Một số thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập pareto

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN THÙY LINH MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐẢM BẢO TOÁN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TOÁN Hà Nội – Năm 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN THÙY LINH MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐẢM BẢO TOÁN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TOÁN Hà Nội – Năm 2011 Mục lục Bài toán tối ưu tập Pareto 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa 1.1.1 Một số ví dụ 1.1.2 Phát biểu toán 1.1.3 Điều kiện hữu hiệu 1.1.4 Điều kiện tồn nghiệm 1.1.5 Cấu trúc tập nghiệm 1.2 Bài toán tối ưu tập Pareto Bốn trường hợp đặc biệt Pareto 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Thuật toán 2.2.1 Trường hợp 2.2.2 Trường hợp 2.2.3 Trường hợp 2.2.4 Trường hợp mục tiêu toán tối ưu tập Giải toán tối ưu tập Pareto phương pháp quy hoạch lồi lõm 3.1 Dạng tương đương toán (P ) 3.2 Dạng rút gọn toán (3.1) 3.3 Phương pháp nhánh cận giải toán 3.3.1 Thuật toán xấp xỉ xây dựng tập đa diện ban đầu 3.3.2 Thuật toán nhánh cận giải toán (3.5) 9 10 11 17 23 24 27 29 41 42 43 45 48 50 51 57 62 63 66 Một số ký hiệu R Rn x∈X x∈ /X ∃x ∃x ∀x |x| ∅ F ⊂A F ⊆A A=B A\B A∪B A∩B x, y [v , v ] affA cone{c1 , · · · , ck } convA dimA domg epig intA kerC rankC tập số thực không gian Euclid n chiều x thuộc tập X x không thuộc tập X tồn x không tồn x x giá trị tuyệt đối x tập rỗng F tập thực tập A F tập tập A tập A tập A khác tập B hiệu tập A tập B hợp tập A tập B giao tập A tập B tích vô hướng x y đoạn thẳng nối hai điểm v v bao afin tập A nón sinh véc tơ c1 , · · · , ck bao lồi tập A thứ nguyên (hoặc số chiều) tập A miền xác định hữu hiệu g epigraph hàm g phần tập A hạt nhân C hạng ma trận C riA rec(K) span{c1 , · · · , ck } ∇f (x) Ip B(a, ε) wT AT ∂g(x) phần tương đối tập A nón lùi xa tập K không gian tuyến tính sinh véc tơ c1 , · · · , ck véc tơ gradient hàm f điểm x ma trận đơn vị cấp p × p hình tròn mở tâm a, bán kính ε > véc tơ chuyển vị véc tơ w ma trận chuyển vị ma trận A vi phân g x Mở đầu Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu đồng thời p ≥ hàm mục tiêu tuyến tính ci , x , ci ∈ Rn , i = 1, · · · , p, độc lập với tập lồi đa diện khác rỗng X ⊂ Rn Đây toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng thực tế, đặc biệt lý thuyết định, kinh tế, tài chính, quản lý, công nghiệp, · · · Cho đến nay, nhiều tác giả đề xuất thuật toán để xác định toàn phần tập nghiệm hữu hiệu XE toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu, chẳng hạn xem [2], [4], [5], [9] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo Một toán quan trọng có liên quan chặt chẽ với toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu tập Pareto, ký hiệu (P ) Đó toán tối ưu hàm thực f (x) tập nghiệm hữu hiệu XE toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Việc giải toán giúp ta chọn nghiệm hữu hiệu tốt theo tiêu chuẩn mà không thiết đòi hỏi phải xác định toàn tập XE Bài toán Philip đưa năm 1972 Đây toán khó thuộc lớp toán tối ưu toàn cục, tức nghiệm tối ưu địa phương chưa nghiệm tối ưu toàn cục Tuy nhiên, nhu cầu ứng dụng, toán (P ) thu hút quan tâm đặc biệt nhiều tác giả Nhiều thuật toán theo tiếp cận khác đề xuất để giải toán tối ưu tập Pareto (P ), chẳng hạn xem [3], [6], [7], [10], [12], [13] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo Mục đích luận văn trình bày số thuật toán để giải toán tối ưu tập Pareto Ngoài phần Mở đầu, Lời cảm ơn, Kết luận danh sách Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày ba chương • Chương - "Bài toán tối ưu tập Pareto" Trình bày mô hình toán học toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (VP), vài ví dụ thực tế, số khái niệm kết điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu cấu trúc tập nghiệm toán Tiếp đó, giới thiệu mô hình toán học toán tối ưu tập Pareto • Chương - "Bốn trường hợp đặc biệt toán tối ưu tập Pareto" Chương dành để trình bày sở lý thuyết thuật toán giải bốn trường hợp đặc biệt toán tối ưu tập Pareto với hàm mục tiêu tuyến tính H P Benson S Sayin [6] đề xuất • Chương - "Giải toán tối ưu tập Pareto phương pháp quy hoạch lồi lõm" Trình bày dạng tương đương, dạng rút gọn toán tối ưu tập Pareto thuật toán nhánh cận [12] để giải toán với hàm mục tiêu hàm lõm Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình, nghiêm khắc PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới cô Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy cô Khoa Toán Tin ứng dụng, Viện Đào tạo sau đại học - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Công Nghệ Tin Học - Viện Đại học Mở Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ để hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Thùy Linh Chương Bài toán tối ưu tập Pareto Mục đích chương giới thiệu mô hình toán học số tính chất toán tối ưu tập Pareto (Mục 1.2) Trước hết, Mục 1.1 trình bày mô hình toán học toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ), vài ví dụ thực tế số khái niệm lớp toán nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu cấu trúc tập nghiệm toán Nội dung chương tham khảo chủ yếu [1], [2], [9], [11] [12] 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 1.1.1 Một số ví dụ Sau hai ví dụ thực tế có mô hình toán học toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Ví dụ 1.1 Một khách hàng muốn nhân viên cửa hàng tư vấn để mua xe ô tô Theo sở thích, khách hàng muốn chọn mua bốn loại xe: VW Golf, Opel Astra, Ford Mondeo Toyota Avensis Chi tiết giá thông số công suất động loại xe cho Bảng 1.1 Nhân viên tư vấn cần giúp khách hàng chọn mua xe cho giá rẻ công suất động cao Bảng 1.1 VW Opel Ford Toyota Giá (nghìn USD) 31 29 30 27 Công suất động (Mã lực) 90 75 80 75 Đây toán tối ưu đồng thời hai mục tiêu Bài toán phức tạp nên nhân viên cửa hàng khó tư vấn cho khách hàng cách dễ dàng Ví dụ 1.2 Một nhà máy thủy điện cần thiết kế xây dựng đập nước Quyết định xây dựng đập nước phụ thuộc vào chi phí nhân công xây dựng, bán kính trung bình hồ tuân theo số ràng buộc khả chịu lực tối thiểu đập nước cho tối đa hóa khả 3.3 Phương pháp nhánh cận giải toán Mục trình bày phương pháp nhánh cận để giải toán (3.5) với f hàm lõm không gian Rn (do đó, hàm f liên tục) Do s hàm lõm nên toán tối ưu hóa đa cực trị Chú ý rằng: i Hàm lõm s - yếu tố làm cho việc giải toán trở nên khó khăn - phụ thuộc vào biến u; ii Miền hữu hiệu s không cho dạng tường minh Dựa vào ý [i.], thủ tục nhánh cận giải toán (3.5) thực phân nhánh không gian biến u, thứ nguyên không gian nhỏ hẳn thứ nguyên Rn nên hy vọng giảm đáng kể chi phí tính toán Theo ý [ii.], ta cần phải xây dựng tập lồi đa diện đơn giản (theo nghĩa biết ràng buộc, biết tập đỉnh tập hướng cực biên) không gian biến u để bắt đầu thủ tục nhánh cận Tập khởi tạo (tập xuất phát) phải chứa nghiệm tối ưu toàn cục (hoặc hình chiếu không gian biến u) không miền xác định hàm liên quan Sau trình bày thuật toán xây dựng đa diện xuất phát theo kỹ thuật xấp xỉ Ký hiệu V (S) R(S) tương ứng tập điểm cực biên hướng cực biên đa diện S 62 3.3.1 Thuật toán xấp xỉ xây dựng tập đa diện ban đầu Ký hiệu P (X) P (G(X)) tương ứng hình chiếu tập lồi đa diện X G(X) không gian biến u Ta cần xây dựng đa diện xuất phát S0 cho thuật toán nhánh cận cho P (X) ⊂ S0 ⊂ P (G(X)) Thủ tục xấp xỉ bắt đầu với đa diện S0 không gian biến u thỏa mãn P (X) ⊂ S0 mà đỉnh tính toán dễ dàng Nếu S0 ⊂ P (G(X)) kết thúc thủ tục Ngược lại, cắt bỏ phần S0 \ P (G(X)) thu đa diện nằm P (G(X)) Do tập G(X) không biểu diễn tường minh hệ bất đẳng thức tuyến tính nên thay cắt bỏ phần S0 \ P (G(X)) cắt bỏ phần S0 \ P (X) Vấn đề i Làm để xây dựng đa diện S0 không gian biến u thỏa mãn P (X) ⊂ S0 ? ii Làm để cắt phần S0 \ P (X) siêu phẳng? Trước hết, nhắc lại rằng, đa diện X xác định sau X = {(u, v) : A1 u + A2 v + b ≤ 0}, A1 A2 tương ứng ma trận thu từ ma trận A cách lấy k cột (n − k) cột cuối ma trận A, b ∈ Rm Sau điều kiện cần đủ để nhận biết điểm u0 ∈ P (X)? 63 Bổ đề 3.5 [8, 15]Cho P (X) hình chiếu X không gian biến u Khi đó, điểm u0 ∈ P (X) h = nghiệm tối ưu quy hoạch tuyến tính sau max{ A1 u0 + b, h , AT2 h = 0, h ≥ 0} (L(u0 )) Gọi h0 nghiệm tối ưu toán (L(u0 )) Nếu A1 u0 + b, h0 > u0 ∈ / P (X) Với u ∈ P (X) \ u0 , ta có A1 u + b, h0 ≤ 0, A1 u0 + b, h0 > Từ Bổ đề 3.5, ta có P (X) = {u : A1 u + b, h ≤ 0, h ∈ V (W )}, m hj ≤ 1, AT2 h = W := h = (h1 , · · · , hm ) : (3.6) j=1 Vậy ta có biểu diễn tường minh tập lồi đa diện P (X) Tuy nhiên, m đủ lớn số đỉnh P (X) lớn, việc xác định đỉnh P (X) đòi hỏi chi phí tính toán cao Trong trường hợp này, chọn tập V0 ⊂ W lấy S0 := {u : A1 u + b, h ≤ 0, h ∈ V0 } Rõ ràng, P (X) ⊂ S0 64 Ta xây dựng đa diện S0 cách lấy đơn hình X0 không gian biến x sau lấy S0 = P (X0 ) Để kiểm tra S0 ⊂ P (G(X)) hay không, ta kiểm tra V (S0 ) ⊂ P (G(X)) (3.7) Do X ⊂ G(X), nên u0 ∈ / P (G(X)) u0 ∈ / P (X) Vậy áp dụng Bổ đề 3.5 để xây dựng mặt phẳng cắt để cắt bỏ u0 từ S0 không cắt bỏ điểm từ P (X) Thuật toán 3.1 • Bước khởi tạo Tìm đa diện S0 thỏa mãn S0 ⊂ P (X) Tính tập đỉnh V (S0 ) • Bước If v ∈ P (G(X)), ∀v ∈ V (S0 ) Then S0 ⊂ P (G(X)) Kết thúc thuật toán Else tìm u0 ∈ V (S0 ) thỏa mãn u0 ∈ / P (G(X)) (do đó, u0 ∈ / P (X)) • Bước Giải quy hoạch tuyến tính max{ A1 u0 + b, h , AT2 h = 0, h ≥ 0} thu nghiệm sở h0 Đặt S0 := {u ∈ S0 : A1 u + b, h0 ≤ 0} • Bước Tính tập đỉnh V (S0 ) quay Bước Nói chung, đa diện xuất phát S0 xây dựng phương pháp xấp xỉ thường tập đơn giản (đơn hình, nón, hình chữ nhật, ) 65 3.3.2 Thuật toán nhánh cận giải toán (3.5) Mục trình bày thuật toán nhánh cận giải toán max{FN (u, v) := f (u, v) − N s(u) : A1 u + A2 v + b ≤ 0} (3.5) với f (u, v) hàm lõm X = {(u, v) : A1 u + A2 v + b ≤ 0} Do f hàm lõm nên nghiệm tối ưu toán (3.5) nói chung không đạt đỉnh miền chấp nhận Giả thiết xây dựng đa diện S0 không gian biến u thỏa mãn P (X) ⊂ S0 ⊂ P (G(X)) Cho S đa diện S0 Xét toán (3.5) S, tức β(S) := max{FN (u, v) := f (u, v) − N s(u) : u ∈ S, A1 u + A2 v + b ≤ 0} (P (S)) Tách biến u v toán (P (S)) thu toán nới lỏng α(S) := max{FN (u, v) := f (u, v)−N s(w) : u, w ∈ S, A1 u+A2 v+b ≤ 0} (R(S)) Khi đó, α(S) ≥ β(S) Gọi (uS , v S , wS ) nghiệm tối ưu (R(S)) Rõ ràng, s(uS ) = s(wS ), đặc biệt uS = wS , α(S) = β(S) Thực chất, việc giải toán R(S) giải quy hoạch lồi ràng buộc tuyến tính (cực đại lõm) sau max{f (u, v) : u ∈ S, A1 u + A2 v + b ≤ 0} s hữu hạn S nên việc giải toán cực tiểu hàm lõm s S giải cách so sánh giá trị hàm s đỉnh S 66 Vậy giả thiết = s(wS ), s(wS ) > s(u) > với u ∈ S, tức S không chứa hình chiếu điểm hữu hiệu Trong trường hợp này, S không cần xem xét tiếp Giả thiết s(wS ) < s(uS ), suy uS = wS Khi đó, S phân chia trình phân nhánh mà làm cho khoảng cách hai điểm uS wS tiến nhanh tốt Điểm uS wS gọi điểm chia đôi Sau hai quy tắc chia đôi tập S Quy tắc (Quy tắc Euclidean) Đặt lS = (wS − uS ) \ ( wS − uS ) Khi đó, chia S S − := {v : lS , v − (uS + wS )/2 ≤ 0}, (3.8) S + := {v : lS , v − (uS + wS )/2 ≥ 0} (3.9) Rõ ràng, wS ∈ S − uS ∈ S + Quy tắc (Quy tắc gradient) Đặt lS ∈ ∂(s(wS )) chia S thành S − := {v : lS , v − wS ≤ 0}, (3.10) S + := {v : lS , v − wS ≥ 0}, (3.11) Khi đó, wS ∈ S − lS , uS − wS ≥ s(uS ) − s(wS ) = s(uS ) > 0, nên uS ∈ S + Bổ đề 3.6 Cho {Sk } dãy lồng vô hạn tập phân hoạch tạo phân chia theo Quy tắc {wk }, {uk } dãy tương ứng điểm chia đôi Giả thiết {wk }, {uk } dãy bị chặn Khi đó, chúng có chung điểm tụ 67 Chứng minh Do {Sk } dãy lồng Sk ⊂ S0 với k, việc lấy dãy cần, ta giả thiết Sk+1 ⊂ Sk− , ∀k, (3.12) Sk+1 ⊂ Sk+ , ∀k, (3.13) hay {uk }, {wk } dãy hội tụ Do theo Quy tắc 1, lk = với k, theo Quy tắc lk ∈ ∂s(uk ) nên dãy {lk } bị chặn Vậy giả thiết dãy {lk } hội tụ Xét Quy tắc 1: Nếu có (3.12) uk+1 ∈ Sk− , tức lk , uk+1 − (uk + wk )/2 ≤ Do lk , uk − (uk + wk )/2 ≥ 0, nên ≤ lk , uk − (uk + wk )/2 ≤ lk , uk − (uk + wk )/2 − lk , uk+1 − (uk + wk )/2 = lk , uk − uk+1 ≤ uk − uk+1 → Suy lk , uk − (uk + wk )/2 → Do lk = nên ta có uk − (uk + wk )/2 = (uk − wk )/2 → k → ∞ Bằng cách tương tự, có (3.13) có wk+1 ∈ Sk+ ta có ≥ lk , wk − (uk + wk )/2 ≥ lk , wk − (uk + wk )/2 − lk , wk+1 − (uk + wk )/2 = lk , wk − wk+1 ≤ wk − wk+1 → 68 Vậy lk , wk − (uk + wk )/2 → Suy wk − uk → k → ∞ Với cách phân chia theo Quy tắc 2, chứng minh tương tự Dưới trình bày thuật toán để giải toán max{FN (u, v) := f (u, v) − N s(u) : A1 u + A2 v + b ≤ 0} (3.5) Thuật toán nhánh cận gồm hai pha Pha xây dựng đa diện khởi tạo để thực thủ tục nhánh cận, dùng kỹ thuật tách để tính cận Quy tắc để phân nhánh Để đơn giản, từ dùng ký hiệu uk , v k , wk , · · · thay cho uSk , v Sk , wSk , · · · Như thường lệ, quy ước cực đại tập rỗng −∞ Cho ε ≥ sai số cho phép Điểm chấp nhận x gọi ε - nghiệm tối ưu toán (3.5) f ∗ − f (x) ≤ ε(|f (x)| + 1), f ∗ giá trị tối ưu toán (3.5) Thuật toán chi tiết trình bày Thuật toán 3.2 Pha 1: Dùng Thuật toán 3.1 để xây dựng đa diện xuất phát S0 Pha 2: Tại thời điểm ban đầu, ta có S0 thỏa mãn P (X) ⊆ S0 ⊆ P (G(X)) đỉnh xác định • Bước khởi tạo Giải toán R(S0 ) thu α(S0 ), u0 , w0 , v Đặt ∆0 := {S0 }, α0 := α(S0 ) (cận tốt tại), β0 := β(S0 ) (cận tốt tại), 69 x0 := (u0 , v ) (điểm chấp nhận tốt tại) Khởi tạo k := • Bước lặp k (k = 0, 1, · · · ) ◦ Bước (Tiêu chuẩn dừng) If αk − βk ≤ ε(|βε | + 1) Then kết thúc thuật toán: xk ε nghiệm tối ưu Else chuyển Bước ◦ Bước (Chọn tập để chia) Tìm Sk ∈ ∆k thỏa mãn α(Sk ) := max{α(S ) : S ∈ ∆k } ◦ Bước (Phân nhánh) Dùng Quy tắc để chia Sk thành Sk+ Sk− ◦ Bước (Tính cận) Giải hai toán R(Sk− ) R(Sk+ ) ◦ Bước (Cập nhật) Cập nhật αk , βk xk thu αk+1 , βk+1 xk+1 Gán ∆k+1 := {S ∈ (∆k \Sk )∪{Sk− , Sk+ } : α(S )−βk+1 > ε(|βk+1 |+1)} Đặt k := k + quay Bước Định lý 3.2 (Định lý hội tụ) i Nếu thuật toán dừng bước lặp thứ k xk = (uk , v k ) ε nghiệm tối ưu 70 ii Nếu thuật toán không dừng βk f ∗ , αk f ∗ điểm tụ dãy {xk = (uk , v k )} nghiệm tối ưu toàn cục Chứng minh i Từ tiêu chuẩn dừng thuật toán định nghĩa ∆k , ta thấy [i.] rõ ràng ii Nếu thuật toán chạy với vô hạn bước lặp tạo dãy lồng vô hạn {Sk } tập phân hoạch dãy tương ứng điểm chia đôi {uk } {wk } Theo Bổ đề 3.6, ta có điểm tụ chung u∗ Bằng việc lấy dãy cần, ta giả thiết uk → u∗ , wk → u∗ , v k → v ∗ Do {αk }, {βk } dãy đơn điệu αk = f (uk , v k ) − N s(wk ), βk = f (uk , v k ) − N s(uk ), nên ta có α∗ = f (u∗ , v ∗ ) − N s(u∗ ), β ∗ = f (u∗ , v ∗ ) − N s(u∗ ) Suy α∗ = β ∗ = f ∗ Đặt x = (u, v) điểm tụ dãy {xk = (uk , v k )} Khi đó, (u, v) điểm chấp nhận tồn dãy {xj = (uj , v j )} thỏa mãn uj → u, v j → v Ta có βj = f (uj , v j ) − N s(uj ) cho j → +∞, suy β ∗ = f (u, v) Do đó, (u, v) nghiệm tối ưu toàn cục Hệ 3.2 Nếu ε > thuật toán hữu hạn Kết luận: Chương trình bày dạng ràng buộc tuyến tính tương đương toán tối ưu tập Pareto (P ), hàm mục tiêu 71 không thiết lồi Ngoài ra, chương trình bày dạng rút gọn số biến không lồi toán có dạng ràng buộc tuyến tính tương đương với toán tối ưu tập Pareto thuật toán nhánh cận để giải toán rút gọn trường hợp f hàm lõm 72 Kết Luận Chung Luận văn tốt nghiệp nghiên cứu: • Các khái niệm kết liên quan đến toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (VP) điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, điều kiện tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm toán • Mô hình toán học tính chất nghiệm tối ưu toán tối ưu tập Pareto (P ) • Các thủ tục quy hoạch tuyến tính đơn giản để giải bốn trường hợp đặc biệt toán tối ưu tập Pareto (P ) với hàm mục tiêu tuyến tính • Bài toán có dạng ràng buộc tuyến tính tương đương toán tối ưu tập Pareto (P ), hàm mục tiêu không thiết lồi • Dạng rút gọn số biến không lồi toán có dạng ràng buộc tuyến tính tương đương với toán (P ) thuật toán nhánh cận để giải toán rút gọn trường hợp f hàm lõm gồm hai pha: 73 - Thuật toán xấp xỉ xây dựng tập đa diện ban đầu; - Thuật toán nhánh cận Thuật toán kiểm tra toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (VP) có nghiệm hữu hiệu hay không, xác định nghiệm hữu hiệu ban đầu toán (nếu có) (dựa vào Mệnh đề 1.5) thuật toán giải toán tối ưu tập Pareto trường hợp đặc biệt p = d phụ thuộc tuyến tính vào hàng ma trận C (Thuật toán 2.3) thử nghiệm qua ví dụ số tính chương trình viết ngôn ngữ Dev-C++ , chạy máy PC, hệ điều hành window Do thời gian kinh nghiệm hạn chế, luận văn tốt nghiệp không tránh khỏi sai xót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp 74 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình Các Phương pháp Tối ưu Lý thuyết Thuật toán, Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội [2] Đinh Thế Lục (1998), Giáo trình tối ưu đa mục tiêu, Trung tâm Khoa học tự nhiên Công nghệ quốc gia, Viện Toán học, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] L T H An, L D Muu and P D Tao, "D C Optimization approach for Optimizing over the Efficient Set", Oper Reseach Lett., Vol 19, pp 117 - 128 [4] P Armand and C Malerert (1991), "Determination of the Efficient in Multiobjective Linear Programming", Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 70, pp 467 - 489 [5] P Armand (1993), "Finding all maximal Efficient Faces in Multiobjective Linear Programming", Mathematical Programming, Vol 61, pp 357 - 375 [6] H P Benson and Sayin, S (1994), "Optimization over the Efficient Set: Four Special Cases", Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 80 75 [7] J F¨ ul¨op, "A Cutting Plane Algorithm for Linear Optimization over the Efficient Set", Generalized Convexity, Edited by S Komlosi, T Rapcsaj and S Schaible, Springer, Berlin, pp 374 - 385 [8] R Horst and H Tuy (1993), Global Optimization (Deterministic approaches), Springer - Verlag, Berlin [9] N T Bach Kim and D T Luc (2000), "Normal Cones to a Polyhedral Convex Set and Generating Efficient Faces in Linear Multiobjective Programming", Acta Mathematica Vietnamica, Vol 25 (1), pp 101 124 [10] N T Bach Kim (2000), "An algorithm for Optimizing over the Efficient Set", Vietnam Journal of Mathematics, Vol 28 (4), pp 329 340 [11] D T Luc (1989), Theory of Vector Optimizing, Springer - Verlag, Berlin, Germany [12] Le D Muu (2000), "A Convex - Concave Programming Method for Optimizing over the Efficient Set", Acta Mathematica Vietnamica, Vol 25 (1), pp 67 - 85 [13] J Philip (1972), "Algorithms for the Vector Maximization Problem", Mathematical Programming, Vol 2, pp 207 - 229 [14] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press [15] T V Thieu, B T Tam and V T Ban (1983), "An Outer Approximation Method for Globally Minimizing a Concave Function over a Compact Set", Acta Mathematica Vietnamica, Vol 8, pp 21 - 40 76 ... LINH MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐẢM BẢO TOÁN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TOÁN Hà Nội – Năm 2011 Mục lục Bài toán tối ưu tập Pareto. .. hình toán học toán tối ưu tập Pareto • Chương - "Bốn trường hợp đặc biệt toán tối ưu tập Pareto" Chương dành để trình bày sở lý thuyết thuật toán giải bốn trường hợp đặc biệt toán tối ưu tập Pareto. .. chiều x thuộc tập X x không thuộc tập X tồn x không tồn x x giá trị tuyệt đối x tập rỗng F tập thực tập A F tập tập A tập A tập A khác tập B hiệu tập A tập B hợp tập A tập B giao tập A tập B tích