Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức

11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC .... Có rất nhiều phương pháp xây dựng bất đẳng thức, trong đó sử dụng những tính chất của hàm lồi lõm là một phương pháp cho nh

LỜI CẢM ƠN

 

Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy 

cô trong khoa toán và trường ĐHSP Hà Nội 2 trong suốt quá trình học tập và nghiên  cứu.  Đặc  biệt  em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  thầy  giáo  – 

PGS.TS Khuất Văn Ninh người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện 

giúp đỡ em trong  quá trình thực hiện khóa luận. 

Tuy đã có rất nhiều cố gắng, nhưng do là lần đầu thực hiện một đề tài nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. 

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy giáo, cô giáo và các bạn. 

LỜI CAM ĐOAN 

 Khóa  luận của em được  hoàn  thành  dưới sự hướng dẫn của thầy  giáo 

PGS.TS Khuất Văn Ninh  cùng  với  sự  cố  gắng  của  bản  thân.  Trong  quá 

trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). 

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. 

       

       Sinh viên

 

      Trần Phương Anh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 2

1 Định nghĩa 2 

2 Tính chất 3 

3 Các điều kiện tương đương 11 

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12

1 Các bất đẳng thức kinh điển 12 

2 Các bất đẳng thức đại số 21 

3 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 35 

4 Các bất đẳng thức hình học 48 

KẾT LUẬN 55 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

LỜI NÓI ĐẦU

 

Trong chương trình toán học phổ thông, vấn đề về bất đẳng thức luôn là chuyên đề chiếm vị trí quan trọng đòi hỏi sự sáng tạo từ phía các em học sinh. Những bài toán thuộc chuyên đề này là những vấn đề khó nhưng mang lại cho người học nhiều kiến thức hay và sự tư duy cao. Điều quan trọng là làm thế nào để chúng ta thật sự có được những bất đẳng thức hay và phong phú cho người  học.  Có  rất  nhiều  phương  pháp  xây  dựng  bất  đẳng  thức,  trong  đó  sử dụng  những  tính  chất  của  hàm  lồi  (lõm)  là  một  phương  pháp  cho  nhiều  bài toán hay, mang tính độc đáo. 

Chính  vì  vậy  tôi  chọn  đề  tài  nghiên  cứu:  “Hàm lồi và ứng dụng xây

dựng các bất đẳng thức”,  tìm  hiểu  phương  pháp  hàm  lồi  xây  dựng  các  bất 

đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp. 

Khóa luận gồm 2 phần: 

Phần I: Các kiến thức cơ sở. Trình bày những kiến thức cơ bản có liên quan đến việc xây dựng các bất đẳng thức. Trong đó có định nghĩa, tính chất của hàm lồi và các điều kiện tương đương. 

Phần  II:  Ứng  dụng  hàm  lồi xây  dựng  các  bất  đẳng  thức:  Dựa  vào  bất đẳng thức  Jen  xen  các  tính  chất  thích  hợp  của hàm  lồi  để  chọn  một  hàm  số thích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức, từ các bất đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thức phong phú thuộc các chủ đề. 

của f là một hàm đồng biến trên khoảng I. 

Chứng minh

Giả sử x1, x2  I và x1 < x2. Ta chứng minh: f '(x1) < f '(x2).   

Thật vậy: Gọi   ,  ,    là 3 số thực sao cho: x1 <    <   <    < x2. 

Khi đó   x  (x1;   ) và t  (  ; x2) ta có x1 < x <    <   <    < t < x2. Theo bổ đề trên ta có: 

a) Nếu hàm số f(x) liên tục trên a;b)  và f có đạo hàm cấp 2  f ''(x) > 0 

x  a;b)  thì f lồi trên a;b)  

b) Nếu hàm số f(x) liên tục trên a;b  và f có đạo hàm cấp 2  f  ''(x) > 0 

 x  a;b  thì f lồi trên  a;b  

M0(x0, f(x0)), x0  I đều nằm phía dưới của đường cong. 

Chứng minh

Giả sử x0  I và M0 là điểm trên đường cong y = f(x) có hoành độ x0. Phương  trình  tiếp  tuyến  của  đường  cong  tại  M0  là:  y  =  f  '(x0)  +  f  '(x0) (x x0) 

Giả sử x là số thực tùy ý sao cho x < x0, x  I; M, P theo thứ tự là các điểm thuộc đường cong y = f(x) và tiếp tuyến  

Do đó từ c < x0    f '(c) < f '(x0)     yM yP = (f '(c)  f '(x0))(x x0) > 0 hay yM > yP 

 Tiếp tuyến của đường cong tại x0 nằm phía dưới của đường cong. Với x < x0 ta cũng chứng minh được: Tiếp tuyến của đường cong tại x0 nằm phía dưới của đường cong. Do x0 là bất kỳ nên định lý được chứng minh. 

2.8 Định lý 7

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu tiếp tuyến của đường cong  y  =  f(x)  tại  mỗi  điểm  của  đường  cong  đều  nằm  phía  dưới  của  đường cong thì f là hàm số lồi trên I. 

Trong đó: y =   (x) và y =   (x) theo thứ tự là phương trình của đường thẳng N1N2 và M1M2. Từ đó suy ra yM < yN (điều phải chứng minh). 

 Chú ý:  Các  tính  chất  được  phát  biểu  cho  hàm  lồi  cũng  được  phát 

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC. 

 Trong chương này ta sẽ đi xây dựng các bất đẳng thức nhờ sử dụng các tính chất của hàm lồi. Ta tiến hành xây dựng bất đẳng thức dựa trên những ý tưởng sau: 

Xây dựng một hàm lồi f  bằng cách chọn hàm f xác định trên I (I là một khoảng hoặc một đoạn) khả vi hai lần và có  f (x) 0,  x I hoặc chọn một hàm t(x) liên tục và không âm trên I sau đó lấy nguyên hàm hai lần ta được hàm f xác định và lồi trên  I. Khi đó dựa vào các tính chất của hàm lồi và các bất đẳng thức hàm lồi ta xây dựng các bất đẳng thức. 

Suy ra hàm số  f (x) ln x lồi trên  (0;  )

Áp  dụng  bất  đẳng  thức  Jenxen  cho  hàm  lồi  f (x) ln x  x , , x1 n (0; )

n 2

  với ai, bi là các số thực và  i 1, n  Khi đó: 

eT(x)dx

Chọn c2 = 0, ta được hàm f (x)ln(1 e ) x  với  f (x) T(x)0 x  Suy ra hàm số f (x)ln(1 e ) x  lồi trên   

n

n i

i 1

b

n ln

j 1

bib

1 q i

axb

1.6 Bất đẳng thức Petrovica

Chọn f(x) là một hàm số lồi bất kỳ trên [0; a] 

Khi ấy xi[0;a],  i 1, n  sao cho 

n i

j 1 i

i 1

xx

i 1

x1x

j 1 i

Từ bất đẳng thức Petrovica ta suy ra được bất đẳng thức Petrovica tổng quát như sau: 

  =12x dx2  = 4x3 + c1. Chọn c1 = 0, ta được  T(x)dx  = 4x  3

Giả sử x >   1 khi đó :  

1. 1 x a   1 ax  nếu  a 1  hoặc  a ; 0

2. 1 x a   1 ax  nếu 0 < a < 1. 

2.2. Chọn T(x) = 6x > 0   x  ( 0; +  ). Do hàm T liên tục trên ( 0; +  ) nên 

tồn tại nguyên hàm của T: 

T(x)dx

  =  6xdx  = 3x2 + c1. Chọn c1 = 0, ta được  T(x)dx  = 3x2. 

Lại có 3x dx2  = x3 + c2. 

Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) = x3 với f’’(x) = T(x) > 0   x  ( 0; +  ) 

  x,  y,  z     Chứng minh rằng:  

  xyz4      4 4 4

27 x y z  

Suy ra f(x) lồi trên ( 0; +  ) nên áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f(x) = x3 trên ( 0; +  ) với x, y, z  ( 0; +  ) ta có: 

1

2( f(x) + f(y) )     

f2

Chọn c1 = 0, khi đó ta có:  T(x)dx  =  12

x

. 

x  với f”(x) = T(x) > 0   x  ( 0; +  ). Khi đó hàm số f(x) là hàm lồi trên ( 0; +  ).  Ta áp dụng bất đẳng thức 

2 2n 1  1

 n2 + 

1 3n > 

2 2n 1  

………. 

1

 2n + 

1 2n2 > 

2 2n 1 . 

Cộng từng vế  của  n bất  đẳng thức trên và  thêm vào  mỗi  vế  1

 2n 1   ta được: 

1 2n 1  Hay 

Suy  ra  hàm  số  f(x)  lồi  trên(  0;  +  ).  Khi  đó  áp  dụng  bất  đẳng  thức Jenxen cho hàm lồi f(x) = xm,   xi  ( 0; +  ), i = 1, n  ta có: 

 

Lại có  2k x2k  –  1 dx = x2k + c2. 

Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) = x2k với f”(x) = T(x) > 0   x > 0, k  

. Suy ra f(x) là hàm số lồi trên ( 0; +  ). 

Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f(x) = x2k;   x1, x2, …, xn  ( 0; +  ), ta có: 

      Cho a1, a2,…, an > 0. Chứng minh rằng: 

Lại có  1dx

x

  = lnx + c2. Chọn  c2  = 0, ta được hàm  f(x)  = lnx với  f”(x)  = T(x)  < 0     x   (  0; + ). Suy ra f là hàm số lõm trên ( 0; +  ). Theo tính chất của hàm số lõm ta có: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại mọi điểm luôn nằm phía trên đồ thị hàm số đó. 

Do đó tiếp tuyến tại điểm I(e; 1) có phương trình là: y = x

e. Trên ( 0; 

+ ), tiếp tuyến này nằm phía trên đồ thị hàm số y = lnx nên ta có: lnx      x

e . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = e. 

Lại có   2x dx  = x2 + c2. 

Chọn c2 = 0, ta được hàm f(x) = x2 với f”(x) = T(x) > 0   x > 0. Suy ra 

f là hàm số lồi trên ( 0; +  ). 

Áp dụng bất đẳng thức Jenxen với hàm lồi f(x) = x2   xi  ( 0; +  ), i       Chứng minh rằng x > 0, ta có: lnx    x

e . 

Chọn c1 = 0, ta được  T(x)dx  =  1

x

. 

Lại có:  1dx

x



  =  ln x  + c2. Chọn c2 = 0, ta được hàm f(x) =  ln x  với  f "(x)  = T(x) > 0   x > 0. 

e 1

x x

Chọn c1 = 0, khi đó ta có:  T(x)dx  = 

x x

e

e 1. Lại có: 

x x

edx

e 1

  = ln(ex  ) + c1 2. Chọn c2 = 0, khi đó ta có hàm số f(x) =  ln(ex  ) với f”(x) = T(x) > 0 1

x     Suy ra f(x) là hàm lồi trên   Áp dụng bất đẳng thức Jenxen với hàm lồi f(x) = ln(ex  ),  1  i 0, 

n i

i 1

1

ln a n

i 1

1ln(e 1)

 

n i

i 1

1 n

i 1

1ln(a 1)

      

n n i

1fx

1lnx

1

0 lnx

k 1 



  = 1. 

3 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

2sin x 6cos xsin x

Chứng minh rằng trong mọi  ABC  ta có: 

f”(x) =  

3

xsin2x4cos2

A, B, C 0;  và A + B + C =    , ta áp dụng bất đẳng thức Jenxen 

3.3. Xét hàm số f(x) = ln(sinx) trên  0; , ta có: 

f’(x) = cos x

sin x  = cotx;   f”(x) =  2

1sin x

 < 0        x 0;  

2. 

2 3

2sin x

12xcos x   > 0   x  0;2

 = 31 2. Vậy ta phát biểu bài toán như sau: 

tanA + tanB    2 tanA B

2

 = 2cotC

2. Tương tự ta cũng có: 

tanB + tacC    2cotA

2 ; 

tanC + tanA    2cotB

2. Nhân từng vế các bất đẳng thức dương ta được: 

tan Atan B tan B tan C tan C tan A    8cotAcotBcotC

Lại có:  2cos 2xdx  = sin2x + c2. 

sinA + 2sinB = sin 2A sin 2B sinC

2  2  2    

AB23sin

3

 

 sinA + 2sinB     3sinA 2B

6

. Theo Côsi ta lại có: sinA + 2sinB    3 sin A sin B3 2  

 3 sin A sin B3 2     3sinA 2B

6

   3sin A sin B2     sinA 2B

6

. Chứng minh tương tự  ta cũng có: 

sinAsinBsinC    sinA 2B

6

sin6

sin6

. 

sin

6

. 

Lại có:  cot xdx  =  d sin x 

sin x

  = ln sin x  + c  2. Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) = ln sin x  là hàm lõm trên   0;  

sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA     cos2A

2  + 

2Bcos

2  + 

2Ccos

2 + 

2Ccos

2 .   

Ta có: f’(x) =  21

sin x

    f”(x) =   2 

Theo tính chất hàm lõm: Đồ thị của hàm  y  = g(x) trên  0;

 3

2dx

a b1

Cho  ABC  với các cạnh có độ dài a, b, c và chu vi 1. Chứng 

1 a 1 b 1 c 

3

4. 

,     c

1 c  + 

a

1 a     

c a2b

. Cộng từng vế các bất đẳng thức ta được: 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 6 số cosMi ( i = 1,6 ) ta có: 

cos M1cos M2 cos M3cos M4cos M5cos M6     



3 6

KẾT LUẬN

Bất đẳng thức là phần kiến thức quan trọng trong toán học. Các bài 

toán về bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng dòi hỏi vận dụng kiến thức 

một cách linh hoạt và sáng tạo. Sử dụng hàm lồi là một phương pháp hay cho nhiều các bài toán về bất đẳng thức độc đáo. 

Với việc sử dụng hàm lồi trong xây dựng bất đẳng thức , em mong 

muốn có thể cung cấp cho các bạn yêu toán một phương pháp mới để xây dựng được một số bất đẳng thức hay phục vụ cho quá trình học tập, nghiên cứu. 

Do khuôn khổ khóa luận và do năng lực của bản thân còn nhiều hạn 

chế nên khóa luận của em vẫn chưa nêu được đầy đủ hệ thống kiến thức về 

các hàm số lồi và ứng dụng của chúng trong việc xây dựng bất đẳng thức. 

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Một lần nữa em xin chân 

thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh đã giúp đỡ em hoàn thành 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 

1 Nguyễn  Thượng  Võ  (1998),  Tuyển tập 300 bài toán về hệ thức lượng

trong tam giác, Nhà xuất bản Trẻ TPHCM. 

2 PGS. TS Nguyễn Quý Dy – TH.S Nguyễn Văn Nho – TS. Vũ Văn Thân 

(2002), Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, Tập 3. Nhà xuất bản giáo dục. 

3 Đào tam (2002), Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán, Nhà xuất bản Giáo 

dục. 

4 Đoàn  Thị  Ngân  (2004),  Hàm lồi - ứng dụng hàm lồi trong việc giải và

sáng tạo các bài toán về bất đẳng thức và tìm cực trị,  Khóa  luận  tốt