Tập lồi đa diện và ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân AFFINE

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* BÙI THỊ THÙY DƯƠNG TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* BÙI THỊ THÙY DƯƠNG TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN NGHỊ HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy tổ mơn Hình học thầy tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Nghị, người tận tình hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Bùi Thị Thùy Dương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn TS.Trần Văn Nghị Trong khóa luận em có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Bùi Thị Thùy Dương Mục lục Lời mở đầu 1 Tập lồi đa diện 1.1 Tập lồi 1.2 Một số tính chất tập lồi 1.3 Tập lồi đa diện 12 1.3.1 Khái niệm 12 1.3.2 Điểm cực biên 14 1.3.3 Phương vô tận 17 1.3.4 Phương cực biên 18 1.3.5 Tập lồi đa diện không chứa đường thẳng 19 Ứng dụng bất đẳng thức biến phân affine 2.1 2.2 22 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 22 2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 22 2.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 28 Sự tồn nghiệm 35 2.2.1 Sự tồn nghiệm điều kiện đơn điệu 35 2.2.2 Sự tồn nghiệm điều kiện đồng dương 42 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tập lồi đa diện đối tượng quan trọng toán học Các nhà khoa học giới nghiên cứu tính chất tập lồi đa diện ứng dụng toán học thực tiễn Bài toán bất đẳng thức biến phân affine lớp toán bất đẳng thức biến phân đặc biệt với miền ràng buộc tập lồi đa diện Với mong muốn tìm hiếu sâu tập lồi đa diện ứng dụng tập lồi đa diện toán bất đẳng thức biến phân affine em chọn đề tài "Tập lồi đa diện ứng dụng bất đẳng thức biến phân affine" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu tập lồi đa diện - Đưa ứng dụng tính lồi tốn bất đẳng thức biến phân affine Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Tập lồi đa diện - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng tập lồi đa diện bất đẳng thức biến phân affine Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Trình bày sở lý thuyết tập lồi, tập lồi đa diện đưa ứng dụng tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân affine Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Tập lồi đa diện Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức biến phân affine Chương Tập lồi đa diện Nội dung chương đề cập đến tập lồi tập lồi đa diện Tập lồi tính chất tập lồi trình bày Mục 1.1 1.2 Khái niệm tính chất tập lồi đa diện trình bày Mục 1.3 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Tập A ⊂ Rn gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R, ≤ λ ≤ ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Nhận xét 1.1.1 Tập ∅ tập lồi Định nghĩa 1.1.2 Đoạn thẳng nối x1 , x2 tập hợp có dạng sau [x1 , x2 ] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ≤ λ ≤ } Nhận xét 1.1.2 Tập A lồi ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊂ A Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Định nghĩa 1.1.3 Tập C ⊂ Rn gọi tập affine (1 − λ)x1 + λx2 ∈ C ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ R, nghĩa là, x1 , x2 ∈ C đường thẳng qua x1 , x2 nằm C Định nghĩa 1.1.4 Giao tất tập affine chứa C gọi bao affine C Kí hiệu bao affine C af f C Ví dụ 1.1.1 Trong mặt phẳng, đoạn thẳng, hình tam giác, hình trịn tập lồi Trong không gian affin thực, m - phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị khơng gian Banach tập lồi Các nửa không gian tập lồi Ví dụ 1.1.2 Mặt phẳng khơng gian tập affine Định lí 1.1.1 Giao họ tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử Aα ⊂ Rn (α ∈ I) tập lồi, I tập số Ta cần chứng minh A = Aα tập lồi α∈I Lấy x1 , x2 ∈ A Khi x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I) Với ∀α ∈ I Aα lồi, nên λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Aα (∀λ ∈ [0, 1]) ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Vậy A tập lồi Định lí 1.1.2 Giả sử A ⊂ Rn lồi x1 , x2 , , xm ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x2 , , xm Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG ∀t ≥ Khi đó, ta chứng minh tốn (2.13) có tia nghiệm Nếu Sol(AV I(M, q, ∆)) tập vơ hạn từ (2.13) ta suy có tập số I0 ⊂ I cho tập lồi đa diện ΩI0 xác định (2.24) vơ hạn Thì phải tồn điểm phân biệt x ∈ ΩI0 y ∈ ΩI0 Rõ ràng tập [x, y) := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1)} khoảng nghiệm toán (2.13) Ta đưa số kí hiệu sau đây: δ(A) = {v ∈ Rn : Av ≥ 0}, δ(A)+ = {z ∈ Rn : z T v ≥ ∀v ∈ δ(A)}, l(M ) = {z ∈ Rn : z T M z = 0} Chú ý, δ(A) {v ∈ Rn : Av ∈ δ(A)+ } tập lồi đa diện l(M ) nón đóng khơng lồi, ý δ(A) = 0+ ∆ δ(A)+ = (0+ ∆)+ Định lí 2.1.5 Tập nghiệm Bài tốn (2.13) khơng bị chặn tồn cặp (v, u0 ) ∈ Rn × Rn , v = 0, u0 ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)) cho (i) v ∈ δ(A), M v ∈ δ(A)+ , v ∈ l(M ); (ii) (M u0 + q)T v = 0; (iii) M v, y − u0 ≥ ∀y ∈ ∆ Hệ 2.1.4 Bài toán (2.13) có tập nghiệm tập compact (có thể rỗng) thoả mãn điều kiện sau: (γ1 ) nón l(M ) gồm phần tử 0; (γ2 ) giao nón l(M ) {v ∈ Rn : M v ∈ δ(A)+ } gồm phần 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG tử 0; (γ3 ) giao nón l(M ), {v ∈ Rn : M v ∈ δ(A)+ } δ(A) gồm phần tử 2.2 2.2.1 Sự tồn nghiệm Sự tồn nghiệm điều kiện đơn điệu Ta xét toán bất đẳng thức biến phân affine Tìm x¯ ∈ ∆ cho M x¯ + q, y − x¯ ≥ ∀y ∈ ∆ (AV I(M, q, ∆)), với M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , ∆ khác rỗng tập lồi đa diện Rn Do ∆ tập lồi đa diện Rn nên tồn m ∈ N, A ∈ Rm×n b ∈ Rm cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} (2.26) Đặt         A b  x T n+m ˜       z≥ ∆= z= ∈R : (M − A) z = −q,   I λ       x n+m T   = z= : M x − A λ + q = 0, Ax ≥ b, λ ≥ ∈R   λ I kí hiệu ma trận đơn vị Rm×n Đặt  T q  z, f (z) = z T (M + M T )z +  −b 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG  M = T M −A A    ∈ R(m+n)×(m+n) , z =  x λ   ∈ Rn+m Chúng ta xem xét toán quy hoạch toàn phương bổ trợ ˜ f (z) : z ∈ ∆ (2.27) ˜ khác rỗng tồn x¯ ∈ ∆ ˜ cho Bổ đề 2.2.1 Tập ∆ (M x¯ + q)T v ≥ với v ∈ 0+ ∆  ˜ = ∅ tồn z¯ =  Chứng minh Điều kiện cần: Nếu ∆ x¯ ¯ λ   ∈ Rm+n cho ¯ + q = 0, A¯ ¯ ≥ M x¯ − AT λ x ≥ b, λ (2.28) Lấy v ∈ 0+ ∆ Từ (2.26) ta có Av ≥ Từ (2.28), ta suy ¯ + q)T v = (M x¯ + q)T v − λ ¯ T Av = (M x¯ − AT λ ¯ T Av ≥ Do đó, (M x¯ + q)T v = λ Điều kiện đủ: Giả sử tồn x¯ ∈ ∆ cho (M x¯ + q)T v ≥ với v ∈ 0+ ∆ = δ(A) Xét toán quy hoạch tuyến tính cT y : y ∈ ∆ , (2.29) c = M x¯+q Từ giả thuyết ta suy ∆ = ∅ (M x¯ + q)T v ≥ ¯ ∈ Rm 0, với v ∈ Rn , Av ≥ Khi đó, (2.29) có nghiệm tồn λ 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG cho ¯ + c = 0, λ ¯ ≥ −AT λ  Do x¯ ∈ ∆ nên A¯ x ≥ b Kết hợp với (2.30), ta suy z¯ :=  x¯ ¯ λ (2.30)   phụ ˜ Vậy ∆ ˜ = ∅ thuộc vào ∆ Bổ đề 2.2.2 Nếu tồn x¯ ∈ ∆ cho (M x¯ + q)T v ≥ với v ∈ 0+ ∆ tốn quy hoạch tồn phương bổ trợ (2.27) có nghiệm ˜ Chứng minh  Từ  Bổ đề 2.2.1 giả thuyết ta suy ∆ khác rỗng x ˜ Ta có Cho z =   ∈ ∆ λ  T q  z f (z) = z T (M + M T )z +  −b T      T  T T x M −A M −A x    + =    λ λ A A T    x q    + −b λ  T    T M +M x x    + q T x − bT λ =    λ 0 λ = xT (M + M T )x + q T x − bT λ = xT M x + q T x − bT λ = xT (AT λ) − bT λ = λT (Ax − b) ≥ Vì f (z) bị chặn ∆ Theo Định lý Frank – Wolffe (2.28) có nghiệm 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Định lí 2.2.1 Nếu thỏa mãn hai điều kiện sau tập nghiệm Sol(AV I(M, q, ∆)) tập khác rỗng (i) Tồn x¯ ∈ ∆ cho (M x¯ + q)T v ≥ với v ∈ 0+ ∆; (ii) (y − x)T M (y − x) ≥ với x ∈ ∆ y ∈ ∆ Chứng minh Từ giả thuyết (i) Bổ đề 2.2.2  tốn quy hoạch tồn  x¯ phương bổ trợ (2.27) có nghiệm z¯ =   Khi tồn nhân ¯ λ   θ1  ∈ R2m µ ∈ Rn cho tử Lagrange θ =  θ2   T       θ1 A x¯  T         − ( M + M )   ¯  θ2 I λ         q  T T    = 0,  −(M − A ) µ +   −b        b x¯ A    , θ ≥ 0,       ≥   ¯  λ I              A x¯ b      −   =  θT    ¯ I λ Hệ phương trình viết lại dạng sau          T T T   M −A x¯ M A x¯ A θ      +    −       ¯ ¯  A λ −A λ I θ2          MT q  µ +   = 0, −   −A −b      ¯ ≥ 0, θ1 ≥ 0, θ2 ≥ 0,  A¯ x ≥ b, λ      (θ )T (A¯ ¯ = x − b) = 0, (θ2 )T λ 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Hệ phương trình lại tương đương với hệ (2.31) – (2.34) ¯ + q) + M T x¯ + AT λ ¯ − AT θ1 − M T µ = 0, (M x¯ − AT λ (2.31) A¯ x − A¯ x − θ2 + Aµ − b = 0, (2.32) A¯ x ≥ b, λ ≥ 0, θ1 ≥ 0, θ2 ≥ (2.33) ¯ = (θ1 )T (A¯ x − b) = 0, (θ2 )T λ   x¯ Từ (2.32) z¯ =   ∈ ∆ ta suy ¯ λ (2.34) ¯ M T (¯ x − µ) = AT (θ1 − λ) (2.35) A(¯ x − µ) = A¯ x − θ2 − b (2.36) Từ (2.35) ta suy Từ (2.34) – (2.36), ta suy ¯ (¯ x − µ)T M T (¯ x − µ) = (¯ x − µ)T AT (θ1 − λ) ¯ T A(¯ = (θ1 − λ) x − µ) ¯ T (A¯ = (θ1 − λ) x − θ2 − b) T T ¯ ¯T −λ (A¯ x − b) = (θ1 ) (A¯ x − b) −(θ1 )T θ2 + (θ2 ) λ =0 T =0 ¯ T (A¯ = −(θ ) θ − λ x − b) Do đó, theo (2.33) ta có ¯ T (A¯ (¯ x − µ)T M T (¯ x − µ) = −(θ1 )T θ2 − λ x − b) ≤ 39 (2.37) Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Từ (2.32) suy Aµ − b = θ2 ≥ Vì µ ∈ ∆ Do x¯ ∈ ∆, từ giả thuyết (ii) (¯ x − µ)T M T (¯ x − µ) ≥ ¯ T (A¯ Kết hợp với (2.33) (2.37) ta λ x − b) = Vì  x¯ ¯ λ  ∈ ∆, ¯ + q = Cuối M x¯ − AT λ   ¯ + q = 0;  M x¯ − AT λ   ¯ ≥ 0; A¯ x ≥ b, λ    λ ¯ T (A¯ x − b) = Theo Định lý 2.1.3 x¯ ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)) Dễ thấy (ii) tương đương với điều kiện cần toán tử φ : ∆ → Rn xác định việc đặt φ(x) = M x + q đơn điệu ∆ Định nghĩa 2.2.1 Bằng việc sử dụng thuật ngữ, ta nói ma trận M ∈ Rn×n đơn điệu tập lồi đóng ∆ ⊂ Rn tốn tử tuyến tính tương ứng với M đơn điệu tập lồi đóng ∆ tức (y − x)T M (y − x) ≥ ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆ (2.38) Ma trận M gọi đồng dương ∆ vT M v ≥ ∀v ∈ 0+ ∆ (2.39) Nếu M đồng dương Rn+ dễ dàng nói ràng M ma trận đồng 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG dương Ma trận M gọi đồng dương ngặt ∆ vT M v > ∀v ∈ 0+ ∆\{0} (2.40) Nhận xét 2.2.1 Tính đơn điệu suy tính đồng dương Nhưng điều ngược lại nhiều trường hợp không Nhận xét 2.2.2 Nếu int∆ = ∅ ma trận M đơn điệu ∆ M ma trận nửa xác định dương ∆ Nhận xét 2.2.3 Nếu M đồng dương ngặt ∆ M đồng dương ∆  Ví dụ 2.2.1 Cho M =  0 −1   ∈ R2×2 , q = (q1 , q2 ) ∈ R2 ∆ = x = (x1 , x2 ) ∈ R2+ : x1 ≥ 0, x2 = Định lý 2.2.1 áp dụng toán Thật vậy, M đơn điệu ∆, điều kiện đủ để tồn x¯ ∈ ∆ cho (M x¯ + q)T v ≥ với v ∈ 0+ ∆ Nếu q1 < x¯ = (−q1 , 0) thỏa mãn điều kiện cuối Nếu q1 ≥ x¯ = (0, 0) thỏa mãn điều kiện Hơn nhờ việc nghiên cứu toán ta Sol(AV I(M, q, ∆)) = {(−q1 , 0)} q1 < Từ Định lý 2.2.1 ta suy kết Định lí 2.2.2 Nếu M ma trận nửa xác định dương ∆ tồn x¯ ∈ ∆ cho (M x¯ + q)T v ≥ với v ∈ 0+ ∆ tốn AV I (M, q, ∆) có nghiệm 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Sự tồn nghiệm điều kiện đồng dương Bổ đề 2.2.3 Ma trận M ∈ Rn×n đồng dương ngặt tập lồi đa diện ∆ ∈ Rn tồn x0 ∈ ∆ cho M y − M x , y − x0 → +∞ y − x0 y → +∞, y ∈ ∆ (2.41) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử ∆ tập khác rỗng M đồng dương ngặt ∆ Nếu 0+ ∆ = {0} thì, theo Định lý 8.4 Rockafellar (1970), ∆ compact Vì vậy, chọn x0 tùy ý thuộc ∆, điều kiện (2.41) thỏa mãn Bây ta xem xét trường hợp 0+ ∆ = {0} Chọn x0 ∈ ∆ Ta cần chứng minh (2.41) Trái lại, giả sử (2.41) sai, tồn γ > chuỗi y k ⊂ ∆ cho y k → +∞ M y k − M x0 , y k − x0 ≤ γ y k − x0 (2.42) Do ∆ tập lồi đa diện khác rỗng, theo Định lý 19.1 19.5 từ Rockafellar (1970) ta tìm tập compact K ⊂ ∆ cho ∆ = K + 0+ ∆ Do đó, với k ∈ N tồn uk ∈ K v k ∈ 0+ ∆ cho y k = uk +v k Dễ thấy v k → +∞ Do đó, khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử k k u → u¯, v = với k ∈ N, 42 vk → v¯ vk Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Cho u¯ ∈ ∆ v¯ ∈ 0+ ∆ với v = Từ (2.42) ta suy vk −2 M v k + M uk − x0 , v k + uk − x0 −1 vk v k + uk − x0 ≤ γ, vk với k ∈ N Cho k → +∞, từ bất đẳng thức ta thu M v, v ≤ v Điều trái với giả thiết M đồng dương ∆ Ta chứng minh (2.41) Điều kiện đủ: Giả sử tồn x0 ∈ ∆ thỏa mãn (2.41) Lấy v ∈ 0+ ∆\ {0} tùy ý Cho y (t) := x0 + tv ∈ ∆, ∀t > y (t) → +∞ t → +∞, y = y (t) vào (2.41) ta t M v, v → +∞ t → +∞ v Điều v T M v = M v, v > Cuối ta M đồng dương ngặt ∆ Định lí 2.2.3 Nếu ma trận M đồng dương ngặt tập lồi đa diện khác rỗng ∆, với q ∈ Rn tốn AV I (M, q, ∆) có nghiệm Chứng minh Giả sử M đồng dương ngặt ∆ vectơ tùy ý Xem xét toán tử affine φ (x) = M x + q Áp dụng Bổ đề 2.2.3 khẳng định tồn x0 ∈ ∆ thỏa mãn điều kiện (2.6) Theo Định lý 2.1.2, toán V I (φ, ∆) có nghiệm Do điều cuối ln với toán AV I (M, q, ∆) nên thu kết luận mong muốn    ∈ R2×2 , ∆ = R2+ Ví dụ 2.2.2 Cho M =  43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Trong Nhận xét 2.2.1 ta thấy M không đơn điệu ∆, nhiên M đồng dương ngặt ∆ Thật vậy, ∆ nón, ta có 0+ ∆ = ∆ Với vectơ v = (v1 , v2 ) ∈ 0+ ∆ = R2+ khác vectơ khơng v T M v = v12 + 4v1 v2 + v22 > Điều cho thấy M đồng dương ngặt ∆ Theo Định lý 2.1.3, toán AV I (M, q, ∆) giải Chú ý Định lý 2.2.1 khơng thể áp dụng cho tốn M khơng đơn điệu ∆ Định lí 2.2.4 Nếu ma trận M đồng dương tập lồi đa diện, khác rỗng ∆ không tồn v¯ ∈ Rn \ {0} cho v¯ ∈ 0+ ∆, M v¯ ∈ 0+ ∆ + , v¯T M v¯ = 0, (2.43) với 0+ ∆ + = ξ ∈ Rn : ξ T v ≥ 0, ∀v ∈ 0+ ∆ thì, với q ∈ Rn , toán AV I (M, q, ∆) có nghiệm Chứng minh Giả sử ∆ = 0, M đồng dương ∆ không tồn v¯ ∈ Rn \ {0} thỏa mãn thỏa mãn (2.43) Giả sử q ∈ Rn cho cách tùy ý Lấy m ∈ N, A ∈ Rm×n b ∈ Rn cho ∆ có biểu diễn (2.26) Thì 0+ ∆ = {v ∈ Rn : Av ≥ 0} Lấy x0 ∈ ∆ Với k ∈ N, ta xác định ∆k = ∆ ∩ B x0 , k (2.44) Chú ý rằng, với k ∈ N, ∆k khác rỗng tập compact lồi Lấy k ∈ N, 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG xem xét toán V I Tìm x ∈ ∆k cho M x + q, y − x ≥ ∀y ∈ ∆k kí hiệu tập nghiệm Sol (V I (M, q, ∆k )) Theo Định lý 2.1.1, Sol (V I (M, q, ∆k )) = ∅ Với k ∈ N, chọn điểm xk ∈ Sol (V I (M, q, ∆k )) Ta cần chứng minh chuỗi xk bị chặn Giả sử ngược lại xk khơng bị chặn Khơng giảm tính tổng qt, giả sử xk = 0, ∀k, xk → +∞ k → ∞ tồn v¯ ∈ Rn cho xk → v, xk v = Do x0 ∈ ∆k với k ∈ N, ta có M xk + q, x0 − xk ≥ ∀k ∈ N Từ tính chất cuối ta suy ≥ M v, v Vì xk ∈ ∆, ta có Axk ≥ b, ∀k ∈ N, tức Av ≥ Vì v ∈ 0+ ∆ Do M đồng dương ∆, từ điều ta suy v T M v = (2.45) Với ∀ω ∈ 0+ ∆\ {0}, từ (2.44) kiện x0 + tω ∈ ∆, ∀t ≥ ta suy x0 + xk − x0 45 ω ∈ ∆k ω Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG Vì xk ∈ Sol (V I (M, q, ∆k )) ta có M xk + q, x0 + xk − x0 ω − xk ω ≥ Chia vế bất phương trình cho xk cho k → ∞ với xk − x0 ý lim → 1, từ kết (2.45) ta thu k→∞ xk ω ≥ Khi M v, ω ≥ 0, với ω ∈ 0+ ∆ Nghĩa M v, ω M v ∈ (0+ ∆)+ Ta thấy v¯ ∈ Rn \ {0} thỏa mãn điều kiện mô tả (2.43) Điều trái với giả thuyết Cuối ta chứng minh chuỗi xk bị chặn Khơng giảm tính tổng qt, giả sử xk → x , x ∈ ∆ Với x ∈ ∆, tồn kx ∈ N cho x ∈ ∆k , ∀k ≥ kx Do ∀k ≥ kx , ta có M xk + q; x − xk ≥ Cho k → ∞ ta thu M x + q; x − x ≥ Vì bất đẳng thức cho x thuộc ∆, khẳng định x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) Ví dụ 2.2.3 Cho M ∆ giống Ví dụ 2.2.1 Dễ kiểm tra không tồn vectơ v¯ ∈ Rn \{0} thỏa mãn ba điều kiện (2.43) Khi M đồng dương ∆, Định lý 2.2.4 rằng, với q = (q1 , q2 ) ∈ R2 , toán AV I (M, q, ∆) có nghiệm 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI THỊ THÙY DƯƠNG KẾT LUẬN Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến tập lồi đa diện ứng dụng bất đẳng thức biến phân affine Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Kính mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện 47 Tài liệu tham khảo [1] QUÁCH VĂN CHƯƠNG, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, 2011 [2] GUE MYUNG LEE, NGUYEN NANG TAM, AND NGUYEN DONG YEN, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Vol, 78, Springer Science & Business Media, 2006 [3] R.TYRRELL ROCKAFELLAR, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 48 ... biến phân đặc biệt với miền ràng buộc tập lồi đa diện Với mong muốn tìm hiếu sâu tập lồi đa diện ứng dụng tập lồi đa diện toán bất đẳng thức biến phân affine em chọn đề tài "Tập lồi đa diện ứng. .. Ứng dụng bất đẳng thức biến phân affine Nội dung chương đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân affine, tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân affine nhờ ứng dụng tính lồi Bài tốn bất đẳng thức biến. .. Chương 1: Tập lồi đa diện Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức biến phân affine Chương Tập lồi đa diện Nội dung chương đề cập đến tập lồi tập lồi đa diện Tập lồi tính chất tập lồi trình bày Mục 1.1