàm lượng giác và hàm hypebolic 21

1.2.1 Định nghĩa hàm lượng giác 21

1.2.2 Định nghĩa hàm hypebolic 26

1.2.3 Hàm lượng giác và hyperbolic ngược 26

1.2.4 Khai triển các hàm lượng giác và hypebolic thành chuỗi 27

Chương 2 ứng dụng 31

2.1 ứng dụng để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết 31

2.1.1 ánh xạ hình tròn có khía một đoạn theo bán kính thành hình tròn 31

2.1.2 ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải 33

2.1.3 ánh xạ dải bị khía một đoạn thành dải 34

2.1.4 ánh xạ miền ngoài của cung thành miền ngoài của cung 37

2.1.5 ánh xạ nửa mặt phẳng bỏ đi một vòm cung thành nửa mặt phẳng 40

2.1.6 ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn 43

2.2 ứng dụng để giải quyết một số vấn đề thực tiễn 45

2.2.1 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 45

2.2.2 ứng dụng giải một số bài toán 51

Kết luận 69

Danh mục cỏc tài liệu tham khảo 70

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn Từ những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về khí động lực học và thuỷ động lực học Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn

đó lý thuyết hàm phức đã thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhà Toán học Đặc biệt trong lý thuyết này có các hàm lượng giác, hàm hypebolic với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết, trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn

Việc nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy

ở trường phổ thông, việc tìm hiểu về các hàm lượng giác, hàm hypebolic có thể giúp em nhìn nhận kiến thức Toán Giải tích được áp dụng rất rộng rãi trong các môn khoa học khác, đặc biệt là với những bài toán trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi mới trong dạy học hiện nay

Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng” nhằm tổng hợp những khái niệm, tính chất và ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý,

kỹ thuật và thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách hệ thống các khái niệm, tính chất của hàm lượng giác, hàm hypebolic

Tổng hợp những ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng đối với một

số vấn đề về lý thuyết, thực tiễn

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo

Tổng hợp các kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó

1.1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm)

Cho hàm số ( )f z xác định trên miền D  Xét giới hạn

Cũng như đối với hàm biến thực, theo quy nạp ta viết:

    1 '

f z  f  z (1.2) Nếu vế phải tồn tại thì gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm ( )f z trên D

Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann)

Giả sử f z u x y , iv x y , , zxiy xác định trong miền

D 

Hàm f z được gọi là khả vi tại ( ) z x iy nếu các hàm u x y và  , 

 , 

v x y khả vi tại x y (theo nghĩa đã biết trong giải tích thực) , 

Để hàm ( )f z  khả vi phức tại zxiyD điều kiện cần và đủ là hàm f z ( ) khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thoả mãn tại z là:

ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm

Giả sử ( )f z xác định trên miền D  và khả vi tại mọi điểm z0D, với ' 

 

0

0 0

z và góc giữa tiếp tuyến của L tại 0  f z 0 Một cách hình thức đó là góc

mà hàm ( )f z đã quay đường cong l tại z với 0

Giả sử l và 1 l là hai đường cong trơn tùy ý qua 2 z , 0 L và 1 L là hai 2

đường cong tùy ý qua f z và các góc ( )0    1, 2, ,1 2 tương ứng đối với l Theo

nghĩa hình học thì góc giữa l và 1 l tại 2 z là 0 12, góc giữa L và 1 L tại 2

do đó 12 12

Tức là góc giữa hai đường cong trơn tuỳ ý qua z được bảo toàn (cả về 0

hướng và độ lớn) qua ánh xạ f Hàm số có tính chất như vậy sau này sẽ gọi là

hàm bảo toàn góc tại z 0

Bây giờ xét ý nghĩa hình học của môđun của đạo hàm ' 

Như vậy, trong trường hợp này hệ số co dãn của ( )f z tại z dọc theo 0

mọi đường cong trơn qua z đều bằng nhau và bằng 0 ' 

0

f z Một hàm ( )f z

có tính chất trên được gọi là hàm có hệ số co dãn đều tại z 0

Định nghĩa 1.2.(Định nghĩa hàm chỉnh hình)

Hàm f z xác định trên miền ( ) D gọi là chỉnh hình tại z0D nếu tồn tại r  để ( )0 f z  khả vi tại mọi zD z r 0,  D

Nếu f z chỉnh hình tại mọi ( ) z D  thì ta nói f z chỉnh hình trên D ( )Tính chỉnh hình của hàm ( )f z tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh

( ) 0

( ) ( 0,1, 2, )

!

n n

Giả sử z là một điểm bất kỳ thuộc miền G và C là một chu vi kín trơn từng khúc bao quanh điểm z nằm trong miền G cùng với mọi điểm trong của

mặt khác, hàm f z biểu thị tích phân Cauchy khả vi một số lần tuỳ ý tại  

điểm z Do đó, hàm f z có đạo hàm cấp tuỳ ý trong toàn miền G vì z là  

điểm chọn bất kỳ trong miền G

Theo công thức cơ bản Cauchy, trong trường hợp ứng dụng công thức này ta có đẳng thức:

Ba điều kiện khẳng định sau đây là tương đương:

a) (Riamann) Trong lân cận U nào đấy của điểm a, hàm f z có đạo ( )hàm f z theo nghĩa hàm chỉnh hình '( )

b) (Cauchy) Trong lân cận U nào đấy của điểm a, hàm ( )f z liên tục và

tích phân của nó theo biên của tam giác bất kỳ  U là bằng không

c) (Vâyestrat) Hàm f z được khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụ ( )trong lân cận U nào đấy của điểm a

1.1.2 Tích phân Cauchy

Định nghĩa 1.3

Tích phân Cauchy của hàm số ( )f z xác định, liên tục trên đường cong

khả trường L với các mút a, b và hướng từ a đến b kí hiệu là 

L dz z

f( ) , là giới hạn của tổng tích phân

k n

1 0

, khi max k 0

k z

L, miền hữu hạn giới hạn bởi L luôn nằm bên trái)

Như vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng công thức (1.11) và khi tính các tích phân đường loại 2 tương ứng ta sử dụng các phương pháp đã biết

Nếu L là đường cong trơn, có phương trình dạng tham số: z = z(t) thì ta

và bằng không nếu điểm z nằm ngoài L

Trong trường hợp này, chúng ta đã gọi biểu thức (1.13) là tích phân Cauchy Tất nhiên, ta sẽ gọi biểu thức (1.13) với các giả thiết tổng quát trên

đây về hàm ( ) z là tích phân loại Cauchy

Do đó, khi thiết lập tích phân loại Cauchy, chỉ cần cho trước hàm ( ) z

trên chu vi lấy tích phân L Ta chỉ đòi hỏi hàm ( )  liên tục, để cho tích phân (1.13) thật sự có nghĩa

Định lý 1.6

   

 2

1'

đường L, còn điểm kia là z Ta có:  z d,   z h d nếu h khá bé

với điểm  bất kỳ trên L

Chú ý tới điểm đó, ta thấy là vế phải của bất đẳng thức (1.18) bé hơn L là:

31

2

h M d

Tương tự như vậy, ta có thể lấy đạo hàm lần thứ hai và tổng quát hơn một

    

  1

!2

n

n L

d n

Các góc tương ứng trong các tam giác này bằng nhau do tính chất bảo toàn góc, còn tỷ số các cạnh tương ứng bằng một hằng số r 0, với độ chính xác đến một vô cùng nhỏ Hai tam giác vô cùng nhỏ như vậy gọi là đồng dạng với nhau

Như vậy, một sự ánh xạ chỉnh hình là một sự ánh xạ đồng dạng trong một phạm vi vô cùng nhỏ, do đó vì một nhẽ tự nhiên, ta gọi một phép ánh xạ

có tính chất bảo toàn góc và tính chất dãn đều là một phép ánh xạ bảo giác

Định nghĩa 1.4

Hàm ( )f z xác định trên miền D gọi là ánh xạ bảo giác tại z0D, nếu tại điểm đó hàm ( )f z có tính chất giữ độ co dãn không đổi và giữ nguyên

độ lớn của góc

Hàm ( )f z được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D  nếu nó ánh xạ bảo giác tại mọi điểm thuộc D

Định nghĩa 1.5

Trong phép ánh xạ chỉnh hình, các góc giữa các hướng tương ứng được bảo toàn không những về độ lớn mà còn về hướng nữa

Mọi phép ánh xạ của mặt phẳng biến số phức z thành mặt phẳng w, trong

đó các góc được bảo toàn về độ lớn, nhưng hướng lại đổi ngược lại, và ngoài

ra lại có tính chất dãn đều thì gọi là phép ánh xạ bảo giác loại 2, còn các phép chỉnh hình thì gọi là phép ánh xạ bảo giác loại 1

Định lý 1.8

Nếu hàm ( )f z chỉnh hình trên miền D  thì nó ánh xạ bảo giác tại

mọi z0D nếu và chỉ nếu ' 

Nếu điểm a là một điểm bất thường cô lập của hàm số ( )f z và chu vi

đóng  chứa hoàn toàn trong lân cận điểm a, thì giá trị của tích phân

Chuỗi số này hội tụ đều trên đường  nằm trong lân cận điểm a Lấy tích phân chuỗi (1.22) theo đường cong  từng phần một, ta sẽ được:

Do đẳng thức (1.23) ta thấy rằng thặng dư của hàm số f z đối với ( )

điểm bất thường a bằng C-1, nghĩa là hệ số của luỹ thừa âm thứ nhất trong khai triển Lôrăng (1.22) Từ đó, ta suy ra ngay rằng thặng dư C-1 của hàm số chỉ có thể khác không trong trường hợp mà a là cực điểm hay điểm bất thường cốt yếu, đối với điểm bất thường bỏ được thì thặng dư nhất thiết là bằng không

Định lý1.10.(Định lý cơ bản về thặng dư)

Giả sử ( )f z là hàm số chỉnh hình tại mọi điểm của miền G, trừ một số

hữu hạn các điểm bất thường a a1, 2, ,a k Gọi  là một chu vi tùy ý đóng kín, trơn từng khúc chứa tất cả các điểm a a1, 2, ,a k ở trong và hoàn toàn nằm trong

miền G Với các điều kiện đó thì 1 ( )

2 iL f z dz bằng tổng thặng dư của hàm số ( )

f z đối với các điểm a a, , ,a

Chứng minh

Chúng ta vẽ các vòng tròn  1, 2, , k tâm là a a1, 2, ,a k khá nhỏ sao cho chúng không cắt nhau từng đôi một và nằm hoàn toàn trong  Vì hàm số ( )

f z là chỉnh hình tại mọi điểm trong miền đóng giới hạn bởi chu vi phức tạp

1 2 n

K          , nên theo định lý Cauchy ta có:

trong đó, tích phân đều lấy theo chiều dương của các chu vi  , ,  1 2, , k

Đẳng thức cuối cùng này chứng minh định lý cơ bản về thặng dư, bởi vì

vế phải của nó là gồm các thặng dư của hàm số f z ứng với các điểm ( )

z f i

1.2.1 Định nghĩa hàm lượng giác

Định nghĩa 1.7

Với  x , từ công thức Ơle ta có:

cos sin , cos sin ,

sin zcos z 1, sin 2z 2 sin cos , z z

Tất cả những điều khẳng định này đều bắt nguồn từ định nghĩa

Chúng ta thấy rằng ánh xạ trên có thể xem như một sự xếp trống của các

ánh xạ

Thật vậy, trước hết chúng ta tìm các điều kiện đơn diệp* của nó

Giả sử miền D với ánh xạ (1.27) chuyển sang D1, D2 và D3 theo trình tự

ánh xạ thứ nhất và thứ 3 trong số các ánh xạ (1.27) có cùng đơn diệp ở tất cả mọi chỗ Còn đối với đơn diệp của ánh xạ thứ 2 thì cần phải để cho D1 không chứa bất cứ một cặp điểm ,

1 ,

1, z

z đối với cặp đó , ,,  *

1 1 2

Đối với đơn diệp của ánh xạ (1.28) một cách tốt nhất là cần phải để cho

D3 không chứa bất cứ một cặp điểm , ,,

Hình 1.1

Họ của các tia x = xo và đoạn y = y0 chuyển một cách tương ứng sang

họ hypebolic và elíp đầu tiên

Nếu xét tới tính lẻ và tính chu kỳ của hàm số này thì từ đây ta có thể rút

ra kết luận là nó hướng về 0 chỉ ở trên trục thưc tại các điểm

( 0, 1, 2, )

Để được đầy đủ ta đưa ra trên hình 1.2 một bề mặt của môđuyn hoặc một hình dập nổi của hàm số sinz , nghĩa là bề mặt trong không gian (x,y,u) với phương trình u = |sinz|

Hình 1.2

Đây là bề mặt tuần hoàn chu kỳ thực là  Trong đó, có hai hệ thống

đường đó là đường mức |sinz| và argsinz

Tiết diện của bề mặt này bằng mặt phẳng đứng đi qua trục x cho ta đồ thị |sinx| theo mức độ cách xa trục này bề mặt trở nên bằng phẳng Còn các toạ độ các điểm của bề mặt nhanh chóng tăng theo hình dáng bề mặt tiến tới gần hình trụ 1

Hàm số tgz được chỉnh hình toàn bộ trừ các điểm z trong đó cosz = 0 Khi gần tới các điểm này thì tgz tăng lên không hạn chế, như thế ta cũng có thể nói về hàm số ctgz và các điểm z k k (k 0, 1, 2, )  

Từ công thức (1.29) ta nhận thấy rằng các hàm số này tuần hoàn với một chu kỳ  Chẳng hạn,

diện của nó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục x cho ta đồ thị tgx

Theo mức độ cách xa trục này mà bề mặt trở nên phẳng hơn và tiến gần tới mặt phẳng u = 1 ở trên bề mặt này có các đường mức tgz và argtgz

warccosz i z z  ( các dấu  trong công thức giải phương trình bậc

2 ta có thể bỏ qua, nếu như ta coi căn là một hàm số lưỡng trị )

(z z  1)(z z  1) 1  nên sự biến đổi dấu trước căn dẫn

đến làm thay đổi dấu trước lôgarit, bởi thế dấu << - >> trong công thức cuối cùng ta có thể không viết

1.2.4 Khai triển các hàm lượng giác và hypebolic thành chuỗi

có các điểm cực của bậc 1 tại các điểm z0, i, 2 , i

Chúng ta thấy rằng trong hệ các chu vi C : n 1

khi z  hướng tới giới hạn 0 (Điều này nảy sinh từ tính lẻ của ( )0 f z về tính

liên tục của nó ở điểm z  ) 0

Lượng giảm của ( )f z tại điểm cực z n n (n  1, 2 ) bằng 1

Do đó g z n( ) 1

z n



 Với trường hợp p  thì ta sẽ có dạng là: 0

Thật ra, đối với thành phần chung của chuỗi số thì sự đánh giá là chính xác và

n n

Thay z b»ng iz vµo (1.36) vµ gi¶n ­íc tÊt c¶ ®i 1

Chương 2 ứng dụng 2.1 ứng dụng để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết

2.1.1 ánh xạ hình tròn có khía một đoạn theo bán kính thành hình tròn

Giả sử từ đường tròn z  ta bỏ ra một đoạn thẳng 1 1h e e , i , ánh xạ của miền thu được lên đường tròn đơn vị nhờ ánh xạ phân tuyến tính

Song đơn giản hơn là sử dụng các tính chất của hàm Giu-cốp-xki Xoay miền trong mặt phẳng z đi một góc  và dùng hàm Giu-cốp-xki: 

12

i i

4 1

h h

h h

Cách biến đổi tương tự, 1

2

i i

e e

Như vậy, đối với h1 nhỏ và các điểm z không quá gần kề với điểm e ithì

ánh xạ bảo giác của chúng ta có thể là công thức gần đúng sau :

1

i i

điểm ze i và e i của các đường tròn tương ứng với nhau trong ánh xạ (2.1) Sau khi đặt ze i và e i vào (2.2) thực hiện chia các phân thức và giả sử

   .cos cos  .sin,

2.1.2 ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải

Chúng ta giải quyết vấn đề ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải 0 v H (Hình 2.2)

Hình 2.2

Để cho rõ ràng chúng ta cần phải để cho tia phải đi qua bờ trên Bằng

phương pháp biến đổi phân tuyến tính z1 z a

z a





 , chúng ta chuyển dịch các tia sang một tia 0, và sau đó là sang trục thực Sử dụng ánh xạ 

Muốn có được sự tương quan cần thiết của các điểm chúng ta phải đưa nửa mặt phẳng này vào cách biến đổi phân tuyến tính sao cho các ảnh của

điểm xa vô cực A và C của miền đầu tiên trên mặt phẳng z (các điểm z2 rơi vào 0 và ) với

2 3

2

11

2.1.3 ánh xạ dải bị khía một đoạn thành dải

Chúng ta thực hiện ánh xạ dải 0 y bị khía theo đoạn h