Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ THUẦN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH THƯƠNG ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ THUẦN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH THƯƠNG ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Mở đầu Chương Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán quy hoạch thương không trơn với hàm lồi suy rộng 1.1 Các khái niệm định nghĩa 1.2 Điều kiện tối ưu 10 1.3 Đối ngẫu 14 Chương Điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch thương đa mục tiêu qua vi phân suy rộng 19 2.1 Phát biểu toán kết bổ trợ 19 2.2 Điều kiện cần tối ưu 29 2.3 Điều kiện đủ tối ưu 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Lí chọn đề tài Các toán quy hoạch thương đa mục tiêu đóng vai trị quan trọng tối ưu, mơ hình phân tích gói liệu Charnes–Cooper– Rhodes ví dụ cho tốn quy hoạch thương kinh tế Các điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán quy hoạch thương đa mục tiêu nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu H Kuk, G M Lee T Tanino ([16], 2001) thiết lập điều kiện Karush - Kuhn - Tucker định lí đối ngẫu cho toán quy hoạch thương đa mục tiêu Lipschitz địa phương có ràng buộc bất đẳng thức với hàm lồi suy rộng Lipschitz địa phương N Gadhi ([8], 2008) dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu toán quy hoạch thương đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức với hàm liên tục, không thiết Lipschitz địa phương Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán quy hoạch thương đa mục tiêu" Mục đích đề tài luận văn Luận văn trình bày điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cần đủ định lý đối ngẫu cho tốn quy hoạch thương có ràng buộc bất đẳng thức với hàm lồi suy rộng Lipschitz địa phương H Kuk, G M Lee, T Tanino đăng tạp chí J Math Anal Appl 262 ([16], 2001), 365 - 375, điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch thương hàm liên tục N Gadhi đăng tạp chí Optimization 57 ([8], 2008), 527 - 537 Nội dung đề tài luận văn, vấn đề cần giải Chương Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho tốn quy hoạch thương khơng trơn với hàm lồi suy rộng Trình bày kết điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch thương đa mục tiêu khơng trơn với hàm Lipschitz địa phương, có ràng buộc bất đẳng thức, ngôn ngữ vi phân Clarke, định lý đối ngẫu yếu, mạnh, ngược chặt với giả thiết tính lồi suy rộng Các kết trình bày chương Kuk - Lee - Tanino ([16], 2001) Chương Điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch thương đa mục tiêu qua vi phân suy rộng Trình bày kết điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu toán quy hoạch thương đa mục tiêu với hàm không thiết Lipschitz địa phương, có ràng buộc bất đẳng thức ngơn ngữ vi phân suy rộng Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng Các kết trình bày chương Gadhi ([8], 2008) Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Vũ Thị Thuần Chương Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán quy hoạch thương không trơn với hàm lồi suy rộng Chương trình bày kết Kuk - Lee - Tanino [16] điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch thương đa mục tiêu khơng trơn có ràng buộc bất đẳng thức, với hàm Lipschitz địa phương, ngôn ngữ vi phân Clarke, định lý đối ngẫu yếu, mạnh, ngược chặt với giả thiết tính lồi suy rộng 1.1 Các khái niệm định nghĩa Cho Rn không gian Euclide n chiều Trong suốt chương này, ta sử dụng mối quan hệ so sánh vectơ Rn sau: x > y ⇔ xi > yi , với i = 1, , n, x ≥ y ⇔ xi ≥ yi , với i = 1, , n Hàm giá trị thực f : Rn → R gọi Lipschitz địa phương với z ∈ Rn , tồn số dương K lân cận N z cho, với x, y ∈ N , | f (x) − f (y) |≤ K đó, x−y , kí hiệu chuẩn Rn Trong chương này, ta xét toán quy hoạch thương đa mục tiêu sau:   min f1 (x) , , fp (x) , g1 (x) gp (x) (F P ) :  x ∈ X = {x ∈ Rn | hj (x) ≤ 0, j = 1, , m }, fi : Rn → R, gi : Rn → R, i = 1, , p hj : Rn → R, j = 1, , m hàm Lipschitz địa phương Giả sử fi (x) ≥ 0; gi (x) > Rn với i = 1, , p Giả thiết gi (x) > để hàm mục tiêu xác định Giả thiết fi (x) ≥ (i = 1, , p) cần để chứng minh kết luận văn Định nghĩa 1.1 Đạo hàm theo phương suy rộng Clarke [6] hàm Lipschitz địa phương f x theo phương d kí hiệu f ◦ (x; d) định nghĩa sau: f ◦ (x; d) = lim sup t−1 (f (y + td) − f (y) ) y−→x;t↓0 Gradient suy rộng Clarke [6] f x định nghĩa ∂f (x) = ξ | f ◦ (x; d) ≥ ξ T d, ∀d ∈ Rn } Mệnh đề 1.1 [1] Giả sử f Lipschitz địa phương với số Lipschitz K x Khi đó, (i) Hàm v −→ f ◦ (x; v) hữu hạn, dương, cộng tính Rn , | f ◦ (x; v) |≤ K v ; (ii) f ◦ (x; v) nửa liên tục theo (x, v); f ◦ (x, ·) Lipschitz với số K Rn ; (iii) f ◦ (x; −v) = (−f )◦ (x; v) Mệnh đề 1.2 [1] Giả sử f hàm Lipschitz địa phương x với số Lipschitz K Khi đó, a) ∂f (x) = ∅, lồi, compắc ξ ≤ K (∀ξ ∈ ∂f (x)); b) Với v ∈ Rn , ta có f ◦ (x; v) = max { ξ, v : ξ ∈ ∂f (x) } Ví dụ 1.1 Cho hàm affine Rn : f (x) = x∗ , x +α (x∗ ∈ Rn , α ∈ R) Ta có ∂f (x) = {x∗ } (∀x ∈ Rn ) Ví dụ 1.2 Cho hàm f (x) =| x | (x ∈ R) Ta có ∂f (x) =    , x > 0,   −1 , x < Với x = 0, ta có f ◦ (0; v) =| v | (với v ∈ R), ∂f (0) = [−1, 1] Ví dụ 1.3 Cho hàm f : R −→ R xác định f (x) = max xi (x = (x1 , , xn ) ∈ Rn ) 1≤i≤n Đặt I(x) = {i : x1 = max1≤j≤n xj } Ta có (xem [1]):     ∂f (x) = (ζ1 , , ζn ) : ζi ≥ 0, ζi = 1, ζj = 0, j ∈ / I(x)   i∈I(x) f ◦ (x; v) = max vi (v = (v1 , , ) ∈ Rn ) i∈I(x) Egudo Hanson [7] định nghĩa tính lồi bất biến hàm Lipschitz địa phương sau Định nghĩa 1.2 Một hàm Lipschitz địa phương f gọi lồi bất biến X0 ⊂ Rn với x, u ∈ X0 tồn hàm η (x, u ): X0 × X0 → Rn thỏa mãn f (x) − f (u) ≥ ξ T η(x, u), với ξ ∈ ∂f (u) Egudo Hanson [6] tổng quát tính V - lồi bất biến Jeyakumar Mond [10] cho trường hợp không trơn sau Định nghĩa 1.3 Một hàm vectơ f : X0 → Rn gọi V - lồi bất biến tồn hàm η : X0 × X0 → Rn αi : X0 × X0 → R+ \ {0 } thỏa mãn fi (x) − fi (u) − αi (x, u)ξiT η(x, u) ≥ 0, với ξi ∈ ∂fi (u) Kuk, Lee Kim [15] định nghĩa V - ρ - lồi bất biến cho trường hợp không trơn sau : 26 Dưới vi phân suy rộng khơng Ta có: f ((0, 0), (u, v)) = |u| − |v| Cho nên tập ∂ ∗ f (0) = {(−1, 1), (1, −1)} thõa mãn Định nghĩa 2.5, tập vi phân suy rộng hàm f , ∂ ◦ f (0) = ∂ f (0) = co ({(1, ), (−1, ), (1, −1 ), (−1, −1 )}) Từ suy co (∂ ∗ f (0)) ⊂ ∂ ◦ f (0) = ∂ f (0) Như ví dụ kết điều kiện cần tối ưu biểu diễn ngơn ngữ ∂ ∗ f (x) cung cấp điều kiện tốt với hàm Lipschitz địa phương Mệnh đề 2.3 Cho f : Rp −→ R := [−∞; +∞ ] hàm liên tục x ∈ dom(f ) Giả sử ∂ ◦ f (x) đóng ∂ ◦ f (.) nửa liên tục x Khi ∂ ◦ f (x) vi phân suy rộng f x Chứng minh Cho ε > Vì ∂f (.) nửa liên tục x nên tồn δ > cho ∂ ◦ f (x) ⊂ ∂ ◦ f (x) + εBRq với x ∈ x + δBRp Sử dụng Định lí 2.3 [12] (định lí giá trị trung bình), tồn c ∈ (x, x ) cho f (x) − f (x) ∈ ∂ ◦ f (c)(x − x) ⊂ ∂ ◦ f (x)(x − x) + ε x−x BR Bây giờ, cho v ∈ Rp Do BR compắc, ta có f − (x, v) ∈ ∂ ◦ f (x)(v) + ε v BR f + (x, v) ∈ ∂ ◦ f (x)(v) + ε v BR 27 Vì vậy, tồn x∗1 , x∗2 ∈ ∂ ◦ f (x) b1 , b2 ∈ BR thỏa mãn f − (x, v) = x∗1 , v + ε b1 f + (x, v) = x∗2 , v + ε v v b2 Do f − (x, v) ≤ x∗ , v + ε sup v f + (x, v) ≤ x∗ ∈∂ f (x) inf x∗ , v − ε inf x∗ , v x∗ ∈∂ f (x) v Cho ε −→ ta nhận f − (x, v) ≤ sup x∗ , v f + (x, v) ≥ x∗ ∈∂ f (x) x∗ ∈∂ f (x) Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 2.6 Cho f : Rp −→ Rq , x ∈ Rp Af (x) ⊆ L (Rp , Rq ) Af (x) gọi xấp xỉ f x với ε > 0, tồn δ > cho f (x) − f (x) ∈ Af (x )+ε x−x BRq với x ∈ x + δBRp Nhận xét 2.1 (1) Amahroq Gadhi [3] chứng minh f liên tục ∂ ◦ f (x) xấp xỉ f x (2) Thay sử dụng vi phân đối xứng f x, ta phát biểu kết Mệnh đề 2.1 qua xấp xỉ [13] Bây nhắc lại quy tắc hàm hợp ngôn ngữ vi phân suy rộng Jeyakumar Luc [11] Mệnh đề 2.4 [11] Giả sử f = (f1 , , fn ) hàm liên tục từ X vào Rn , cho g hàm liên tục từ Rn vào R Giả sử với i = 1, 2, , n, fi có vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ fi (x) x g có vi phân suy 28 rộng bị chặn ∂ ∗ g (f (x )) f (x ) Với i = 1, , n, ∂ ∗ fi nửa liên tục x ∂ ∗ g nửa liên tục f (x) Khi đó, tập ∂ (g ◦ f )(x) := ∂ ∗ g (f (x)) (∂ ∗ f1 (x ), , ∂ ∗ fn (x )) vi phân suy rộng g ◦ f x Hệ 2.1 Giả sử f = (f1 , , fn ) hàm liên tục từ X vào Rn Giả sử với i = 1, 2, , n hàm fi có vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ fi (x ) x ∂ ∗ fi nửa liên tục x Đặt h(x) = max {fi (x ): i = 1, 2, , n } I (x) = {i : fi (x) = h(x) } Khi đó, co {∂ ∗ fi (x ): i (x )} vi phân suy rộng h x, co kí hiệu bao lồi Chứng minh Phát biểu hệ Mệnh đề 2.4 với g (t1 , t2 , , tn ):= max (t1 , t2 , , tn ) Bởi g Lipschitz, ∂c g(s1 , s2 , , sn ) n = (r1 , , rn ) : ri ≥ 0, ri = ri = si < g(s1 , , sn ) i=1 vi phân suy rộng g (s1 , , sn ) Từ suy co {∂ ∗ fi (x ): i ∈ I (x)} vi phân suy rộng h x Hệ chứng minh 29 2.2 Điều kiện cần tối ưu Phần trình bày điều kiện cần tối ưu Lagrange - Kuhn - Tucker điều kiện đủ tối ưu Kuhn - Tucker Ta kí hiệu φ ánh xạ định nghĩa sau: φ(x) := fp (x) f1 (x) , , g1 (x) gp (x) Đặt E = {x ∈ X : hj (x) ≤ với j = 1, , m } Định lý 2.1 Cho x ∈ E nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Giả sử fi , gi hj liên tục có vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ fi (x ), ∂ ∗ gi (x ) ∂ ∗ hj (x ) x, ∂ ∗ fi , ∂ ∗ gi ∂ ∗ hj nửa liên tục x Khi đó, tồn véctơ α1∗ , , αp∗ )∈ Rp+ (µ∗1 , , µ∗m )∈ Rm + thỏa mãn p m αi∗ (∂ ∗ fi (x) 0∈ ∗ µ∗j ∂ ∗ hj (x) , − φi (x) ∂ gi (x)) + i=1 (2.1) j=1 µ∗j hj (x) = 0, j = 1, , m, (2.2) ≤ µ∗j hj (x) ≤ 0, j = 1, , m (2.3) α1∗ , , αp∗ = µ∗0 (λ1 , , λp ) , (λ1 , , λp ) ∈ Rp+ \ {0} , m µ∗i = i=0 Chứng minh Bởi x ∈ E nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P), tồn lân cận U x cho φ(x) − φ(x) ∈ Rp \ −IntRp+ 30 với x ∈ U ∩ E Chứng minh định lý bao gồm bước sau: Bước 1: Chứng minh x nghiệm cực tiểu yếu địa phương toán (P1 ) :   min (f1 (x) − φ1 (x)g1 (x), , fp (x) − φp (x)gp (x)) ,  x ∈ E, φi (x )= fi (x )/gi (x ) Ngược lại, giả sử tồn x1 ∈ U ∩ E thỏa mãn (fi (x1 )−φi (x )gi (x1 ))− (fi (x )−φi (x )gi (x ))∈ −Int (Rp+ ) Do fi (x )−φi (x )gi (x )= 0, ta có fi (x1 ) fi (x) − ∈ −Int (Rp+ ) gi (x1 ) gi (x) Điều mâu thuẫn với x nghiệm cực tiểu yếu địa phương (P ) Bước 2: Chứng minh x nghiệm cực tiểu yếu địa phương tốn vơ hướng (P2 ) :   min∆−Int Rp (ϕ1 (x) − ϕ1 (x), , ϕp (x) − ϕp (x)) , +  x ∈ E, ϕi (.) := fi (.) − φ(x)gi (.) với i ∈ {1, , p } Vì x nghiệm cực tiểu yếu địa phương (P1 ) nên tồn lân cận U x thỏa mãn (ϕ1 (x) − ϕ1 (x), , ϕp (x) − ϕp (x) )∈ Rp \ −IntRp+ 31 với x ∈ U ∩ E Do đó, từ Mệnh đề 2.1 −IntRp+ Do −IntRp+ (0) (ϕ1 (x) − ϕ1 (x), , ϕp (x) − ϕp (x) )≥ = ta suy x cực tiểu yếu địa phương (P2 ) Bước 3: Do x nghiệm P2 , suy x nghiệm tốn khơng ràng buộc sau: (P3 ) :   minF (x) = max {h0 (x) − h0 (x), h1 (x), , hm (x) },  x ∈ R m , h0 (.) := −IntRp+ (ϕ1 (.) − ϕ1 (x), , ϕp (.) − ϕp (x) ) h0 (x) = Từ Mệnh đề 4.1 [11] ta có ∈ co (∂ ∗ F (x) ) Đặt J(x) := {j ∈ {1, , m }: hj (x) = } sử dụng Hệ 2.1, tồn µ0 , , µm ≥ cho = µ0 + j∈J(x) µj , ∈ µ0 ∂ ∗ h0 (x) + µj ∂ ∗ hj (x) j∈J(x) Do Mệnh đề 2.4, tồn y ∗ ∈ ∂ ∗ −IntRp+ (0) thỏa mãn ∈ µ0 y ∗ ◦ (∂ ∗ ϕ1 (x), , ∂ ∗ ϕp (x)) + µj ∂ ∗ hj (x) j∈J(x) Bởi ∂ −intRp+ (.) −IntRp+ ý hàm lồi, Lipschitz, ta chọn vi phân lồi (0) vi phân suy rộng −IntRp+ (0) −IntRp+ Khi đó, = 0, ta có −IntRp+ (y) − p (0) −IntR+ ≥ y ∗ , y với y ∈ Rp 32 Vì p (0) −IntR+ y∗, y ≤ = 0, nên ta có p (y) −IntR+ = −d (y, Rp \ −IntRp+ )≤ 0, với y ∈ −Rp+ Do đó, y ∗ ∈ Rp+ Từ Mệnh đề 2.2, ta suy y ∗ ∈ Rp+ \ {0 } Đặt µj = với j ∈ / J(x), ta có   0 ∈ µ0 p λi ∂ ∗ fi (x) − φi (x)∂ ∗ gi (x) + i=1  1 = µ0 + m ∗ j=1 µj ∂ hj (x), m i=1 µi , với (λ1 , , λp ) thuộc tập Rp+ \ {0 } (µ1 , , µm ) thuộc tập Rm + Lấy α1∗ , , αp∗ := µ0 λ1 , , λp , µ∗j = µj ta nhận điều phải chứng minh Nhận xét 2.2 Bằng lựa chọn điều kiện quy thích hợp, ta có α1∗ , , αp∗ )= (0, , 0) 2.3 Điều kiện đủ tối ưu Để dẫn điều kiện đủ tối ưu, ta cần giả thiết thêm cho liệu Định nghĩa 2.7 Cho f : X → R hàm có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) ⊂ L(X, R) với x (1) Ta nói f (η, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến tồn ánh xạ η : X × X → X thỏa mãn, f (y) < f (x) ⇒ ξ, η(y, x) < với x, y ∈ X, với ξ ∈ ∂ ∗ f (x) (2) Ta nói f (η, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến chặt tồn ánh xạ 33 η : X × X → X thỏa mãn, f (y) ≤ f (x) ⇒ ξ, η(y, x) < với x, y ∈ X với x = y, với ξ ∈ ∂ ∗ f (x) Định nghĩa 2.8 Cho f : X → R g : X → R hai hàm có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) ⊂ L(X, R) ∂ ∗ g(x) ⊂ L(X, R) với x ∈ X Ta nói (f, g) (η, ∂ ∗ g, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến tồn ánh xạ η : X × X → X thỏa mãn f (y) − f (x) < g(y) − g(x) ⇒ ξ ∗ , η(y, x) < θ∗ , η(y, x) ∀x, y ∈ X, ∀ξ ∗ ∈ ∂ ∗ f (x) θ∗ ∈ ∂ ∗ g(x) Nhận xét 2.3 (1) Khi lấy f = tính (η, ∂ ∗ g, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến (f, g) nghĩa −g (η, −∂ ∗ g) - giả lồi bất biến, (2) Khi lấy g = tính (η, ∂ ∗ g, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến (f, g) nghĩa f (η, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến, (3) Giả sử (f, g) (η, ∂ ∗ g, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến g (η, ∂ ∗ g) - giả lồi bất biến Khi đó, f (η, ∂ ∗ f ) - giả lồi bất biến Định lý 2.2 Cho x ∈ E giả sử (1) Các hàm ϕi (η, ∂ ∗ ϕi ) - giả lồi bất biến với i = 1, , p; (2) Các hàm hj (η, ∂ ∗ hj ) - giả lồi bất biến chặt với j = 1, , m; (3) Điều kiện Kuhn - Tucker (2.1) x Khi đó, x nghiệm tối ưu yếu (P ) Chứng minh Ta chứng minh định lý phản chứng Giả sử x không nghiệm hữu hiệu yếu (P ) Bằng lập luận tương tự 34 Định lý 2.2, x nghiệm hữu hiệu yếu (P1 ) Do đó, tồn dãy xn → x thỏa mãn   (ϕ1 (xn ) − ϕ1 (x), , ϕp (xn ) − ϕp (x) )∈ −IntRp+ ,  hj (xn ) ≤ với j = 1, , m Do vậy, với i ∈ {1, , p } , ϕi (xn ) − ϕi (x) < Từ tính (η, ∂ ∗ ϕi ) - giả lồi bất biến ϕi , tồn ánh xạ η : X × X → X cho ξ, η(xn , x) < với ξ ∈ ∂ ∗ ϕi (x) (2.4) Mặt khác, từ (2.1), tồn a∗i ∈ ∂ ∗ ϕi (x) c∗j ∈ ∂ ∗ hj (x) thỏa mãn p m αi a∗i i=1 µj c∗j = + (2.5) j=1 Trường hợp 1: (α1∗ , , αp∗ ) = (0, , 0) Đẳng thức (2.5) trở thành m µj c∗j = i=1 Từ (2.2) (2.3) ta có µj (hj (xn ) − hj (x)) ≤ (2.6) Từ tính (η.∂ ∗ hj ) - giả lồi bất biến chặt hj , ta có m µj c∗j , η(xn , x) j=1 < (2.7) 35 Điều cho ta mâu thuẫn Trường hợp 2: (α1∗ , , αp∗ ) = (0, , 0) Đẳng thức (2.5) trở thành p m αi a∗i j=1 µj c∗j =− (2.8) j=1 Từ tính (η, ∂ ∗ ϕi ) - giả lồi bất biến ϕi , ta có m µj c∗j , η(xn , x) −