Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 __________________________________________ LƯU ĐÌNH ANH CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2010 2 MC LC Trang M U 3 CHNG 1. HM LNG GIC V HM HYPEBOLIC 5 1.1. Hàm chỉnh hình 5 1.1.1. Định nghĩa hàm chỉnh hình 5 1.1.2. Tích phân Cauchy 11 1.1.3. ánh xạ bảo giác 16 1.1.4. Thặng d 18 1.2. Hàm lợng giác và hàm hypebolic 21 1.2.1. Định nghĩa hàm lợng giác 21 1.2.2. Định nghĩa hàm hypebolic 26 1.2.3. Hàm lợng giác và hyperbolic ngợc 26 1.2.4. Khai triển các hàm lợng giác và hypebolic thành chuỗi 27 Chơng 2. ứng dụng 31 2.1. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết 31 2.1.1. ánh xạ hình tròn có khía một đoạn theo bán kính thành hình tròn 31 2.1.2. ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải 33 2.1.3. ánh xạ dải bị khía một đoạn thành dải 34 2.1.4. ánh xạ miền ngoài của cung thành miền ngoài của cung 37 2.1.5. ánh xạ nửa mặt phẳng bỏ đi một vòm cung thành nửa mặt phẳng 40 3 2.1.6. ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn 43 2.2. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề thực tiễn 45 2.2.1. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 45 2.2.2. ứng dụng giải một số bài toán 51 Kt lun 69 Danh mc cỏc ti liu tham kho 70 M U 4 1. Lý do chọn đề tài Những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn. Từ những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về khí động lực học và thuỷ động lực học. Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn đó lý thuyết hàm phức đã thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhà Toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có các hàm lượng giác, hàm hypebolic với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết, trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn. Việc nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy ở trường phổ thông, việc tìm hiểu về các hàm lượng giác, hàm hypebolic có thể giúp em nhìn nhận kiến thức Toán Giải tích được áp dụng rất rộng rãi trong các môn khoa học khác, đặc biệt là với những bài toán trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi mới trong dạy học hiện nay. Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng” nhằm tổng hợp những khái niệm, tính chất và ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý, kỹ thuật và thực tiễn. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách hệ thống các khái niệm, tính chất của hàm lượng giác, hàm hypebolic. 5 Tổng hợp những ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng đối với một số vấn đề về lý thuyết, thực tiễn. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo. Tổng hợp các kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó. 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu về hàm lượng giác, hàm hypebolic và tổng hợp, hệ thống các ứng dụng của nó. CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC 1.1. Hµm chØnh h×nh 6 1.1.1. Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm) Cho hàm số ( )f z xác định trên miền D . Xét giới hạn 0 lim , ( , ) z f z z f z z z z D z . Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó đợc gọi là đạo hàm phức của ( )f z tại z, ký hiệu là ' f z hay ( )df z dz . Nh vậy ' 0 lim z f z z f z f z z . (1.1) Hàm ( )f z có đạo hàm phức tại z cũng đợc gọi là khả vi phức hay khả vi tại z. Cũng nh đối với hàm biến thực, theo quy nạp ta viết: ' 1 ( ) ( ) k k f z f z . (1.2) Nếu vế phải tồn tại thì gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm ( )f z trên D. Định lí 1.1. Nếu f z và g z khả vi phức tại 0 z thì , . f z g z f z g z và / 0 f z g z g z cũng khả vi phức tại 0 z với mọi , . Khi đó: a) ' ' ' 0 0 0 f g z f z g z . b) ' ' ' 0 0 0 0 0 fg z f z g z f z g z . 7 c) ' ' ' 0 0 0 0 0 2 0 / f z g z f z g z f g z g z . d) Nếu w f z khả vi phức tại 0 z còn g w khả vi phức tại 0 0 w f z thì hàm hợp g f khả vi phức tại 0 z và ' ' ' 0 0 0 g f z g f z f z . Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann) Giả sử , , , f z u x y iv x y z x iy xác định trong miền D . Hàm ( )f z đợc gọi là khả vi tại z x iy nếu các hàm ,u x y và ,v x y khả vi tại ,x y .(theo nghĩa đã biết trong giải tích thực) Để hàm ( )f z khả vi phức tại z x iy D điều kiện cần và đủ là hàm ( )f z khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau đợc thoả mãn tại z là: , , , , , . u v x y x y x y u v x y x y y x (1.3) ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm. Giả sử ( )f z xác định trên miền D và khả vi tại mọi điểm 0 z D , với ' 0 0 f z . Xét đờng cong trơn tuỳ ý l qua 0 z và gọi L là ảnh của l qua ( )f z , L f l . Cho điểm 0 z z z chạy trên l và xét 0 0 f f z z f z . Giả sử là góc giữa tiếp tuyến của l tại 0 z với trục hoành, còn là góc giữa tiếp tuyến của L tại 0 0 f z với trục hoành. Khi đó: 8 0 0 0 limarg lim arg z z z o z z l z l z z z và 0 0 0 limarg lim arg z z z o z z l z l f z f z z . (1.4) Về mặt ý nghĩa hình học, hiệu là góc giữa tiếp tuyến của l tại 0 z và góc giữa tiếp tuyến của L tại 0 0 f z . Một cách hình thức đó là góc mà hàm ( )f z đã quay đờng cong l tại 0 z với 0 0 lim arg arg lim arg z o z o z z l z z l f f z z . (1.5) Từ đó, nếu viết ' 0 i f z ke thì ' 0 arg ( )f z . Nh vậy, nếu ' 0 0 f z thì ' 0 arg f z là góc quay của tiếp tuyến của l tại 0 z qua ( )f z . Giả sử 1 l và 2 l là hai đờng cong trơn tùy ý qua 0 z , 1 L và 2 L là hai đờng cong tùy ý qua 0 ( )f z và các góc 1 2 1 2 , , , tơng ứng đối với l . Theo nghĩa hình học thì góc giữa 1 l và 2 l tại 0 z là 1 2 , góc giữa 1 L và 2 L tại 0 f z là 1 2 . Nếu ' 0 0 i f z ke thì: 1 1 2 2 , 9 do đó 1 2 1 2 . Tức là góc giữa hai đờng cong trơn tuỳ ý qua 0 z đợc bảo toàn (cả về hớng và độ lớn) qua ánh xạ f . Hàm số có tính chất nh vậy sau này sẽ gọi là hàm bảo toàn góc tại 0 z . Bây giờ xét ý nghĩa hình học của môđun của đạo hàm ' 0 f z . Xét đờng cong trơn tuỳ ý l qua 0 z . Ta có: 0 ' 0 lim z o z z l f f z z . (1.6) Nếu giới hạn này khác 0 thì theo ý nghĩa hình học nó là hệ số co dãn của ( )f z dọc theo l tại 0 z . Nếu ' 0 0 i f z ke thì 0 lim z o z z l f k z với mọi đờng cong trơn l qua 0 z . Nh vậy, trong trờng hợp này hệ số co dãn của ( )f z tại 0 z dọc theo mọi đờng cong trơn qua 0 z đều bằng nhau và bằng ' 0 f z . Một hàm ( )f z có tính chất trên đợc gọi là hàm có hệ số co dãn đều tại 0 z . Định nghĩa 1.2.(Định nghĩa hàm chỉnh hình) 10 Hàm ( )f z xác định trên miền D gọi là chỉnh hình tại 0 z D nếu tồn tại 0r để ( )f z khả vi tại mọi 0 , z D z r D . Nếu ( )f z chỉnh hình tại mọi z D thì ta nói ( )f z chỉnh hình trên D. Tính chỉnh hình của hàm ( )f z tại điểm vô cùng đợc hiểu là tính chỉnh hình của hàm 1 z f z tại 0z . Định nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng phức đóng . Định lí 1.3. Nếu trong hình tròn {|z - z 0 | < R } hàm ( )f z đợc biểu diễn nh là tổng của chuỗi luỹ thừa 0 1 ( ) ( ) n n n f z C z z , (1.7) thì hệ số của chuỗi này đợc xác định đơn trị theo công thức: ( ) 0 ( ) ( 0,1,2, ) ! n n f z C n n , với ( ) 0 1 0 ! ( ) ( ) ( 1,2, ) 2 ( ) r n n n f d f z n i z . (1.8) Định lí 1.4. Nếu một hàm f z của biến số phức z có đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi trong miền G, thì nó có tất cả các đạo hàm cấp cao trong miền đó. Chứng minh. [...]... 1.3 là tiết diện các bề mặt môđuyn đối với sinz và tgz, nó cho ta các đồ thị của các hàm hypebolic 1.2.3 Hàm lượng giác và hyperbolic ngược Các hàm lượng giác và hypebolic được biểu thị như chúng ta đã biết bằng hàm số mũ, vì vậy các hàm lượng giác và hypebolic ngược ta có thể biểu thị bằng hàm số lôgarit Chẳng hạn, chúng ta biểu diễn như sau đối với hàm w = arccosz Theo định nghĩa ta có: z cosw ... các nhánh này sẽ là các hàm chỉnh hình 1.2.4 Khai triển các hàm lượng giác và hypebolic thành chuỗi Cho hàm số eiz e iz ctgz i iz , e e iz (2.34) có các điểm cực của bậc 1 tại các điểm z 0, i, 2 i, 1 Chúng ta thấy rằng trong hệ các chu vi Cn : z n hàm số này 2 bị giới hạn Do tính chu kỳ của hàm số ta chứng minh được một cách đầy đủ tính chất giới hạn của nó ở trong dải 0 Re z có các. .. dương của các chu vi , 1 , 2 , , k Đẳng thức cuối cùng này chứng minh định lý cơ bản về thặng dư, bởi vì vế phải của nó là gồm các thặng dư của hàm số f ( z ) ứng với các điểm a1 , a2 , , ak Định lí 1.11.(Thặng dư toàn phần) Nếu f ( z ) chỉnh hình trên mặt phẳng phức trừ các điểm kì dị cô lập z o , z1, z2,, zn thì n 1 f ( z )dz Re s f ( z ) 0 z zk 2i k o L 1.2 Hàm lượng giác và hàm hypebolic. .. có các đường mức tgz và argtgz 27 1.2.2 Định nghĩa hàm hypebolic Định nghĩa 1.9 Hàm hypebolic được xác định bởi các đẳng thức: e z e z e z e z , chz , 2 2 shz e z e z chz e z e z thz z z , cthz , chz e e shz e z e z shz (1.30) hay là chúng được biểu thị bằng các hàm số lượng giác: shz i sin iz, thz itgiz , chz cos iz, (1.31) cthz ictgiz Trên hình 1.2 và hình 1.3 là tiết diện các. .. Như vậy, hiệu giữa tỉ số (1.15) và tích phân (1.14) tiến tới không cùng với h, và điều đó chứng minh định lý nói trên Công thức (1.14) chứng tỏ rằng, muốn có đạo hàm của hàm F z , chỉ cần lấy đạo hàm hình thức hàm ở trong tích phân dạng Cauchy (1.13) theo biến số z, nhờ tích phân (1.13) này mà ta xác định hàm F z Tương tự như vậy, ta có thể lấy đạo hàm lần thứ hai và tổng quát hơn một số lần bất... ta chuyển dịch các tia za sang một tia 0, và sau đó là sang trục thực Sử dụng ánh xạ 35 z2 z1 za , za lúc này miền cần xem xét được chuyển sang nửa mặt phẳng trên Muốn có được sự tương quan cần thiết của các điểm chúng ta phải đưa nửa mặt phẳng này vào cách biến đổi phân tuyến tính sao cho các ảnh của điểm xa vô cực A và C của miền đầu tiên trên mặt phẳng z (các điểm z2 rơi vào 0 và ) với z3 k... z i e z Lấy vi phân hệ thức (2.2) chúng ta được phần chính của đạo hàm: (2.2) 34 d ei z 2h1 zei 1 h1 i dz e z ei z 2 Chúng ta còn phải chú ý đến mối liên quan giữa các acgumen của các điểm z ei và ei của các đường tròn tương ứng với nhau trong ánh xạ (2.1) Sau khi đặt z ei và ei vào (2.2) thực hiện chia các phân thức và giả sử cos cos sin , ta có ei e i sin h1.Re ei i i... số tgz và ctgz được xác định bằng các công thức: tgz Chú ý: sin z eiz e iz cos z eiz e iz i iz iz , ctgz i iz iz cos z e e sin z e e (1.29) 26 Hàm số tgz được chỉnh hình toàn bộ trừ các điểm z trong đó cosz = 0 Khi gần tới các điểm này thì tgz tăng lên không hạn chế, như thế ta cũng có thể nói về hàm số ctgz và các điểm zk k (k 0, 1, 2, ) Từ công thức (1.29) ta nhận thấy rằng các hàm số... một hằng số dương tuỳ ý) Ta đành phải sử dụng hàm số lôgarit H ln z3 , để thu được ánh xạ lên dải có sự tương ứng cần thiết của các giới hạn thì ở đây C H H ln z z 2 a 2 Hi C ln H z H arch ln a Hi C , a (2.3) k là một hằng số thực tuỳ ý a Các hệ elíp và hypebolic với các tiêu điểm a đến tương quan với cả hai dòng họ các đường thẳng u cos t và với ánh xạ (2.3) ở trong mặt phẳng z... , z ,, (2k 1) k Z * Ví dụ 1.2 Nửa giải x , y 0 đáp ứng được các điều kiện này Các giai đoạn tiếp theo ánh xạ của nó được biểu diễn trên hình 1.1 * nh x f(z) c gi l n dip trong min G , nu z1 z2 , ( z1 , z2 G ) thỡ f ( z1 ) f ( z2 ) 24 Hình 1.1 Họ của các tia x = xo và đoạn y = y0 chuyển một cách tương ứng sang họ hypebolic và elíp đầu tiên 2 2 Giải hẹp hơn 2 lần x , y 0 được biến . các khái niệm, tính chất của hàm lượng giác, hàm hypebolic. 5 Tổng hợp những ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic. thuật và thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi mới trong dạy học hiện nay. Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng nhằm tổng hợp những khái niệm, tính chất và ứng dụng. Tổng hợp các kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó. 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu về hàm lượng giác, hàm hypebolic và tổng hợp, hệ thống các ứng dụng của nó.