Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)

Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)Bài toán phân hoạch số nguyên dương (LV thạc sĩ)

ĐINH THỊ THU HUẾ

BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH

SỐ NGUYÊN DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐINH THỊ THU HUẾ

BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH

SỐ NGUYÊN DƯƠNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1 Một số kết quả kinh điển về bài toán phân hoạch số nguyên

1.1 Lịch sử phát triển của bài toán phân hoạch số nguyên dương 3

1.2 Một số kết quả kinh điển 11

1.2.1 Công thức gần đúng cho p(n) 11

1.2.2 Hàm sinh của hàm phân hoạch 13

1.2.3 Đồng nhất thức Rogers–Ramanujan 18

1.2.4 Tính chất đồng dư của p(n) 22

1.2.5 Biểu diễn đồ thị của các phân hoạch và chứng minh Định lí số ngũ giác của Euler 27

2 Một số lớp bài toán phân hoạch số nguyên khác nhau và các bài toán liên quan 31 2.1 Phân hoạch thành những phần phân biệt và ánh xạ đối hợp của Franklin 31

2.2 Phân hoạch thành những phần lẻ và song ánh Sylvester 34

2.3 Một số bài toán liên quan 35

2.3.1 Một số bài toán chứng minh 35

2.3.2 Bài toán chia kẹo của Euler 39

Danh mục các hình vẽ

Hình 2.1: 33

Hình 2.2: 33

Hình 2.3: 35

Hình 2.4: 36

MỞ ĐẦU

Bài toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng các số nguyên dương đã

có lịch sử lâu đời Leibniz là người đầu tiên nghiên cứu bài toán này, sau

đó Euler, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Andrews là các nhà toán học cónhững đóng góp quan trọng Bài toán nói trên xuất hiện trong nhiều vấn

đề khác nhau của toán học và là đề tài nghiên cứu sôi nổi cho đến tậnngày hôm nay (Các công trình của Okounkov, Giải thưởng Fields 2006, cóliên quan đến việc ứng dụng bài toán trên trong xác suất, hình học đại số,

cơ học thống kê, ) Dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Hà HuyKhoái, tác giả chọn đề tài:"Bài toán phân hoạch số nguyên dương"

Luận văn có mục tiêu giới thiệu bài toán biểu diễn số nguyên dương dướidạng tổng, từ lịch sử phát triển và những kết quả kinh điển, đến một sốkết quả gần đây Luận văn cũng trình bày một số bài toán liên quan đếnbài toán nói trên

Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành nghiên cứu hai chương:

Chương 1 Một số kết quả kinh điển về bài toán phân hoạch số nguyêndương

1.1 Lịch sử phát triển của bài toán phân hoạch số nguyên dương

1.2 Một số kết quả kinh điển

Chương 2 Một số lớp bài toán phân hoạch số nguyên khác nhau vàmột số bài toán liên quan

2.1 Phân hoạch thành những phần phân biệt và ánh xạ đối hợp củaFranklin

2.2 Phân hoạch thành những phần lẻ và song ánh Sylvester

2.3 Một số bài toán liên quan

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình củaGS.TSKH Hà Huy Khoái, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọngsâu sắc đối với Giáo sư Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Bangiám hiệu, Phòng sau đại học và Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học

- Đạị học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Xin chân thành cảm ơn

sự giúp đỡ của bạn bè, người thân trong thời gian qua

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chếnên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giả rấtmong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Đinh Thị Thu Huế

Chương 1

Một số kết quả kinh điển về bài

toán phân hoạch số nguyên dương

Mục đích của chương này là trình bày lịch sử phát triển và một số kếtquả kinh điển về bài toán phân hoạch số nguyên dương Tài liệu thamkhảo chính của Chương là [3], [4]

1.1 Lịch sử phát triển của bài toán phân hoạch số nguyên

dương

Phân hoạch lần đầu tiên xuất hiện trong bức thư tay của Leibnitz viếtvào năm 1669 gửi cho John Bernoulli, ông hỏi Bernoulli liệu có kiểm tranhanh được số cách viết một số nguyên dương đã cho thành tổng của haihay nhiều số nguyên? Từ đây lý thuyết phân hoạch được hình thành và

là một nhánh quan trọng của lý thuyết số Khái niệm phân hoạch các sốnguyên không âm cũng thuộc về toán học tổ hợp (xem [4])

Định nghĩa 1.1 (xem [4]) Một phép phân hoạch của số nguyên dươngnlàmột dãy không tăng hữu hạn của các số nguyên dươngλ1 > λ2 > > λrsao cho Pri=1λi = n, λi được gọi là các phần hoặc các số hạng của phânhoạch Đôi khi phân hoạch (λ1, λ2, , λr) được kí hiệu bởi λ và ta viết là

λ ` n hoặc | λ |= n

Định nghĩa 1.2 (xem [4]) Hàm phân hoạch p(n) là số các phân hoạchcủa n.

Khi xét phép phân hoạch của n có một số chú ý sau (xem [4]):

Chú ý 1.1 Chúng ta thấy 0 có một phân hoạch, phân hoạch rỗng, nókhông có phần tử nào Ta quy ước p(0) = 1

Chú ý 1.2 Thường viết tắt phần lặp bằng cách sử dụng lũy thừa

Chú ý 1.3 Theo định nghĩa phân hoạch thứ tự không quan trọng 4+3

và 3+4 đều là một phân hoạch của 7 Một tập hợp có thứ tự được gọi làmột phép hợp thành Do đó, 4+3 và 3+4 là hai phép hợp thành khác nhaucủa 7

Ví dụ 1.1 Có năm phân hoạch của số 4 là 4, 31, 22, 212, 14 Có bảy phânhoạch của số 5 là 5, 41, 32, 312, 221, 213, 15

Leibnitz quan sát có 3 phân hoạch của 3 (3, 21, 13), 5 phân hoạch của 4.Sau đó ông cũng quan sát được có 7 phân hoạch của 5 và 11 phân hoạchcủa 6 Điều này gợi ý, số phân hoạch của n bất kỳ luôn là một số nguyên

tố Tuy nhiên, điều này không đúng khi tính toán được 15 phân hoạch của

7 Như vậy ngay từ những bước khởi đầu, bài toán phân hoạch đã dẫn đếncâu hỏi mở mà đến tận ngày hôm nay vẫn chưa có lời giải: tồn tại vô hạnhay hữu hạn nsao cho số phân hoạch nlà một số nguyên tố? Bên cạnh đó

là những câu hỏi về p(n) như: cấp tăng của nó như thế nào? Tính chẵn lẻcủa nó? Liệu nó có những tính chất số học đặc biệt nào? Có cách nào đểtính p(n) hiệu quả không?(xem [3])

Từ đây thiết lập những chủ đề khác nhau và lý thuyết phân hoạch đượcphát triển xa hơn bởi nhiều nhà Toán học vĩ đại, nổi bật trong số họ làEuler, Gauss, Jacobi, Cayley, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Rademacher,Schur, Mac Mahon, Gupta, Gordon, Andrews, Stanley Công việc nghiêncứu của Ramanujan cùng Hardy thực sự cách mạng hóa việc nghiên cứu vềthuyết phân hoạch Bởi những ứng dụng vĩ đại của nó trong các lĩnh vựckhác nhau như xác suất thống kê, vật lý cơ học lý thuyết phân hoạchtrở thành lĩnh vực nghiên cứu sôi nổi của lý thuyết số

Có thể thấy p(n) tăng rất nhanh theo n Thậm chí, nếu một người nào

đó có thể tập trung làm việc một cách hoàn hảo thì cũng phải mất 126000năm để viết tất cả 3972999029388 phân hoạch của 200 Ramanujan đã tựhỏi mình một câu hỏi cơ bản: Chúng ta có thể tìm p(n) mà không cầnviết tất cả các phân hoạch của n không?” Câu hỏi này đã được Hardy vàRamanujan trả lời vào năm 1918 Họ đã đưa ra công thức gần đúng chop(n) Tuy tiên D.H.Lehmer nhận thấy chuỗi Hardy – Ramanujan phân kỳ.Năm 1937, H Rademacher thay thế điều kiện để nhận được p(n) là chuỗihội tụ Hardy – Ramanujan – Rademacher lập ra công thức mở rộng chop(n) nổi tiếng, đó là kết quả đáng ghi nhận nhất trong toán học Nó chothấy sự tương tác giữa một hàm số họcp(n) và một số kỹ thuật tính toán

Nó không chỉ là công thức lý thuyết cho p(n) mà còn là công thức chophép tính tương đối nhanh (xem [4]– Tr 6)

Một số giá trị của p(n)

p(n) : 1 2 3 5 7 11 30 627 204226 190569292 3972999029388Nhiều khi chúng ta chỉ cần quan tâm đến những bài toán không nhấtthiết phải xét đến tất cả các phân hoạch của nmà chỉ các phân hoạch đặcbiệt nào đó của n

Ví dụ 1.2 Trong số 22 phân hoạch của số 8, chỉ có sáu phân hoạch chứacác phần là số lẻ 71, 53, 513, 3212, 315, 18 và cũng có 6 phân hoạch trong

đó các phần tử phân biệt 8, 71, 62, 53, 521, 431

Về vấn đề này đã được Euler bắt đầu nghiên cứu vào năm 1674 Ph.Naudéhỏi Euler về phân hoạch một số nguyên dươngn thành m phần nhất định.Đặc biệt, Naudé đã hỏi ông có bao nhiêu phân hoạch của 50 thành 7 phầnriêng biệt Câu trả lời đúng là 522, điều này khó có khả năng thu đượcbằng cách viết ra tất cả các phân hoạch của 50 thành 7 phần Để giảiquyết vấn đề này Euler đã khám phá và giới thiệu hàm sinh của hàm phânhoạch, các đồng nhất thức, định lí số ngũ giác, đó là sự đổi mới quan trọngnhất trong toàn bộ nghiên cứu về phân hoạch Hầu hết mọi phát hiện vềphân hoạch đều nhờ vào sự bắt đầu của Euler (xem [3])

Từ cuối thế kỉ XVIII cho tới nửa đầu thế kỉ XIX không xuất hiện nhiềubước tiến đáng ghi nhận trong nghiên cứu về phân hoạch Tất nhiên điềutương tự không xảy ra với toán học nói chung Đã có sự xuất hiện nhữngnghiên cứu về lý thuyết biến phức và lý thuyết của hàm eliptic và chúng

đã mang lại ảnh hưởng sâu sắc tới nghiên cứu về phân hoạch Legendre,Gausse, Cauchy và những nhà toán học vĩ đại khác đã tìm ra được lời giảithích cho công trình của Euler

Trong một thế kỷ từ năm 1750 – 1850, trọng tâm chính của việc nghiêncứu là đưa ra công thức tường minh cho pm(n), số phân hoạch n thànhcác phần không lớn hơn m P Paoli, A Dc Morgan, F.W Herschsl, T.Kirkmar và H Warburton, Cayley, Sylvester đã nghiên cứu pm(n) vớinhững giá trị nhỏ xác định của m và họ đưa ra được một số công thứcnhất định Tuy nhiên, Sylvester mới là nhà toán học tiếp theo đưa ra đượccái nhìn thực sự mới cho vấn đề này(xem [3]– Tr 5) Sau khi xem xét mộtvài cách mà phân hoạch thực sự có thể được đưa ra dưới dạng hình học,ông khẳng định rằng phân hoạch 5 + 5 + 4 + 3 + 3 có thể được biểu diễnthuận tiện hơn nhiều dưới dạng:

Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Phân hoạch n là tự liên hợp nếu liên hợp của

nó trùng với chính nó

Ví dụ 1.3 Phân hoạch 7+6+4+4+2+2+1 của 26

là một học trò của Sylvester tại trường đại học John Hopkins và chứngminh của Franklin đã lột tả được sức mạnh trong ý tưởng của Sylvester.Hans Rademacher cho rằng nghiên cứu của Franklin là những thành tựu

có ý nghĩa đầu tiên của toán học Mỹ Nó có thể được xem như là điểmkhởi đầu của một loạt những nghiên cứu sâu sắc về phân hoạch

Phân hoạch được nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau MacMahon

đã nghiên cứu những dạng khác nhau của phân hoạch và ông là người đầutiên nghiên cứu về phân hoạch phẳng

Định nghĩa 1.4 (xem [4]) Một phân hoạch phẳng π của n là một matrận các số dương, không tăng theo mỗi dòng, mỗi cột và P

Ví dụ 1.4 Các phân hoạch phẳng của 3

1

1 1 1 , 1 1 , 1 , 2 1 , 2 , 3

Phân hoạch phẳng được gọi là đối xứng nếu ni,j = nj,i với mọi i, j.

Ví dụ 1.5 Phân hoạch phẳng của 18

6 4 1

4 21Nếu các phần của π giảm chặt theo mỗi hàng thì ta nói rằngπ là nghiêmngặt hàng Nếu các phần củaπ là giảm chặt mỗi cột thì ta gọi π là nghiêmngặt cột Nếu π vừa nghiêm ngặt hàng, vừa nghiêm ngặt cột thì ta gọi π

là nghiêm ngặt hàng và cột Phân hoạch nghiêm ngặt cột cũng giống nhưbảng Young được sử dụng trong lý thuyết bất biến

Phân hoạch phẳng được ứng dụng trong phép biểu diễn lý thuyết nhómđối xứng, hình học đại số và trong nhiều vấn đề tổ hợp Phân hoạch phẳngcùng với nhiều nhất k dòng được gọi là phân hoạch k-dòng Ký hiệu tk(n)

là số phân hoạch k dòng của n Phân hoạch phẳng là lĩnh vực được nghiêncứu tích cực Tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ nói đến đồng dư Ramanujan

!, 02

!, 11

!, 1, 0

0, 0

!, 0, 0

φk(n) ký hiệu số các F– phân hoạch của n sao cho mỗi số hạng xuấthiện nhiều nhất k lần trong mỗi hàng Một F – phân hoạch được gọi làmột F-phân hoạch k-màu nếu trong mỗi hàng các phần là phân biệt, vàlấy từ k – bản sao của các số nguyên không âm có thứ tự như sau

lý do gì để nghi ngờ tính đúng đắn của nó, nhưng nó vẫn chưa được xácminh Vào năm 1917, Ramanujan đã đọc được bài viết của Rogers trongmột tờ báo cũ, niềm vui lớn với ông vì tìm được sự tương đồng Ông đãviết thư trao đổi với Rogers Năm 1919, Ramanujan xuất bản một bàibáo trong đó có hai chứng minh (một của Rogers và một của Ramanujan)

và một nhận xét của Hardy Sau khi xuất bản, kết quả đó nổi tiếng vớitên gọi đồng nhất Rogers- Ramanujan Đồng nhất Rogers – Ramanujan làmột trong những công thức đẹp nhất của toán học Nghiên cứu về đồngnhất thức trong phân hoạch vẫn tiếp tục Mười bốn năm sau, Hardy nhậnxét về nghiên cứu của Lehmer, Alder và Rademacher: “Có thể thấy rằngkhông có đồng nhất nào tương ứng với modun cao hơn 5” Kết quả nàyhóa ra là sai lầm Năm 1963, B Gordon đã thực hiện những bước đầu

tiên hướng tới sự khảo sát đầy đủ định lý kiểu này và đã đưa ra định líGordon Định lý Gordon dẫn đến sự bùng nổ các kết quả Năm 1982, G.Andrews đã đưa ra tương tự giải tích của định lí B Gordon, D Bressoudlàm nên đột phá lớn về tổ hợp trong nghiên cứu về đồng nhất thức củaphân hoạch Những kết quả này được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khácnhau G.Andrews và R Askey đã chứng minh một mối liên hệ giữa đồngnhất Rogers – Ramanujan và đa thức trực giao J Lepowsky, A Feingold,

S Milne và R Wilson đã tìm thấy một liên hệ với đại số Lie, F.Dyson tìmthấy các ứng dụng của đồng nhất Rogers – Ramanujan trong vật lý hạt

và R.J.Baxtes trong cơ học thống kê

Dyson lại đưa ra cách tiếp cận mới về phân hoạch, năm 1944 ông công

bố một công trình trong Tạp chí khoa học Eureka của sinh viên khoa toánCambridge, trong đó ông đưa ra khái niệm hạng của phân hoạch

Định nghĩa 1.5 (xem [5]–Tr5) Phân hoạch λ có a(λ), l(λ) lần lượt làphần lớn nhất và số các phần của λ Khi đó r(λ) = a(λ) − l(λ) được gọi

là hạng của λ

Ông phát biểu giả thuyết nói rằng hạng sẽ cho một cách diễn giải tổhợp về các đồng nhất thức của Ramanujan Khi vẫn còn là một sinhviên, Dyson không chứng minh được giả thuyết này Năm 1948, Atkin vàSwinnerton-Dyer đã chứng minh được giả thuyết và được công bố vài nămsau

Dyson chuyển đến Hoa Kì và đã công bố giả thuyết của ông dưới dạngmột bài toán ngắn trong tờ báo Toán học Hoa Kì hàng tháng NathanFine rất quan tâm đến bài toán và đưa ra ba định lý để liệt kê các phânhoạch xác định hạng Những kết quả của ông có vẻ bí ẩn và hẳn còngiữ nguyên ở trạng thái đó nếu không có sự xuất hiện của cuốn sách

"Basic hypergeometric series and applications” và bài báo của Dyson "Anew symmetry of partitions" Không biết đến nghiên cứu của Fine, Dysonkhám phá lại một trong những thành quả của Fine chưa được công bố, gọi

nó là " phép đối xứng mới" và chứng minh nó bằng phương pháp tổ hợp.Sau đó ông suy ra điều kiện cho công thức và thu được một cách chứng

minh mới rất đơn giản cho định lý số ngũ giác của Euler.

Thật đáng tiếc, ngoại trừ công trình của Andrews "Định lí phân hoạchcủa N.J Fine", dường như không có ai nhận thấy thực ra ánh xạ Dyson,đôi khi gọi liên hợp của Dyson, có thể được dùng để chứng minh theo

tổ hợp những kết quả của Fine Nhưng ngay cả Andrews dường như cũngkhông biết rằng dùng ánh xạ của Dyson chứng minh được hai định lý kháccủa Fine

Đầu thế kỷ XX, Revet, Alfred Young trong một loạt bài viết về lý thuyếtbất biến đã đưa ra các phân hoạch và các biến thể của chúng (bây giờ gọi

là bảng Young) trong lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng

Vào nửa cuối của thế kỷ XX, các ứng dụng của phân hoạch phát triểnrất nhanh, T W B Hughes đã phát triển ứng dụng (cả hai chiều) giữa đại

số Lie và phân hoạch J Leponsky và những người khác cho thấy làm thếnào để hiểu và chứng minh đồng nhất Rogers – Ramanujan trong đại số Lie

và một số ứng dụng của phân hoạch xuất hiện trong vật lý Đặc biệt côngtrình của Rodrey Baxter cho thấy rằng đồng nhất Rogers – Ramanujanquyết định trong nghiên cứu hoạt động của dung dịch Heli trên một tấmthan chì Phân hoạch cùng ứng dụng của nó vẫn là vấn đề được nghiêncứu sôi nổi đến tận ngày nay

1.2 Một số kết quả kinh điển

Để trả lời cho câu hỏi của Ramanujan "Có cách nào để tính p(n) hiệuquả không?", một số nhà toán học đã đưa ra các công thức cho p(n).Cayley (năm 1855) và Sylvester (năm 1882) đã đưa ra một số công thứccho pk(n) với k nhỏ, ở đây pk(n) là số phân hoạch của n thành các phầnkhông lớn hơn k (xem [3]–Tr13) Ví dụ:

trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x,{x} là số nguyên gần

x nhất

Một trong những bất ngờ lớn nhất trong lịch sử của nghiên cứu phânhoạch là năm 1918, Hardy và Ramanujan đã đưa ra công thức gần đúngcho p(n) (xem [4]):

p(n) = (12)

1/2(24n − 1)un

vXk=1

Ak(n)(un − k)exp(un/k) + O(n−1), (1.3)

ở đây, un = π

√24n − 1

p(n) = 1

π√2

∞Xk=1

Ak(n) · k1/2

"

ddx

sinhπk[23(x − 241 )]1/2(x − 1/24)1/2

#x=n, (1.4)

ở đây Ak(n) được định nghĩa như trên Công thức (1.4) là một trongnhững kết quả đáng ghi nhận nhất trong toán học Nó cho thấy sự tươngtác giữa một hàm số học p(n) và một số kỹ thuật tính toán Nó không chỉ

là công thức lý thuyết cho p(n) mà còn là công thức cho phép tính tươngđối nhanh Ví dụ, nếu chúng ta tính 8 số hạng đầu tiên của chuỗi đối với

n = 200 thì kết quả là 3972999029388, đó là kết quả chính xác p(200), vàp(1000) ≈ 2.4 × 1031, khá gần với giá trị đúng của p(1000) (lớn hơn giátrị đúng khoảng 1.415%) Năm 2012, tìm được số nguyên tố p(82352631)gồm 10101 chữ số thập phân Phương pháp vòng được phát triển để chứngminh công thức p(n) về sau rất hữu ích trong phát triển lý thuyết hàmmodular

1.2.2 Hàm sinh của hàm phân hoạch

Leonhard Euler đã trả lời câu hỏi của Naudé có bao nhiêu phân hoạchcủa 50 thành 7 phần riêng biệt bằng cách đưa ra hàm sinh (xem [3]) Sửdụng ký hiệu hiện đại, chúng ta giả sử D(m, n) ký hiệu số phân hoạch nthành m phần thì

X

m,n≥0

D(m, n)zmqn = (1 + zq1)(1 + zq2)(1 + zq3) =

∞Yj=1(1 + zqj)

Đồng nhất thức này trở nên rõ ràng khi chúng ta nhân những thừa sốbên phải với nhau Số hạng tổng quát là:

(zqi1)(zqi2) (zqij) = zjqi1 +i 2 + +i j Chú ý rằng

∞Yj=1(1 + zqj) = (1 + zq)

∞Yj=1(1 + (zq)qj)

Ta có phương trình hàm cho hàm sinh của D(m, n)

Xm,n≥0

D(m, n)zmqn = (1 + zq) X

m,n≥0D(m, n)zmqn+m

So sánh hệ số của zmqn cả hai vế ta thấy:

D(m, n) = D(m, n − m) + D(m − 1, n − m)

Phương trình cho phép tính toán dễ dàng các giá trị của D(m, n).Naudé cũng đã hỏi Euler: Hàm sinh của p(n) là gì? Số các phân hoạchcủa n là bao nhiêu? Để trả lời câu hỏi đó Euler đã áp dụng cùng mộtnguyên tắc trong tính toán D(m, n) rất hiệu quả, cụ thể

∞Yn=1(1 + qn + qn+n+ qn+n+n + qn+n+n+n + )

=

∞Yn=1(1 + qn + q2n + q3n + q4n + )

=

∞Yn=1

1

1 − qn.Hay

∞Xn=0

(1 − aqi)(1 − aqn+i),đối với hằng số a tuỳ ý

Quy ước p(0) = 1 Nếu n là số nguyên dương thì rõ ràng

(a; q)n = (1 − a)(1 − aq) (1 − aqn−1),và

(a; q)∞ = (1 − a)(1 − aq)(1 − aq2) = lim

(−1)n.qn(3n−1)/2

Nhiều năm sau khám phá của mình, Euler đã thành công trong việc tựmình đưa ra chứng minh cho phát hiện này Công thức này nổi tiếng vớitên gọi định lý số ngũ giác của Eulers

Định lí 1.1 (Định lí số ngũ giác của Euler) Cho | q |< 1 ta có

(q; q)∞ =

∞Xs=−∞

(−1)sqs(3s−1)/2 (1.6)

Chúng ta sẽ tìm hiểu chứng minh định lí này ở phần sau.

Kết hợp Định lí số ngũ giác của Euler và hàm sinh của p(n) ta có:

(

∞Xn=−∞

(−1)n.qn(3n−1)/2)

∞Xn=0p(n)qn = 1 (1.7)

So sánh hệ số của qN trong hai vế của đồng nhất thức cuối cùng này,Euler đã tìm ra phép truy hồi cho p(N ) : p(0) = 1,

p(N ) − p(N − 1) − p(N − 2) + p(N − 5) + p(N − 7) − = 0, N > 0.Không ai có thể tìm được một thuật toán hiệu quả hơn trong việc tínhtoán p(N ) Nó tính được đầy đủ các giá trị của p(n) khi n ≤ N với thờigian O(N3/2) Quan hệ truy hồi này được sử dụng bởi P.A MacMahon

để tính toán p(n) với 1 ≤ n ≤ 200 và bởi H Gupta để xác định p(n) với

201 ≤ n ≤ 300 Nếu muốn tính toán giá trị nào đó của p(n) trên máytính, thì máy tính có lẽ là sẽ sử dụng :

k(3k±1)/2+n=N,0≤n<N

(−1)k−1.qk(3k±1)/2p(n)

Việc đưa ra hàm sinh của Euler là đổi mới quan trọng nhất trong toàn

bộ nghiên cứu về phân hoạch Hầu như mọi phát hiện về phân hoạch đềunhờ vào sự khởi đầu của Euler

Tiếp theo tác giả đưa ra một số định lí liên quan tới hàm phân hoạch.Tài liệu tham khảo chính là bài giảng "Partitions" của Bruce Berndt

< http://www.math.uiuc.edu/ berndt/master-partitions.pdf >, bản cậpnhật ngày 15/4/2017

Nếu ta kí hiệu pm(n) là số phân hoạch của n thành các phần không lớnhơn m thì rõ ràng

1(q, q)m

=

∞Xn=0

pm(n)qn

Định lí 1.2 Giả sử pm(n) ký hiệu số phân hoạch của n thành các phầnkhông lớn hơn m , p(m, n) là số phân hoạch của n thành đúng m phần.Khi đó, pm(n) = p(m, n)

Chứng minh: Xét biểu đồ Ferrers của n, như trong hình dưới là biểu đồFerrers của 29 = 7+7+6+5+2+2

Biểu đồ trên cho ta phân hoạch của p(6; 29) Thay vì đọc phân hoạch

từ trên xuống dưới, ta đọc biểu đồ Ferrers từ trái sang phải Như vậy,trong hình trên với phân hoạch này, cụ thể là 29 = 6 + 6 + 4 + 4 + 4+ 3 + 2, được đếm theo p6(29) Mỗi phân hoạch như vậy được đếm theop(m; n) liên kết duy nhất với phân hoạch đếm theo pm(n) Rõ ràng, điềunày thiết lập một song ánh cho các phân hoạch đếm bằng p(m; n) với cácphân hoạch đếm bằng pm(n) Do đó, ta có điều phải chứng minh

Định lí 1.3 Giả sử Q(n) ký hiệu số phân hoạch của n thành các phầnphân biệt Khi đó hàm phân hoạch cho Q(n) được cho bởi

∞Xn=0

Chứng minh: Chú ý rằng (−q; q)∞ chỉ sinh ra hai số hạng đầu tiên củamỗi dãy trong vế phải của (1.5) Như vậy, trong mỗi phân hoạch của n,mỗi số nguyên không lớn hơn n có thể xuất hiện trong một phân hoạch cụthể của n nhiều nhất một lần Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.6 Giả sử po(n) ký hiệu số phân hoạch của n thành cácphần lẻ và pe(n) ký hiệu số phân hoạch của n thành các phần chẵn Nhận thấy rằng

1(q, q2)∞ =

∞Xn=0

po(n)qn và 1

(q2, q2)∞ =

∞Xn=0

pe(n)qn (1.9)Định lí 1.4 Với mỗi n ≥ 1 thì

Chứng minh: Từ định lí 1.3 và công thức (1.9) ta có

∞Xn=0

Q(n)qn = (−q; q)∞ = (−q; q)∞(q; q)∞

(q; q)∞

= (q

2; q2)∞(q; q)∞ =

1(q; q2)∞ =

∞Xn=0

po(n)qn

Suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.4 là do Euler phát hiện và minh hoạ một trong những khíacạnh hấp dẫn của lý thuyết phân hoạch, cụ thể là, số lượng phân hoạchcủa n trong một kiểu cụ thể thường bằng số phân hoạch của một kiểuhoàn toàn khác Ta đề cập đến một ví dụ nổi tiếng khác trong minh hoạ.Đồng nhất thức đầu tiên trong hai đồng nhất Rogers – Ramanujan có mô

tả tổ hợp như sau Số phân hoạch của một số nguyên dương n thành cácphần khác nhau ít nhất là 2 bằng số phân hoạch n thành các phần đồng

dư với 1 hoặc 4 modulo 5 Ví dụ, hai tập hợp các phân hoạch của 8 là

8 = 7 + 1 = 6 + 2 = 5 + 3;

6 + 1 + 1 = 4 + 4 = 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1Định lí 1.5 Với mỗi n ≥ 1 thì

∞Xn=0

qn2(q; q)2 n

=

∞Xn=0

Chứng minh: Xét các nút nằm bên dưới hình vuông Durfee có kích thước

s đối với một phân hoạch tùy của n Chúng ta lưu ý rằng có biểu diễn đồthị của một phân hoạch π1 của m1, ở đây m1 bằng số nút nằm bên dướihình vuông Durfee Hơn nữa, mỗi phần không lớn hơn s Bây giờ kiểm tracác nút bên phải của hình vuông Durfee Đọc từ trái sang phải, chúng ta

có một phân hoạch π2 của một số m2 với mỗi phần không lớn hơn s Ví

dụ, nếu π là phân hoạch của 7 + 7 + 6 + 5 + 2 + 2 thể hiện trong hình dướiđây thì s = 4, π1 là phân hoạch 2 + 2, và π2 là phân hoạch 4 + 3 + 2 Sốlựa chọn cho π1 là p({1, 2, s}, m1) =: ps(m1), và số lựa chọn cho π2 là

m 1 =0

∞X

m 2 =0

qs2+m1 +m 2 = q

s 2

(q; q)2 s

Bây giờ chúng ta tổng hợp công thức trên qua s, 0 ≤ s < ∞, để sinh ratất cả các phân hoạch Như vậy

∞Xn=0p(n)qn =

∞Xs=0

qs2(q; q)2 s.Công thức này là công thức phải chứng minh

Dưới đây tác giả trình bày lại kết quả kinh điển về đồng nhất thứcRogers–Ramanujan và các kết quả liên quan Tài liệu tham khảo chính là[4]

Hai đồng nhất thức “Tổng – Tích” dưới đây được biết tới do Rogers –Ramanujan và là một trong những công thức đẹp nhất của toán học

∞Xn=0

qn2(q; q)n

=

∞Yn=1(1 − q5n−1)−1(1 − q5n−4)−1, (1.12)

và

∞Xn=0

qn2+n(q; q)n

=

∞Yn=1(1 − q5n−2)−1(1 − q5n−3)−1 (1.13)

Hai đồng nhất thức mang lại cảm hứng nghiên cứu vô tận cho các nhàtoán học Mac Mahon đã đưa ra diễn giải tổ hợp cho công thức(1.12),(1.13)tương ứng

Định lí 1.6 Số phân hoạch của n thành các phần sao cho hiệu giữa haiphần bất kì ít nhất bằng 2 bằng số phân hoạch củanthành các phần đồng

dư với ±1 (mod 5)

Định lí 1.7 Số phân hoạch của n thành các phần nhỏ nhất là 2 và hiệugiữa hai phần bất kì ít nhất bằng 2 bằng số phân hoạch của n thành cácphần đồng dư với ±2 (mod 5)

Năm 1963, B.Gordon đã khái quát Định lý 1.6 và 1.7 bởi định lí dướiđây:

Định lí 1.8 (Gordon) Cho k ≥ 2 và 1 ≤ i ≤ k, giả sử Bk,i(n) ký hiệu sốphân hoạch của n có dạng b1 + b2 + + bs, ở đây bj − bj+k−1 ≥ 2 và cónhiều nhất i − 1 số bj bằng 1 Giả sử Ak,i(n) ký hiệu số phân hoạch của nthành các phần 6≡ 0; ±i(mod2k + 1), khi đó Ak,i(n) = Bk,i(n) với mọi n.Định lí Gordon đã dẫn đến sự bùng nổ các kết quả Rõ ràng Định lý 1.6

là trường hợp đặc biệt k = i = 2 của Định lý 1.8 và Định lý 1.7 là trườnghợp đặc biệt khi k = i + 1 = 2

Năm 1982, G.E.Andrews đưa ra tương tự giải tích của Định lý 1.8:Định lí 1.9 (G.E.Andrews ) Với k ≥ 2 và 1 ≤ i ≤ k,| q |< 1,

X

n1,n2, ,nk−1≥0

qN2+N2+ +Nk−12 +Ni+Ni+1+ +Nk−1(q; q)n1(q; q)n2 (q; q)nk−1

thích tổ hợp của MacMahon (Định lí 1.6,1.7) về đồng nhất thức Rogers –Ramanujan(công thức (1.12) và (1.13)) Năm 1984, Andrews sử dụng n−phân hoạch màu, đưa ra giả thuyết mà năm 1985 Agarwal đã chứng minh.Định lí 1.10 Số phân hoạch với “nbản sao của n” của ν sao cho mỗi cặp

số hạng mi, rj có hiệu trọng số dương bằng số phân hoạch thông thườngcủa n thành các phần 6≡ 0, ±4( mod 10)

Ví dụ 1.7 Cho ν = 6, chúng ta có 8 phân hoạch liên quan mỗi loại

61, 62, 63, 64, 65, 66, 51 + 11, 52 + 11 của loại thứ nhất và

51, 32, 321, 313, 23, 2212, 214, 16,của loại thứ hai

Định lí 1.11 Số phân hoạch với “n bản sao của n” của ν sao cho mỗicặp số hạng mi, rj có hiệu trọng số không âm bằng số phân hoạch thôngthường của n thành các phần 6≡ 0, ±6( mod 14)

Định lý 1.10 và 1.11 là giải thích tổ hợp của đồng nhất q-chuỗi sau đây:

∞Yn=1(1 − q10n)(1 − q10n−4)(1 − q10n−6),(1.15)

(q; q)∞

∞Yn=1(1 − q14n)(1 − q14n−6)(1 − q14n−8).(1.16)

Động lực ban đầu cho Định lý 1.10 và 1.11 đến từ sự cố gắng để hiểu

vế trái của đồng nhất thức dưới đây :

Đối với σ1 = 0, σi = 0 hay 1, σi + σi+1 ≤ 1,

m − i + 1 ≥ n + j − 1 + 3 hoặc m − n − i − j > 0, tức là hiệu trọng số((mi− nj)) > 0.

Năm 1987, Agarwal và Andrews đã tổng quát hoá Định lí 1.10 và 1.11bằng định lí:

Định lí 1.12 (Agarwal và Andrews) Cho 0 ≤ t ≤ k − 1, k ≥ 2, giả sử

At(k, ν) ký hiệu số phân hoạch của ν với “n + t bản sao của n”, sao chonếu hiệu trọng số của mọi cặp số hạng mi, rj là không dương, thì nó chẵn

và lớn hơn hoặc bằng −2min(i − 1, j − 1, k − 3) Nếu t ≥ 1 thì với i nào

đó, ii+t là một phần Giả sử Bt(k, ν) ký hiệu số phân hoạch của n thànhcác phần 6≡ 0, ±2(k − t) (mod 4k + 2) Khi đó At(k, ν) = Bt(k, ν) chomọi ν

Rõ ràng Định lý 1.10 và 1.11 là trường hợp đặc biệt với k = t + 2 = 2

và k = t + 3 = 3, tương ứng của Định lý 1.12

Agarwal, Andrews và Bressoud đã cho phiên bản giải tích cho Định lý1.12

Định lí 1.13 (Agarwal, Andrews và Bressoud) Cho 0 ≤ t ≤ k − 1,

k ≥ 2, giả sử r = [k2] và χ(A) là 1 nếu A đúng, là 0 nếu A sai Nếu

= Yn6≡0,±2(k−t)( mod 4k+2)

ở đây, q−m1 − −mt(1 − qmt) được xác định là 1 nếu t = 0

Đồng nhất (1.12) và (1.13) là trường hợp đặc biệt khi k = t + 2 = 2 và

k = t + 3 = 3 tương ứng của Định lý 1.13

Đồng nhất Rogers – Ramanujan là một trong những công thức đẹp nhấtcủa toán học Đây vẫn là vấn đề được nghiên cứu sôi nổi đến ngày nay.Chúng có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, trong vật lí hạt, trong

cơ học thống kê

Trong phần nầy tác giả trình bày một số kết quả về tính chất đồng dưcủa p(n) Tài liệu tham khảo chính là [4]

Bằng cách quan sát tỉ mỉ bảng giá trị của p(n) của Macmahon với n từ

1 đến 200, Ramanujan đã đưa ra phỏng đoán đồng dư sau:

n : 4 9 14 19 24 p(n) : 5 30 135 490 1175

Cũng có nhiều đồng dư với modul 52, 72, 112, chẳng hạn

p(25m + 24) ≡ 0 (mod 52)

Tất cả các đồng dư trên đều được thể hiện trong giả thuyết nổi tiếngcủa Ramanujan:

Nếuδ = 5a7b11c, 24n ≡ 1 (mod δ) thì p(n) ≡ 0 (mod δ)

Ramanujan đã chứng minh giả thuyết này với 52, 72, 112, trong khi mar vào 1933 đã chứng minh cho53 và G.N.Watson năm 1936 chứng minhcho 5a Giả thuyết của Ramanujan được cho là đúng cho đến năm 1934,khi S.Chowla sử dụng bảng p(n) của H.Gupta với n ≤ 300 đã chỉ ra giảthuyết sai với n = 243, vì p(243) = 133978259344888 không chia hết cho

Krec-73 và 24.243 ≡ 1 (mod 73)

Năm 1936, Watson sửa đổi giả thuyết và chứng minh:

Nếu 24n ≡ 1 (mod 7b) thì p(n) ≡ 0 (mod 7[(b+2)/2])

Tính đúng đắn của Giả thuyết Ramanujan đã được kiểm nghiệm bởiLehmer cho các giá trị đầu tiên của n kết hợp với các modun 113 và 114.Năm 1959, Lehmer chứng minh giả thuyết đối với 113 Cuối cùng năm

1967, A.O.L.Atkin giải quyết vấn đề bằng chứng minh (1.21) đối với 11ctổng quát Toàn bộ những trường hợp đúng của giả thuyết có thể đượctổng hợp lại trong định lý sau:

∼ có số lượng như nhau