Một số thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập pareto1

Mục lục Lời cảm ơn iii Lời mở đầu iv Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt vi Bài toán quy hoạch tích lồi 1.1 Hàm lõm, hàm tựa lõm 1.2 Bài toán tối ưu phi tuyến 1.3 Bài toán quy hoạch tích lồi 1.3.1 Phát biểu toán 1.3.2 Dạng toán tương đương 10 Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tích lồi 20 2.1 Phát biểu toán 20 2.2 Cơ sở lý thuyết 22 2.2.1 Xây dựng nón xuất phát K 23 2.2.2 Chia nhánh 30 2.2.3 Cận 31 2.2.4 Cận 41 2.3 Chi tiết thuật toán 41 2.4 Sự hội tụ thuật toán 45 2.4.1 Sự hội tụ thuật toán 45 2.4.2 Nghiệm tối ưu toán gốc 47 i Thuật toán Heuristic giải toán quy hoạch tích tuyến tính 3.1 3.2 50 Cơ sở lý thuyết 51 3.1.1 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính 51 3.1.2 Mối quan hệ hai toán (M LP ) (M OLP ) 55 Chi tiết thuật toán 65 Kết luận chung 73 Danh mục tài liệu tham khảo 75 ii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Bạch Kim, người tận tình nghiêm khắc dạy bảo để luận văn hoàn thành Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán Tin ứng dụng, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Cảm ơn thầy cô đồng nghiệp trao đổi tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn hoàn thiện Bên cạnh đó, quan tâm gia đình, bạn bè nguồn động viên thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Học viên : Nguyễn Thị Mai Thương Lớp : Toán Tin - Toán ứng dụng 2009-2011 iii Lời mở đầu Bài toán quy hoạch tích lồi tìm cực tiểu tích p hàm lồi fj (x), j = 1, · · · , p, p ≥ 2, tập lồi compact khác rỗng G ⊂ Rn Bài toán thuộc lớp toán tối ưu toàn cục, tức nghiệm tối ưu địa phương chưa nghiệm tối ưu toàn cục Hơn nữa, toán N P khó, chí trường hợp đơn giản p = 2, hàm fj , j = 1, 2, tuyến tính G tập lồi đa diện Khi hàm fj (x), j = 1, 2, · · · , p, p ≥ 2, tuyến tính tập chấp nhận G ⊂ Rn tập lồi đa diện khác rỗng ta nhận trường hợp đặc biệt toán quy hoạch tích lồi, lớp toán quy hoạch tích hàm tuyến tính, hay gọi tắt toán quy hoạch tích tuyến tính Như biết, toán quy hoạch tích lồi mô hình toán học nhiều toán nảy sinh lĩnh vực thực tế khác như: phân tích kinh tế, xây dựng, thiết kế chip VLSI, , ứng dụng tối ưu đa mục tiêu Trong năm gần đây, nhu cầu ứng dụng trợ giúp máy tính tốc độ cao, toán thu hút quan tâm nhiều tác giả nước Nhiều thuật toán theo phương pháp khác đề xuất để giải toán quy hoạch tích lồi, chẳng hạn xem [4], [5], [7], [8], [11], [12] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo Mục đích luận văn trình bày hai thuật toán giải toán quy hoạch tích lồi toán quy hoạch tích tuyến tính theo hai tiếp cận khác Cụ thể: iv Chương 2: "Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tích lồi" dành để trình bày thuật toán giải toán quy hoạch tích lồi mở rộng (hàm mục tiêu tổng f0 (x) + p j=1 fj (x), f0 , fj , j = 1, · · · , p, p ≥ 2, hàm lồi, tập chấp nhận G ⊂ Rn tập lồi compact khác rỗng) H Tuy, B Jaumard, C Meyer đề xuất năm 1997 báo [12]: "Generalized Convex Multiplicative Programming via Quasiconcave Minimization" đăng Journal of Global Optimization Thuật toán sử dụng phương pháp nhánh cận theo phân hoạch nón để giải toán tương đương với toán quy hoạch tích lồi không gian ảnh Chương 3: "Thuật toán Heuristic giải toán quy hoạch tích tuyến tính" giới thiệu thuật toán Heuristic giải toán quy hoạch tích tuyến tính Thuật toán H P Benson G M Boger đề xuất năm 1997 báo [4]: "Multiplicative Programming Problems: Analysis and Efficient Point Search Heuristic" đăng Journal of Optimization Theory and Applications Ưu lớn thuật toán ta phải giải chuỗi toán quy hoạch tuyến tính thông thường để tìm nghiệm Chương luận văn có tiêu đề "Bài toán quy hoạch tích lồi" Một số khái niệm tính chất toán quy hoạch tích lồi cần dùng đến chương sau giới thiệu Nội dung luận văn Chương 1, Chương Chương Các phần lại như: Lời cảm ơn, Lời mở đầu, Danh mục kí hiệu chữ viết tắt, Kết luận chung Danh mục tài liệu tham khảo trình bày đầy đủ Mặc dù cố gắng, song luận văn chắn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 26 tháng năm 2011 v Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclid n chiều x∈G thuộc tập G x∈ /G không thuộc tập G ∅ tập rỗng C \D hiệu tập C D C ∩D giao tập C D C ∪D hiệu tập C D x, y tích vô hướng x y x chuẩn Euclid x |x| giá trị tuyệt đối x convG bao lồi tập G intG phần tương đối G epi(f ) epigraph hàm f hypo(f ) hypograph hàm f ∇f (x) gradient hàm f điểm x AT ma trận chuyển vị ma trận A t.ư, viết tắt cụm từ "tương ứng" v.đ.k viết tắt cụm từ "với điều kiện" (N P ) kí hiệu Bài toán quy hoạch phi tuyến (CM P ) kí hiệu Bài toán quy hoạch tích lồi vi (QCM ) kí hiệu Bài toán tương đương với quy hoạch tích lồi không gian ảnh (M LP ) kí hiệu Bài toán quy hoạch tích tuyến tính (M OLP ) kí hiệu Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính (M PG ) kí hiệu Bài toán quy hoạch tích lồi mở rộng (M PT ) kí hiệu Bài toán tương đương với quy hoạch tích lồi mở rộng không gian ảnh vii Chương Bài toán quy hoạch tích lồi Mục đích chương giới thiệu vài nét toán quy hoạch tích lồi: mô hình toán học, tính chất nghiệm tối ưu dạng toán tương đương Nội dung Chương tham khảo [1], [2] [12] 1.1 Hàm lõm, hàm tựa lõm Cho hàm f xác định tập lồi D ⊆ Rn Khi đó, Hàm f gọi lõm D ∀x1 , x2 ∈ D : f [λx1 + (1 − λx2 )] ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), ≤ λ ≤ Hàm f lõm chặt thay dấu "≥" dấu ">" Hàm f gọi tựa lõm D ∀x1 , x2 ∈ D : f [λx1 + (1 − λ)x2 ] ≥ min{f (x1 ), f (x2 )}, ≤ λ ≤ Hàm f tựa lõm chặt thay dấu "≥" dấu ">" Như biết, f hàm lõm (tương ứng1 lõm chặt, tựa lõm, tựa lõm chặt) hàm g := −f hàm lồi (t.ư, lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) Từ đến hết luận văn, ta viết tắt chữ "tương ứng" "t.ư," Mệnh đề 1.1 Hàm f : Rn −→ R hàm lõm tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn hypograph hypo(f ) := {(x, ξ) ∈ D × R : ξ ≤ f (x)} ⊂ Rn+1 tập lồi Sau điều kiện cần đủ để nhận biết hàm tựa lõm Mệnh đề 1.2 Giả sử f hàm xác định tập lồi D ⊆ Rn Khi đó, f hàm tựa lõm D tập mức Lα (f ) = {x ∈ D | f (x) ≥ α} tập lồi với α ∈ R Chứng minh (=⇒) Xét tập mức Lα (f ) với α ∈ R Lấy hai điểm x1 , x2 ∈ Lα (f ), ta có f (x1 ) ≥ α, f (x2 ) ≥ α Theo định nghĩa hàm tựa lõm f (x) = f λx1 + (1 − λ)x2 ≥ min{f (x1 ), f (x2 )} = α, ∀λ ∈ [0, 1] Do đó, x = λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Lα (f ), ∀λ ∈ [0, 1] Điều chứng tỏ Lα (f ) tập lồi (⇐=) Xét hai điểm x1 , x2 ∈ D Chọn α = min{f (x1 ), f (x2 )} Dễ thấy x1 , x2 ∈ Lα (f ) Vì Lα (f ) tập lồi với α nên x¯ = λx1 +(1−λ)x2 ∈ Lα (f ), với λ ∈ [0, 1], tức f (¯ x) = f λx1 + (1 − λ)x2 ≥ α = min{f (x1 ), f (x2 )} Do hàm f hàm tựa lõm D Nhận xét rằng, hàm lõm tập lồi D hàm tựa lõm D, điều ngược lại chưa −π π , Vì 2 tập mức tgx tập lồi nên theo Mệnh đề 1.2, tgx hàm Ví dụ 1.1 Xét hàm biến y = f (x) = tgx, x ∈ D = tựa lõm Tuy nhiên, tgx hàm lõm hypograph hàm tập lồi (theo dấu hiệu nhận biết hàm lõm Mệnh đề 1.1) Xem minh họa Hình 1.1 Tương tự hàm lõm, hàm tựa lõm đạt cực tiểu đa diện đỉnh đa diện Cụ thể, Mệnh đề 1.3 Cho hàm tựa lõm, liên tục f : Rn −→ R Xét toán min{f (x) | x ∈ D}, D ⊆ Rn đa diện khác rỗng Bài toán đạt nghiệm tối ưu đỉnh D Với w = w¯ , toán đối ngẫu toán (LP (w)) viết dạng max − b, z (DLP (w)) v.đ.k − AT z = C T w¯ , z ≥ Chọn z phương án chấp nhận toán (DLP (w)) T Khi đó, (u0 , z T ) phương án chấp nhận toán (DP ) Do T T (u0 , z ) nghiệm tối ưu toán (DP ) nên ta có − y , u0 − b, z ≥ − y , u0 − b, z , tức − b, z ≥ − b, z T (3.7) T Vì (u0 , v ) nghiệm tối ưu toán (DP ) nên z nghiệm chấp nhận toán (DLP (w)) Vì ta chọn z phương án chấp nhận toán (DLP (w)) nên từ biểu thức (3.7) suy z nghiệm tối ưu toán (DLP (w)) Mặt khác, theo giả thiết x0 nghiệm hữu hiệu toán (M OLP ), nên với w = w¯ x0 phương án chấp nhận toán (LP (w)) Từ biểu thức (3.6) ta có x0 nghiệm tối ưu toán (LP (w)) Chú ý rằng, Định lý 3.6, với t > 0, Gtw¯0 = Gw¯0 Do đó, w¯ ∈ / W tồn t ∈ (0, 1) cho tw¯ ∈ W Gtw¯0 = Gw¯0 Vì vậy, w¯ ∈ / W ta chọn giá trị w¯ ∈ W cho Gw¯0 = Gw¯0 Như vậy, không tính tổng quát, Định lý 3.6, ta giả sử w¯ ∈ W 62 Theo Định lý 3.5, với y ∈ Y ≥ , ta diện hữu hiệu toán (M OLP ) Như vậy, cách thay đổi điểm y ∈ Y ≥ giải toán quy hoạch tuyến tính (P (y)), ta nhận diện hữu hiệu khác Sau cách xác định điểm y ∈ Y ≥ dựa vào hai điểm đặc biệt y I y AI Với j ∈ {1, 2, · · · , p}, kí hiệu yjI giá trị tối ưu toán yj , v.đ.k y ∈ Y, (Pm (j)) yjAI giá trị tối ưu toán max yj , v.đ.k y ∈ Y (PM (j)) Lưu ý rằng, với j ∈ {1, · · · , p}, giá trị tối ưu yjI toán (Pm (j)) giá trị tối ưu toán quy hoạch tuyến tính cj , x , v.đ.k x ∈ G, tương tự, giá trị tối ưu yjAI toán (PM (j)) giá trị tối ưu toán quy hoạch tuyến tính max cj , x , v.đ.k x ∈ G Đặt y I = (y1I , · · · , ypI ), y AI = (y1AI , · · · , ypAI ) Như thường lệ, điểm y I gọi điểm lý tưởng tập Y Nếu y I ∈ Y ta có tập điểm hữu hiệu YE = {y I } Vì vậy, ta xét với trường hợp y I ∈ / Y Xem minh họa Hình 3.4 63 Tương tự, nói chung y AI không thuộc tập ảnh Y Từ hai điểm này, ta xác định dãy S điểm thuộc Y ≥ nằm đoạn thẳng [y I , y AI ] theo công thức y i = y AI + i ∗ (y − y AI ), i = 0, 1, · · · , S, S y ∗ = y AI + α∗ (y I − y AI ), với α∗ giá trị tối ưu toán max α v.đ.k Cx ≤ y AI + α(y I − y AI ) Ax ≤ b, α ≥ Hình 3.5 minh họa điểm y ∗ dãy điểm y , y , y ∈ Y ≥ với p = 64 3.2 Chi tiết thuật toán Thuật toán Heuristic kí hiệu Thuật toán HES giải toán quy hoạch tích tuyến tính gồm có hai pha, cụ thể sau: Thuật toán HES Pha I (Khởi tạo) Gồm có bước: Bước 1: Tìm điểm y I y AI tập ảnh Y ; Bước 2: Tìm nghiệm tối ưu [x∗ T , α∗ ] ∈ Rn+1 toán quy hoạch tuyến tính max α v.đ.k Cx ≤ y AI + α(y I − y AI ) Ax ≤ b α ≥ 65 đặt y ∗ = y AI + α∗ (y I − y AI ); Bước 3: Chọn số nguyên dương S, với i = 0, 1, · · · , S, đặt y i = y AI + i ∗ (y − y AI ); S Bước 4: Chọn số nguyên dương N cho ≤ N ≤ M − p + chọn w0 = e ∈ Rp Với j = 1, 2, · · · , p, wj xác định sau: wij =   1, i = j,  N, i = j; Bước 5: Gán U B := +∞, i := 0, j := 0; Pha II (Thuật toán tìm điểm hữu hiệu) Gồm bước Bước 1: Đặt y = y i , w = wj tìm nghiệm tối ưu x¯ij toán (P (y)) : wT C, x (P (y)) v.đ.k Cx ≤ y, Ax ≤ b; T Bước 2: Đặt y = C x¯ij , w = wj tìm nghiệm tối ưu [(uij )T , (z ij) ] toán đối ngẫu (DP ) : max − y, u − b, z v.đ.k − C T u − AT z = C T w u, z ≥ 0, 66 (DP ) uij biến đối ngẫu tương ứng với ràng buộc Cx ≤ y toán (P (y)); Bước 3: Đặt w¯ ij = uij + wj ; If w¯ ij = λw¯ i j với λ > 0, i ≤ i, j ≤ j cho (i , j ) = (i, j), Then Chuyển Bước 6; Bước 4: Đặt vij = (w¯ ij )T C x¯ij Với h = 1, 2, · · · , n, tính giá trị ah theo biểu thức p ct , x¯ij [ckh ], ah = k=1 t=k tìm nghiệm tối ưu xij toán a, x v.đ.k (w¯ ij )T Cx = vij Ax ≤ b; p ck , xij ≥ U B Then Chuyển Bước Bước 5: If k=1 Else Đặt x¯ = xij , p ck , x¯ , UB = k=1 Chuyển Bước 6; Bước 6: Đặt j := j + 1; If j ≤ p Then Quay Bước Else Đặt i := i + 1, j = 0; If i ≤ S Then Quay Bước Else Dừng thuật toán: lấy x¯ ∈ GE,ex coi nghiệm toán quy hoạch tích tuyến tính (M LP ) 67 Sau ví dụ đơn giản để minh họa bước thuật toán Ví dụ 3.2 Giải toán g(x) = (x1 + x2 ).x2 , với tập chấp nhận G    ≤ x1 ≤     x2 ≥      −x1 + x2 ≤ Giải: Ta có    −1          , b =  A=     −1      −1 −1       1 , C =    −1   Đặt f1 (x) = x1 + x2 , f2 (x) = x2 Pha 1: Bước Giải toán y1 v.đ.k fj (x) = yj , j = 1, 2, Ax ≤ b, tìm nghiệm tối ưu (x1 , x2 , y1 , y2 ) = (1, 1, 2, 1) Giải toán y2 v.đ.k fj (x) = yj , j = 1, 2, 68 Ax ≤ b, tìm nghiệm tối ưu (x1 , x2 , y1 , y2 ) = (4, 1, 4, 1) Giải toán max y1 v.đ.k fj (x) = yj , j = 1, 2, Ax ≤ b, tìm nghiệm tối ưu (x1 , x2 , y1 , y2 ) = (4, 6, 10, 6) Giải toán max y2 v.đ.k fj (x) = yj , j = 1, 2, Ax ≤ b, tìm nghiệm tối ưu (x1 , x2 , y1 , y2 ) = (4, 6, 10, 6) Do đó, y I = (2, 1)T , y AI = (10, 6)T Bước Giải toán quy hoạch tuyến tính max α v.đ.k Cx ≤ y AI + α(y I − y AI ) Ax ≤ b, α ≥ 0, tìm nghiệm tối ưu (x∗1 , x∗2 , α∗ ) = (1, 1, 0.75) nên giá trị tối ưu α∗ = 0.75 Ta có y ∗ = y AI + α∗ (y I − y AI ) = (4, 2.25)T Bước Chọn S = 3, ta tính y = (10, 6)T , y = (8, 4.75)T , y = (6, 3.5)T , y = (4, 2.25)T 69 Bước Chọn N = ta có w0 = (1, 1)T , w1 = (3, 1)T , w2 = (1, 3)T Bước Đặt U B = +∞, i = 0, j = Pha 2: (Lần lặp với i = 0, j = 0) Bước Đặt y = y = (10, 6)T , w = w0 = (1, 1)T Ta có wT C = (1, 1) Giải toán quy hoạch tuyến tính x1 + x2 v.đ.k Cx ≤ y, Ax ≤ b, tìm nghiệm tối ưu x¯00 = (1, 1)T Bước Đặt y = C x¯00 = (2, 1)T , w = w0 = (1, 1)T Giải toán max − y, u − b, z v.đ.k − C T u − AT z = C T w, u, z ≥ 0, tìm nghiệm tối ưu (u, z) = (0, 0, 1, 0, 2, 0) nên u00 = (0, 0) Bước Đặt w¯ 00 = u00 + w0 = (1, 1)T Bước Đặt v00 = (w¯ 00 )T C x¯00 = Tính véc tơ a = ∇g(¯ x00 ) = (a1 , a2 ) : a1 = ∂g(x) 00 (¯ x ) = 1, ∂x1 a2 = ∂g(x) 00 (¯ x ) = ∂x2 70 Giải quy hoạch tuyến tính a, x v.đ.k (w¯ 00 )T Cx = v00 , Ax ≤ b, tìm nghiệm tối ưu x00 = (1, 1)T Bước Do f (x00 ) = < U B nên đặt U B = Bước Gán j = Quay Bước Tiếp tục thực vòng lặp trên, sau 12 lần lặp ta thu x∗ = (1, 1)T nghiệm tối ưu toán ban đầu Giá trị tối ưu g(x∗ ) = Thuật toán Heuristic vừa trình bày có số ưu điểm sau: i) Thuật toán thực việc giải toán quy hoạch tuyến tính; ii) Thường tìm nhiều điểm cực biên hữu hiệu toán (M OLP ) cách tối ưu toàn diện hữu hiệu xét cụ thể điểm cực biên hữu hiệu toán (M OLP ); iii) Cho phép người dùng thao tác cách tự nhiên, tùy ý chọn số điểm hữu hiệu theo nhu cầu thông qua việc cài đặt thông số đầu vào S N; 71 Kết luận: Chương trình bày chi tiết sở lý thuyết thuật toán Heuristic giải toán quy hoạch tích hàm tuyến tính Ta nhận thấy rằng, để giải toán tìm nghiệm tối ưu xấp xỉ, bước thuật toán, ta cần giải số toán quy hoạch tuyến tính thông thường Như vậy, so với thuật toán khác đề xuất để giải toán quy hoạch tích hàm tuyến tính, thuật toán có độ phức tạp nhỏ 72 Kết luận chung Luận văn nghiên cứu toán quy hoạch tích lồi hai thuật toán giải toán này: Thuật toán SM P (Chương 2) giải toán quy hoạch tích lồi mở rộng (M PG ) thuật toán Heuristic HES (Chương 3) giải toán quy hoạch tích tuyến tính - trường hợp đặc biệt toán quy hoạch tích lồi Cụ thể, luận văn trình bày: i) Mô hình toán học toán quy hoạch tích lồi (CM P ), khái niệm kết liên quan đến toán ii) Mối quan hệ toán quy hoạch tích lồi không gian ảnh (PY ) tập điểm hữu hiệu tập ảnh Y iii) Tính tương đương toán cực tiểu hàm tựa lõm (QCM ) không gian ảnh với toán (CM P ) Kết sử dụng để xây dựng thuật toán giải toán quy hoạch tích lồi giới thiệu Chương iv) Cơ sở lý thuyết chi tiết thuật toán nhánh cận SM P giải toán quy hoạch tích lồi mở rộng (M PG ), xây dựng nón ban đầu K , cách chia nhánh, tính cận, giới thiệu đầy đủ v) Mối liên hệ toán quy hoạch tích hàm tuyến tính (M LP ) toán quy hoạch đa mục tiêu tương ứng (M OLP ) 73 vi) Thuật toán HES thuộc dạng Heuristic giới thiệu Chương cho phép giải toán quy hoạch tích hàm tuyến tính vii) Một số ví dụ cụ thể để minh họa cho thuật toán Do hạn chế mặt thời gian kinh nghiệm, luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 74 Danh mục tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình Các Phương Pháp Tối ưu: Lý thuyết Thuật toán, Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh M Avriel, W E Diewert, S Schaibe and I Zang (1988), General Concavity, Plenum Press, New York H P Benson and G M Boger (1997), "Multiplicative Programming Problems: Analysis and Efficient Point Search Heuristic", Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 94, No 2, pp 487-510 H P Benson (1999), "An outcome Space Branch and Bound-Outer Approximation Algorithm for Convex Multiplicative Programming", Journal of Global Optimization, 15: 315-342 H P Benson (1998), "An Outer Approximation Algorithm for Generating All Efficient Extreme Points in the Outcome Set of a Multiple Objective Linear Programming Problem", Journal of Global Optimization, 13:1-24 75 N T B Kim (2007), "Finite Algorithm for Minimizing the Product of Two Linear Functions over a Polyhedron", Journal of Industrial and Management Optimization, 3(3), 481-487 H Konno, T Kuno and Y Yajima (1993), "An Outer Approximation Method for Minimizing the Product of Several Convex Functions on a Convex Set", Journal of Global OPtimization, 3: 325-335 D T Luc (1989), Introduction to Nonlinear Optimization, Cinvestar IPN, Mexico, D.F 10 R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Pricenton University Press, Pricenton 11 N V Thoai (1991), "A Global Optimization Approach for Solving the Convex Multiplicative Programming Problem", Journal of Global Optimization, 1: 341-357 12 H Tuy, B Jaumard and C Meyer (1997), "Generalized Convex Multiplicative Programming via Quasiconcave Minimization", Journal of Global Optimizations, Plenum Publishing Corporation, 10: 229-256 76 ... Mệnh đề 2.1 Bài toán (M PG ) tương đương với toán (M PT ) theo nghĩa: t∗ nghiệm tối ưu toán (M PT ) x∗ nghiệm tối ưu toán f0 (x) + p p t∗i fi (x) p x∈G (P2 (t∗ )) i=1 x∗ nghiệm tối ưu toán (M PG... PT )) tìm nghiệm tối ưu toán (M PT ) (t.ư, toán (M PG )) Thay giải trực tiếp toán (M PG ), [12], tác giả đề xuất thuật toán nhánh cận giải toán (M PT ) Cơ sở lý thuyết cho thuật toán trình bày... biết, toán (CM P ) thuộc lớp toán tối ưu toàn cục, tức nghiệm tối ưu địa phương chưa nghiệm tối ưu toàn cục Nhắc lại rằng: Điểm x∗ ∈ G gọi nghiệm tối ưu địa phương nghiệm cực tiểu địa phương toán