Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ

[...]... xĐp x cừa Mordukhovich cho hm Lipschitz a phữỡng Chữỡng ny cụng trẳnh by cĂc iãu kiằn ừ cho cĂc loÔi nghiằm hỳu hiằu trản vợi cĂc giÊ thiát vã tẵnh lỗi cừa cĂc hm dỳ liằu Trong phƯn cuối chữỡng, cĂc iãu kiằn tối ữu cho bi toĂn cƠn bơng vc tỡ ữủc Ăp dửng cho cĂc bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn vc tỡ v bi toĂn tối ữu vc tỡ 19 2.1 KhĂi niằm nghiằm hỳu hiằu cừa bi toĂn cƠn bơng vc tỡ GiÊ sỷ X l mởt khổng... ((H) \ {0}) = , thẳ tỗn tÔi z F (x, A) ((H) \ {0}) Do õ tỗn tÔi y0 A sao cho z = F (x, y0), z H1 \ {0} Theo giÊ thiát v nh nghắa cừa H1, ta cõ P (z) 0 v P (z) < 0 iãu ny cho ta mởt mƠu thuăn Vêy, x A l nghiằm hỳu hiằu ton cửc cừa (VEP) 2.3 iãu kiằn tối ữu Trong phƯn ny, chúng ta trẳnh by cĂc iãu kiằn cƯn tối ữu cho nghiằm hỳu hiằu yáu, nghiằm hỳu hiằu Henig, nghiằm hỳu hiằu ton cửc v nghiằm... ã 1.2.2 Cho F : X Y l hm Lipschitz a phữỡng, trong õ X, Y l cĂc khổng gian Banach Xt hm f (x) = (g F )(x), trong õ g : Y R l hm Lipschitz a phữỡng Khi õ, Da F (x)(y ) a f (x) y a g(F (x)) Cho Ănh xÔ f : X Y v im x X Náu tỗn tÔi Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc Df (x) : X Y sao cho vợi mội h X , 1 Df (x)(h) = lim (f (x + h) f (x)), 0 thẳ Ănh xÔ f ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux tÔi x Cho C l... v + tB sao cho x + t A} nh nghắa 1.1.9 Têp A ữủc gồi l chẵnh qui tÔi x, náu TC (A, x) = KC (A, x) nh nghắa 1.1.10 Cho Ănh xÔ G : X Y v im x X Náu tỗn tÔi mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc G (x) : X Y sao cho vợi mội h X , 1 (G(x + h) G(x )), x x G (x)(h) = lim 0 v sỹ hởi tử l ỗng ãu theo h trong cĂc têp compact, thẳ Ănh xÔ G ữủc gồi l khÊ vi cht tÔi x Bờ ã 1.1.2 [1] Cho X l khổng... sao cho P (b) 0, vợi mồi b B Chựng minh Cho x A l nghiằm hỳu hiằu Henig cừa (VEP) Theo nh nghắa, tỗn tÔi lƠn cên tuyằt ối lỗi U cừa 0 vợi U VB sao cho cone(F (x, A)) (intCU (B)) = (2.1) LĐy vc tỡ e B thẳ e intCU (B) Ta nh nghắa hm sau: P (y) = inf{t R : y te CU (B)}, y Y Tữỡng tỹ nhữ chựng minh nh lỵ 2.2.1, ta cõ cĂc khng nh (i) v (ii) úng Do U l cƠn v hút, tỗn tÔi 0 > 0, sao cho. .. Lipschitz a phữỡng Ôo hm theo phữỡng Dini dữợi cừa g tÔi x theo phữỡng v X ữủc cho bi g (x, v) = lim inf t0 g(x + tv) g(x) t Dữợi vi phƠn Dini dữợi cừa g tÔi x ữủc cho bi g(x) = {x X : g (x, v) x , v , vợi mồi v X} Cho L l mởt khổng gian con õng cừa X Ta t L g(x) = {x X : g (x, v) x , v , 15 vợi mồi v L} Cho Ănh xÔ a tr : X ữủc nh nghắa nhữ sau: Y, giợi hÔn trản cừa hm (u) khi... a) LĐy (v, r) Tepif (, f ()) Ta chồn dÂy {xi } x sao cho x x f (xi + ti v) f (xi ) = f (; v) x i ti (1.9) lim Hin nhiản l (xi, f (xi)) epif v {(xi, f (xi))} (, f ()) Theo nh x x lỵ 2.12 [1], tỗn tÔi dÂy {(vi, ri)} (v, r) sao cho (xi , f (xi )) + ti (vi , ri ) epif Do õ, f (xi ) + ti ri f (xi + ti vi ) f (xi + ti vi ) f (xi ) ri ti cho i , tứ (1.9) ta nhên ữủc f (; v) r x (v, r) ... tuyằt ối lỗi U cừa 0 vợi U VB sao cho cone(F (x, A)) (intCU (B)) = Ró rng vc tỡ x A l nghiằm hỳu hiằu Henig khi v ch khi tỗn tÔi mởt lƠn cên tuyằt ối lỗi U cừa 0 vợi U VB sao cho cone(F (x, A)) (U B) = nh nghắa 2.1.3 Vc tỡ x A ữủc gồi l nghiằm siảu hỳu hiằu (superefficient solution) cừa (VEP) náu vợi mội lƠn cên V cừa 0, tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa 0 sao cho cone(F (x, A)) (U C) V Gồi L(X,... siảu hỳu hiằu cừa (VOP) 2.2 Php vổ hữợng hõa BƠy giớ, chúng ta trẳnh by mởt số kát quÊ vã vổ hữợng hõa cho nghiằm hỳu hiằu yáu, nghiằm hỳu hiằu Henig, nghiằm hỳu hiằu ton cửc v nghiằm siảu hỳu hiằu ối vợi bi toĂn cƠn bơng vc tỡ iãu ny cõ vai trỏ quan trồng trong lỵ thuyát cĂc iãu kiằn cƯn tối ữu cho bi toĂn cƠn bơng vc tỡ Chúng ta cõ bờ ã sau Bờ ã 2.2.1 [4] GiÊ sỷ Y l khổng gian vc tỡ tổ pổ thỹc,... suy ra nhên xt sau Nhên xt 1.2.1 Cho C l mởt nõn lỗi õng nhồn trong Y, A l têp con lỗi khổng rộng 17 cừa X , v f : X Y l C-lỗi trản A GiÊ thiát rơng f khÊ vi GƠteaux tÔi x0 A Khi õ, f (x) f (x0 ) Df (x0 )(x x0 ) C, 18 vợi mồi x A Chữỡng 2 IU KIN CN V ế CHO NGHIM HU HIU CếA BI TON CN BNG VC Tè Chữỡng 2 trẳnh by cĂc kát quÊ cừa X.H Gong [4] vã php vổ hữợng hõa cho cĂc nghiằm hỳu hiằu yáu, nghiằm . T C (A, ¯x)}. A N C (A, ¯x) A ¯x K C (A, ¯x) := {v ∈ X : ∀ > 0, ∃t ∈ (0, ), ∃ω ∈ v + tB sao cho ¯x + tω ∈ A}. A ¯x T C (A, ¯x) = K C (A, ¯x). G : X → Y x ∈ X G  (x) : X → Y h ∈ X G  (x)(h)