Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện

LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn,  giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình hướng  dẫn, giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận này Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa luận  em đã nhận được sự dạy dỗ ân cần cũng như những động viên, chỉ bảo, tạo  điều kiện của các thầy cô giáo tham gia giảng dạy, công tác tại trường Đại học  Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo  trong  tổ  Giải  tích,  khoa  Toán  trường  Đại  học  Sư  phạm  Hà  Nội  2,  cùng  các  thầy cô giáo giảng dạy khóa học.   Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!    Hà Nội, Ngày 04 tháng 05 năm 2012                                                                                Sinh viên                                                                      Hoàng Thị Hồng Hạnh   1  LỜI CAM ĐOAN Dưới  sự  hướng  dẫn  của  thầy  ThS.  Nguyễn  Quốc  Tuấn  khóa  luận  tốt  nghiệp đại học chuyên ngành Toán với đề tài “Điều kiện cần và đủ cực trị cho  bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương  trên  tập  lồi  đa  diện”  được  hoàn  thành  bởi  chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận khác Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, em đã kế thừa những  thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn. Một số kết quả  em đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này.       Hà Nội, Ngày 04 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Hồng Hạnh         2  MỤC LỤC Trang Mở đầu 1  Chương 1 Bài toán quy hoạch toàn phương 4  1.1. Bài toán quy hoạch toán học .4  1.2. Bài toán toàn phương 14 Chương 2  Điều  kiện  tối  ưu  cần  và  đủ  cực  trị  cho  bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương 22  2.1. Điều kiện cực trị đầu tiên 22  2.2. Điều kiện cực trị thứ hai 33  Kết luận 55 Tài liệu tham khảo .56    3  LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, tối ưu hóa đã trở thành một lĩnh vực rất phát triển, góp phần  quan trọng trong việc ứng dụng khoa học công nghệ vào cuộc sống và sản xuất.  Từ  thế  kỉ  XVIII,  một  hướng  của  Giải  tích  toán  học,  gọi  là  Phép  tính  biến phân, chuyên nghiên cứu các bài toán cực trị với hàm mục tiêu là phiếm  hàm tích phân được phát triển mạnh mẽ và trở thành ngôn ngữ của khoa học  tự nhiên. Vào những năm cuối thập niên  30  40  của thế kỉ XX, nhu cầu cấp  bách của kinh tế, kĩ thuật đã thúc đẩy hình thành một lý thuyết mới đó là lý thuyết tối ưu. Có thể nói, lý thuyết tối ưu bắt đầu từ quy hoạch tuyến tính, tiếp  đó là quy hoạch lồi. Đối tượng nghiên cứu của những lý thuyết đó ngày càng  mở rộng, hình thành những hướng khác nhau của lý thuyết tối ưu.  Bài  toán  tối  ưu  được  phát  biểu  như  sau:  “Cho  hàm  mục  tiêu  f   và   n   là  miền  ràng  buộc.  Tìm  x     sao  cho  f  x    nhận  giá  trị  cực  tiểu  (trong trường hợp muốn tìm giá trị cực đại thì có thể thay  f  x    f  x  )”.  Các bài toán tối ưu còn được gọi là các bài toán quy hoạch toán học,  được chia ra thành các lớp sau đây:   Bài toán quy hoạch tuyến tính;   Bài  toán  tối  ưu  phi  tuyến  hay  còn  gọi  là  bài  toán  quy  hoạch  phi  tuyến, bao gồm cả bài toán quy hoạch lồi và bài toán quy hoạch toàn phương;     Bài toán tối ưu rời rạc, bài toán tối ưu nguyên và hỗn hợp nguyên;   Bài toán quy hoạch động;   Bài toán quy hoạch đa mục tiêu;   Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên   4    Trong thực tế, bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu và các  ràng  buộc  tuyến  tính  có  một  số  lượng  lớn  các  ứng  dụng.  Bài  toán  mà  hàm  mục tiêu của chúng không ở dạng tuyến tính mà có dạng bậc hai được gọi là  bài toán quy hoạch toàn phương. Với bài toán này thì các phương pháp giải có  mối quan hệ tới các mở rộng của bài toán quy hoạch tuyến tính.  Điều kiện tối ưu đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hóa.  Năm 1965, A. Ya. Dubovitskii và A. A. Milyutin đã đưa ra lý thuyết các điều  kiện cần tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta phương pháp giải tích  hàm hiệu quả để nghiên cứu các bài toán tối ưu và điều khiển.  Ngày nay, điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên cho bài toán quy hoạch  toàn  phương  (không lồi) trong định lý 2.1  đã  được chứng  minh  trong nhiều  sách.  Nó  được  xem  như  là  một  mở  rộng  tự  nhiên  của  định  lý  Fermat.  McCormick (1967) là người đầu tiên đặt nền móng cho điều kiện cần và đủ  cực trị thứ hai của bài toán toàn phương (xem [8]). Sau đó, Majthay (1971),  Mangasarian (1980) và Contesse (1980) đã từng bước hoàn thiện chứng minh  điều kiện cần và đủ cực trị thứ hai (định lý  2.4  2.5 ) cho bài toán quy hoạch  toàn phương.  Là  một  sinh  viên  sư  phạm  chuyên  ngành  Toán,  tôi  mong  muốn  được  tìm  hiểu  sâu  hơn  về  lý  thuyết  tối  ưu  nói  chung  cũng  như  quy  hoạch  toàn  phương nói riêng. Đặc biệt, dưới sự gợi mở, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của  thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, tôi đã chọn đề tài “Điều kiện cần đủ cực trị cho toán quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện”.  Khóa luận tập trung làm rõ một số nội dung liên quan đến bài toán quy  hoạch toán học, quy hoạch toàn phương, điều kiện cần và đủ cực trị cho bài    5  toán  quy  hoạch  toàn  phương  trên  tập  lồi  đa  diện.  Ngoài  phần mở  đầu,  kết  luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương:  Chương Bài toán quy hoạch toàn phương  Chương Điều kiện cần đủ cực trị cho toán quy hoạch toàn phương    Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng của bản thân còn hạn chế  nên khóa luận này  mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, trình bày các nội dung  chính theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết khóa luận cũng như trong quá  trình xử lý văn bản, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy,  tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài  được hoàn thiện hơn.                    Chương   6  Bài toán quy hoạch toàn phương Bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương  là  một  phần  của  bài  toán  học  quy  hoạch phi  tuyến.  Chương này,  trình bày  một  số  nội dung  liên  quan  đến quy  hoạch toán  học,  bài  toán quy  hoạch toàn  phương.  Chẳng hạn,  khái  niệm  bài  toán quy hoạch toán học, nghiệm toàn cục, nghiệm địa phương, bài toán quy  hoạch  toàn  phương,  ma  trận  xác  định  dương  (tương  ứng,  xác  định  âm),  ma  trận xác định nửa dương (tương ứng, xác định nửa âm)… 1.1 Bài toán quy hoạch toán học  Trong phần này, ta ký hiệu  thẳng thực mở rộng,  n   ,         là đường   là không gian Euclid  n  chiều với chuẩn  1/2  n  x    xi2  ,    i 1  n với mọi  x   x1 , x2 , , xn    và tích vô hướng   n x, y   xi yi  xT y ,  i 1 với  mọi  x   x1 , x2 , , xn  ,  y   y1 , y2 , , yn   n   Trong  đó,  xT   là  ma  trận  chuyển  vị  của  ma  trận  x   Trong tính  toán ma trận, vector được hiểu như là  một ma trận cột những số thực.    Hình cầu mở trong  n  có tâm tại  x  với bán kính     được ký hiệu là  B  x,    Hình cầu đóng tương ứng được ký hiệu là  B  x,       7  Vì  vậy,  B  x,     y    n : y  x    , B  x,     y  n : y  x      Hình cầu đóng đơn vị  B  0,1  được kí hiệu là  B n  Cho một tập    n , các  kí hiệu  int  ,    và  bd  được sử dụng tương ứng để biểu thị phần trong của   , bao đóng của    và biên của     Do  đó,     x    n trong  :   0, B  x,         là  tập  đóng  nhỏ  nhất    chứa     và  int    x  :   0, B  x,       là  tập  con  mở  lớn  nhất trong      n n ,  bd    \  int     n Ta  nói,  U    là  một  lân  cận  của  x  n   nếu  tồn  tại      sao  cho  B  x,    U    Nón tiếp tuyến  T  x   của    tại  x   được định nghĩa bởi công thức     T  x   t  x  x  : x  , t  0   Cho  hàm  f :    n n   là  một  hàm  khả  vi  liên  tục  cấp  hai  trên  tập   , điểm  x , v  n  Khi đó, ta ký hiệu  f  x   là đạo hàm của hàm  f   tại  điểm  x ,  ký  hiệu   f  x    là  đạo  hàm  cấp  hai  (ma  trận  Hessian)  của  hàm  f  tại điểm  x  và ký hiệu  f   x , v   là đạo hàm theo hướng  v  của hàm  f   tại điểm  x  Ta có,    f   x , v   lim t 0 f  x  tv   f  x   f  x  , v   t Ký hiệu,  f  x   là dưới vi phân của hàm  f  tại điểm  x , ta có       f  x   x*  n : f  x   f  x   x* , x  x , x  n    8  Trong thực tế và lý thuyết, nhiều bài toán được mô tả dưới dạng  f  x  ,  x   ,                                            P    trong đó,  f : n    là một hàm cho trước,    n  là một tập hợp con xác  định. Bài toán   P   có thể viết lại dưới dạng    f ( x) : x     Định nghĩa 1.1. Bài toán  P  gọi toán quy hoạch toán học Hàm f gọi hàm mục tiêu ∆ tập ràng buộc (hay miền chấp nhận được) toán  P  Các phần tử tập ràng buộc ∆ gọi vector chấp nhận toán  P  Nếu    n  thì ta nói bài toán   P   là một bài toán không có ràng buộc,  ngược lại, bài toán   P   là bài toán có ràng buộc.  Ví dụ 1.1. Bài toán  f  x   cx1  cx2   cn xn , với điều kiện ràng buộc      a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a x  a x   a x  b 2n n  21 22    a x  a x   a x  b mn n m  m1 m 2 x1 , x2 , , xn   Ví dụ 1.2. Bài toán   f  x   3x1  x2   với điều kiện ràng buộc       9   x1  x2   x  x 3     x  x    x1 , x2  Định nghĩa 1.2 Vector chấp nhận x   toán  P  gọi nghiệm (nghiệm toàn cục) toán  P  f  x    f ( x)  f  x  , với x   Ta nói, x   nghiệm tối ưu địa phương toán  P  f  x    tồn lân cận U x cho f  x   f  x  , x    U                                     (1.1)  Tập  các nghiệm  tối  ưu  toàn  cục  của  bài  toán   P  ,  kí  hiệu  là  Sol  P    (hoặc  Sol  f  ). Tập các nghiệm tối ưu địa phương của bài toán   P  , kí hiệu  là  loc  P    (hoặc  loc  f  ).  Hai  bài  toán  tối  ưu  gọi  là  tương  đương  nếu  tập  nghiệm của chúng trùng nhau.  Định nghĩa 1.3 Giá trị tối ưu  ( P)  P  xác định  ( P)  inf  f ( x) : x   (1.2) Nếu    qui ước  ( P)     Nhận xét 1.1 Hiển nhiên, ta có  Sol  P   loc  P  , vì theo định nghĩa  Sol ( P)   x   : f ( x)  ; f ( x)   ( P)  loc  p      10  x k  x  T  x   M  K   Kết  hợp  điều  này  với  (2.20),  suy  ra  tồn  tại  t kj  ,   j  1, , q    và    u k  M  sao cho  k k q0 q k j j x  x  u  t z  j 1 k q0 t k j z j                                (2.21)  j  q0 1 q k j k j Đặt  v   t z  và    j 1 t k j z j , khi đó   j  q0 1 x k  x  u k  v k   k                     (2.22)  Điều này có nghĩa là  v k  (tương ứng,   k ) không có trong công thức nếu    K  0  (tương ứng,  K \ K   ). Có hai trường hợp có thể xảy ra:  Trường  hợp  1.  Tồn  tại  dãy  k   k    sao  cho   k   ,  với  mọi  k      (Nếu  K \ K   ,  thì   k   không  có  trong  công  thức  (2.22),  với  mọi  k    Khả năng này cũng được bao gồm trong trường hợp này.)    Trường hợp 2. Tồn tại một số  k   sao cho   k  , với mọi  k  k     Nếu trường hợp 1 xảy ra, không làm mất tính tổng quát, chúng ta có thể  giả sử rằng dãy  k   k  Khi đó  x k  x  u k  v k , dựa vào điều kiện (2.18),  ta có  T  Dx  c  x k  x   f  x  , x k  x  f  x  , u k  f  x  , v k    Do đó,  f  x k   f  x     T k T x  x  D  x k  x    Dx  c   x k  x     43                                         T k x  x  D  x k  x     T Vậy,   x k  x  D  x k  x   , với mọi  k                                  (2.23)  Từ  x k  x  T  x   và  f  x  , x k  x  , chúng ta có   x k  x  T  x    f  x       T Từ  bổ  đề  (2.1) và giả  thiết  ii)  suy  ra   x k  x  D  x k  x   ,  trái  với  điều kiện (2.23).    Nếu trường hợp 2 xảy ra, thì làm mất tính tổng quát, ta giả sử   k  ,  với mọi  k   Đối với mỗi  k , khi  t kj  0,  j  q0  1, , q  , phải tồn tại một số  j  k   q0  1, , q  sao cho  t kj k   max t kj : j  q0  1, , q    Rõ ràng là phải tồn tại một chỉ số  j  q0  1, , q  và một dãy  k   k  sao  cho  j  k    j ,  với  mọi  k    Không  làm  mất  tính  tổng  quát,  chúng  ta  giả  sử  rằng  k   k   Áp dụng vào công thức (2.21) và (2.22) ta được  f  xk   f  x      T k T x  x  D  x k  x    Dx  c   x k  x     T k T u  v k   k  D  u k  v k   k    Dx  c   u k  v k   k     44  T T k u  v k  D  u k  v k   k    k  D  u k  v k   k                  T T k k k   Dx  c   u  v    Dx  c    T T T k 1 u  v k  D  u k  v k    u k  v k  D k   k  D  u k  v k   2 q                T T T   k  D k   Dx  c   u k  v k    t kj  Dx  c  z j   j q0 1  0,u k ,v k M  T T k u  v k  D  u k  v k    u k  v k  D k                    0 q  T k j  t  Dx  c  j  q0 1 T q  t u k j               T z j   k  D k k v k T  j Dz  t k j T  Dx  c  j  q0 1 1 q k j  z    t j z  D k    j q0 1  j* T Trong đó, ta đã sử dụng bất đẳng thức   u k  v k  D  u k  v k   , đó là một hệ  quả của bổ đề 2.1 và điều kiện ii). Từ  chứng minh trên, suy ra  T q 0  t u k j k v k T  j Dz  t k j  Dx  c  j  q0 1   T 1 q k j  z    t j z  D k       (2.24)   j q0 1  j k j Chia  bất  đẳng  thức  (2.24)  cho  t ,  lưu  ý  rằng   t kj t kj  ,  j  q0  1, , q ,  cho  giới  hạn  k     và  sử  dụng  mệnh  đề  “nếu x k  x u k  0, v k   k  ” ta được    45  T q  t u k j 0 v k T  j Dz  t k j T  Dx  c  j  q0 1  1 q z    t kj z j  D k  j q0 1  j t kj   T q  t u k j  k k T  v k  Dz j j  q0 1 t kj T  t kj  Dx  c  t kj 1 q k j  k   t j z  D j j q 1 z   k  t j T    Dx  c  z j ,                                                                                   (2.25)  mâu thuẫn với (2.19). Vậy,  x  là nghiệm địa phương của bài toán (PT)    Cuối cùng, để kết thúc chứng minh định lý 2.4, ta chứng minh mệnh đề  “nếu x k  x u k  0, v k   k  ”. Thật vậy, ta có  xk  x  xk  x , xk  x  u k  vk   k , u k  vk   k                                                               u k k     k   k   Vì  x k  x  , khi đó  u k  0, v k   k   Ta có  q k k v     t kj z j   j 1   Do đó, với bất kỳ  j  1, , q , t kj   khi  k    .    Ngược lại, giả sử tồn tại  j1  1, , q  sao cho dãy  t kj1  không hội tụ về      với  k    Khi đó, tồn tại     và dãy  k   k   sao cho  t kj1   , với mọi  k    q   Với   t kj   t kj1   , với mọi  k  , ta có thể viết  j 1   46   q k   q t kj  j v     t z    t j   q z                                (2.26)  j 1  j 1  j 1 t k  j q k k k j j j 1 t kj  Giả  sử  rằng,  với  mọi  j  1, , q ,       j   khi  k    ,  với  q t k j j 1 q q  j   0,1 ,  suy  ra   j    Ta  phải  chứng  minh   j z j 0   Thật  vậy,  nếu  j 1 j 1 q  j z j 0  là đúng thì sẽ có  j0  1, , q  sao cho  j0    j 1   Khi  đó,   j z j   j0 z j0   Tức  là   j0 z j0  K ,   j0 z j0  K ,   j0 z j0    j  j0 Do đó, nón  K  không nhọn, mâu thuẫn.  q   Như vậy, ta đã chứng minh  z :  j z j  là một vector khác không.  j 1    q  Nếu dãy   t kj     bị  chặn thì không làm  mất tính  tổng quát, ta có thể   j 1  giả thiết dãy hội tụ tới giới hạn ˆ    nào đó. Giả sử  k    , từ (2.26), chúng  k ta suy ra  v   k  q     t kj    j 1  q  j 1 t kj  z j  ˆ z  , mâu thuẫn.  q t k j j 1   q  Nếu dãy   t kj    không bị chặn thì không mất tính tổng quát ta có thể   j 1  giả thiết chuỗi hội tụ về    Từ (2.26) ta được    47  k v  k  q k    t j   j 1  t kj  q  j 1 z j   q t k j j 1 Cho  k     được    z , vô lý .                                                                 Định nghĩa 2.2.  Điểm x   gọi nghiệm địa phương toán  f  x  : x   , với f : n  hàm số thực   n tập hợp cho trước, tồn   cho f  x   f  x  , x     B  x ,    \  x    Thật vậy, nếu  x  là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán cực tiểu thì  nó cũng là nghiệm địa phương của bài toán này. Ngược lại, điều đó không đúng.    Các định lý sau đây mô tả điều kiện cần và điều kiện đủ để điểm  x  là  nghiệm địa phương duy nhất của bài toán quy hoạch toàn phương tổng quát.  Định lý 2.6. Điều kiện cần đủ để điểm x  n nghiệm địa phương toán (PT) là tồn cặp vector   ,      , ,  m , 1 , ,  s   m  s cho i) Hệ (2.11) thỏa mãn, ii) Nếu v  n \ 0 cho AI1 v  , AI v  , Cv  , I1  i : Ai x  bi , i  0 , I  i : Ai x  bi , i  0 vT Dv  Chứng minh   48  Điều kiện cần: Giả sử  x  là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán (PT).  Khi đó, tồn tại     sao cho  f  x   f  x   ,  x     B  x ,    \  x                         (2.27)  Theo hệ quả 2.2, tồn tại    ,      m  n  sao cho điều kiện i) thỏa mãn.  Giả sử tính chất ii) là sai. Khi đó,  v  n \ 0  sao cho  AI1 v  ,  AI2 v  ,  Cv  ,  v T Dv    T Từ bổ đề 2.1, suy ra   Dx  c  v  f  x  , v      Vậy, với mọi  t   0,1 , ta có  f  x  tv   f  x   1 T  x  tv  D  x  tv   cT  x  tv   xDx  cT x   2 1 T T  x  tv  Dx   x  tv  Dtv  cT x  tcT v  xDx  cT x 2 1 1  x T Dx  tvT Dx  x T Dtv  tvT Dtv  cT x  tcT v  xDx  cT x   2 2 2 t T  t  Dx  c  v  vDv  t 2v T Dv  2    Cho  x  tv    B  x ,   ,  t   0,1   đủ  nhỏ,  mâu  thuẫn  với  bất  đẳng  thức (2.27).      Vì vậy, ii) phải đúng.  49  Điều kiện đủ: Giả sử  x  n  như vậy tồn tại    ,    m  n  sao cho i) và ii)  được thỏa mãn. Chúng ta phải chứng minh  x  là nghiệm địa phương duy nhất  của bài toán.    Đặt  I  1,2, , m , I  i  I : Ai x  bi    Cho  M , M  , K , K , z1 , , z q   và  q0  được định  nghĩa như  trong chứng  minh  định  lý  2.4.  Khi đó,  các  điều  kiện từ  2.15  2.20  được thỏa mãn.    Nếu  x  không phải là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán (PT) thì  tồn tại một dãy   x k     sao cho  x k  x  và  f  x k   f  x   ,  k  Với mỗi  k    , áp dụng công thức (2.15) ta được  x k  x  T  x   M  K   Kết hợp với (2.20), suy ra tồn tại  t kj  0,  j  1, , q   và  u k  M  sao cho  q0 x k  x  u k   t kj z j  j 1 q Đặt  v k   t kj z j  và   k  j 1     q t k j z j   j  q0 1 q t k j z j  ta có,  x k  x  u k  v k   k   j  q0 1 Như ở phần trên, nếu  K  0 , (tương ứng,  K \ K   ) thì  v k , (tương  ứng,   k ) không có trong công thức (2.22). Chúng ta xem xét một cách riêng  biệt hai trường hợp sau đây    Trường hợp 1. Tồn tại một dãy  k   k  sao cho   k   , với mọi  k    (Nếu  K \ K   , thì   k  không có trong công thức (2.22), với mọi  k    )  50    Trường hợp 2. Tồn tại một số  k   sao cho   k  ,  k  k     Nếu  trường  hợp  1  xảy  ra,  không  làm  mất  tính  tổng  quát  ta  giả  sử   k   k   Lập  luận  tương  tự  như  trong  chứng  minh  trường  hợp  1  ở  phần  trên, chúng ta được  x k T  x  D  x k  x                                             (2.28)   Vì  x k  x  T  x   và  f  x  , x k  x   suy ra  x k  x  T  x    f  x     T Do đó, từ bổ đề 2.1 và từ giả thiết ii) ta được   x k  x  D  x k  x   ,    trái với điều kiện (2.28).    Nếu  trường  hợp  2  xảy  ra,  không  làm  mất  tính  tổng  quát  ta  giả  sử   k  , với mọi  k    Xây dựng dãy   j  k ,  k      như trong chứng minh định lý 2.4. Khi  đó,  phải  tồn  tại  một  chỉ  số  j  q0  1, , q   và  một  dãy  k   k    sao  cho  j  k    j , với mọi  k      Không mất tính tổng quát, ta giả sử  k   k  Phân tích tương tự như  trong chứng minh của định lý 2.4 ta thấy  T q 0  t u k j j  q0 1   k v k T  j Dz  t k j T  Dx  c   1 q z    t kj z j  D k             (2.29)   j q0 1  j 51  k j Chia  bất  đẳng  thức  (2.29)  cho  t ,  lưu  ý  rằng     t kj t kj  ,  với  mọi  q k j  q0  1, , q ,  cho  giới  hạn  k     và  sử  dụng  v   t kj z j  ,  j 1 q k  t k j z j   trong các chứng minh trên, ta được bất đẳng thức (2.25).  j  q0 1    Điều này mâu thuẫn với (2.19) bởi vì  z j  K \ K     Như vậy chúng ta đã  chứng  minh được  x  là  nghiệm địa phương duy  nhất của bài toán (PT).    Định lý 2.6 có thể được phát biểu tương đương với định lý sau đây mà  không sử dụng nhân tử Lagrange.  Định lý 2.7 Điều kiện cần đủ để điểm x  n nghiệm địa phương toán (PT) thỏa mãn hai tính chất sau: T  n i) f  x  , v   Dx  c  v  , v  T  x   v   : AI0 v  0, Cv  0  , I  i  I : Ai x  bi   ii) vT Dv  với vector v  T  x    f  x   khác vector không,    f  x    v    n   : f  x  , v  Như đã được lưu ý sau việc chứng minh định lý 2.5, tính chất đầu tiên  tương đương với sự tồn tại của một cặp    ,    m  s  thỏa mãn hệ (2.11).  Sự tương đương giữa tính chất ii) trong định lý 2.7 và tính chất ii) trong định    52  lý 2.6 được xây dựng thông qua nhân tử Lagrange    ,    m  s , dựa vào  bổ đề 2.1. Do đó, định lý 2.7 tương đương với định lý 2.6.    Nó là cơ sở để nhận thấy rằng nếu  x  là nghiệm địa phương duy nhất  của bài toán toàn phương thì thỏa mãn công thức tương tự trong (2.4) .  n Định lý 2.8. Nếu x  nghiệm địa phương toán (PT) tồn   ñ  cho f  x   f  x   ñ x  x , x    B  x ,      x  n (2.30)  : Ax  b, Cx  d   ràng buộc toán (PT) Chứng minh Giả  sử,  x  n   là  nghiệm  địa  phương  duy  nhất  của  bài  toán  (PT). Từ định lý 2.6, tồn tại một cặp vector     ,      , ,  m , 1 , ,  s   m  s   sao cho    i’) Hệ (2.11) được thỏa mãn, và    ii’)  Nếu  v  n \ 0   sao  cho  AI1 v  ,  AI v  ,  Cv  ,  trong  đó  I1  i : Ai x  bi , i  0 ,  I  i : Ai x  bi , i  0 , thì  vT Dv    Theo chứng minh định lý 2.4 và từ i’) ta có, công thức (2.17) thỏa mãn.    Bằng phản chứng ta chứng minh điều kiện (2.30), giả sử không tồn tại bất  kỳ cặp số dương    , ñ   thỏa mãn điều kiện (2.30). Khi đó, với mỗi  k  , tồn  tại  x k    sao cho    53  xk  x  1   và   f  x k   f  x   x k  x             (2.31)  k k Bất đẳng thức cuối cùng có nghĩa là  x k  x  Không làm mất tính tổng      x k  x   quát chúng ta có thể giả thiết dãy   k   hội tụ về một số  v  x  x   n  với  v   Từ bất đẳng thức (2.31), ta có  T k T x  x  f  x k   f  x    x k  x  D  x k  x    Dx  c   x k  x     (2.32)  k Chia bất đẳng thức (2.32) này cho  x k  x  và cho giới hạn  k    ta được  T   Dx  c  v     Vì  x k  x  T  x  , với mọi  k  , ta phải có  v  T  x   Từ điều kiện  (2.17), ta có   T  Dx  c  v    T   Do  đó,  f  x  , v   Dx  c  v    Chọn  x k  x  T  x  ,  với  mọi  k ,  theo  điều  kiện  (2.17),  ta  có   Dx  c  T x k  x     Kết  hợp  với  bất  đẳng thức  (2.32) ta được  k x x k  T k x  x  D  x k  x     2 Chia bất đẳng thức cho  x k  x  và cho giới hạn  k   , suy ra  v T Dv      54     Từ  v  T  x    f  x   , từ bổ đề 2.1 và ii’) thì   v T Dv   Điều này  mâu thuẫn với giả thiết bài toán. Vậy, định lý được chứng minh.                                55  KẾT LUẬN   Khóa luận được hoàn thành dựa theo chương 1, chương 3 trong     và  một số tài liệu khác. Trong khóa luận này, tác giả đã trình bày, làm rõ một số  nội dung liên quan đến bài toán quy hoạch toán học, bài toán quy hoạch toàn  phương, điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên (định lý 2.1), điều kiện cần và đủ  tối ưu thứ hai (định lý 2.4-2.5) của bài toán quy hoạch toàn phương và điều  kiện để bài toán có nghiệm duy nhất (định lý 2.6-2.7). Cụ thể, khóa luận đã:   Đưa ra một số ví dụ minh họa cho định nghĩa bài toán quy hoạch toán  học và định nghĩa bài toán toàn phương.   Đưa ra ví dụ, hình vẽ minh họa làm rõ thêm các nhận xét.   Với những hiểu biết của bản thân, tôi làm rõ hơn nội dung chứng minh  các định lý về điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên (định lý 2.1), điều kiện cần  và đủ tối ưu thứ hai (định lý 2.4-2.5) của bài toán quy hoạch toàn phương và  điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất (định lý 2.6-2.7).    Đề tài điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương  trên tập lồi đa diện là đề tài có tính thời sự và đang được nghiên cứu rất nhiều  trong  những  năm  gần  đây.  Em  hi  vọng  rằng  trong  tương  lai  sẽ  có  thể  có  những đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu này.        TÀI LIỆU THAM KHẢO  [A] Tài liệu tiếng việt   56  [1] Nguyễn  Tấn  Hòa  (2009),  Bất đẳng thức biển phân afin ứng dụng,  Luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.  [2] Phạm  Phúc  Long  (2010),  Về nguyên lý nhân tử Lagrange,  Luận  văn  Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên.  [3] PGS. TS Đỗ Văn Lưu (1996), Lý thuyết điều kiện tối ưu, Nxb Khoa  học và Kĩ thuật.  [4] PGS. TS Đỗ Văn Lưu, PGS. TS Phan Huy Khải (2000), Giải Tích Lồi,  Nxb Khoa học và Kĩ thuật.  [5] PGS. TS Nguyễn Hải Thanh (2006), Tối ưu hóa, Nxb Bách Khoa Hà Nội.  [6] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nxb Khoa học tự   nhiên và công nghệ.  [B] Tài liệu tiếng anh [7] Gue  Myung  Lee,  Nguyễn  Năng  Tâm,  Nguyễn  Đông  Yên  (2005),  Quadratic Programming And Affine Variational Inequalities, Springer.  [8] G.  P.  McCormick  (1967),  Second order conditions for constrained minima, SIAM Journal on Applied Mathematics, 15, 641-652.  [9] R.  T.  Rockafellar  (1970),  Convex Analysis,  Princeton  University  Press,  Princeton, New Jersey.            57  [...]... Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương Chương này, tập trung làm rõ điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương.  Cụ thể, chúng ta nghiên cứu điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên (định lý 2.1), điều kiện cần và đủ tối ưu thứ hai (định lý 2.4-2.5)    24  của bài toán quy hoạch toàn phương và điều kiện để bài toán có nghiệm duy  nhất (định lý 2.6-2.7) 2.1 Điều. .. Điều kiện cực trị đầu tiên   Khẳng định đầu tiên của những mệnh đề sau đây là một dạng của quy tắc  Fermat, điều kiện cần cực trị cơ bản, cho bài toán quy hoạch toàn phương.  Khẳng  định thứ hai được gọi là điều kiện đủ cho bài toán quy hoạch toàn phương.   Định lý 2.1. Cho x là vector chấp nhận được của bài toán tối ưu 1   min  f ( x )  xT Dx  cT x : x      , 2   trong đó, D  nn S , c n và. .. giả thiết rằng các ma trận vuông của hàm toàn phương là đối xứng. Tập các  ma trận đối xứng cấp  n  n  được kí hiệu là  nn S   Định nghĩa 1.5. Bài toán  P  được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện nếu hàm f là một hàm toàn phương và  là một tập lồi đa diện Trong  (1.3), nếu  ma  trận  D  là  ma trận không  thì hàm  f   là  một  hàm  afin. Do đó, việc nghiên cứu bài toán tuyến tính là một phần của bài toán toàn ... Phần này, trình bày chi tiết điều kiện cần và đủ cực trị thứ hai của bài toán quy hoạch toàn phương.      Xét bài toán tổng quát  1  min  f  x   xT Dx  cT x : x  2  trong đó, hàm  f  x    là hàm  mục  tiêu,  D  c n và tập hợp     x  n nn S n  , Ax  b, Cx  d  ,       (PT)    ,  A  mn ,  b m ,  d  S ,  : Ax  b, Cx  d   là một tập lồi đa diện.   Định lý 2.4 Điều kiện cần và đủ để điểm x ... Trong phần tiếp theo, để tránh lạm dụng các ký hiệu, chúng ta sẽ viết  tắt các điểm KKT ở bài toán toàn phương chuẩn tắc và bài toán toàn phương tổng quát bằng  S  D, A, c, b   Tương tự như vậy, tập các nghiệm (tương ứng,  tập các nghiệm địa phương)  của bài toán toàn phương chuẩn tắc và bài toán toàn phương tổng quát viết tắt là  Sol  D, A, c, b  , (tương ứng, ( loc  D, A, c, b  ).    Từ định lý 2.3 và hệ quả 2.1 ta có,  Sol  D, A, c, b ...  là nghiệm cực tiểu địa phương;   B, D  là nghiệm cực đại địa phương;   C  là nghiệm cực tiểu toàn cục;  F  là nghiệm cực đại toàn cục.    f  x F     D  E    O  B  13  x                                             Hình 1.5  Rõ  ràng,  x   là  nghiệm  tối  ưu  (tương  ứng,  nghiệm  tối  ưu  địa  phương)   của bài toán  P1   khi và chỉ khi  x  là nghiệm tối ưu (tương ứng, nghiệm tối ưu  địa phương)  của bài toàn tìm giá trị nhỏ nhất sau ... (2.1)  là một tập lồi đa diện i) Nếu x là nghiệm địa phương của bài toán này thì Dx  c, x  x  0 , x   ii) Nếu Dx  c, x  x  0 , x   \  x  , (2.2)  (2.3)  thì x là nghiệm địa phương của (2.1) và hơn nữa, tồn tại   0 và ñ  0 sao cho f ( x)  f ( x )  ñ x  x , x    B  x ,                       (2.4)  Chứng minh.    i)  Cho x   là  nghiệm  địa  phương của  bài toán (2.1). ... hợp  ma  trận  D   không  phải  là  nửa  xác  định  dương  và cũng không phải là nửa xác định âm, ta nói rằng  f ( x)  đó  c  n 1 T x Dx  cT x  trong  2  là một hàm toàn phương không xác định.  Bài toán toàn phương với hàm  mục  tiêu toàn phương không xác định  được gọi là bài toán toàn phương không xác định.  Nhận xét 1.5 Rõ ràng, nếu hàm  f cho bởi (1.3), trong đó ma trận  D  thì ma trận Hessian ... Hình 1.6  Ví dụ 1.9. Cho bài toán min  f  x    x22  2 x2 : x   x1 , x2  , x1  0, x2  0   Ta có,  Sol  f  x    ,   loc  f  x     x  2 : x1  0, x2  0   Có những cách khác nhau để phân loại bài toán quy hoạch toán học:   Lồi với lõm.   Trơn với không trơn.   Tuyến tính với phi tuyến tính.  1.2 Bài toán toàn phương Định nghĩa 1.4 Chúng ta nói rằng, hàm f : phương nếu tồn tại... afin. Do đó, việc nghiên cứu bài toán tuyến tính là một phần của bài toán toàn phương.  Nói chung, bài toán toàn phương là bài toán không lồi.   Rõ  ràng,  nếu  xóa  hằng  số    của  f   trong  công  thức  (1.3)  thì  chúng  không  làm  thay  đổi  các  giả  thiết  của  bài toán min  f ( x) : x     trong  đó   n   là một tập lồi đa diện.    Vì vậy, để đơn giản hóa hàm mục tiêu, chúng ta thay (1.3) bằng công thức  ... 2  Điều kiện cần đủ cực trị cho toán quy hoạch toàn phương Chương này, tập trung làm rõ điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương.  Cụ thể, chúng ta nghiên cứu điều kiện cần và đủ cực ... toàn phương tập lồi đa diện .  Khóa luận tập trung làm rõ một số nội dung liên quan đến bài toán quy hoạch toán học, quy hoạch toàn phương, điều kiện cần và đủ cực trị cho bài   5  toán quy hoạch ... Chương 1 Bài toán quy hoạch toàn phương 4  1.1. Bài toán quy hoạch toán học .4  1.2. Bài toán toàn phương 14 Chương 2  Điều kiện tối  ưu  cần và đủ cực trị cho bài toán