Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)

Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)Thuật toán chia đôi giải bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ DUNG THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP ĐIỂM PARETO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ DUNG THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP ĐIỂM PARETO Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.1.1 Tổ hợp lồi 3 1.1.2 Tập lồi đa diện 1.2 Bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 1.3 Cách tìm đỉnh hữu hiệu 11 1.4 Tìm tập đỉnh đa diện lồi 12 Chương Bài toán tối ưu tập điểm Pareto 17 2.1 Nội dung toán 17 2.2 Thủ tục xấp xỉ giải toán phụ (Pk ) 20 2.3 Thuật toán chia đôi 27 2.4 Ví dụ minh họa 29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 ii Bảng ký hiệu Rn Rn+ không gian Euclid n chiều tập véctơ không âm Rn {xk }, {xk } dãy điểm Rn x, y tích vô hướng hai véctơ x y conv {x1 , , xk } bao lồi điểm x1, , xk x∈X x∈ /X int X x pần tử tập X x không phần tử tập X phần tập X C rec S ∅ bao đóng tập C nón lùi xa tập lồi S tập hợp rỗng D ⊆ Rn ¨ D F ⊆D tập lồi đa diện Rn tập đỉnh tập lồi đa diện D diện F tập lồi đa diện D Γ⊂D minx∈C f (x) cạnh Γ tập lồi đa diện D toán cực tiểu hàm vô hường f (x) tập C maxx∈C f (x) V minx∈X F (x) toán cực đại hàm vô hướng f (x) tập C toán cực tiểu hàm véctơ {F (x) = (f1 (x), , fp (x)} tập X V maxx∈X F (x) toán cực đại hàm véctơ F (x) = (f1 (x), , fp (x) tập X toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính (MOLP) (VP) XE toán tối ưu véctơ hay toán tối ưu đa mục tiêu tập nghiệm hữu hiệu, tập điểm Pareto toán đa mục tiêu tập X Mở đầu Tối ưu mục tiêu nghiên cứu kỹ khái niệm nghiệm tối ưu quen thuộc Tối ưu nhiều mục tiêu, nói riêng tối ưu tuyến tính nhiều mục tiêu, đưa tới khái niệm tối ưu khái niệm hữu hiệu hay tối ưu Pareto Tối ưu hay nhiều mục tiêu toán tối ưu cấp, nhiều người nghiên cứu ứng dụng Tối ưu tập điểm hữu hiệu (hay tập điểm Pareto) thuộc loại toán tối ưu hai cấp, khó giải Bài toán phát biểu sau: {dT x : x ∈ XE } d ∈ Rn , XE tập điểm tối ưu Pareto toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu: V {cT1 x, , cTp x}(c1 , , cp ∈ Rn ), với điều kiện: Ax ≤ b, x ≥ 0, (A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ) Xét ví dụ cụ thể: Khi đánh giá học lực học sinh theo nhiều môn học (văn, toán, ngoại ngữ, tin học, ) ta thường dùng khái niệm tối ưu Pareto Học sinh trội môn học xem "tối ưu" (theo nghĩa Pareto) Như lớp có nhiều học sinh "tối ưu" Bây nhà trường muốn chọn học sinh "tối ưu" để khen thưởng Vậy nên chọn ai? Khi cần thêm tiêu chuẩn nữa, chẳng hạn chọn học sinh "tối ưu" trẻ có hạnh kiểm tốt Từ đưa tới toán tối ưu tập điểm hữu hiệu (tức tập nghiệm tối ưu Pareto) Luận văn: "Thuật toán chia đôi giải toán tối ưu tập điểm Pareto" có mục đích tìm hiểu toán tối ưu tập điểm hữu hiệu trình bày thuật toán chia đôi nêu [4] giải toán Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [4] có Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm hai chương: Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 1.3 Cách tìm đỉnh hữu hiệu 1.4 Tìm tập đỉnh đa diện lồi Chương "Bài toán tối ưu tập điểm hữu hiệu" 2.1 Nội dung toán 2.2 Thủ tục xấp xỉ giải toán phụ (Pk ) 2.3 Thuật toán chia đôi 2.4 Ví dụ minh họa Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016 Học viên Trần Thị Dung Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số khái niệm kết tập lồi tập lồi đa diện Tiếp theo giới thiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu Cuối nêu cách tìm đỉnh hữu hiệu cách tìm tập đỉnh đa diện lồi 1.1 1.1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Tổ hợp lồi Ta ký hiệu Rn không gian Euclid n-chiều trường số thực R, phần tử x ∈ Rn véc-tơ n-tọa độ số thực Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a, b Rn tập tất véc-tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc-tơ có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Tập lồi khái niệm giải tích lồi, định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1 , , xk k k λj x , λj ≥ ∀j = 1, , k j x= j=1 λj = j=1 Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi C chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi k k ∀k ≥ 2, ∀x , , x ∈ C, ∀λ1 , , λk > : k λj xj ∈ C λj = 1, ⇒ j=1 j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Giả sử x1 , , xk ∈ C tổ hợp lồi k điểm Tức k k λj x , λj ≥ ∀j = 1, , k j x= j=1 j=1 Đặt k−1 ξ= λj j=1 Khi < ξ < k−1 λj xj + λk xk x= j=1 k−1 =ξ j=1 Do λj = k−1 j=1 λj j x + λk xk ξ λj = ξ λj ξ > với j = 1, , k − nên theo giả thiết quy nạp, điểm k−1 y= j=1 λj ∈ C ξ Ta có x = ξy + λk xk Do ξ > 0, λk > k ξ + λk = λj = 1, j=1 nên x tập hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Decastes Cụ thể ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi: A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B}, αA + βB = {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, A × C = {x ∈ Rm × Rn : x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C} Chứng minh Dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa 1.1.2 Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.2 Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa không gian đóng Nhận xét 1.1 i) Rn , ∅ tập lồi đa diện ii) Tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D = {x ∈ Rn : ai, x ≤ bi , i = 1, , m}, ∈ Rn , bi ∈ R, i = 1, , m Nếu ký hiệu A ma trận có m hàng véc-tơ với i = 1, , m véc-tơ b = (b1 , , bm )T hệ viết D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} Chú ý rằng, phương trình a, x = b, viết cách tương đương dạng hai bất phương trình a, x ≤ b −a, x ≤ −b Tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện Định nghĩa 1.3 Tập lồi D gọi hữu hạn sinh tồn điểm v , , v k ∈ Rn phương d1 , , dq ∈ Rn cho q k i D = {x : x = λi v + i=1 k j µj d , λ1 , , λk ≥ 0, j=1 λi = 1, µ1 , , µq ≥ 0} i=1 Định lý 1.1 Một tập khác rỗng F ⊂ D diện thực D khi: F = {x : , x = bi , i ∈ I, , x ≤ bi , i ∈ / I} với I tập số cho I0 ⊂ I ⊂ {1, , m} (I - tập số xác định diện F ), I0 = {i ∈ {1, , m} : , x = bi , ∀i = 1, , m, ∀x ∈ D} 20 hạn Theo thuật toán [4], việc giải (Pk ) bước qui kiểm tra tính chấp nhận tập XEk = {x ∈ XE : dT x ≥ γk } 2.2 Thủ tục xấp xỉ giải toán phụ (Pk ) Mục trình bày thủ tục xấp xỉ để giải toán phụ (Pk ) Trước hết ta nhớ lại x ∈ XE có tồn λ ∈ Λ cho λT Cx = max {λT Cy : y ∈ X} với γ ∈ R cho trước ta có XEγ = {x ∈ XE : dT x ≥ γ} = {x ∈ X : dT x ≥ γ, λ ∈ Λ, λT Cx ≥ λT Cy, ∀y ∈ X} Ta xét toán tìm điểm x ∈ XEγ Bằng cách sử dụng hàm g(λ) xác định theo (2.1) Ta mô tả lại tập XEγ sau XEγ = {x ∈ X : dT x ≥ γ, g(λ) ≤ λT Cx, λ ∈ Λ} Định nghĩa 2.1 Hàm h : Rp → R gọi hàm lồi tuyến tính khúc không gian Rp hàm lồi Rp tồn tập lồi đa diện Sk cho ∪qk=1 Sk = Rp hàm h tuyến tính tập Sk Ta thiết lập hàm hγ (λ) = max {λT Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ} (2.2) Có thể dễ dàng tính chất sau hàm hγ (λ) Định lý 2.1 Hàm hγ (λ) có tính chất: a) hγ (λ) hàm lồi tuyến tính khúc Rp b) hγ (λ) hàm không tăng theo γ, tức γ < γ ′ ⇒ hγ (λ) ≥ hγ ′ (λ), ∀λ ∈ Rp 21 c) hγ (λ) = g(λ) với γ < dmin d) hγ (λ) ≤ g(λ) với γ ∈ [dmin , dmax ] dmin , dmax giá trị nhỏ lớn dT x X ¨ Chứng minh a) Đặt Sk = {λ : hγ (λ) = λT Cv k , v k ∈ X}, ¨ tập đỉnh X Do toán qui hoạch tuyến tính hγ (λ) = X max {λT Cx : x ∈ X} đạt đỉnh X, nên ∪qk=1 Sk = Rp Lấy λ1 , λ2 ∈ Sk ; µ1 , µ2 ∈ R, ta có hγ (µ1 λ1 + µ2 λ2 ) = max {(µ1 λ1 + µ2 λ2 )Cx : x ∈ X} ≤ µ1 max {(λ1 )T Cx : x ∈ X} + µ2 max {(λ1 )T Cx : x ∈ X} = µ1 (λ1 )T Cv k + µ2 (λ2 )T Cv k = (µ1 λ1 + µ2 λ2 )T Cv k Mặt khác, max {(µ1 λ1 + µ2 λ2 )T Cx : x ∈ X} ≥ (µ1 λ1 + µ2 λ2 )T Cv k nên hγ (µ1 λ1 + µ2 λ2 ) = (µ1 λ1 + µ2 λ2 )T Cv k = µ1 (λ1 )T Cv k + µ2 (λ2 )T Cv k = µ1 hγ (λ1 ) + µ2 hγ (λ2 ) b) Với γ ≤ γ ′ ta có: {x : x ∈ X, dT x ≥ γ} ⊃ {x : x ∈ X, dT x ≥ γ ′ } Từ hγ (λ) = max {λT Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ} ≥ max {λT Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ ′ } = hγ ′ (λ) 22 c) dmin > γ ⇒ dT x > γ, ∀x ∈ X, ta có: hγ (λ) = max {λT Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ} = max {λT Cx : x ∈ X} = g(λ) d) Vì dmin ≤ γ ≤ dmax nên hγ (λ) = max {λT Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ} ≤ max {λT Cy : y ∈ X} = g(λ) Bây ta xây dựng tập hợp: Ω = {(λ, t) ∈ Rp × R : λ ∈ Λ, g(λ) − t ≤ 0}, Ωγ = {(λ, t) ∈ Rp × R : t − hγ (λ) > 0}, Ωγ = {(λ, t) ∈ Rp × R : t − hγ (λ) ≥ 0} Có thể kiểm tra dễ dàng tính chất sau hai tập Ω Ωγ Bổ đề 2.1 a) Ω Ωγ hai tập lồi b) Ω ⊂ Ωγ Chứng minh a) Lấy hai điểm ω = (λ1 , t1 ), ω = (λ2 , t2 ) thuộc Ω số < α < Ký hiệu ω = αω + (1 − α)ω , ta có: ω = (λ, t) = α(λ1 , t1) + (1 − α)(λ2 , t2 ) = (αλ1 + (1 − α)λ2 , αt1 + (1 − α)t2 ) 23 g(λ) − t ≤ αg(λ1 ) + (1 − α)g(λ2 ) − (αt1 + (1 − α)t2 ) = α g(λ1 ) − t1 + (1 − α) g(λ2 ) − t2 ≤ α0 + (1 − α)0 = Do ω ∈ Ω suy tập Ω lồi Tính lồi tập Ωγ chứng minh tương tự b) Lấy điểm ω = (λ, t) ∈ Ω, ta có g(λ) − t ≤ Vì hγ (λ) ≤ g(λ) nên có hγ (λ) − t ≤ hay ω ∈ Ωγ , nghĩa Ω ⊆ Ωγ Định lý 2.2 XEγ = ∅ ⇔ Ω \ Ωγ = ∅ Chứng minh Giả sử x ∈ XEγ Khi có tồn λ ∈ Λ cho g(λ) ≤ λT Cx Bằng cách chọn t = g(λ) ta có t ≤ λT Cx, x ∈ X, dT x ≥ γ điều kéo theo t ≤ max {λT Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ} = hγ (λ) Như (λ, t) ∈ Ω \ Ωγ , tức Ω \ Ωγ = ∅ Ngược lại, giả sử (λ, t) ∈ Ω \ Ωγ Theo định nghĩa, ta có g(λ) ≤ t, λ ∈ Λ t ≤ hγ (λ) (2.3) Ký hiệu x nghiệm đạt cực đại (2.2), ta có t ≤ hγ (λ) = λT Cx, λ ∈ Λ, dT x ≥ γ, x ∈ X, theo (2.3) g(λ) ≤ λT Cx, λ ∈ Λ, dT x ≥ γ, x ∈ X, điều có nghĩa (x, λ) ∈ XEγ , tức XEγ = ∅ Như việc giải (Pk ) qui tìm phần tử tập lồi đảo (hiệu 24 hai tập lồi) Ω \ Ωγ Ý tưởng phương pháp xây dựng dãy tập lồi đa diện Sk chứa Ω xấp xỉ ngày sát Ω từ phía cho u = (0, 1)T hướng lùi xa Sk , nghĩa nón lùi xa Sk có dạng rec Sk = {θu : u = (0, 1)T , θ ≥ 0} Giả sử Vk tập đỉnh Sk , ta xác định Wk = {(λ, t) ∈ Vk : t − hγ (λ) ≤ 0} Bổ đề 2.2 Nếu Wk = ∅ Ω \ Ωγ = ∅ Chứng minh Do tập Sk có hướng lùi xa dọc theo trục t nên hàm ϕ(λ, t) = t − hγ (λ) bị chặn tập Sk , đồng thời ϕ(λ, t) hàm lõm Do đó: {t − hγ (λ) : (λ, t) ∈ Sk } = min{t − hγ (λ) : (λ, t) ∈ Vk } Do Wk = ∅ {t − hγ (λ) : (λ, t) ∈ Vk } > {t − hγ (λ) : (λ, t) ∈ Sk } > Vì Ω ⊂ Sk nên t − hγ (λ) > 0, ∀(λ, t) ∈ Ω, nghĩa Ω \ Ωγ = ∅ Như Wk = ∅ XEγ = ∅, tức toán (Pk ) vô nghiệm Ngược lại, Wk = ∅ ta có điểm (λk , tk ) ∈ Wk Xét hai khả năng: • Nếu (λk , tk ) ∈ Ω, nghĩa λk ∈ Λ g(λk ) ≤ tk , (λk , tk ) ∈ Ω \ Ωγ nghiệm tối ưu qui hoạch tuyến tính max {(λk )T Cx : x ∈ X, dT x ≥ γ} thuộc XEγ • Nếu (λk , tk ) ∈ / Ω, tức g(λk ) − tk > 0, ta gọi y k nghiệm tối ưu 25 qui hoạch tuyến tính max {(λk )T Cy : y ∈ X} Khi siêu phẳng {(λ, t) : λT Cy − t = 0} tách chặt đỉnh (λk , tk ) với tập Ω Ta xác định tập lồi đa diện Sk+1 chứa Ω sau Sk+1 = Sk ∩ {(λ, t) : λT Cy k − t ≤ 0} Bằng cách lặp lại thủ tục nêu trên, ta nhận dãy tập lồi đa diện Sk : Ω ⊂ ⊂ Sk ⊂ ⊂ S1 ⊂ S0 , với dãy điểm (x0 , t0 ), (x1, t1 ), , (xk , tk ), cho (xk , tk ) ∈ Sk Có thể dùng hai phương pháp để chọn điểm (λk , tk ): (1) Với λ ∈ Λ, ký hiệu xλ nghiệm tối ưu toán (Pλ ) Ta chọn (λk , tk ) ∈ arg max {dT xλ : (λ, t) ∈ Wk } Cách chọn hữu ích, ta muốn tìm cực đại dT x XE (2) (λk , tk ) nghiệm tối ưu toán θ = {t − hγ (λ) : (λ, t) ∈ Vk } Nên nhớ θ > Wk = ∅ Những lập luận dẫn tới thuật toán giải toán phụ (Pk ) sau • Thuật toán xấp xỉ Khởi tạo Lấy v ∈ X với Cv = Đặt S0 = {(λ, t) : λ ∈ Λ, λT Cv ≤ t} Ký hiệu V0 tập đỉnh S0 Đặt k = Bước lặp k = 0, 1, 26 Giải toán θ = {t − hη (λ) : (λ, t) ∈ Vk } để tìm θ, λk , tk , hη (λ) hàm xác định theo (2.2) Nếu θ > dừng thuật toán: XE = ∅ (Pk ) nghiệm Trái lại, chuyển sang Bước 2 Giải qui hoạch tuyến tính η = max {(λk )T Cy : y ∈ X} để nhận nghiệm hữu hiệu y k giá trị tối ưu η Nếu η ≤ tk dừng thuật toán: (λk , tk ) ∈ Ω \ Ωγ XEγ = ∅ Trái lại, chuyển sang Bước 3 Đặt Sk+1 = Sk ∩ {(λ, t) : λT Cy k ≤ t} Tính tập đỉnh Vk+1 Sk+1 trở lại Bước • Tóm lại, bước lặp y k phải khác y k đỉnh X Do X có hữu hạn đỉnh nên Bước thuật toán lặp lại nhiều số đỉnh X, tức Bước hữu hạn thuật toán phải dừng Bước Bước Nếu thuật toán dừng Bước toán (Pk ) vô nghiệm Nếu thuật toán dừng Bước toán (Pk ) có nghiệm Do g(λ) hàm lồi tuyến tính khúc nên Ω tập lồi đa diện Rp+1 Theo định nghĩa, Sk tập lồi đa diện xấp xỉ Ω cho Sk+1 nhận từ Sk cách thêm vào siêu phẳng cắt t = λT Cy k Chú ý y k đỉnh tập đa diện X với số đỉnh hữu hạn Vì Bước thuật toán lặp lại vô số lần Ta có kết sau Định lý 2.3 Thuật toán xấp xỉ kết thúc sau số hữu hạn bước cho nghiệm toán (Pk ) toán (Pk ) vô nghiệm Nhận xét 2.1 a) Ký hiệu xk nghiệm toán (2.2) Khi 27 η ≤ tk Bước ta có xk ∈ XEγ Nói chung xk không đỉnh X ¨ không thiết thuộc X γ Điểm y k ∈ XE ∩ X E b) Có thể thấy thủ tục thực chất thuật toán xấp xỉ để tìm cực tiểu hàm lõm t−hη (λ) tập lồi {(λ, t) : λ ∈ Λ, g(λ)−t ≤ 0}, toán tương đương với toán {g(λ) − hη (λ) : λ ∈ Λ} Ưu điểm thủ tục dễ dàng kết hợp với lược đồ tìm kiếm chia đôi Kết ta nhận thuật toán giải giải toán (P ) mà không đòi hỏi giải đến toán phụ (Pk ) vòng lặp 2.3 Thuật toán chia đôi Bây ta mô tả thuật toán giải toán (P ) Khởi tạo Tìm đỉnh x0 ∈ XE Đặt α0 = dT x0 β0 ≡ dmax = max {dT x : x ∈ X} Xác định S0 = {(λ, t) : λ ∈ Λ, λT Cx0 ≤ t}, tính tập đỉnh V0 S0 Chọn ε > đặt xopt = x0 , k = Vòng lặp k = 0, 1, Bước Nếu βk − αk ≤ ε dừng thuật toán Trái lại, chuyển sang Bước Bước Đặt γk = (αk + βk )/2 giải toán θ = {t − hγk (λ) : (λ, t) ∈ Vk } để nhận θ, λk , tk Bước Nếu θ > đặt Sk+1 = Sk , Vk+1 = Vk , βk+1 = γk , αk+1 = αk 28 k = k + Trở lại Bước Bước Trái lại (θ ≤ 0), tìm nghiệm tối ưu y k giá trị tối ưu η qui hoạch tuyến tính max {(λk )T Cy : y ∈ X} Nếu η ≤ tk tìm nghiệm hữu hiệu tốt xopt đặt Sk+1 = Sk , Vk+1 = Vk , βk+1 = γk , αk+1 = dT xopt Đặt k = k + trở lại Bước Bước Nếu η > tk đặt βk+1 = βk , αk+1 = αk , Sk+1 = Sk ∩ {(λ, t) : λT Cy k ≤ t} Tính đỉnh Vk+1 Sk+1 Đặt k = k + trở lại Bước Định lý 2.4 Thuật toán chia đôi tìm nghiệm tối ưu xấp xỉ toán (P ) sau thực số hữu hạn vòng lặp Nếu vòng lặp ta chọn xopt đỉnh X với ε > đủ nhỏ, nghiệm thu nghiệm xác Chứng minh Tính hữu hạn thuật toán suy từ tính hữu hạn lược đồ chia đôi thủ tục xấp xỉ giải (Pk ) Giả sử xopt chọn đỉnh X d∗ giá trị tối ưu toán (P ) Ta chứng minh với ε đủ nhỏ, xopt nghiệm xác, theo nghĩa dT xopt = d∗ Trước hết ta nhận thấy ký hiệu ¨ : dT x = d∗ }, V ∗ = {x ∈ XE ∩ X (2.4) ¨ tập đỉnh X, với y ∈ XE ∩ X ¨ không thuộc V ∗ X phải có d∗ − dT y ≥ δ với δ > Theo (2.4) ta có ¨ \ V ∗ }, d∗ > d = max {dT x : x ∈ conv (XE ∩ X) 29 ¨ \ V ∗ ta có nghĩa với y ∈ (XE ∩ X) d∗ − dT y ≥ d∗ − d = δ > Có thể thấy dễ dàng với ε < δ, thuật toán kết thúc Bước ¨ \ V ∗ cho dT y ∈ [αk , βk ] Do ta phải không tồn y ∈ (XE ∩ X) có αk = dT xopt = d∗ định lý chứng minh Nhận xét 2.2 Thường Bước ta chọn xopt nghiệm tối ưu xk toán max {(λk )T Cx : x ∈ X, dT x ≥ γk } không thiết đỉnh X Ta nhận nghiệm hữu hiệu đỉnh X, tốt xk cách áp dụng kỹ thuật tìm tối ưu địa phương Kỹ thuật dựa tính chất liên thông tập XE , nghĩa nghiệm hữu hiệu x thuộc cạnh hữu hiệu e X e ⊂ XE Nếu xk không đỉnh ta tìm điểm cực ¨ cho biên cạnh chứa xk , tốt xk , tức điểm y ∈ (XE ∩ X) dT y ≥ dT xk Hơn nữa, cạnh hữu hiệu xuất phát từ đỉnh y, có điểm cực biên y ′ với dT y ′ > dT y ta đặt y = y ′ Quá trình tiếp tục y tốt 2.4 Ví dụ minh họa Xét ví dụ cỡ nhỏ Tìm giá trị lớn hàm z = x1 − x2 + x3 tập nghiệm hữu hiệu toán tối ưu véctơ max (x1 − x3 , x2) với điều kiện x1 + x2 ≤ 3, ≤ x1 ≤ 2, ≤ x2 ≤ 2, ≤ x3 ≤ 2, Ký hiệu d = (1, −1, 1)T , C = −1 , 30 X = {(x1 , x2, x3 ) : x1 + x2 ≤ 3, ≤ x1 ≤ 2, ≤ x2 ≤ 2, ≤ x3 ≤ 2} Khởi tạo Đặt Λ = {(λ1 , λ2 ) : λ1 + λ2 ≥ 10, λ1 ≥ 1, λ2 ≥ 1} Bằng cách giải qui hoạch tuyến tính max {dT x : x ∈ X} ta nhận cận cho giá trị mục tiêu toán cần giải (P ) β0 = (đạt x = (2, 0, 2)T ) Với λ0 = (1, 5) ta giải: max {(λ0 )T Cx : x ∈ X} nhận nghiệm hữu hiệu x0 = (1, 2, 0)T Ta đặt α0 = dT x0 = −1, xopt = (1, 2, 0)T Xác định S0 = {(λ, t) : λ ∈ Λ, λ1 + 2λ2 − t ≤ 0} tính tập đỉnh V0 (của S0 ) V0 = {v = (1, 1, 3)T , v = (1, 9, 19)T , v = (9, 1, 11)T } Vòng lặp Đặt γ0 = (α0 + β0 )/2 = 1, Với v = (λ1 , t1 ) = (1, 1, 3)T ta giải qui hoạch tuyến tính: max {(λ1 )T Cx : x ∈ X, dT x ≥ 1, 5} nhận hγ0 (λ1 ) = 2, Do t1 − hγ0 (λ1 ) = − 2, = 0, Tương tự đỉnh v , v ta nhận t2 − hγ0 (λ2 ) = t3 − hγ0 (λ3 ) = −7, 31 Vì θ = min{t − hγ0 (λ) : v = (λ, t) ∈ V0 } = −7, 5, đạt λ3 = (9, 1)T , ta giải max {(λ3 )T Cx : x ∈ X} nhận nghiệm hữu hiệu y = (2, 1, 0)T Xây dựng ràng buộc ℓ1 (λ, t) = 2λ1 + λ2 − t ≤ Đặt S1 = S0 ∩ {(λ, t) : ℓ1(λ, t) ≤ 0} tính tập đỉnh V1 S1 : V1 = {v = (1, 1, 3)T , v = (1, 9, 19)T , v = (9, 1, 19)T , v = (5, 5, 15)T } Ta đặt β1 = α1 = −1 Vòng lặp Đặt γ1 = (α1 + β1 )/2 = 1, Tương tự, ta tính {t − hγ1 (λ) : v = (λ, t) ∈ V1 } = 0, > Vì ta đặt S2 = S1 , V2 = V1 β2 = γ1 = 1, α2 = −1, v.v Với ε = 0, thuật toán dừng sau 11 vòng lặp xopt = (2, 1, 0)T nghiệm tối ưu xác toán (P ) cần giải Có thể kiểm chứng lời giải nhờ dùng tập ràng buộc X, vẽ Hình 2.1 x2 E F I H G x3 D O C A x1 B Hình 2.1 Tập ràng buộc X 32 ¨ X Cx dT x O = (0, 0, 0)T (0, 0) A = (2, 0, 0)T (2, 0) B = (2, 1, 0)T (2, 1) C = (1, 2, 0)T (1, 2) -1 D = (0, 2, 0)T (0, 2) -2 E = (0, 0, 2)T (−2, 0) F = (2, 0, 2)T (0, 0) G = (2, 1, 2)T (0, 1) H = (1, 2, 2)T (−1, 2) I = (0, 2, 2)T (−2, 2) Bảng 2.1 Các đỉnh tập ràng buộc X ¨ = {O, A, B, C, D, E, F, G, H, I} Tập lồi đa diện X gồm 10 đỉnh: X Tập nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto): XE = [B, C] (cạnh BC) Nghiệm tối ưu toán (P ): xopt = (2, 1, 0)T với d max = dT xopt = Kết luận chương: Chương trình bày thuật toán chia đôi [4] giải toán tối ưu tuyến tính, tập điểm Pareto XE toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 33 Kết luận Luận văn tìm hiểu giới thiệu toán tối ưu tập điểm hữu hiệu trình bày thuật toán chia đôi giả toán Đây toán tương đối khó thuộc dạng đặc biệt toán tối ưu hai cấp, nhiều người quan tâm nghiên cứu 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Benson H P (1992), "Optimization over the efficient set", J Math Anal Appl., 73, pp 73 - 84 [3] Ehrgott M (2007), Lecture 2: Multiobjective Linear Programming, International Doctoral School Algorithmic Decision Theory MCDA and MOO, Han sur Lesse, September 17 - 21 [4] Phong T Q., Tuyen H Q (2000), "Bisection search algorithm for optimizing over the eficient set", Vietnam Journal of Mathematics, 28(3), pp 217 - 226 ... núi x l im Pareto ca bi toỏn a mc tiờu (V P ) nu F (x) l cc i Pareto ca F (X) v l im Pareto yu ca bi toỏn a mc tiờu (V P ) nu F (x) l cc i Pareto yu ca F (X) Mnh 1.5 x X l im Pareto (Pareto yu)... cc i (cc tiu) Pareto cha cỏc cc i (cc tiu) Pareto yu nh lý 1.6 Nu X Rn l compact thỡ cỏc cc i Pareto, cc tiu Pareto ca X khỏc rng H qu di õy s cho phộp khng nh tớnh khỏc rng ca Pareto H qu 1.2... trờn im hu hiu (tc nghim ti u Pareto) Lun vn: "Thut toỏn chia ụi gii bi toỏn ti u trờn im Pareto" cú mc ớch tỡm hiu bi toỏn ti u trờn im hu hiu v trỡnh by thut toỏn chia ụi nờu [4] gii bi toỏn