Điều kiện tối ưu cho bài toán qui hoạch nửa vô hạn suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HỒNG TRI THỨC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TỐN QUY HOẠCH NỬA VÔ HẠN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 4/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG TRI THỨC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TỐN QUY HOẠCH NỬA VƠ HẠN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên, 4/2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình tơi nghiên cứu hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Ngồi ra, luận văn tơi sử dụng số kết quả, nhận xét tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 08 tháng năm 2019 Tác giả Hoàng Tri Thức XÁC NHẬN KHOA CHUYÊN MÔN XÁC NHẬN NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS Đỗ Văn Lưu ii LỜI CÁM ƠN Luận văn thực Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, nhà trường phòng chức trường, khoa Tốn, trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày 08 tháng năm 2019 Tác giả Hoàng Tri Thức iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cám ơn ii Mục lục iii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 Điều kiện cần tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Ruckmann - Shapiro 1.1 Phát biểu tốn điều kiện quy Mangasarian – Fromovitz 1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp 1.3 Các điều kiện cần cấp dạng bao hàm thức tập hợp 11 1.4 Điều kiện tối ưu dựa phép tính hàm tựa khả vi 14 Điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Stein – Still 16 2.1 Các kiến thức bổ trợ 16 2.2 Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz điều kiện tối ưu 21 iv 2.3 Điều kiện cần tối ưu không giả thiết điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz 26 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 v Bảng ký hiệu ∇y g(x0 , y ) gradient g (x0 , y ) theo y ∇g(x0 , y ) gradient g (x0 , y ) theo (x, y) f+ (x, d) đạo hàm theo phương Dini f x theo phương d f− (x, d) đạo hàm theo phương Dini f x theo phương d D+ f (x, d) đạo hàm theo phương Hadamard f x theo phương d D− f (x, d) đạo hàm theo phương Hadamard f x theo phương d σ(d, E) hàm tựa tập E (M F CQ) Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz (EM F CQ) Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz mở rộng v(x) hàm giá trị tối ưu (SIP ) toán quy hoạch nửa vơ hạn (GSIP ) tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Mở đầu Bài toán quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng tốn tối ưu có vơ hạn ràng buộc bất đẳng thức, tập số ràng buộc bất đẳng thức lại phụ thuộc vào tham số Điều kiện tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu J J Ruckmann A Shapiro [11] dẫn điều kiện cần cấp cho toán với hàm khả vi liên tục tính bị chặn tập số G Stein G Still [12] thiết lập điều kiện cần tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn với điều kiện quy Mangasarian – Fromovitz qua đạo hàm theo phương Hadamard hàm giá trị tối ưu Đây vấn đề thời nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng” Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng J J Ruckmann A Shapiro đăng tạp chí J Optim Theory Appl., 101 (1999), 677-691, điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn với điều kiện quy kiểu Mangasarian – Fromovitz G Stein G Still đăng tạp chí J Optim Theory Appl., 104 (2000), 443-458 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết lận danh mục tài liệu tham khảo Chương với tiêu đề: "Điều kiện cần tối ưu cấp cho toán quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Rockmann - Shapiro" trình bày điều kiện cần tối ưu cho toán quy hoạch nửa vô hạn suy rộng với hàm khả vi liên tục cách sử dụng cận đạo hàm theo phương Dini hàm giá trị tối ưu Trong trường hợp hàm giá trị tối ưu khả vi theo phương, chúng tơi trình bày điều kiện tối ưu cấp 1dựa tuyến tính hóa tốn xét Phần cuối chương trình bày điều kiện cần đủ cấp cách sử dụng phép toán hàm tựa khả vi Chương với tiêu đề "Điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Stein – Still" trình bày điều kiện tối ưu cấp cho toán quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng với điều kiện quy MangasarianFromovitz mở rộng Các điều kiện tối ưu tổng qt hóa điều kiện tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vô hạn thông thường Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cho cực tiểu địa phương chặt cấp không giả thiết điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz cho tốn cấp Chương Điều kiện cần tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Ruckmann - Shapiro Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp J.J Ruckmann A Shapiro [11] cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng với hàm khả vi liên tục cách sử dụng cận đạo hàm theo phương Dini hàm giá trị tối ưu Trong trường hợp hàm giá trị tối ưu khả vi theo phương, chúng tơi trình bày điều kiện tối ưu cấp dựa tuyến tính hóa tốn xét Phần cuối chương trình bày điều kiện cần đủ cấp cách sử dụng phép toán hàm tựa khả vi 1.1 Phát biểu tốn điều kiện quy Mangasarian – Fromovitz Xét toán tối ưu sau đây: f (x), với ràng buộc x ∈ S tập chấp nhận được xác định sau: S := {x ∈ Rn |g(x, y) ≤ 0, y ∈ Y (x)}, (1.1) 19 L(¯x,¯y) (x, y, λ) = g(x, y) − βk uk (x, y) − k∈K γl vl (x, y) (2.6) l∈L0 (¯ x,¯ y) Tập nhân tử Kuhn-Tucker ký hiệu D(¯ x, y¯) D(¯ x, y¯) = {λ = (β, γ) ∈ R|K|+|L0 (¯x,¯y)| thỏa mãn (2.5)} Với điều kiện (MFCQ) y¯, tập D(¯ x, y¯) compact (xem [4]) Nếu không giả sử điều kiện quy y¯ ∈ Y0 (¯ x) chẳng hạn điều kiện (MFCQ) thay điều kiện Kuhn-Tucker (2.5), ta phải xét điều kiện tối ưu ¯ γ¯ ) ∈ R × R|K| × R|L0 (¯x,¯y)| α, β, Fritz John sau đây: Tồn vectơ λ = (¯ cho α ¯+ |β¯k | + γ¯l = 1, k∈K l∈L0 (¯ x,¯ y) (¯ x,¯ y) ¯ = 0, Dy LF J (¯ x, y¯, λ) (¯ x,¯ y) đó, LF J ký hiệu hàm (¯ x,¯ y) LF J (x, y, λ) = αg(x, y) − α ¯ ≥ 0, γ¯ ≥ (2.7) (2.8) Fritz John- Lagarge βk uk (x, y) − k∈K γl vl (x, y) (2.9) l∈L0 (¯ x,¯ y) Thay cho D(¯ x, y¯), ta phải xác định tập nhân tử Fritz John F (¯ x, y¯) = {λ = (α, β, γ) ∈ R1+|K|+|L0 (¯x,¯y)| thỏa mãn (2.7), (2.8)} Chú ý điều kiện (2.7) tập F (¯ x, y¯) compact Hơn nữa, tập sau compact (¯ x,¯ y) ¯ ∈ F (¯ V (¯ x) := {Dx LF J (¯ x, y¯, γ¯ )|¯ y ∈ Y0 (¯ x), λ x, y¯)} (2.10) • Với ξ ∈ Rn , ta định nghĩa Dv(x, ξ) := lim [v(x + tξ ) − v(x)]/t ξ →ξ;t↓0 đạo hàm theo phương Hadamard, D+ v(x, ξ) := lim sup[v(x + tξ ) − v(x)]/t, ξ →ξ;t↓0 D− v(x, ξ) := lim inf[v(x + tξ ) − v(x)]/t ξ →ξ;t↓0 đạo hàm theo phương Hadamard Định lý 2.1 Giả sử (2.1) đúng, với x¯ ∈ M , điều kiện (MFCQ) y¯ ∈ Y0 (¯ x) Khi đó, kết sau đúng: 20 (a) D+ v(¯ x, ξ) ≤ inf ¯ max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ, ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) D− v(¯ x, ξ) ≥ ¯ Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) (b) (2.11) (2.12) Nếu giả thiết thêm điều kiện sau đúng: (b1) Hàm g(¯ x, y), −vl (¯ x, y), l ∈ L lồi theo y uk (¯ x, y), k ∈ K affine theo y, tức Q(x) toán tối ưu lồi (b2) Với y¯ ∈ Y0 (¯ x), tập D(¯ x, y¯) = {λ(¯ y )} tập điểm Khi đó, đạo hàm theo phương Dv(¯ x, ξ) tồn cho ¯ Dv(¯ x, ξ) ≤ inf max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) (2.13) Chứng minh Với (a) xem [10], Định lý Với (b1) xem [10], Hệ Ở đây, với y¯ ∈ Y0 (¯ x), tập nhân tử D(¯ x, y¯) Trường hợp (b2 ) suy trực tiếp từ (a), trường hợp này, cận cận trùng Trong hai trường hợp (b1 ) (b2 ) Định lý 2.1, điểm cực tiểu (2.13) nhận Trong trường hợp trên, với giả thiết cho tập ¯ y ∈ Y0 (¯ ¯ ∈ D(¯ {Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)|¯ x), λ x, y¯)} compact Cho V ⊂ Rn , ký hiệu conv(V ) bao lồi V cone(V ) nón lồi sinh V Bổ đề 2.1 Giả sử V ⊂ Rn (a) Giả sử V compact Khi đó, khơng tồn ξ thỏa mãn: v T ξ < 0, với v ∈ V, ∈ conv(V ) (b)Không tồn tài ξ = thỏa mãn v T ξ ≤ với v ∈ V , cone(V ) = Rn Các điều kiện tương đương với (b) là: ∈ int(cone(V )), với v0 ∈ V ta có v0 ∈ int(cone(V \ {v0 })) Chứng minh Xem [9], Định lý 3.1.11 21 2.2 Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz điều kiện tối ưu Trong phần này, ta trình bày điều kiện tối ưu với giả thiết (MFCQ) thỏa mãn với y¯ ∈ Y0 (¯ x) Chúng ta phải tổng quát hóa khái niệm từ trường hợp (SIP) cho trường hợp (GSIP) Ta định nghĩa suy rộng (MFCQ) Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz mở rộng (EMFCQ) nói x¯ ∈ M tồn ξ0 ∈ Rn cho ¯ > 0, Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ ∈ D(¯ với y¯ ∈ Y0 (¯ x), λ x, y¯) (2.14) Chú ý trường hợp (SIP) ta có ¯ = Dx g(¯ Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ) x, y¯) (EMFCQ) trùng với (EMFCQ) thông thường cho (SIP) Chúng ta đưa vào điều kiện mà điều kiện cần đủ tối ưu: (CN) Không tồn ξ cho: Df (x)ξ < 0, ¯ > 0, Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ ∈ D(¯ với y¯ ∈ Y0 (¯ x), λ x, y¯) Rõ ràng theo Bổ đề 2.1(a) điều kiên (CN) tương đương với điều kiện tối ưu Fritz John: tồn yj ∈ Y (¯ x), λj ∈ D(¯ x, yj ), j = 1, , p, nhân tử µj ≥ 0, j = 0, , p, không đồng thời không, cho p µj Dx L(¯x,yj ) (¯ x, yj , λj ) = µ0 Df (¯ x) − j=1 (CN1) Khơng tồn ξ = cho: Df (¯ x)ξ ≤ 0, ¯ ≥ 0, Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ (CS1) ¯ ∈ D(¯ với y¯ ∈ Y0 (¯ x), λ x, y¯) Chọn hàm lát cắt λ(.) với λ(¯ y ) ∈ D(¯ x, y¯), với y¯ ∈ Y0 (¯ x) Khi đó, khơng tồn ξ = cho Df (¯ x)ξ ≤ 0, ¯ y ))ξ ≥ 0, Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ(¯ với y¯ ∈ Y0 (¯ x) 22 Rõ ràng điều kiện (CS1) mạnh điều kiện (CN1) Trong trường hợp (SIP), hai điều kiện trùng trở thành điều kiện (C1) đây: (C1) Không tồn ξ = với Df (¯ x)ξ ≤ 0, Dx g(¯ x, y¯)ξ ≥ 0, với y¯ ∈ Y0 (¯ x) Trong trường hợp (GSIP), với nghiệm y¯ ∈ Y0 (¯ x) toán cấp Q(¯ x), giả sử điều kiện quy độc lập tuyến tính Khi đó, tập D(¯ x, y¯) tập điểm (CS1) trùng với (CN1) Rõ ràng điều kiện( CN), (CN1), (CS1) viết tương đương sau: (CN) max{Df (¯ x)ξ, − ¯ Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ} ≥ 0, ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) với ξ, (2.15) (CN1) max{Df (¯ x)ξ, − ¯ Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ} > 0, ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) với ξ = 0, (2.16) (CS1) max{Df (¯ x)ξ, − inf ¯ max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ} > 0, ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) với ξ = (2.17) Với toán (SIP), ta biết điều kiện (C1) điều kiện đủ để x¯ ∈ M cực tiểu địa phương cấp 1; với (MFCQ) x¯, điều kiện điều kiện cần ( xem [9], Định lý 3.1.4) Sau ta trình bày tổng qt hóa kết cho toán (GSIP) Định lý 2.2 Cho x¯ ∈ M , giả sử điểm y¯ ∈ Y0 (¯ x), điều kiện (MFCQ) thỏa mãn cho Q(¯ x) Khi đó, kết sau (a) x¯ cực tiểu địa phương (GSIP) ⇒ điều kiện (CN) (b) Giả sử (EMFCQ) thỏa mãn x¯ Khi đó, x¯ cực tiểu địa phương chặt cấp ⇒ điều kiện (CN1) Chứng minh (a) Giả sử ξ ∈ Rn tùy ý Giả sử 23 − ¯ < Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) Khi đó, (2.12) ta suy < D_v(¯ x, ξ) Theo định nghĩa D_v(¯ x, ξ), tồn khoảng [0, t0 ), t0 > 0, cho v(¯ x + tξ) − v(¯ x) = v(¯ x + tξ) ≥ 0, với t ∈ [0, t0 ) Như vậy, x¯ + tξ ∈ M, t ∈ [0, t0 ) Bởi x¯ cực tiểu địa phương, ta suy [f (¯ x + tξ) − f (¯ x)]/t ≥ 0, với t > đủ nhỏ Vì vậy, Df (¯ x)ξ ≥ Điều chứng minh điều kiện (CN) (2.15) (b) Giả sử ξ ∈ Rn , ||ξ|| = 1, tùy ý Giả sử ¯ ≤ − min Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) Khi đó, điều kiện (EMFCQ), ta có với > 0, ¯ − min Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)(ξ + ξ0 ) < ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) Ta giả sử ||ξ0 || = Cũng chứng minh phần (a), ta suy x¯ + t(ξ + ξ0 ) ∈ M, t ∈ [0, t0 ) Bởi x¯ cực tiểu địa phương cấp 1, điều kéo theo f (¯ x + t(ξ + ξ0 )) − f (¯ x) ≥ Kt||ξ + ξ0 ||, t ∈ [0, t1 ), với K > 0, t1 > Với < 1/2 ta có ||ξ + ξ0 || > 1/2, vậy, [f (¯ x + t(ξ + ξ0 )) − f (¯ x)]/t ≥ K/2, t ∈ [0, t1 ) Lấy giới hạn t ↓ ta có Df (¯ x)ξ ≥ K/2 − Df (¯ x)ξ0 Với đủ nhỏ, ta có Df (¯ x)ξ > Điều chứng minh (CN1) Ví dụ sau điều kiện cần (CN1) cho cực tiểu cấp không điều kiện đủ Ví dụ 3.1 Với n = 2, r = 1, xét toán (GSIP): f (x) = x1 + x2 , với ràng buộc g(x, y) = y ≥ 0, (2.18a) y ∈ Y (x), (2.18b) 24 Y (x) = {y|v1 (x, y) = y − x1 ≥ 0, v2 (x, y) = y − x2 ≥ 0, v3 (x, y) = − y ≥ 0} (2.18c) Khi đó, ta có:  [max{x1 , x2 }, 1], max{x1 , x2 } ≤ 1, Y (x) = ∅, max{x1 , x2 } > 1, M = {x = (x1 , x2 )| max{x1 , x2 } ≥ 0} Chú ý M không lồi, tất hàm tuyến tính Với x¯ = (0, 0) ∈ M , ta có Y (¯ x) = [0, 1], Y0 (¯ x) = {¯ y }, y¯ = L0 (¯ x, y¯) = {1, 2} Dễ dàng thấy, (MFCQ) y¯ cho toán Q(¯ x) Điều kiện Kuhn - Tucker với tập nhân tử D(¯ x, y¯) = {(γ, − γ)}|γ ∈ [0, 1]} Do đó, {Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ), λ ∈ D(¯ x, y¯)} = {(γ, − γ)}|γ ∈ [0, 1]}, điều kiện (EMFCQ) x¯ với ξ0 = (1, 1) điều kiện (CN1) Tuy nhiên rõ ràng x¯ không cực tiểu địa phương Có thể thấy đạo hàm theo phương Dv (¯ x, ξ) tồn cho ¯ = max{ξ1 , ξ2 } Dv(¯ x, ξ) = max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ (2.19) λ∈D(¯ x,¯ y) So sánh với Định lý 2.1 (b1) khơng có ngạc nhiên ví dụ này, tốn Q(¯ x) lồi Định lý 2.3 Giả sử x¯ ∈ M , với điểm y¯ ∈ Y0 (¯ x), điều kiện (MFCQ) thỏa mãn cho Q(¯ x) Khi đó, điều kiện (CS1) ⇒ x¯ cực tiểu địa phương chặt cấp Chứng minh Giả sử (CS1) x¯ không cực tiểu địa phương chặt cấp Khi đó, tồn điểm xν ∈ M, lim xν = x¯, với ν→∞ f (xν ) − f (¯ x) = Df (¯ x)(xν − x¯) + o(||xν − x¯||) ≤ o(||xν − x¯||) Giả sử xν biểu diễn (2.20) 25 xν = x¯ + tν ξν , với ||ξν || = 1, tν > 0, lim tν = ν→∞ Bằng cách lấy dãy (nếu cần), ta giả sử lim ξν = ξ = Lấy giới ν→∞ hạn (2.20) ν → ∞ sử dụng xν − x¯ = tν ξ + o(tν ), ta có Df (¯ x)ξ ≤ Do (CS1) (11), ta có D+ v(¯ x, ξ) ≤ inf ¯ < max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ (2.21) ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) Bởi xν = x¯ + tν ξν ∈ M , ta suy v(¯ x + tν ξν ) − v(¯ x) ≥ ≤ lim sup[v(¯ x + tν ξν ) − v(¯ x)]/tν ≤ D+ v(¯ x, ξ) ν→∞ Điều mâu thuẫn với (2.21) Chúng tơi trình bày điều kiện (CN’) mạnh điều kiện (CN) (CN’) Chọn hàm lát cắt λ(.) với λ(¯ y ) ∈ D(¯ x, y¯) với y¯ ∈ Y0 (¯ x) Khi đó, khơng tồn ξ ∈ Rn , > cho Df (¯ x)ξ < 0, Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ(¯ y ))ξ ≥ , với y¯ ∈ Y0 (¯ x) Định lý 2.4 Giả sử x¯ ∈ M điểm y¯ ∈ Y0 (¯ x),điều kiện (MFCQ) thỏa mãn cho Q(¯ x) Giả sử đạo hàm theo phương Dv(¯ x, ξ) tồn cho vởi (2.13) Khi đó, kết sau (a) x¯ cực tiểu địa phương (GSIP) ⇒ điều kiện (CN’) (b) Giả sử (EMFCQ) thỏa mãn x¯ Khi đó, x¯ cực tiểu địa phương chặt cấp (CS1) Chứng minh Dễ thấy điều kiện (CN’) tương đương với điều kiện sau: ¯ max{Df (¯ x)ξ, − inf max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ} ≥ 0, với ξ ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) Để chứng minh (a), (b) ta thay min y¯∈Y0 (¯ x) y¯∈D(¯ x,¯ y) inf max ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) phần tương ứng chứng minh Định lý 2.2 Cùng với Định lý 2.3 kết luận định lý chứng minh 26 Nhận xét 2.1 Chú ý Định lý 2.4 (b), điều kiện (EMFCQ) thay điều kiện yếu sau: Tồn ξ0 ∈ Rn cho inf ¯ > max Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ ¯ y¯∈Y0 (¯ x) λ∈D(¯ x,¯ y) Nhận xét 2.2 Do Bổ đề 2.1(b), dạng đối ngẫu tương đương (CS1) là: Chọn hàm lát cắt λ(.) với λ(¯ y ) ∈ D(¯ x, y¯) với y¯ ∈ Y0 (¯ x); đó, Df (¯ x) ∈ int(cone{Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ(¯ y )), y¯ ∈ Y0 (¯ x)}) Nhận xét 2.3 Dạng đối ngẫu điều kiện tối ưu nguyên thủy từ điều kiện (CN’) phức tạp Do Bổ đề 2.1(a) sử dụng kiện: với tập compact V ⊂ Rn , điều kiện v T ξ < 0, ∀ ∈ V v T ξ ≤ − , ∀v ∈ V , với > tương đương, điều kiện (CN’) kéo theo kiện: chọn hàm lát cắt λ(.) với λ(¯ y ) ∈ D(¯ x, y¯) với y¯ ∈ Y0 (¯ x), cho tập V (¯ x) = {Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ(¯ y ))|¯ y ∈ Y0 (¯ x)}) (2.22) compact; đó, tồn yj ∈ Y0 (¯ x), j = 1, , p, µj ≥ 0, j = 0, , p, không đồng thời 0, cho p Dx L(¯x,¯y) (¯ x, y¯, λ(yj )) = µ0 Df (¯ x) − (2.23) j=1 Đây kết [11], Mệnh đề Chú ý tập bị chặn V (¯ x) (2.22) khơng cần đóng tập đóng Y0 (¯ x) chứa vô hạn điểm Với nghiệm tối ưu x¯ (với điều kiện Định lý 2.4), điều kiện Fritz John (2.23) trường hợp V (¯ x) không đóng 2.3 Điều kiện cần tối ưu khơng giả thiết điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz Bây ta trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cho cực tiểu địa phương chặt không giả thiết điều kiện quy cho tốn cấp 27 Để tổng quát hóa kết biết cho toán (SIP), ta phải thay đổi định nghĩa Mục 2.3 Với x¯ ∈ M , đặt Y0SIP (¯ x) = {¯ y ∈ Y0 (¯ x)| tồn lân cận U × W (¯ x, y¯) cho U × W : Dx uk (x, y) = Dx vl (x, y) = 0, k ∈ K, l ∈ L0 (¯ x, y¯)} Chú ý ta có y¯ ∈ Y0SIP (¯ x) khơng có ràng buộc tốn Q(¯ x) tích cực (¯ x, y¯), phụ thuộc x Điều có nghĩa xung quanh điểm (¯ x, y¯), toán cấp Q(x) có dạng (SIP) Ta nói điều kiện EMFCQ* x¯ ∈ M tồn ξ0 ∈ Rn cho (¯ x,¯ y) ¯ > 0, với y¯ ∈ Y0 (¯ ¯ ∈ F (¯ Dx LF J (¯ x, y¯, λ)ξ x)\Y0SIP (¯ x), λ x, y¯), (2.24) Dx g(¯ x, y¯)ξ0 > 0, với y¯ ∈ Y0 (¯ xC) (2.25) Nhận xét 2.4 Cũng trước đây, trường hợp tốn (SIP), ta có điều kiện (2.25) điều kiện (EMFCQ*) trùng với điều kiện (MFCQ) thông thường Ta giải thích ta chọn trường hợp (2.24) (2.25) (EMFCQ*) Giả sử với x¯ ∈ M y¯ ∈ Y0SIP (¯ x) Hơn nữa, giả sử tồn ¯ γ¯ ) ∈ F (¯ nhân tử Fritz John x¯λ = (¯, β, x, y¯) với ¯= (điều loại trừ với (MFCQ) y¯ Khi đó, (¯ x,¯ y) ¯ =¯Dx g(¯ Dx L (¯ x, y¯, λ) x, y¯) = 0, FJ (2.24) không thỏa mãn x¯ Tương tự, ta phải thay đổi điều kiện cần (CN1) thành (CN1*): Không tồn ξ = cho Df (¯ x)ξ ≤ (¯ x,¯ y) ¯ ≥ 0, với y¯ ∈ Y0 (¯ ¯ ∈ F (¯ Dx LF J (¯ x, y¯, λ)ξ x)\Y0SIP (¯ x), λ x, y¯), (2.26) Dx g(¯ x, y¯)ξ0 ≥ 0, (2.27) (CN1*) với y¯ ∈ Y0 (¯ x) Định lý 2.5 Giả sử x¯ ∈ M cho điều kiện (EMFCQ*) thỏa mãn x¯ Khi đó, x¯ cực tiểu địa phương chặt cấp ⇒ điều kiện (CN1*) Chứng minh Chứng minh địnlý 2.5 cải tiến chứng minh điều kiện cần cho cực tiểu địa phương [7] Để ngắn gọn ta trình bày theo cách chứng minh Định lý 1.1 [7] thay đổi cần thiết Hơn nữa, ta 28 xét trường hợp K = ∅ Như ta xét trường hợp III [7] Bây ta giả sử x¯ ∈ M cực tiểu địa phương cấp (GSIP) Giả sử điều kiện (CN1*) không thỏa mãn, tức tồn ξ = cho (2.26), (2.27) Xét x (t) = x¯ + t(ξ + ξ0 ) với > vectơ ξ0 thỏa mãn (EMFCQ*) Ta giả sử ||ξ|| = ||ξ0 || = Khi tồn ¯ > dãy giá trị tv > 0, limν→∞ tν = cho xν := x¯ + tν (ξ + ¯ξ0 ) ∈ / M (2.28) Nói cách khác, với > tồn t > cho x (t) ∈ M với t ∈ [0, t ) Với < 1/2, ta có ||x (t) − x¯|| ≥ t(1 − ) > t/2 Do khai triển Taylor Df (¯ x)ξ ≤ 0, ta có f (x (t)) − f (¯ x) = tDf (¯ x)ξ + t Df (¯ x)ξ0 + o(t) ≤ t |Df (¯ x)ξ0 | + o(t) ≤ ||x (t) − x¯||2 |Df (¯ x)ξ0 | + o(t) Bởi > tùy ý, điều mâu thuẫn với giả thiết x¯ cực tiểu địa phương cấp Do xv ∈ / M , tồn yν ∈ Y (xν ) cho g(xν , yν ) < (2.29) Cũng [7] (bằng cách lấy dãy con), ta xν → x¯, yv → y¯, y¯ ∈ Y0 (¯ x) Trước hết giả sử y¯ ∈ Y0SIP (¯ x) (trường hợp tốn (SIP)) Khi đó, gần (¯ x, y¯) hàm vl , l ∈ L0 (¯ x, y¯), không phụ thuộc x, ta suy yν ∈ Y (¯ x), với ν lớn Do tính liên tục với κ > đó, ta có Dx g(¯ x, yν )(ξ + ¯ξ0 ) ≥ κ¯ Khi sử dụng g(xν , yν ) − g(¯ x, yν ) = tν Dx g(¯ x, yν )(ξ + ¯ξ0 ) + o(tν ), ta có 29 g(¯ x, yν ) ≤ g(xν , yν ) − tν κ¯ + o(tν ) < 0, với ν đủ lớn Do đó, x¯ khơng điểm chấp nhận Bây giờ, ta xét trường hợp phức tạp y¯ ∈ Y0 (¯ x)\Y0SIP (¯ x) Với ¯ > 0, ta xác định ξ¯ = ξ + ¯ξ0 hàm vt (t, y) = vt (¯ x + tξ¯, y), l ∈ L, g(t, y) = g(¯ x + tξ¯, y) Khi đó, kết sau đúng: tồn w ∈ Rr+1 cho Dvl (0, y¯)w < 0, l ∈ L0 (¯ x, y¯), Dg(0, y¯)w > (2.30) Giả sử (2.30) không Khi đó, theo Bổ đề 3.4 [7], tồn α ¯ , γ¯l ≥ 0, với α ¯+ =1 l∈L0 (¯ x,¯ y     Dx vl g(x, y)ξε D g(x, y)ξε −  =  x γl  T T Dy g(x, y) Dy vl (x, y) l∈L0 (x,y) (2.31) Do phương trình thứ hai (2.31), ta suy ¯ = (¯ λ α, γ) ∈ F (¯ x, y¯) Vì ξ thỏa mãn (2.26) ξ0 thỏa mãn (2.24), ta có ¯ ¯ > 0, λ ¯ ∈ F (¯ Dx Lx¯,¯y) (¯ x, y¯, λ)ξ x, y¯) (2.32) Điều mâu thuẫn với phương trình thứ (2.31) Cũng [7], ta giả sử nghiệm w (2.30) thỏa mãn w1 = Bây giờ, trường hợp III.1 [7] ((K = ∅), ta chọn lân cận mở W1 (¯ y) y¯, ν¯ cố định (tức là, xν¯ = x¯ + tν¯ (ξ + ¯ξ0 với tν¯ cố định ),t1 > cho với tập mở U1 = {(0, y) + tw|y ∈ W1 (¯ y ), |t| < t1 }, ta có (tν¯ , yν¯ ) ∈ U1 Dg(t, y)w > 0, Dvl (t, y)w < 0, l ∈ L0 (x, y), với (t, y) ∈ Ul Từ suy (2.33) 30 g(tν , yν ) = g(xν , yν ) < 0, vl (tν , yν ) = vl (xν , yν ) ≥ 0, (2.34a) l ∈ L0 (¯ x, y¯) (2.34b) Bây giờ, ta chọn yν¯ ∈ W1 (¯ y ) cho (tν¯ , yν¯ ) = (0, yν¯ ) + tν¯ w, w có thành phần thứ w1 = Theo định lý giá trị trung bình với < τ < tν¯ , sử dụng (2.33), (2.34), ta nhận g(¯ x, yν¯ ) = g(0, yν¯ ) = g((tν¯ , yν¯ ) − tν¯ w) − g(tν¯ , yν¯ ) + g(tν¯ , yν¯ ) = −tν¯ Dg((tν¯ , yν¯ − τ w)w + g(tν¯ , yν¯ ) < Tương tự, ta có vl (¯ x, yν¯ ≥ 0, l ∈ L0 (¯ x, y¯) Do đó, ta có yν¯ ∈ Y (¯ x) x¯ ∈ / M 31 Kết luận Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng J J Ruckmann A Shapiro [11], điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn với điều kiện quy kiểu Mangasarian – Fromovitz G Stein G Still [12] Nội dung luận văn bao gồm: - Điều kiện cần tối ưu J.J Rucmann A Shapiro cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng với hàm khả vi liên tục cách sử dụng cận đạo hàm theo phương Dini hàm giá trị tối ưu - Điều kiện tối ưu cấp dựa tuyến tính hóa tốn xét trường hợp hàm giá trị tối ưu khả vi theo phương - Điều kiện cần đủ cấp cách sử dụng phép toán hàm tựa khả vi - Điều kiện tối ưu cấp O Stein G Still cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng với điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz mở rộng Các điều kiện tối ưu tổng quát hóa điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch nửa vô hạn thông thường - Điều kiện cần tối ưu cấp cho cực tiểu địa phương chặt cấp khơng giả thiết điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz cho toán cấp Điều kiện tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] B Bank, J Guddat, D Klatte, B Kummer, K Tammer (1983), Nonlinear Parametric Optimization, Birkhauser, Basel, Switzerland [3] V.F Demyanov and L.V Vasilev (1985), Nondifferentiable Optimization, Optimization Software, Publications Division, New York [4] J Gauvin (1977), "A necessary and sufficient regularity condition to have bounded multipliers in nonconcave programming", Math Programming, 12, 136-138 [5] J Gauvin, F Dubeau (1982), "Differential properties of the marginal function in mathematical programming",Mathematical Programming Study, 19, 101-119 [6] E.G Golshtein (1972), Theory of Convex Programming, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 36 33 [7] H.T Jongen, J.J R{ ucmann, O Stein (1998), "Generalized semi-infinite optimization: A first-order optimality condition and examples", Math Programming, 83, 145-158 [8] R Hettich, K Kortanek (1993), "Semi-infinite programming: Theory, Methods,and Applications", SIAM Review, 35, 380-429 [9] R Hettich, P Zencke (1982), Numerishe Methoden der Approximation und der Semi-Infiniten Optimierung, Teubner, Stuttgart, Germany [10] R.T Rockafellar (1984), "Directional differentiability of the optimal value function in a nonlinear programming problem", Math Programming Study, 21, 213-226 [11] J.J.Ruckmann and A Shapiro (1999), “First – order optimality conditions in generalized semi- infinite programming”, Journal of optimization theory and applications, 101, No 3, 677-691 [12] O Stein and G Still (2000), “On optimality Conditions for generalized Semi-infinite programming problems”, Journal of optimization Theory and Applications, 104 No 443-458 ... Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài: Điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho toán quy hoạch nửa vô hạn suy rộng J J Ruckmann A Shapiro đăng... Stein G Still [12] cho toán quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng với điều kiện quy MangasarianFromovitz mở rộng Các điều kiện tối ưu tổng qt hóa điều kiện tối ưu cho tốn quy hoạch nửa vô hạn thông thường... phép toán hàm tựa khả vi Chương với tiêu đề "Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng Stein – Still" trình bày điều kiện tối ưu cấp cho tốn quy hoạch nửa vơ hạn suy rộng