Trong phần sau đây, chúng tôi dành để nhắc lại các kiến thức hoặc kết quả cơ bản; tính chất về dưới vi phân yếu của tổng hai hàm đa trị và điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu của bài toá[r]
(1)TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL
ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY
Số 71 (05/2020) No 71 (05/2020)
Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU DẠNG XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ
Approximate optimality conditions for set-valued optimization problems
ThS Trần Hòa Hiệp
Trường Đại học Sài Gịn
TĨM TẮT
Từ kết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa trị dựa khái niệm vi phân yếu hàm véc tơ, báo trình bày nghiên cứu vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị Khái niệm
-dưới vi phân yếu cho hàm đa trị đề nghị Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John Kuhn-Tucker cho toán thiết lập
Từ khoá: tối ưu đa trị, điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ, vi phân yếu dạng xấp xỉ
ABSTRACT
Motivated by optimality conditions for set-valued optimization problems based on the notion of weak-subdifferential for vector functions, this paper deals with approximate weak-weak-subdifferentials for set-valued functions The notion of -weak subdifferential for set-valued functions is proposed The approximate optimality conditions in Fritz-John and Kuhn-Tucker types for the problem are investigated
Keywords: approximate weak-subdifferential, approximate optimality conditions, set-valued optimization
1 Phần giới thiệu
Trong tối ưu véc tơ, khái niệm nghiệm tối tiểu, tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh, tối tiểu thường, định nghĩa tập khơng gian tuyến tính có thứ tự Trong năm qua, dựa tính chất quan hệ tập hợp, tối ưu véc tơ, tối ưu đa trị phát triển cách độc lập Có nhiều báo gần giới thiệu kết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa trị [1], [5] Về kết liên quan tối ưu đa trị, tài liệu A A Khan, C Tammer C Zălinescu [6] nhiều nhà nghiên cứu quan tâm
Các kết xuất phát từ
bài báo tối ưu đa trị tác giả Lin [2] Cho X Y, Zlà không gian véctơ tơpơ, C D nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng tương ứng
Y Z Với khơng gian Xvà Y nói trên, ánh xạ đa trị F từ không gian tuyến tính X vào khơng gian tuyến tính
Y , gọi C-lồi
( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] , , , [0,1]
F x F y F x y C x y X
Cho F X: 2Yvà G X: 2Z tương
ứng ánh xạ đa trị C-lồi D-lồi (xem Định nghĩa 2.1) Với E tập lồi khác rỗng X, toán Lai-Jiu Lin [2] viết lại sau
(2)Mơ hình tốn nêu hiểu sau: với E tập khác rỗng X, cần tìm điểm x0 E G 1( D) cho với y0 F x( )0 điểm tối tiểu yếu tập F E G[ 1( D)] Điểm x0 tìm thế, gọi nghiệm yếu toán (P) Trong báo Lin [2], tác giả đạt số kết quan trọng thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz-John dạng Kuhn-Tucker cho tốn tối ưu đa trị Khơng phiên mở rộng vi phân tổng hai hàm lồi đơn trị tác giả bổ sung cho trường hợp hàm đa trị Lấy cảm hứng từ kết đó, báo này, bước đầu quan tâm thiết lập điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John Kuhn-Tucker cho dạng toán tối ưu đa trị (P) Cần biết rằng, dạng nghiệm xấp xỉ cho toán tối ưu véc tơ giới thiệu Loridan [7] xét khơng gian có thứ tự phận Đến nay, có nhiều định nghĩa khác nghiệm xấp xỉ cho tối ưu véc tơ tối ưu đa trị [8], nhiều kết liên quan đến nghiệm xấp xỉ đề cập cơng trình [9], [13]
Qua khảo sát kết Lai-Jiu Lin việc thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz-John dạng Kuhn-Tucker cho tốn tối ưu đa trị, chúng tơi nhận thấy kết cịn mở rộng cho trường hợp nghiệm xấp xỉ Trong năm qua có nhiều tác giả giới thiệu định nghĩa khác nghiệm xấp xỉ cho tối ưu véc tơ tối ưu đa trị [7], [8], [11], [12], [13], [18], [19], [20] Với nghiên cứu này, sử dụng định nghĩa nghiệm xấp xỉ cho tối ưu đa trị giới thiệu tài liệu Rong Wu [19], xét khơng gian Banach có thứ tự riêng
phần sinh nón lồi nhọn có phần khác rỗng
Mục đích chúng tơi báo thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz-John Kuhn Tucker cho nghiệm xấp xỉ yếu toán tối ưu đa trị không gian Banach Cụ thể: với số dương cho trước, chúng tơi tìm
1
0 ( )
x E G D cho u F x( )0
u b điểm cực tiểu yếu tập
1
[ ( )],
F E G D với b intC Y Trong trường hợp x0 gọi -nghiệm yếu toán (P)
Trong phần sau đây, dành để nhắc lại kiến thức kết bản; tính chất vi phân yếu tổng hai hàm đa trị điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu toán tối ưu đa trị nhắc lại phần Tiếp đến đề nghị khái niệm -dưới vi phân yếu cho hàm đa trị Phần cuối dành để trình bày kết đóng góp điều kiện tối ưu xấp xỉ cho tốn tối ưu đa trị Các ví dụ giới thiệu chương
2 Kiến thức
Trong báo này, X Y, Zdùng để khơng gian Banach tương ứng có véc tơ không: X, Y Z, vài nội dung không gây nhầm lẫn, ghi thay cho trường hợp vừa nêu
Cho trước ánh xạ đa trị ký hiệu bởi:
: 2Y
F X G X: 2Z
(3)( ) : { | ( ) }, ( ) { | ( ) }
D F x X F x D G x X G x
Với A X, ta ký hiệu ( ) ( ),
x A
F A F x
và với V Z, ta ký hiệu
1( ) { | ( ) }.
G V x X G x V
Tập hợp C Y Y gọi nón y C với y C với Nón C gọi lồi có thêm tích chất tập lồi, tức
x y C với x y C, với
, Nón C đuợc gọi nón nhọn C ( C) { }.Y
Ký hiệu X Y*, *và Z * không gian đối ngẫu tương ứng X Y, Z Với x Xvà x* X*,ký hiệu x x*, dùng để giá trị thực ánh xạ tuyến tính x* x. Tương tự ta dùng y y*, z z*,
Chúng sử dụng thêm ký hiệu sau:
*, ( ) : { *, | ( ), * *}
y F x y y y F x y Y
Nón đối cực tập C Y, ký hiệu C , định nghĩa là:
: { * * | *, 0, }
C y Y y y y C
Cho A B, X, , có phép tốn
: { | , },
: { | },
A B x y x A y B
A x x A
Chúng ta qui ước ,
,
A A
với không gian Z Y nêu trên, ký hiệu ( , )Z Y để tập tất các toán tử tuyến tính liên tục từ Zvào Y Khi với C Yvà D Z, tập
( , )Z Y gồm toán tử tuyến tính liên
tục từ D vào C ký hiệu
( , ) : {Z Y w ( , ) | ( )Z Y w D C}
Trong báo C D tương ứng nón lồi nhọn, có phần khác rỗng tương ứng Y Z
Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ đa trị : ,Y
F X A tập lồi X C
nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng
Y Ánh xạ đa trị F gọi C-lồi trên A với x x1, 2 A
[0,1], ta có
1 2
( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] .
F x F x F x x C
Ánh xạ F gọi C-lồi chặt A nếu với x x1, 2 A x, 1 x2, mọi (0,1), ta có
1 2
( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] int
F x F x F x x C
Trên Y với nón C nêu trên, ta định nghĩa quan hệ thứ tự theo nón sau: Với y y1, 2 Y,
1 C
y y y2 y1 C \ { },
1 C
y y y2 y1 C,
1 C
y y y2 y1 int C
Khi đó, với y0 Y, sử dụng thêm cách viết:
0 ( ) C
F x y y C y0, y F x( ),
0 ( ) C
F x y y C y0, y F x( ),
0 ( ) C
F x y y C y0, y F x( )
Định nghĩa 2.2. (Xem [14, Definition 3.1.1], [15, Definition 1.7]) Cho tập
Y
(4)sao cho y C y0. Điều tương đương với
[y ( \ { })]C Y
ii) Điểm y0 gọi điểm tối tiểu yếu không tồn điểm
y cho y C y0. Điều tương
đương với [y0 int ]C
Chú ý rằng, gần nhiều tác giả mở rộng định nghĩa nêu với nón C nón động, tức nón phụ thuộc vào điểm
0
y xét Trong báo này, khái niệm điểm tối tiểu tối tiểu yếu định nghĩa với nón C nón cố định cho trước Trong nghiên cứu Lin [2], kết điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đa trị dạng Fritz-John Kuhn-Tucker giới thiệu Sau đây, mở rộng kết cho trường hợp nghiệm xấp xỉ tối tiểu yếu [11, 13, 18]
Chú ý 2.1 Trong phần đây,
ta ký hiệu b véc tơ cho trước thuộc int( )C không gian Y
Định nghĩa 2.3. (Xem [14, Definition 3.1.1]) Cho tập Yvà số dương cho
trước
i) Điểm y0 gọi điểm -tối tiểu không tồn điểm y cho y C y0 b b, véc tơ đó thuộc int C Điều tương đương với
0
[y b ( \ { })]C Y
ii) Điểm y0 gọi điểm -tối tiểu yếu không tồn điểm y cho y C y0 b. Điều
tương đương với [y0 b int ]C
Chú ý 2.2.
(i) Tập hợp điểm tối tiểu yếu
ký hiệu WMin , tập hợp điểm -tối tiểu yếu ký hiệu
-WMin
(ii) WMin -WMin
(iii) y0 -WMin y0 b WMin Sau định nghĩa nghiệm toán tối ưu đa trị tập hợp
Định nghĩa 2.4.Cho E X khác rỗng và cho ánh xạ đa trị F E: X Y
Bài tốn tìm x0 E cho y0 F x( )0 và y0 điểm tối tiểu yếu tập F E( ) được gọi toán tối ưu đa trị ký hiệu
WMinimize ( ) x E
F x
Khi đó, điểm x0 gọi nghiệm yếu toán
Với 0 cho trước, toán tìm tìm
x E cho y0 F x( )0 y0 b điểm tối tiểu yếu tập F E( ) ký hiệu
-WMinimize ( ) x E
F x
Khi đó, điểm x0 gọi -nghiệm yếu toán.
Trong báo này, xét ánh xạ đa trị F G nói với C D nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng tương ứng không gian Y
Z
Giả sử E X tập lồi khác rỗng Cho trước Xét toán
1 (P) -WMinimize ( )
( )
F x
(5)Điểm
0 ( )
x E G D gọi -nghiệm yếu toán (P) với
0 ( )
u F x u b điểm tối tiểu yếu tập F E G[ 1( D)].
Chúng cần đến khái niệm gradient cho hàm đa trị Khái niệm Tanio giới thiệu cho hàm véc tơ [21] Lin giới thiệu lại cho hàm đa trị [2] mà chúng tơi trích dịch đây:
Định nghĩa 2.5 (xem [2, Definition 3]) Cho A X tập khác rỗng ánh xạ đa trị F A: Y
Cho x0 A ( ).0
y F x Một tốn tử tuyến tính liên tục ( , )X Y gọi gradient yếu của ánh F ứng với y0 x0
0 ( )0 WMin { ( ) ( )}
x A
y x F x x
Tập hợp tất gradient yếu của ánh xạ F ứng với y0 x0 gọi là vi phân yếu của ánh xạ F ứng với y0 x0 ký hiệu
0
( ; )
F x y Ta viết:
0 0
( ; ) : ( , ) | ( ) WMin { ( ) ( )} ,
x A
F x y X Y y x F x x
hay
0
0
( , )
( ; ) ( ) WMin { ( ) ( )}
x A
X Y
F x y y x F x x
Nếu F x y( ; )0 0 với y0 F x( ),0
thì ánh xạ đa trị F gọi khả vi yếu x0
Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa nêu trên, ta thấy x0 A y0 F x( )0
0 WMin ( ) ( ; ),0
x A
y F x F x y
ở 0 ánh xạ không ( , ).X Y
Sau mở rộng khái niệm gradient yếu cho hàm đa trị F ứng với y0 x0 thành khái niệm -dưới gradient F ứng với y0 x0 Sự mở rộng lấy cảm hứng từ khái niệm -dưới vi phân hàm lồi đơn trị giới thiệu nghiên cứu Hiriart-Urruty Lemarechal [16]
Định nghĩa 2.6.Cho A X F A, : Y Với 0,x0 A y0 F x( ).0 Một tốn tử tuyến tính liên tục ( , )X Y gọi -dưới gradient yếu ứng với y0 hàm đa trị F x0
0 ( )0 WMin { ( ) ( )}, int( ),
x A
y x b F x x b C
hay ta viết
0 ( )0 -WMin { ( ) ( )} x A
y x F x x
Tập tất -dưới gradient yếu của hàm đa trị F ứng với y0 x0 gọi -dưới vi phân yếu hàm đa trị F ứng với y0 x0 ký hiệu
0 ( ; ) wF x y
Nếu wF x y( ; ).0 0 với y0 F x( ),0
ánh xạ đa trị F gọi -dưới khả vi yếu x0
Nhận xét 2.2.
(i) Nếu 0, tập hợp wF x y( ; )0 0 suy biến thành F x y( ; ).0 0
(ii) Nếu x0 A y0 F x( ),0
0 WMin ( ) -WMin ( ) w ( ; ).0
x A x A
y b F x y F x F x y
Định nghĩa 2.7. Cho ánh xạ đa trị
: 2Z
(6)vi yếu qui x0 với
( )
z G x với ( , )Z Y chúng ta có
0
( G x)( ; ( ))z G x z( ; ) Định nghĩa 2.8. Ta nói ánh xạ đa trị
: 2Y
F A X liên thông điểm
0
x A tồn ánh xạ đơn trị liên tục H A: Y cho H x( ) F x( ) với mọi x thuộc lân cận x0
Nhắc lại số kết giới thiệu nghiên cứu Lin [2]
Định lý 2.1. [2, Theorem 3.1] Cho 1, :
Y
F F X ánh xạ đa trị Giả sử F F1, 2 có miền hữu hiệu là tập lồi E X, tức là,
1
: dom dom
E F F Giả sử thêm
1,
F F ánh xạ C-lồi đa trị E và có ánh xạ liên thông điểm
0 int
x E Khi đó, với x E
1 1( ), 2( ),
z F x z F x có
1 2 1 2
(F F x z)( ; z ) F x z( ; ) F x z( ; )
Hệ 2.1. [2, Corollary 3.2] Trong Định lý 2.1, Y ta có
1 2 1 2
(F F x z)( ; z ) F x z( ; ) F x z( ; )
Nhận xét 2.3 Hệ 2.1 dạng suy
rộng Định lý Moreau-Rockafellar dưới vi phân tổng hai hàm lồi đơn trị giới thiệu nghiên cứu Rockafellar [17]
Định lý sau dạng định lý thay phiên dùng để thiết lập điều kiện tối ưu tối ưu đa trị
Định lý 2.2. [2, Theorem 3.3] (Định lý Fakas-Minkowski suy rộng) Cho X Y,
Z không gian Banach Cho C và D nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng tương ứng Y Z. Cho
các ánh xạ đa trị F E: 2Y
: 2Z
G E tương ứng C-lồi D-lồi
Giả sử thêm E : domF domG
là tập lồi X. Nếu hệ ( )
( )
C Y
D Z
F x
G x (1)
vô nghiệm E, tồn
( *, *)y z C D \ {(0, 0)} cho *, ( ) *, ( ) 0,
y F x z G x
với x E, nghĩa là,
*, *, 0, ( ), ( )
y y z z y F x z G x (2)
Hệ 2.3. Trong định lý 2.1, thêm giả thiết tồn xˆ E cho G x( ) (ˆ D) tồn ( , )Z Y sao choF x( ) ( ( ))G x C , không thoả mãn với x E
Định lý 2.3. [2] Cho X Y, và Z các không gian Banach Cho C và D các nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z. Cho ánh xạ đa trị F E: 2Y
và G E: 2Ztương ứng C-lồi D-lồi Giả sử thêm
: dom dom
E F G tập lồi X
Xét toán
1 (P ) WMinimize ( )
( )
F x
s t x E G D
Nếu x0 nghiệm yếu toán
1
(P )
0
( )
u F x với u WMin [F E G 1( D)], thì tồn ( *, *)y z C D \ {(0, 0)}
(7)0
*,
z z với z0 G x( ) (0 D), (3)
*, ( ) *, ( ) 0,
y F x u z G x x E (4)
3 Điều kiện Fritz John Kuhn-Tucker cho nghiệm yếu toán (P) dạng xấp xỉ
Từ định lý nói trên, mở rộng kết cho trường hợp nghiệm xấp xỉ yếu cho toán (P) sau:
Định lý 3.1 Cho X Y, Z không gian Banach Cho C và D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y và Z. Cho ánh xạ đa trị F E: 2Y
và G E: 2Ztương ứng C-lồi D-lồi Giả sử thêm
: dom dom
E F Glà tập lồi X
Nếu x0 phân tử -nghiệm yếu
toán (P), tức u0 F x( )0 và
1
0 WMin [ ( )], int( ),
u b F E G D b C
thì tồn ( *, *)y z C D \ {(0, 0)} sao cho
0
*, *,
y b z z
với z0 G x( ) (0 D), (5)
0
*, ( ) *, ( ) *, *, ,
y F x z G x y u y b x E (6)
Chứng minh. Chứng minh Định lý tương tự chứng minh Lin [2] Trước hết, ta chứng minh x0 -nghiệm yếu toán (P), tức là,
1
0 ( )
x E G D cho
0
1
( )
WMin [ ( )],
u F x
u b F E G D (7)
thì hệ sau vô nghiệm E
( )
( )
C D
F x u b
G x (8)
Giả sử ngược lại hệ (8) có nghiệm trên, tức là, tồn
1( )
x E G D cho hệ (8) thoả mãn Ta nhận F x( ) C u0 b
và G x( ) intD D Khi đó, theo ii) Định nghĩa 2.3, điểm u0 b không điểm -tối tiểu yếu tập
1
[ ( )]
F E G D mâu thuẫn với giả thiết x0 -nghiệm yếu toán (P), hay điều mâu thuẫn với (7)
Từ kết hệ (8) vô nghiệm, theo Định lý 2.2, tồn ( *, *)y z C D \ {(0,0)}
sao cho
0
*, ( ) *, ( ) 0, ,
y F x u b z G x x E
tức (6) thoả mãn
Để kết thúc chứng minh, chứng minh (5) thoả mãn Thật vậy, từ (6), cho ta
0
*, *, ( ) *, , ( ),
y u z G x y u b u F x x E (9)
Từ bất đẳng thức (9), thay u u0 thay x x0, ta
0 0
*, *, ( ) *,
y u z G x y u b (10)
Nên
0
*, ( ) *,
z G x y b (11)
Chú ý b int( )C nên
*,
y b Từ giả thiết x0 E G 1( D) cho ta x0 E G x( ) (0 D) Lấy z0 G x( ) (0 D) Do z0 G x( ),0 nên từ (11), ta nhận
0
*, *,
z z y b
(8)cho ta z* D nên
0
*,
z z
Tóm lại,
0
*, *,
y b z z
Định lý chứng minh xong
Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, 0, kết thu Định lý 2.3
Chúng cần đến điều kiện sau đây:
ˆ ˆ
( ) x E G x: ( ) ( int )D
Hệ 3.1. Giả sử với giả
thiết Định lý 3.1 điều kiện ( ) được thoả mãn Khi đó, tồn
( , )Z Y tồn y0 C cho với z0 G x( ) (0 D), cho
0
( ) [z y b y*, , Y],
và x0 là -nghiệm yếu toán:
(P ) -WMinimize ( ) ( ( ))
x E
F x G x (12)
Chứng minh. Do giả thiết Định lý 3.1, tồn ( *, *)y z (0,0) tập hợp
C D z0 G x( ) (0 D) cho
*, *,
y b z z (13)
0
*, ( ) *, ( ) 0, ,
y F x u b z G x x E
tức là,
0
*, *, *, , , ( ), ( )
y u z v y u b x E u F x v G x (14) Để đến kết luận Hệ quả, trước tiên, chứng minh với
*
y C
* ,
*, 0, int
y
y y y C (15)
Giả sử ngược lại y* Vì
( *, *)y z (0,0), nên z* Do đó,
*, 0, int
z z z D (16) Chú ý từ giả thiết có xˆ E cho G x( ) ( int )ˆ D Lấy
ˆ
( ) ( int ),
z G x D có
*,
z z Tuy nhiên, từ (14), với
* ,
y kéo theo z z*, 0, dẫn đến điều vô lý Vậy phải có y*
Tiếp theo tồn ( , )Z Y cho
0
( ) [z y b y*, , Y]
Thật vậy, intC , lấy y0 int C Do tính chất nón y* , ta chọn y0 cho y y*, 0 Xét ánh xạ :Z Y cho ( ) :z z z y*, 0 Dễ dàng kiểm chứng tốn tử tuyến tính, liên tục Ở
( )D C, bởi, với h ( )D tồn s D cho
0 ( )
*, ,
h s
z s y
ta đặt : z s*, , từ định nghĩa nón đối cực D D cho ta Do đó, từ giả thiết C-nón lồi y0 C, dẫn đến h C Thế nên ( )D C Qua ta có ( , )Z Y
Hơn nữa, (13) và, chúng có
0 ,
y C ta nhận kết
0
( ) [z y b y*, , Y]
(9)rằng x0 -nghiệm yếu toán (P) Điều có nghĩa
0 ( )
x E G D
và u0 thoả mãn
0
1
( ),
WMin [ ( )]
u F x
u b F E G D
Ta cần chứng minh
0 WMin ( ) ( ( ))
x E
u b F x G x
Giả sử ngược lại
0
( ) ( ( )) : C
x E
v F x G x v u b
Khi đó, tồn x E cho
0
( ) ( ( )), int ,
v F x G x u v b C
tức là, tồn y F x w( ), ( ( )),G x hay w ( ),z z G x( ) cho
0 int ,
v y w
u v b C
nên,
0 [ ( )] int
u y b z C
Từ (15), có
0
*, [ ( )]
y u y b z
Vì ( )z z z y*, ,0 nên ta nhận
0
*, [ *, ] 0,
y u y b z z y
hay
0
*, *, *, *,
y u b y y z z y y
Mà y y*, 0 1, ta
0
*, *, *, ,
y u b y y z z
điều trái với (14) Do đó, u0 b
là nghiệm yếu tập
( ) ( ( )), x E
F x G x
tức là, x0 nghiệm -yếu toán (P ).2
Chú ý 3.1
Trong Hệ 3.1, 0, kết thu Corollary 3.6 nghiên cứu Lin [2]
Chú ý 3.2
Khi Y ,F X: ,x0 X,
0 ( ),0
y F x dùng ký hiệu F x y( ; )0 0 thay cho F x y( ; ).0 0
Cũng dùng
( *y F x)( ) thay cho y F x*, ( ) 0
Phần lại báo dành để trình bày diều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John dạng Karush-Kuhn-Tucker cho -nghiệm yếu toán (P)
Định lý 3.2 Cho X Y, Z không gian Banach Cho C và D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z. Cho ánh xạ đa trị F E: 2Y
G E: 2Ztương ứng C-lồi D-lồi Giả sử thêm
: dom dom
E F G tập lồi X
Nếu x0 phân tử -nghiệm yếu bài toán (P), tức u0 F x( )0
1
0 WMin [ ( )], int( ),
u b F E G D b C
tồn ( *, *)y z C D \ {(0, 0)} sao cho
0
*, *,
y b z z
với z0 G x( ) (0 D), (17)
0 0
(10)Chứng minh. Giả thiết cho x0 -tối tiểu yếu toán (P), tức
0
1
( )
WMin [ ( )]
u F x
u b F E G D
Theo Định lý 3.1, tồi
( *, *)y z C D \ {(0, 0)} cho
y b*, z z*, 0
với z0 G x( ) (0 D), (19)
0
*, ( ) *, ( ) *, *, ,
y F x z G x y u y b x E (20)
Từ (20) với z z*, 0 (19), cho ta Chú ý
0 0
*, *, *, ( ) *, ( )
y u z z y F x z G x
Điều kéo theo x0 -nghiệm toán
Min *, ( ) *, ( ) x E
y F x z G x
Đặt H(.) : y F*, (.) z G*, (.) ,
theo Nhận xét 2.2,
0 0
0 wH x y u( ; *, z z*, ),
hay
0 0
0 w( *y F(.) z G* (.))( ; *,x y u z z*, ) Trong Định lý 3.2, 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu kết Theorem 3.7 nghiên cứu Lin [2], phát biểu dạng Hệ sau:
Hệ 3.2 Khi 0, với giả thiết Định lý 3.2, giả thiết thêm hai hàm F hoặc G liên thông x0 kết luận định lý tồn tại ( *, *)y z C D \ {(0, 0)} cho
0
*,
z z với z0 G x( ) (0 D), (21)
0 0
0 w( *y F x y u)( ; *, ) w( *z G x z z)( ; *, ).(22)
Định lý 3.3 Cho X Y, và Z không gian Banach Cho C và D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z. Cho ánh xạ đa trị F E: 2Y
và G E: 2Ztương ứng C-lồi D-lồi Giả sử thêm
: dom dom
E F G tập lồi
Xvà điều kiện thoả mãn
Nếu x0 -nghiệm yếu
toán (P), tức u0 F x( )0 và
1
0 WMin [ ( )], int( ),
u b F E G D b C
tồn ( , ),Z Y y0 C cho với z0 G x( ) (0 D), ta có
0
( ) [z y b y*, , Y], và
0 0
0 w(F G x u)( ; ( )).z
Chứng minh. Theo Hệ 3.1, tồn ( , ),Z Y y0 C, cho với
0 ( ) (0 )
z G x D ta có
0
( ) [z y b y*, , Y],
và x0 nghiệm -yếu toán (P ),2 tức x0 -nghiệm yếu toán
WMinimize ( ) ( ( )) x E
F x G x
Vì vậy,
1
0 ( ), ( ) (0 )( )
x E G D v F x G x
và
0 WMin ( ) ( )( )
x E
v b F x G x
Ta viết v0 u0 ( )z0 với
0 ( ),0 ( ).0
(11)0 ( )0 WMin ( ) ( )( )
x E
u z b F x G x
Nên,0 - (F G x u)( ;0 ( )).z0` Trong Định lý 3.3, 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu kết Theorem 3.8 nghiên cứu Lin [2], phát biểu dạng Hệ sau:
Hệ quả 3.3 Khi 0, với giả thiết Định lý 3.2, giả thiết thêm hai hàm F G liên thông nghiệm yếu x0 kết luận của định lý tồn 0 ( , ),Z Y y0 C
sao cho với z0 G x( ) (0 D), ta có 0( )z0 Y
0 0 0
0 wF x u( ; ) wG x z( ; )
Để kết thúc báo này, giới thiệu trường hợp đặc biệt hoá Định lý 3.3, Y Z , ký hiệu toán
(P )r thay cho (P) Phần chứng minh Định lý bỏ qua
Định lý 3.4 Cho F G E, : ánh
xạ -lồi đa trị domF domG E
là tập lồi X. Giả sử tồn ˆ
x E cho G x( ) (intˆ ) Khi đó, x0 -nghiệm
yếu toán (P )r và với
1
0 -WMin [ ( )]
u F E G tồn
0, 0, z0 G x( ) (0 ) cho z0 [ , 0]
0 0
0 w(F G x u)( ; z )
Trong Định lý 3.4, 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu kết Corollary 3.9 [2], phát biểu dạng Hệ sau:
Hệ quả 3.3 Khi 0, với giả thiết Định lý 3.4, giả thiết thêm hai hàm F G liên thông nghiệm yếu x0 kết luận
của định lý tồn 0
0 ( ) (0 )
z G x cho z0 0
0 0
0 wF x u( ; ) wG x z( ; ) 4 Kết luận
(12)TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] J Borwein, “Multivalued convexity and optimization: A unified approach to inequality and equality constraints”, Math Oper Statist, 11, 235-248, 1980
[2] L.J Lin, “Optimization of Set-valued Functions”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 186, 30-51, 1994
[3] W Song, “Duality for Vector Optimization of Set-Valued Function”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 201, 212-225, 1996
[4] S.M Guu, N.J Huang, J Li, “Scalarization approaches for set-valued vector optimization problems and vector variational inequalities”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 356, 564-576, 2009
[5] E Hernádez, L Rodríguez, and M Sama, “On Solutions of Set-Valued Optimzation Problems”, Computer and Mathematics with Applications, 60, 1401-1408, 2010 [6] Khan A, Tammer C and Zălinescu C, Set-valued Optimization: An introduction with
applications Vector optimization, Springer, 2015
[7] P Loridan, “ -solutions in vector minimization problems” Journal of Optimization Theory and Applications, 43, 265-276 1984
[8] Q Qiu and X Yang, “Some properties of approximate solutions for vector
optimization problem with set-valued functions”, Journal of Global Optimization, 27, 1-12, 2010
[9] C Gutiéreez, B Jiménez and V Novo, “Optimality conditions via scalarization for a new e-efficiency concept in vector optimization problems”, European Journal of Operational Research, 201, 11-22, 2010
[10] C Guitérrez, B Jiménez, V Novo, and L Thibault, “Strict approximate solutions in set-valued optimization with applications to the approximate Ekeland variational principle”, Nonlinear Analysis, 73, 3842-3855, 2010
[11] M Alonso Durán and L Rodríguez-Marín, “On approximate solutions in set-valued optimization problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 326, 4421-4427, 2012
[12] B Soleimani and C Tammer, “Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems with variable ordering structures”, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 42, 5-23 2016
[13] M Dhingra and C.S Lalitha, “Approximate solutions and scalarization in set-valued optimization”, Optimization, 66, 1793-1805, 2017
(13)[15] G.A Chen, X Huang, X Yang, Vector Optimization: Set-Valued and Variational Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany, 2005
[16] Hiriart-Urruty, and Lemarechal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, Volumes and 2, Springer Verlag, Berlin, Germany, 1993
[17] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, Newyork, 1970
[18] W Grecksch, F Heyde, G Isac, Chr Tammer, “A characterization of approximate solutions of multiobjective stochastic optimal control problems”, Optimization,
52(2), 153-170, 2003
[19] W.D Rong and Y.N Wu, “ -Weak mimimal solutions of vector optimization problems with set-valued maps”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 106, 569-579, 2000
[20] D.S Kim and T.Q Son, “An approach to -duality theorems for nonconvex semi-infinite multiobjective optimization problems”, Taiwanese Journal of Mathematics, 22, 1261-1287, 2018
[21] T Tanio and Y Sawaragi, “Conjugate maps and duality in multiobjective optimization”, Journal of Optimaization Theory and Applications, 31, 473-499, 1980