Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ và áp dụng

2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆUCỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ 212.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằngvéc tơ khả vi Fréchet.. Một đề tài quan trọng của bài t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-   -

NGUYỄN ĐĂNG HUY

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ VÀ ÁP DỤNG

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014

2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆUCỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ 212.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng

véc tơ khả vi Fréchet 212.2 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vecto 30

3.1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bất đẳng thức biến

phân vecto 333.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vecto 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

1

Lớp các bài toán cân bằng véc tơ là một bộ phận quan trọng của giảitích phi tuyến Bất đẳng thức biến phân véc tơ, bài toán tối ưu véc tơ, bàitoán cân bằng Nash véc tơ và bài toán bù véc tơ là các trường hợp riêng củabài toán cân bằng véc tơ Một đề tài quan trọng của bài toán cân bằng véc

tơ là nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hạn của chúng.Bằng cách sử dụng một tổng quát hóa của định lí Ljusternik, định lí ánh

xạ mở cho quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi, X.H Gong(2012)

đã thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cânbằng véc tơ có ràng buộc nón với các giả thiết về tính khả vi của các hàm

dữ liệu, trong đó không đòi hỏi nón thứ tự trong không gian mục tiêu cóphần trong khác rỗng Đây là một đề tài thời sự được nhiều tác giả nghiêncứu Chính vì thế, tôi chọn đề tài “ Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữuhiệu của bài toán cân bằng véc tơ và áp dụng ”

Luận văn trình bày các kết quả của X.H.Gong(2012) về điều kiện cần và

đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ có ràng buộcnón và các áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ và bài toántối ưu véc tơ có ràng buộc nón

Luận văn này bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo

Chương 1 Một số kiến thức của giải tích hàm và giải tích lồi, trình bàymột số kiến thức quan trọng của giải tích hàm và giải tích lồi bao gồm mộttổng quát hóa các định lí Ljusternik cho C1 - ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho

2

quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi.

Chương 2 Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cânbằng véc tơ, trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toáncân bằng véc tơ khả vi Fréchet trên cơ sở một mở rộng của định lí Ljusternikcho C1 - ánh xạ định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi và các định lí tách cáctập lồi Chương 2 cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữuhiệu của bài toán cân bằng véc tơ với các giả thiết về tính lồi của các hàm

dữ liệu

Chương 3 Áp dụng, trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệmhữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ và bài toán tối ưuvéc tơ có ràng buộc nón dựa trên các kết quả đã trình bày trong chương 2cho bài toán cân bằng véc tơ

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS ĐỗVăn Lưu trong suốt thời gian làm luận văn, em xin bày tỏ lòng kính trọng

và sự biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy

cô giáo phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn,các thầy cô giáo Khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,những người đã tạo điều kiện thuận lợi và động viên tôi hoàn thành luậnvăn này

Do thời gian còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014

Tác giảNguyễn Đăng Huy

MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA GIẢI TÍCH HÀM VÀ GIẢI TÍCH LỒI

Trình bày một số kiến thức của giải tích hàm và giải tích lồi bao gồmmột tổng quát hóa các định lí Ljusternik cho C1 - ánh xạ, định lí ánh xạ

mở cho quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi

mở cho quá trình lồi

Giả sử X, Y và Z là không gian Banach thực, C ⊂ Y và K ⊂ Z là cácnón nhọn lồi đóng với int K 6= φ, trong đó int K là kí hiệu phần trong củatập K

Giả sử Y∗ và Z∗ là các không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z tương ứng.Đặt

là C#,

C# = {y∗ ∈ Y∗ : y∗(y) > 0, ∀y ∈ C\ {0}} Giả sử S ⊂ X là tập con lồi mở khác rỗng, và các ánh xạ

F : S × S → Y, g : S → ZĐịnh nghĩa tập ràng buộc

A = {x ∈ S : g(x) ∈ −K} ,

và xét bài toán cân bằng véc tơ có ràng buộc (kí hiệu là (VEPC)):

Tìm x ∈ A sao cho

F (x, y) /∈ −P \ {0} , ∀y ∈ A,trong đó P là một nón lồi trong Y

Định nghĩa 1.1

Véc tơ x ∈ A thỏa mãn

F (x; y) /∈ −C\ {0} , ∀y ∈ A,

được gọi là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC)

Giả sử L(X, Y ) là không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn

từ X vào Y (VEPC) bao hàm như một trường hợp đặc biệt bất đẳng thứcbiến phân véc tơ có ràng buộc ( Kí hiệu là (VVIC)),

F (x, y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S,

ở đây T là ánh xạ từ S vào L(X, Y )

Định nghĩa 1.2.

Nếu F (x; y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S, và nếu x ∈ A là một nghiệm hữuhiệu của (VEPC), thì x ∈ A được gọi là nghiệm hữu hiệu của (VVIC).Trường hợp đặc biệt khác của (VEPC) là bài toán tối ưu véc tơ có điềukiện ( kí hiệu là (VOPC)) trong đó

F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S,với ánh xạ f : S → Y

Định nghĩa 1.3

Nếu F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S, và nếu x ∈ A là một nghiệm hữuhiệu của (VEPC), thì x ∈ A được gọi là một nghiệm hữu hiệu của (VOPC).Định nghĩa 1.4

Giả sử X là một không gian tuyến tính thực, và Y là một không gian tôpôtuyến tính thực Giả sử S2 là một tập con khác rỗng của X và f : S2 → Y ,

x ∈ S2 Nếu với h ∈ X nào đó, giới hạn

f0(x)(h) = lim

λ→0

1

λ(f (x + λh) − f (x))tồn tại, thì f0(x)(h) được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x theo phương

h Nếu giới hạn này tồn tại với mỗi phương h, thì ánh xạ f được gọi là ánh

thì f0(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và f được gọi là đạo hàmkhả vi Fréchet tại x.

Nhận xét 1.1 Nếu f khả vi Fréchet tại x, thì f là khả vi Gâteaux tại x vàđạo hàm Fréchet của f tại x bằng đạo hàm Gâteaux của f tại x theo mỗiphương h

Định nghĩa 1.6

Giả sử X và Y là các không gian tuyến tính thực, C là một nón lồi nhọntrong Y , A là một tập con lồi khác rỗng của X Ánh xạ f : A → Y đượcgọi là C- lồi, nếu ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ [0, 1] ,

λf (x) + (1 − λ)f (y) − f (λx + (1 − λ)y) ∈ C

Định nghĩa 1.7

Giả sử T là ánh xạ đa trị từ X vào Y với T (x) 6= φ, ∀x ∈ X T được gọi

là một quá trình lồi từ X → Y nếu

Định lý 1.1.

Giả sử X và Y là không gian Banach thực, và cho f : X → Y là C1 ánh

xạ Nếu f0(x)(X) = Y , thì với x ∈ X có chuẩn kxk đủ nhỏ, tồn tại u ∈ Xvới kuk = ◦(kxk) sao cho

g(t) = y∗ ◦ f (x + th), t ∈ [0, 1] Với mỗi t ∈ [0; 1], ta có

Theo công thức Newton-Leibniz, ta có

u ∈ X với kuk = ◦ (kxk) sao cho

Xét không gian thương X/X0.Ta có X/X0 là không gian tuyến tính Nếu

.

x ∈ X/X0, thì x = x + X. 0, ta định nghĩa chuẩn x. = inf

x∈ x.

kxk trong khônggian thương X/X0

Ta có, X/X0 là không gian Banach bởi vì X0 đóng Nếu x, x0 ∈ x thì.

Mặt khác, giả thiết f0(x)(X) = Y kéo theo A(X/X0) = Y

Từ định lí toán tử ngược Banach ta suy ra A có toán tử ngược bị chặn A−1bởi vì X/X0 và Y là hai không gian Banach

Theo giả thiết, f là khả vi liên tục Fréchet trong một lân cận của x ∈ S, thìtồn tại một số dương r sao cho U (x, r) = x + U (0, r) ⊂ S, trong đó

U (0, r) = {x ∈ X : kx − 0k < r}

và f : S → Y là khả vi liên tục Fréchet trong U (x, r) Do đó, tồn tại

0 < δ < r/2 sao cho

kz−¯ xk<δ

kf0(z) − f0(¯x)k < 1/(4 A−1 ) (1.1)Lấy x với kxk < δ/2 Ta có f là khả vi Fréchet tại x, ta có

f (x + x) − f (x) − f0(x)(x) = ω(x; x) (1.2)

trong đó, lim

kxk→0

kω(x;x)k kxk = 0 Ta có thể chọn kxk < δ/2 đủ nhỏ sao cho

kw(¯x; x)k < δ/8 A−1 (1.3)

Ta sử dụng phương pháp lặp để giải các phương trình sau:

f (x + x + z) − f (x) − f0(x)(x) = 0 (1.4)Giả sử ˙z0 = ˙0, và

˙z2 = ˙z1 − A−1[f (¯x + x + z1) − f (¯x) − f0(¯x)(x)] (1.7)

Nếu f (x + x + z1) − f (x) − f0(x)(x) = 0, thì z1 là nghiệm của phươngtrình (1.4) Bởi vì lim

kxk→0

kω(x;x)k kxk = 0 Từ (1.6) ta có lim

kxk→0

kz 1 k kxk = 0 Do đó,

k ˙z2 − ˙z1k = inf

x 0 ∈X0k−y1 + x0k < 2 k ˙z2 − ˙z1k Theo định nghĩa infimum, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho

k−y1 + x0k < 2 k ˙z2 − ˙z1k

Ta có

kz1 − y1 + x0 − z1k < 2 k ˙z2 − ˙z1k Theo (1.8),

z1 − y1 + x0 ∈ ˙z2Đặt z2 = z1 − y1 + x0, thì

z2 ∈ ˙z2

Do đó,

kz2 − z1k < 2 k ˙z2 − ˙z1k (1.9)Theo bổ đề (1.1), ta có

˙zn = ˙zn−1− A−1[f (¯x + x + zn−1) − f (¯x) − f0(¯x)(x)] , (1.10)trong đó zn−1 ∈ ˙zn−1 với ¯x + x + zn−1 ∈ U (¯x, δ) và

kzn− zn−1k < 2 k ˙zn− ˙zn−1k (1.11)

và

kznk < σ/2Theo (1.10), và kx + tzk−1 + (1 − t)zk−2k < δ, ta có

kzk − zk−1k < 2 k ˙zk − ˙zk−1k (1.12)

kzn− zn−1k < 1

2kzn−1− zn−2k < · · · < 1

2n−1 kz1k Như vậy,

lim

n→∞kzn− zn−1k = 0

Với số tự nhiên p bất kì ta có

kzn+p− znk 6 kzn+p − zn+p−1k + kzn+p−1− zn+p−2k+ · · · + kzn+1− znk 6

1

˙zn → ˙z , khiz ∈ ˙zLấy giới hạn trong(1.10), do tính liên tục của A−1 và f, ta có

kzk = ◦ (kxk)

Bổ đề 1.2

Giả sử X và Y là các không gian Banach, quá trình lồi đóng

T : X → 2Y là toàn ánh ( Im(T ) = Y ) Khi đó, T−1 là Lipschitz: tồn tạimột hằng số l > 0 sao cho ∀x1 ∈ T−1(y1) và ∀y2 ∈ Y, tồn tại x2 ∈ T−1(y2)

thỏa mãn

kx1 − x2k 6 l ky1 − y2k Nhận xét 1.2

Nếu T thỏa mãn điều kiện bổ đề 1.2, thì T là một ánh xạ mở

Thật vậy, với D mở của X, và cho y ∈ T (D), tồn tại x ∈ D sao cho

Giả sử A, B là hai tập lồi khác rỗng trong không gian lồi địa phương X,

A ∩ B = ∅, int A 6= ∅ Khi đó, tồn tại x∗ ∈ X∗, x∗ 6= ∅, tách A và B

Chứng minh.

Ta có : intA lồi Vì (int A) ∩ B = ∅, nên (int A) − B lồi mở và

0 /∈ (int A) − B tồn tại một siêu phẳng đóng H = { x : < x∗, x >= 0} chứakhông gian con tuyến tính { 0} và không cắt (intA) - B Ta có x∗ liên tục,bởi vì H đóng Hơn nữa, x∗ 6= ∅, bởi vì nếu x∗ = 0 thì H = X, và do đó Hkhông phải là một siêu phẳng của X nữa

Ta lại có (intA) - B nằm trong một nửa không gian sinh bởi H, chẳnghạn nửa không gian trên Khi đó,

< x∗, x > < < x∗, y > (∀x ∈ int A, ∀y ∈ B),nên (int A) ∩ B = ∅.

Định lý 1.4 ( định lí tách thứ 2)

Giả sử tập A là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian lồi địaphương X và x0 ∈ A Khi đó, tồn tại x/ 0 6= 0 thuộc X* tách ngặt A và x0.Chứng minh

Bởi vì X\A là mở và x0 ∈ X\A, cho nên tồn tại lân cận lồi U của 0 saocho: x0 + U ⊂ X\A, tức là

(x0 + U ) ∩ A = ∅

Theo định lí tách thứ nhất, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ 6= 0tách x0 + U và A, tức là

< x∗, y > 6 < x∗, x0 > + < x∗, z > (∀y ∈ A, ∀z ∈ U )

coA ⊂ M.

Mặt khác, nếu x /∈ coA, thì do định lí tách thứ hai , tồn tại nửa không gianchứa coA và không chứa x Vậy, x /∈ M Do đó, coA = M

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO

NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI

TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ

Chương 2 trình bày điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bàitoán cân bằng véc tơ khả vi Fréchet có ràng buộc nón, dựa trên một mởrộng định lí Ljusternik cho C1 ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi

và định lí tách các tập lồi Chương 2 cũng trình bày điều kiện đủ tối ưu chobài toán cân bằng véc tơ khả vi Gâteaux với các giả thiết về tính lồi chocác hàm dữ kiện

cân bằng véc tơ khả vi Fréchet

Để chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của (VEPC) chúng

C- lồi và f là khả vi Gâteaux tại x ∈ S Khi đó,

Giả sử rằng Fx0(x)(X) = Y Nếu x là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC),thì tồn tại y∗ ∈ C∗, z∗ ∈ K∗\ {0} sao cho

Giả sử x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC) Lấy e ∈ int K Khi

đó V = (e − int K) ∩ (−e + int K) là một lân cận của 0 trong Z Bởi vì

g0(x)(0) = 0 và g0(¯x)(·) liên tục trên X là x ∈ A ⊂ S = int S, cho nên tồn

tại lân cận đối xứng U trong X với x + U ⊂ S sao cho

g0(x) (x) ∈ V, ∀x ∈ U (2.1)Gọi M là tập hợp sau:

M = {(y, z) ∈ Y × Z : ∃x ∈ S sao cho

Do tính tùy ý của (y, z) ∈ (Fx0(x)(U ) + C, e + int K) , ta có

Bởi vì U mở, nên T (U ) = Fx0(x)(U ) + C là một tập mở và

(F0x(x)(U ) + C, e + intK) ⊂ intM (2.2)

Tiếp theo, ta có (0, 0) /∈ intM Thật vậy, nếu (0, 0) ∈ intM thì tồn tại y và

z sao cho −y ∈ C\ {0}, −z ∈ int K và (y; z) ∈ M

Khi đó, tồn tại x ∈ S sao cho

y − Fx 0

(x) (x − x) ∈ C, z − (g(x) + g0(x)(x − x) ∈ int K (2.3)chú ý rằng −y ∈ C\ {0}, C là một nón nhọn Do (1.3) ta có

Fx(x + ((x − x)/tn) + un) − Fx(x) − Fx0(x)(x − x)/tn) = 0

F (x, xn) ∈ −C\ {0} , với n đủ lớn (2.7)

Do (2.3),

−z + (g(x) + g0(x)(x − x)) ∈ − int K

Do −z ∈ int K, ta có

g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) ∈ z − intK ⊂ − int K (2.8)Bởi vì g là khả vi Fréchet tại x,

Do ( 2.8) tồn tại N1 sao cho khi n > N1, ta có

Lấy (y, z) ∈ M Khi đó tồn tại x ∈ S sao cho

y∗ ∈ C# và z∗ ∈ K∗ sao cho

(y∗ ◦ Fx¯0(¯x) + z∗ ◦ g0(¯x))(x − ¯x) > 0 ∀x ∈ S (2.21)

và

z∗(g(x)) = 0 (2.22)Khi đó x là nghiệm hữu hiệu của (VEPC)

ta chỉ ra x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC)

Nếu điều đó không đúng thì, tồn tại y0 ∈ A sao cho

F (x, y0) ∈ −C\ {0}

Do y∗ ∈ C# ta có,

y∗(F (¯x, y0)) < 0

Vì y0 ∈ A ta có g(y0) ∈ −K Do đó, z∗(g(y0)) 6 0 vì z∗ ∈ K∗, vì vậy

y∗(Fx¯(y0) + z∗(g(y0)) < 0

Điều này mâu thuẫn với (2.25), Do đó, x là một nghiệm hữu hiệu của(VEPC)

ÁP DỤNG

Chương 3 trình bày các kết quả của X.H.Gong về các điều kiện cần và

đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ(VVIC) và bài toán tối ưu véc tơ có ràng buộc nón (VOPC) dựa trên cáckết quả đã nhận được trong chương 2 cho bài toán cân bằng véc tơ

đẳng thức biến phân vecto

Định lý 3.1

Cho X, Y và Z là các không gian Banach thực, và C ⊂ Y, K ⊂ Z lànón nhọn lồi đóng với int K 6= φ Cho S là một tập con khác rỗng mở lồicủa X, và T : S → L(X, Y ), g(·) : S → Z khả vi Fréchet tại ¯x ∈ A Giả

sử T (x)(X) = Y Nếu x là một nghiệm hữu hiệu của (VVIC), thì tồn tại

(y∗ ◦ T (x) + z∗ ◦ g0(x))(x − x) > 0 ∀x ∈ S,

và

z∗(g(x)) = 0nếu giả thiết thêm, g0(x)(X) = Z thì y∗ 6= 0

Định lý 3.2.

Cho X, Y, Z là các không gian Banach thực, và cho C ⊂ Y là nón nhọnlồi đóng, K ⊂ Z là một nón nhọn lồi đóng với int K 6= φ Cho S là một tậpcon lồi mở khác rỗng của X Cho x ∈ A Giả sử T : S → L(X, Y ), g(·) khả

vi Gâteaux tại x và g(·) là K- lồi trên S Nếu tồn tại y∗ ∈ C# và z∗ ∈ K∗thỏa mãn

(y∗ ◦ T (x) + z∗ ◦ g0(x))(x − x) > 0, ∀x ∈ S,và

z∗(g(x)) = 0thì x là một nghiệm hữu hiệu của (VVIC)

= (T x)(h)

Ta có Fx(·) là C- lồi trên S, và g(·) K- lồi trên S Nếu tồn tại y∗ ∈ C# và

z∗ ∈ K∗ sao cho

(y∗ ◦ T (x) + z∗ ◦ g0(x))(x − x) > 0 ∀x ∈ S

z∗(g(x)) = 0,thì ta có

(y∗ ◦ Fx¯0(¯x) + z∗ ◦ g0(¯x))(x − ¯x) > 0, ∀x ∈ S

theo định lí 2.2, x là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC) Do đó x là nghiệmhữu hiệu của (VVIC)

tối ưu vecto

Định lý 3.3

Cho X, Y, Z là các không gian Banach thực, C ⊂ Y và K ⊂ Z là cácnón nhọn lồi đóng với int K 6= φ Cho S là một tập con mở lồi khác rỗngcủa X Cho f : S → Y khả vi liên tục Fréchet trong một lân cận của x ∈ A,g(·) : S → Z là khả vi Fréchet tại x Giả sử f0(¯x)(X) = Y Nếu x là mộtnghiệm hữu hiệu của (VOPC) thì tồn tại y∗ ∈ C∗, z∗ ∈ K∗\ {0} sao cho

(y∗ ◦ f0(¯x) + z∗ ◦ g0(¯x))(x − ¯x) > 0, ∀x ∈ S,

và

z∗(g(x)) = 0Nếu giả thiết thêm g0(x)(X) = Z thì y∗ 6= 0

Fréchet trong một lân cận U của x ∈ S, với bất kì u ∈ U , ta có

Như vậy Fx0(u) = f0(u) ∀u ∈ U Đặc biệt, Fx0(x) = f0(x).Fx(·) là khả

vi liên tục Fréchet trong một lân cận của x ∈ S, Theo định lí 2.1, tồn tại

y∗ ∈ C∗, z∗ ∈ K∗\ {0}

thỏa mãn

(y∗ ◦ Fx¯0(¯x) + z∗ ◦ g0(¯x))(x − ¯x) > 0, ∀x ∈ Svà

z∗(g(x)) = 0

Như vậy,

(y∗ ◦ f0(¯x) + z∗ ◦ g0(¯x))(x − ¯x) > 0, ∀x ∈ Svà

z∗(g(x)) = 0

Nếu giả thiết thêm ,

g0(x)(X) = Zthì

y∗ 6= 0

Định lý 3.4