Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 60 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
60
Dung lượng
528,92 KB
Nội dung
Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa toán và trường ĐHSP Hà Nội 2 trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo – PGS.TS Khuất Văn Ninh người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận. Tuy đã có rất nhiều cố gắng, nhưng do là lần đầu thực hiện một đề tài nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy giáo, cô giáo và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012 Sinh viên Trần Phương Anh Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 1 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Sinh viên Trần Phương Anh Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 2 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa 2 Tính chất 3 Các điều kiện tương đương 11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12 Các bất đẳng thức kinh điển 12 Các bất đẳng thức đại số 21 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 35 Các bất đẳng thức hình học 48 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 3 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán học phổ thông, vấn đề về bất đẳng thức luôn là chuyên đề chiếm vị trí quan trọng đòi hỏi sự sáng tạo từ phía các em học sinh. Những bài toán thuộc chuyên đề này là những vấn đề khó nhưng mang lại cho người học nhiều kiến thức hay và sự tư duy cao. Điều quan trọng là làm thế nào để chúng ta thật sự có được những bất đẳng thức hay và phong phú cho người học. Có rất nhiều phương pháp xây dựng bất đẳng thức, trong đó sử dụng những tính chất của hàm lồi (lõm) là một phương pháp cho nhiều bài toán hay, mang tính độc đáo. Chính vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm lồi ứng dụng xây dựng bất đẳng thức”, tìm hiểu phương pháp hàm lồi xây dựng các bất đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp. Khóa luận gồm 2 phần: Phần I: Các kiến thức cơ sở. Trình bày những kiến thức cơ bản có liên quan đến việc xây dựng các bất đẳng thức. Trong đó có định nghĩa, tính chất của hàm lồi và các điều kiện tương đương. Phần II: Ứng dụng hàm lồi xây dựng các bất đẳng thức: Dựa vào bất đẳng thức Jen xen các tính chất thích hợp của hàm lồi để chọn một hàm số thích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức, từ các bất đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thức phong phú thuộc các chủ đề. Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 4 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa 1.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên khoảng I (khoảng mở, đóng hoặc nửa đóng, hữu hạn hoặc vô hạn). Hàm số f được gọi là hàm lồi trên khoảng I nếu x1, x2 I, x1 x2 ta có: f( x1 + (1 )x2) 0, i 1, n Giả sử i > 0 với i n. Khi đó: 1 + 2 +…+ n > 0 Ta có: 1x1 + …+ nxn + n+1 xn+1 = ( 1 + 2 +…+ n ) Từ giả thiết quy nạp ta suy ra: u = 1 n x1 xn I 1 n 1 n Do đó 1x1 +…+ nxn + n+1 xn+1 I Nếu 1 =…= n = 0 thì n+1 = 1 và 1x1 +…+ nxn + n+1xn+1 = xn+1 I ) Ta chứng minh (1) bằng quy nạp. Với n = 2, bất đẳng thức (1) đúng theo định nghĩa hàm lồi. Dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi 1 và 2 nhận các giá trị 0 hoặc 1 hoặc khi x1 = x2 Giả sử (1) đúng với n. Ta chứng minh (1) cũng đúng với n + 1. Tức là: Nếu 1, …, n+1 là những số không âm sao cho: 1 +…+ n+1 = 1 thì: f( 1x1 + …+ n+1 xn+1) 1f(x1) +…+ n+1f(xn+1). Thật vậy: Nếu 1 + 2 +…+ n > 0 thì: f( 1x1 + …+ n+1 xn+1) 1 n f (1 n )( x1 x n ) n 1x n 1 1 n 1 n 1 n (1 n ) x1 x n n 1f (x n 1 )(2) 1 n 1 n (vì f là hàm lồi) Theo giả thiết quy nạp: Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 7 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán 1 n 1 n f x1 xn f (x1) f (xn ) (3) n n n n Từ (2) và (3) (1) đúng. Nếu 1 = … = n = 0, hiển nhiên khẳng định (1) đúng. Hệ quả: (bất đẳng thức Jen-xen) Nếu f là một hàm lồi trên I thì x1, x2, …, xn I ta có: x x n f (x1 ) f (x n ) với n là số dương bất kỳ f n n Dấu của bất đẳng thức x1 = x2 = …= xn. Chứng minh Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ định lý với 1 n n 2.2 Bổ đề Giả sử f là hàm lồi trên khoảng I. khi đó với x1, x2, x3 I và x1 [...]... Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 14 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán CHƯƠNG II ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC. Trong chương này ta sẽ đi xây dựng các bất đẳng thức nhờ sử dụng các tính chất của hàm lồi. Ta tiến hành xây dựng bất đẳng thức dựa trên những ý tưởng sau: Xây dựng một hàm lồi f bằng cách chọn hàm f xác định trên I (I là một ... khoảng hoặc một đoạn) khả vi hai lần và có f (x) 0 , x I hoặc chọn một hàm t(x) liên tục và không âm trên I sau đó lấy nguyên hàm hai lần ta được hàm f xác định và lồi trên I. Khi đó dựa vào các tính chất của hàm lồi và các bất đẳng thức hàm lồi ta xây dựng các bất đẳng thức. 1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN 1.1 Bất đẳng thức Cauchy Chọn T(x) 1 0 Ta có T liên tục trên (0; ) nên tồn tại nguyên x2 hàm của T và ta có: ... T(x) Lại có: 1 x 1 dx ln x c 2 x Chọn c2 = 0 ta được hàm f (x) ln x và f (x) T(x) 0 x (0; ) Suy ra hàm số f (x) ln x lồi trên (0; ) Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f (x) ln x x1 , , x n (0; ) Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 15 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán ... i 1 i 1 i 1 Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 22 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán Từ bất đẳng thức Petrovica ta suy ra được bất đẳng thức Petrovica tổng quát như sau: n Cho f(x) là hàm lồi trên [0; a]; với pi 0, i 1,n; x, sao cho x i 0; x jp j j1 n n n n và x jp j a Ta đều có ... Chọn c2 = 0, ta được hàm f(x) = ln x với f "(x) = T(x) > 0 x > 0. Suy ra f là hàm số lồi trên ( 0; + ). áp dụng bất đẳng thức Jenxen với hàm lồi f(x) = ln x ; 1 1 1 , , , ( 0; + ) ta có: x1 x 2 xn 1 1 1 x x x 2 n f 1 n 1 n 1 1 1 f f f xn x1 x 2 Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 32 ... () Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 13 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán Trong đó: y = (x) và y = (x) theo thứ tự là phương trình của đường thẳng N1N2 và M1M2. Từ đó suy ra yM ... Các điều kiện tương đương 11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12 Các bất đẳng thức kinh điển 12 Các bất đẳng thức đại số 21 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác... các bất đẳng thức: Dựa vào bất đẳng thức Jen xen các tính chất thích hợp của hàm lồi để chọn một hàm số thích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức, từ các bất đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thức ... Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 14 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán CHƯƠNG II ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC.