Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)

Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)Một thuật toán tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

—————————————————

NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ

MỘT THUẬT TOÁN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU

CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC

—————————————————

NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ

MỘT THUẬT TOÁN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU

CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi cóthể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu khoa học

-Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quátrình học tập

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2017

Người viết luận văn

Nguyễn Thị Hải Như

Mục lục

1.1 Đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính 5

1.2 Bài toán quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính 8

1.2.1 Hàm lõm và tính chất 8

1.2.2 Bài toán quy hoạch lõm 10

1.3 Bài toán quy hoạch song tuyến tính 11

1.3.1 Phát biểu bài toán 12

1.3.2 Quan hệ với bài toán quy hoạch lõm 13

1.3.3 Tính chất nghiệm của bài toán song tuyến tính 15

1.4 Tìm nghiệm cực tiểu địa phương 16

2 Thuật toán giải quy hoạch song tuyến tính 19

2.1 Cơ sở lý thuyết của thuật toán 19

2.1.1 Biến đổi bài toán quy hoạch song tuyến tính 19

2.1.2 Điều kiện tối ưu của thuật toán 23

2.2 Mô tả thuật toán 25

2.2.1 Các bước của thuật toán 25

2.2.2 Suy biến 28

2.2.3 Sự hội tụ 31

2.3 Cách tiếp cận siêu phẳng cắt 34

2.4 Ví dụ minh họa thuật toán 36

Một số ký hiệu viết tắt

Rn Không gian Euclid n chiều

Rm×n Tập các ma trận thực cấp (m × n)

x ∈ C x thuộc tâp C (x là một phần tử của tập C)

∅ Tập rỗng (Tập không chứa phần tử nào)

C ∪ D Hợp của tập C và tập D

C ∩ D Giao của tập C và tập D

C ⊂ D C là tập con của tập D

C ⊆ D C là tập con (có thể bằng) của tập D

xTy Tích vô hướng cuả x và y

x0, x1, x2, , xn Các tọa độ của điểm hay thành phần của véctơ x( cùng chỉ số dưới )

x1, x2, x3 Liệt kê các véctơ có cùng số chiều (cùng chỉ số trên)

AT Ma trận chuyển vị của ma trận A

A−1 Ma trận nghịch đảo của ma trận A

Mở đầu

Hàm f (x, y)được gọi là một hàm song tuyến tính (bilinear function) nếu

nó là hàm tuyến tính khi cố định véctơ biến x hay véctơ biến y ở một giá trị

cụ thể Tổng quát, hàm song tuyến tính có dạng:

f (x, y) = aTx + xTQy + bTy,

trong đó a, x ∈ Rn, b, y ∈ Rm và Q là ma trận cấp n × m Có thể thấy hàmsong tuyến tính là một trường hợp riêng của hàm toàn phương và hàm songtuyến tính nói chung không lồi, cũng như không lõm

Bài toán cực tiểu một hàm song tuyến tính với các ràng buộc tuyến tínhđối với các biến xvà biến y được gọi là một quy hoạch song tuyến tính (bilinearprogramming problem) Như vậy, có thể xem quy hoạch song tuyến tính là mộtbài toán quy hoạch toàn phương đặc biệt

Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng đa dạng trong các bài toántrò chơi ma trận có ràng buộc, bài toán bù tuyến tính và bài toán phân việc3-chiều Đáng chú ý là bài toán quy hoạch lõm, tuyến tính từng khúc và cácbài toán luồng trên mạng với phụ phí cố định (rất quen thuộc trong quản lýcác chuỗi cung ứng) cũng có thể giải nhờ dùng cách diễn đạt song tuyến tính(xem [4])

Luận văn xét bài toán quy hoạch song tuyến tính, ký hiệu là (BP):

min

x∈X, y∈Y f (x, y) = aTx + xTQy + bTy, (BP )

trong đó X, Y là các tập lồi đa diện, khác rỗng

Có nhiều thuật toán khác nhau để giải (BP) Luận văn tìm hiểu và trìnhbày một thuật toán cơ bản, nêu ở tài liệu [3] để giải bài toán

Để hiểu rõ bài toán quy hoạch song tuyến tính và thuật toán sẽ trình bày,luận văn nhắc lại một số kiến thức tối ưu có liên quan: đối ngẫu trong quyhoạch tuyến tính, bài toán quy hoạch lõm và tính chất, bài toán tối ưu toàncục, Các kiến thức cơ bản về quy hoạch song tuyến sẽ được nêu ở chương 1của luận văn

Nội dung chính của luận văn là thuật toán [3] giải quy hoạch song tuyếntính: các bước thuật toán, sự hội tụ của thuật toán và ví dụ minh họa thuậttoán Các nội dung này sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2 của luận văn.Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [6] hiện

có và gồm hai chương:

Chương 1: Bài toán quy hoạch song tuyến tính nhắc lại các kiến thức

về đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính, bài toán quy hoạch lõm với ràng buộctuyến tính, khái niệm hàm lõm (hàm tựa lõm) và tính chất cơ bản của hàmlõm Tiếp đó, giới thiệu bài toán quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệmcủa bài toán và mối liên hệ với bài toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính từngkhúc Cuối chương giới thiệu "thuật toán xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địaphương của bài toán quy hoạch song tuyến tính và đưa ra ví dụ minh họa thuật

Chương 2: Thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến tínhtrình bày thuật toán được nêu ở tài liệu tham khảo [3] để giải bài toán quyhoạch song tuyến tính Thuật toán này biến đổi bài toán ban đầu về bài toántối ưu trên một tập không lồi và giải bài toán đó, dựa trên điều kiện tối ưu cần

và đủ đưa ra và chứng minh sự hội tụ về nghiệm đúng của bài toán quy hoạchsong tuyến tính ban đầu Thuật toán trình bày được minh họa bằng ví dụ số

cụ thể

Chương 1

Bài toán quy hoạch song tuyến tính

Chương này nhắc lại các kết quả về đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính,bài toán quy hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Tiếp đó đề cập tới bài toán quyhoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm bài toán và mối liên hệ với bài toáncực tiểu hàm lõm, tuyến tính từng khúc Cuối chương nêu thuật toán tìm cựctiểu địa phương của bài toán Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu

từ các tài liệu [5] - [6]

A Trong quy hoạch tuyến tính người ta hay xét hai dạng bài toán sau đây

• Dạng chuẩn tắc:

minf (x) = cTx : Ax > b, x > 0 ,

Trong đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rn, x > 0 có nghĩa x ∈ Rn+ Trong bài toán này tậpràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax > b, x > 0} là một tập lồi đa diện

• Dạng chính tắc:

minf (x) = cTx : Ax = b, x > 0 ,

trong đó A, b, c và x được xác định như ở trên Trong bài toán này tập ràngbuộc D = {x ∈ Rn :Ax = b, x > 0} cũng là một tập lồi đa diện Có thể dễdàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng chính tắc và ngược lại

Trong các bài toán trên f(x) được gọi là hàm mục tiêu Mỗi bất phươngtrình (Ax)i > bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi là một ràng buộc chính,

xj ≥ 0, j = 1, , n, gọi là các ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu.Véctơ (điểm) x ∈ D gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án.Một phương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối

ưu hay một nghiệm tối ưu của bài toán Mỗi bài toán quy hoạch tuyến tính đãcho, gọi là bài toán gốc, luôn đi kèm với một bài toán quy hoạch tuyến tínhthứ hai, gọi là bài toán đối ngẫu Hai bài toán này quan hệ mật thiết với nhau

và từ nghiệm tối ưu của bài toán này có thể suy ra nghiệm tối ưu bài toán kia

và ngược lại

B Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp

• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (bài toán gốc)

C Các kết quả sau đúng cho cặp bài toán đối ngẫu (P), (Q) dạng bất kỳ.Định lý 1.1.1 (Đối ngẫu yếu) Nếu x là một lời giải chấp nhận được của bàitoán gốc (P) và y là một lời giải chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q) thì

f (x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn > g (y) = b1y1+ b2y2 + +

bmym, nghĩa là giá trị mục tiêu của một phương án gốc bất kỳ (bài toán min)không nhỏ hơn giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kỳ (bài toánmax)

Định lý 1.1.2 (Đối ngẫu mạnh) Nếu một qui hoạch có nghiệm tối ưu thì quihoạch đối ngẫu của nó cũng có nghiệm tối ưu và hai giá trị tối ưu bằng nhau.Các định lý trên suy ra các quan hệ sau giữa hai bài toán gốc và đối ngẫuĐịnh lý 1.1.3 (Định lý đối ngẫu cơ bản) Đối với một cặp bài toán qui hoạchtuyến tính đối ngẫu nhau chỉ có một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây:(a) Cả hai bài toán đều không có nghiệm chấp nhận được

(b) Cả hai bài toán đều có nghiệm chấp nhận được Khi đó, cả hai đều cónghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu bằng nhau

(c) Một bài toán có nghiệm chấp nhận được và bài toán kia không có nghiệm

chấp nhận được Khi đó, bài toán có nghiệm chấp nhận được sẽ có giá trị tối

ưu vô cực ( +∞ hay −∞ tùy theo bài toán max hay min)

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu nhau còn thẻ hiện ở định lý sau đây.Định lý 1.1.4 (Định lý độ lệch bù) Một cặp nghiệm chấp nhận được x, y củahai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau (P) và (Q) là cặp nghiệm tối ưu khi vàchỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:

f (λx + (1 − λ) y) > min {f (x) , f (y)} ∀x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ [0, 1]

Bất đẳng thức trên có nghĩa là giá trị của hàm f tại một điểm bất kỳ trên đoạnthẳng [x, y] không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của hàm tại hai đầu mút của đoạn

thẳng đó.

Từ các định nghĩa trên cho thấy một hàm lõm là hàm tựa lõm, nhưng điềungược lại không chắc đúng Ví dụ, f(x) = x3(x ∈ R) là hàm tựa lõm, nhưnghàm này không là hàm lõm trên R Như vậy lớp hàm tựa lõm rộng hơn lớphàm lõm

Khác với hàm lồi, điểm cực tiểu địa phương của hàm lõm trên (trên mộttập lồi) không nhất thiết là điểm cực tiểu toàn cục Nói chung, thông tin địaphương không đủ để xác định điểm cực tiểu toàn cục của một hàm lõm

Định lý 1.2.3 Với mọi hàm lõm f: Rn → R ta có các kết luận sau:

a) Cực tiểu của f trên một đoạn thẳng đạt tại một đầu mút của đoạn đó.b) Nếu f hữu hạn và bị chặn dưới trên một nửa đường thẳng thì cực tiểu của

f trên nửa đường thẳng này đạt tại điểm gốc của nó

c) Nếu f hữu hạn và bị chặn dưới trên một tập afin thì f bằng hằng số trêntập afin đó

Định lý 1.2.4 Giả sử C ⊂ Rn là một tập lồi và f: C ⊂ Rnlà hàm lõm Nếuf(x) đạt cực tiểu trên C tại điểm trong tương đối x∗ của C ( x∗ ∈ ri C ) thìf(x) bằng hằng số trên C Tập Argminx∈Cf (x) là hợp của một số diện của C.trong đó V(C) là tập các điểm cực biên của C, nghĩa là nếu cực tiểu của f(x)đạt được trên C thì cực tiểu cũng đạt được trên V(C)

Định lý 1.2.5 Giả sử C là tập lồi, đóng và f: C → R là hàm lõm Nếu C

không chứa đường thẳng nào và f(x) bị chặn dưới trên mọi nửa đường thẳngtrong C thì

Hệ quả 1.2.7 Hàm lõm f(x) trên tập lồi compac C đạt cực tiểu tại một điểmcực biên của C.

Nhận xét 1 Thực ra, tính chất nêu trong Hệ quả 1.2.7 cũng đúng cho lớphàm rộng hơn Cụ thể là các hàm tựa lõm, nghĩa là các hàm f : Rn → [−∞, +∞]

sao cho các tập mức trên Lβ = {x ∈ Rn : f (x) > β} là lồi với mọi β ∈ R.

Cũng có thể chứng minh được rằng cận dưới của một họ hàm tựa lõm là hàmtựa lõm, nhưng tổng của hai hàm tựa lõm không chắc là hàm tựa lõm

Nhận xét 2 Do hàm lồi là đối của hàm lõm nên các kết luận trên đây(phát biểu cho hàm lõm) cũng đúng cho hàm lồi chỉ cần thay cực tiểu bởi cựcđại và bị chặn dưới bằng bị chặn trên

1.2.2 Bài toán quy hoạch lõm

(Cực tiểu hàm lõm hay cực đại hàm lồi)

Xét bài toán tối ưu có dạng:

(CP) min {f (x) : x ∈ C},

trong đó f(x) là hàm lõm (hay tựa lõm), C là tập lồi đóng, chẳng hạn

C = {x : g(x)6 0} với g(x) là một hàm lồi Đặc biệt quan trọng là trường hợp

C là tập lồi đa diện Khi đó bài toán được gọi là một quy hoạch lõm với ràngbuộc tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính và quy hoạch lồi thuộc lớp bài toán một cực trị ( hàmmục tiêu của bài toán có nhiều nhất một giá trị cực tiểu ) Một bài toán sở dĩ

có nhiều giá trị cực tiểu khác nhau là do nó không lồi Nói chung, một bài toáncàng có nhiều yếu tố không lồi thì càng khó Bài toán quy hoạch lõm thuộc lớpbài toán như thế

Quy hoạch lõm vừa nêu trên là bài toán cơ bản của tối ưu toàn cục, vì tínhphổ biến của nó và vì nhiều bài toán tối ưu toàn cục quy được về nó hoặc dựa

ít nhiều trên phép giải của nó Mục tiếp sau sẽ chỉ ra rằng bài toán quy hoạchsong tuyến tính có thể phát biểu như một bài toán quy hoạch lõm với hàm mụctiêu lõm, tuyến tính từng khúc và với các ràng buộc tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1 Hàm f(x, y) được gọi là một hàm song tuyến tính ( bilinearfuncyion ) nếu nó là hàm tuyến tính khi cố định véctơ x hay véctơ y ở một giátrị cụ thể Tổng quát, hàm song tuyến tính có dạng:

f (x, y) = aTx + xTQy + bTy,

trong đó a, x ∈Rn, b, y ∈ Rm và Q là ma trận cấp n × m

Dễ dàng thấy rằng các hàm song tuyến tính tạo nên một lớp con các hàmtoàn phương

1.3.1 Phát biểu bài toán

Ta gọi bài toán tối ưu với hàm mục tiêu song tuyến tính và các hàm ràngbuộc song tuyến tính là bài toán song tuyến tính (bilinear problem) và các bàitoán này có thể xem như một lớp con của quy hoạch toàn phương (quadraticprogramming)

Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng đa dạng trong các trò chơi

ma trận có ràng buộc, bài toán bù và bài toán phân việc 3 - chiều, Markovian.Nhiều bài toán nguyên 0 - 1 có thể phát biểu như các bài toán song tuyến tính.Bài toán quy hoạch lõm tuyến tính từng khúc và bài toán luồng trên mạng vớiphụ phí cố định, rất quen thuộc trong quản lý các chuỗi cung ứng, cũng có thểgiải bằng cách dùng cách diễn đạt song tuyến tính

Tuy có nhiều dạng bài toán quy hoạch song tuyến tính, song phần lớn cácbài toán thực tiễn gồm hàm mục tiêu song tuyến tính và với các ràng buộctuyến tính và các kết quả lý thuyết được đưa ra trong trường hợp này Trongluận văn chúng tôi xét bài toán song tuyến tính sau đây, ký hiệu bài toán làBP:

min

x∈X, y∈Y f (x, y) = aTx + xTQy + bTy, (BP )

trong đó X, Y là các tập lồi đa diện, khác rỗng Bài toán BP còn được biếtvới tên gọi bài toán song tuyến tính với miền ràng buộc rời nhau , bởi vì tínhchấp nhận của x(y) độc lập với việc chọn véctơ y(x)

1.3.2 Quan hệ với bài toán quy hoạch lõm

Dưới đây ta sẽ đề cập tới một số kết quả lý thuyết về sự tương đương giữabài toán song tuyến tính và bài toán cực tiểu lõm

ChoV (x)vàV (y)lần lượt là tập đỉnh củaX vàY, vàg(x)=miny∈Y f (x, y)

= aTx + miny∈Y xTQy + bTy Trong đó miny∈Y f (x, y) là bài toán tuyếntính Bởi vì nghiệm của bài toán tuyến tính đạt tại đỉnh của miền chấp nhậnđược nên:

g(x) = miny∈Y f (x, y) = miny∈V (Y )f (x, y) Sử dụng kýhiệu này, bài toán BP có thể phát biểu lại thành:

Ngược lại, có thể chỉ ra rằng bất kì bài toán cực tiểu hàm mục tiêu lõm,tách biến và tuyến tính từng khúc có thể quy được về bài toán quy hoạch songtuyến tính Để thiết lập mối quan hệ này, ta xét bài toán tối ưu dưới đây:

i Cho Ki = {1, 2, , ni} Hàm có thể viết lại như sau:

Hơn nữa, ta có thể chỉ ra rằng có thể đưa bất kì bài toán cực tiểu hàm lõmtoàn phương về bài toán quy hoạch song tuyến tính Nói riêng, xét bài toán tối

ưu sau đây :

min

x∈X Φ(x) = 2aTx + xTQx (5)Trong đó Q là một ma trận bán đối xứng, nửa xác định âm Ta xây dựng bàitoán quy hoạch song tuyến tính như sau:

min

x∈X,y∈Y f (x, y) = aTx + aTx + xTQy (6)Trong đó Y = X

Định lý 1.3.3 Nếu x∗ là một nghiệm của bài toán (5) thì (x∗, x∗) là mộtnghiệm của bài toán (6) Nếu (bx,y)b là một nghiệm của bài toán (6) thì xb và yb

là các nghiệm của bài toán (5)

1.3.3 Tính chất nghiệm của bài toán song tuyến tính

Mục trước cho thấy rằng BP tương đương với bài toán cực tiểu hàm lõmtuyến tính từng khúc Mặt khác, ta lại biết rằng cực tiểu của hàm lõm trênmột tập lồi đa diện luôn đạt tại một đỉnh Định lý sau đây được suy ra từ nhậnxét này:

Định lý 1.3.4 Nếu X và Y bị chặn thì tồn tại một nghiệm tối ưu của BP là

(x∗, y∗) với mỗi x∗ ∈ V (X) và y∗ ∈ V (Y )

Giả sử (x∗, y∗) là một nghiệm của (BP) Khi cố định x = x∗, Bài toán BPtrở thành bài toán tuyến tính và y∗ là một nghiệm của bài toán nhận được Từtính đối xứng của bài toán, kết quả tương tự cũng đúng khi cố định y = y∗.Định lý sau đây là một điều kiện cần của tối ưu

Định lý 1.3.5 Nếu (x∗, y∗) là một nghiệm của bài toán BP, thì

minx∈X f (x, y∗) = f (x∗, y∗) = minx∈X f (x∗, y) (7)Tuy nhiên, (7) không phải là một điều kiện đầy đủ Trong thực tế nó đảmbảo tối ưu địa phương của (x∗, y∗) theo một yêu cầu bổ sung Cụ thể y∗ là mộtnghiệm tối ưu nhất của bài toán minx∈X f (x, y∗) Từ đó suy ra rằng f (x∗, y∗)

< f (x∗, y), ∀y ∈ V (y), y 6= y∗ Do hàm f(x, y) liên tục nên với mọi ∀y ∈

V (y), y 6= y∗, f (x∗, y∗) < f (x, y) trong lân cận Uy đủ nhỏ của điểm x∗ Đặt:

U = ∩

y∈V (y),y6=y ∗Uy∗

Khi đó f (x∗, y∗) < f (x, y), ∀x ∈ U, ∀y ∈ V (Y ), y 6= y∗ Cuối cùng để chú

ý rằng Y là một đa diện lồi và mỗi điểm của Y có thể biểu diễn dưới dạng một

tổ hợp lồi của các đỉnh của Y Từ đó suy ra rằng f (x∗, y∗) < f (x, y), ∀x ∈ U,

∀y ∈ Y, điều này chứng tỏ cho định lý sau

Định lý 1.3.6 Nếu (x∗, y∗) thỏa mãn điều kiện (7) và y∗ là nghiệm duy nhấtcủa bài toán miny∈Y f (x∗, y∗) thì (x∗, y∗) là nghiệm tối ưu địa phương của BP.Nhớ rằng BP tương đương với bài toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính từngkhúc Với các giả thiết của định lý 5 có thể chỉ ra rằng x∗ cũng là cực tiểu địaphương của hàm g(x)

Mục này đề cập tới phương pháp tìm một nghiệm của bài toán song tuyếntính Do BP tương đương với bài toán cực tiểu hàm lõm tuyến tính từng khúc,nên có thể dùng bất kỳ thuật toán giải bài toán sau để giải bài toán trước Nóiriêng, ta có thể dùng thuật toán siêu phẳng cắt đã đề xuất cho hai bài toán

đó Tuy nhiên, cấu trúc đối xứng của bài toán BP cho phép xây dựng các látcắt hiệu quả hơn Trong [4] Kono H bàn về thuật toán hội tụ tới nghiệm thỏamãn điều kiện (7) và sau đó đề ra thuật toán siêu phẳng cắt tìm nghiệm tối ưutoàn cục của bài toán Giả sử X và Y bị chặn Thuật toán 1, còn gọi là "thủtục xuống núi", xuất phát từ véctơ ban đầu y0 và liên tiếp giải hai bài toántuyến tính LP.Bài toán LP thứ nhất nhận được bằng cách cố định véctơ y ở

giá trị ym−1 Lời giải của bài toán này được dùng để cố định giá trị của véctơ

x và xây dựng bài toán LP thứ hai Nếu f (xm, ym−1) 6= f (xm, ym) thì tiếp tụcgiải các bài toán bằng cách cố định véctơ y ở giá trị ym Nếu tiêu chuẩn dừngđược thỏa mãn thì có thể chỉ ra rằng véctơ (xm, ym) thỏa mãn điều kiện (7).Thêm vào đó, nhận xét rằng V(X) và V(Y) là hữu hạn Từ đó và từ sự kiện là

f (xm, ym−1) ≥ f (xm, ym) suy ra rằng thuật toán hội tụ sau hữu hạn lần lặp

Thuật toán 1 Thủ tục xuống núi

Bước 1: Giả sử y0 ∈ Y là một nghiệm chấp nhận được ban đầu và m ←1Bước 2: Giả sửxm = arg minx∈X f (x, ym−1) vàym = arg miny∈Y {f (xm, y)}

Bước 3: Nếu f (xm, ym−1) = f (xm, ym) thì dừng Trái lại, m ← m + 1 vàquay lại Bước 1

Giả sử (x∗, y∗) là nghiệm nhận được theo thuật toán 1 Với giả thiết rằngđỉnh x∗ không suy biến, ta ký hiệu D là tập các hướng dj dọc theo cạnh của

X đi từ điểm x∗ Nhớ rằng g(x) = min y ∈ Y f (x, y) là một hàm lõm Để xâydựng lát cắt đúng cho mỗi hướng dj ta tìm giá trị lớn nhất của θj sao cho

x∈X,y∈Y f (x, y)

và chạy Thuật toán 1 để tìm một nghiệm tốt hơn Tuy nhiên, do cấu trúc đốixứng của bài toán nên có thể áp dụng một thủ tục tương tự để xây dựng mộtlát cắt đối với tập Y Ký hiệu ∆1y là nửa không gian tương ứng vàY1 = Y ∩ ∆1y.Bằng cách đổi mới cả hai tập, nghĩa là xét bài toán tối ưu

min

x∈X,y∈Y f (x, y)

thuật toán siêu phẳng cắt (xem Thuật toán 2) có thể cho phép tìm nghiệmtoàn cục của bài toán với số lần lặp ít hơn

Thuật toán 2 Thuật toán siêu phẳng cắt

Bước 1: Áp dụng Thuật toán 1 tìm véctơ (x∗, y∗) thỏa mãn hệ thức (7).Bước 2: : Dựa vào nghiệm (x∗, y∗) tính các lát cắt thích hợp và xây dựngcác tập X1 và Y1

Bước 3: Nếu X1 6= ∅ hoặc Y1 6= ∅ thì (x∗, y∗) là một nghiệm ε - tối ưutoàn cục Trái lại, X ← X1 và Y ← Y1 và quay lại Bước 1

Kết luận chương 1

Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản liên quan tới bài toán quy hoạch songtuyến tính, như quan hệ đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính, bài toán cựctiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính, bài toán quy hoạch song tuyến tính,tính chất nghiệm của bài toán và thuật toán tìm nghiệm cực tiểu địa phươngcủa bài toán quy hoạch song tuyến tính

về bài toán tối ưu trên một tập không lồi và đề xuất thuật toán giải bài toán

đó, dựa trên tiêu chuẩn tối ưu đưa ra và chứng minh sự hội tụ về nghiệm đúngcủa bài toán song tuyến tính ban đầu Thuật toán trình bày được minh họabằng ví dụ số cụ thể Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tàiliệu [3] và [6]

2.1.1 Biến đổi bài toán quy hoạch song tuyến tính

Ta xét bài toán quy hoạch song tuyến tính: tìm véctơ n - chiều x và véctơ

n0 - chiều y sao cho:

Bài toán (2.1) có thể viết lại thành:

cTx + maxn(d + Qx)T y : BTy ≤ b, y ≥ 0o → max

Ax ≤ a, x ≥ 0

Từ lý thuyết đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính trực tiếp suy ra rằng (2.1)

tương đương với bài toán tìm véctơ n chiều x và véctơ m0 chiều u sao cho:

Sau đây thay cho bài toán (2.1), ta giải trực tiếp bài toán (2.2) Trước hết

ta xét một số tính chất hình học của nghiệm bài toán (2.2) và nêu điều kiện tối

ưu cần và đủ Sau đó, ở mục 2.2 sẽ trình bày thuật toán tìm nghiệm tối ưu củabài toán (2.2) và xét sự hội tụ của thuật toán Mục 2.3 trình bày biến thể siêuphẳng cắt của thuật toán Ở mục 2.3 đưa ra ví dụ số minh họa thuật toán Ta