Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch phi tuyến

Để dẫn các điều kiện cần tối ưu người ta thường sử dụng một công cụ hữu hiệu là các định lý tách các tập lồi không tương giao hoặc các định lý luân phiên Theorems of the alternative về s

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

Mục lục

Mục lục ii

1.1 CÁC ĐỊNH LÝ FARKAS THUẦN NHẤT VÀ KHÔNG THUẦN

NHẤT 4

1.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN KHÁC 6

Chương 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI KHÔNG GIẢ THIẾT

2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 9

2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU KHI KHÔNG

GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 19

Chương 3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI GIẢ THIẾT ĐIỀU

Trang 3

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Trang 4

Mở đầu

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho các bài toán quy hoạch toán học

được phát triển từ những giai đoạn sớm nhất của toán học và có nhiều ứng

dụng trong kinh tế, kỹ thuật

Để dẫn các điều kiện cần tối ưu người ta thường sử dụng một công cụ

hữu hiệu là các định lý tách các tập lồi không tương giao hoặc các định

lý luân phiên (Theorems of the alternative) về sự tương thích của một hệ

tuyến tính thuần nhất hoặc không thuần nhất Các định lý luân phiên nổi

tiếng là các định lý của J.Farkas, P Gordan, T S Motzkin, (xem [5])

Trong bài tổng quan [6], G Still và M Streng đã trình bày các điều kiện

cần và đủ tối ưu cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một, cấp hai

và cực tiểu cô lập của các bài toán quy hoạch phi tuyến trơn với các ràng

buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều Giữa

các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối ưu thường có một sự sai khác (a

gap), trong đó các điều kiện đủ mạnh hơn các điều kiện cần Khi giả thiết

các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp hai thì

sẽ không có sự sai khác giữa các điều kiện cần và các điều kiện đủ nữa

Luận văn tập trung trình bày các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực

tiểu địa phương chặt cấp một và cấp hai ở các dạng gốc và đối ngẫu cho

bài toán quy hoạch phi tuyến trơn có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất

Trang 5

đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều khi giả thiết hoặc không giả

thiết các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp hai

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các

tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số định lý luân phiên bao gồm các định lý

Farkas thuần nhất và không thuần nhất, định lý luân phiên ổn định và

định lý luân phiên đặc trưng cho tính bị chặn của tập nhân tử Kuhn

-Tucker Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho cực tiểu địa phương và

các điều kiện đủ cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp

hai dưới dạng gốc và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch toán học trơn có

hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong các không gian hữu

hạn chiều khi không giả thiết điều kiện chính quy Chương 3 trình bày các

điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp

hai dưới dạng gốc và đối ngẫu khi có điều kiện chính quy Kết quả chỉ ra

rằng với các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp

hai sẽ không có sự sai khác giữa các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối

ưu cấp một và cấp hai tương ứng, tức là ta nhận được các điều kiện đặc

trưng cho cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp hai

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS

Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản

luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, Phòng đào tạo

sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các

thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên

Trang 6

trong lớp cao học toán K2 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Trần Phương Hoa

Trang 7

Chương 1

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN

Chương này trình bày một cách vắn tắt các định lý luân phiên sẽ sử

dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu gốc và điều kiện tối ưu đối ngẫu

tương đương Ta bắt đầu với định lý Farkas nổi tiếng ở dạng thuần nhất và

dạng không thuần nhất Định lý Farkas thuần nhất ứng dụng trong chứng

minh các điều kiện tối ưu cấp một và dạng không thuần nhất để chứng

minh các điều kiện tối ưu cấp hai Các kết quả chương một được lấy trong

(i) Tồn tại ξ ∈ Rn thoả mãn

Trang 8

trong đó ξt là chuyển vị của vectơ ξ.

(ii) Tồn tại các số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1 không đồng thời bằng 0, µk2 ≥ 0,

(i) Tồn tại ξ ∈ Rn thoả mãn

Trang 9

Để đề cập điều kiện tối ưu mạnh ta cần một dạng khác của định lý luân

phiên Định lý đó được gọi là định lý luân phiên ổn định

Trang 10

µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2, λk3 ∈ R, k3 ∈ K3

),

Chia hai vế cho µ0, ta được d ∈ D Vì d là tuỳ ý, nên điều này tương

đương với D = Rn, hoặc D là một nón với điều kiện 0 ∈ int D Dạng sau đây của định lý luân phiên thích hợp để đặc trưng cho tính

bị chặn của tập các nhân tử Kuhn - Tucker

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	256,84 KB