Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC    NGUYỄN ĐĂNG HUY ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ VÀ ÁP DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 3 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA GIẢI TÍCH HÀM VÀ GIẢI TÍCH LỒI 4 1.1 Định lí Ljusternik cho C 1 ánh xạ và định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định lí tách các tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ 21 2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ khả vi Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vecto 30 3 ÁP DỤNG 33 3.1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bất đẳng thức biến phân vecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vecto 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 1 Mở đầu Lớp các bài toán cân bằng véc tơ là một bộ phận quan trọng của giải tích phi tuyến. Bất đẳng thức biến phân véc tơ, bài toán tối ưu véc tơ, bài toán cân bằng Nash véc tơ và bài toán bù véc tơ là các trường hợp riêng của bài toán cân bằng véc tơ. Một đề tài quan trọng của bài toán cân bằng véc tơ là nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hạn của chúng. Bằng cách sử dụng một tổng quát hóa của định lí Ljusternik, định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi, X.H. Gong(2012) đã thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ có ràng buộc nón với các giả thiết về tính khả vi của các hàm dữ liệu, trong đó không đòi hỏi nón thứ tự trong không gian mục tiêu có phần trong khác rỗng. Đây là một đề tài thời sự được nhiều tác giả nghiên cứu. Chính vì thế, tôi chọn đề tài “ Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ và áp dụng ” . Luận văn trình bày các kết quả của X.H.Gong(2012) về điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ có ràng buộc nón và các áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ và bài toán tối ưu véc tơ có ràng buộc nón. Luận văn này bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Một số kiến thức của giải tích hàm và giải tích lồi, trình bày một số kiến thức quan trọng của giải tích hàm và giải tích lồi bao gồm một tổng quát hóa các định lí Ljusternik cho C 1 - ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho 2 Mở đầu 3 quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi. Chương 2. Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ, trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ khả vi Fréchet trên cơ sở một mở rộng của định lí Ljusternik cho C 1 - ánh xạ định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi. Chương 2 cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ với các giả thiết về tính lồi của các hàm dữ liệu. Chương 3. Áp dụng, trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ và bài toán tối ưu véc tơ có ràng buộc nón dựa trên các kết quả đã trình bày trong chương 2 cho bài toán cân bằng véc tơ. Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đỗ Văn Lưu trong suốt thời gian làm luận văn, em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn, các thầy cô giáo Khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều kiện thuận lợi và động viên tôi hoàn thành luận văn này. Do thời gian còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn. Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014. Tác giả Nguyễn Đăng Huy Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA GIẢI TÍCH HÀM VÀ GIẢI TÍCH LỒI Trình bày một số kiến thức của giải tích hàm và giải tích lồi bao gồm một tổng quát hóa các định lí Ljusternik cho C 1 - ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi và các định lí tách các tập lồi. 1.1 Định lí Ljusternik cho C 1 ánh xạ và định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi Giả sử X, Y và Z là không gian Banach thực, C ⊂ Y và K ⊂ Z là các nón nhọn lồi đóng với int K = φ, trong đó int K là kí hiệu phần trong của tập K. Giả sử Y ∗ và Z ∗ là các không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z tương ứng. Đặt C ∗ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y)  0 , ∀y ∈ C} và K ∗ = {z ∗ ∈ Z ∗ : z ∗ (z)  0 , ∀z ∈ K} là các nón đối ngẫu của C và K, tương ứng. Kí hiệu tựa phần trong của C ∗ 4 5 là C # , C # = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) > 0, ∀y ∈ C\ {0}} . Giả sử S ⊂ X là tập con lồi mở khác rỗng, và các ánh xạ F : S × S → Y, g : S → Z Định nghĩa tập ràng buộc A = {x ∈ S : g(x) ∈ −K} , và xét bài toán cân bằng véc tơ có ràng buộc (kí hiệu là (VEPC)): Tìm x ∈ A sao cho F (x, y) /∈ −P \ {0} , ∀y ∈ A, trong đó P là một nón lồi trong Y. Định nghĩa 1.1. Véc tơ x ∈ A thỏa mãn F (x; y) /∈ −C\ {0} , ∀y ∈ A, được gọi là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC). Giả sử L(X, Y ) là không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y. (VEPC) bao hàm như một trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân véc tơ có ràng buộc ( Kí hiệu là (VVIC)), F (x, y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S, ở đây T là ánh xạ từ S vào L(X, Y ). 6 Định nghĩa 1.2. Nếu F(x; y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S, và nếu x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC), thì x ∈ A được gọi là nghiệm hữu hiệu của (VVIC). Trường hợp đặc biệt khác của (VEPC) là bài toán tối ưu véc tơ có điều kiện ( kí hiệu là (VOPC)) trong đó F (x, y) = f(y) − f(x), x, y ∈ S, với ánh xạ f : S → Y . Định nghĩa 1.3. Nếu F (x, y) = f(y) − f(x), x, y ∈ S, và nếu x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC), thì x ∈ A được gọi là một nghiệm hữu hiệu của (VOPC). Định nghĩa 1.4. Giả sử X là một không gian tuyến tính thực, và Y là một không gian tôpô tuyến tính thực. Giả sử S 2 là một tập con khác rỗng của X và f : S 2 → Y , x ∈ S 2 . Nếu với h ∈ X nào đó, giới hạn f  (x)(h) = lim λ→0 1 λ (f(x + λh) − f(x)) tồn tại, thì f  (x)(h) được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x theo phương h. Nếu giới hạn này tồn tại với mỗi phương h, thì ánh xạ f được gọi là ánh xạ khả vi Gâteaux tại x Định nghĩa 1.5. Giả sử X và Y là không gian chuẩn và D là một tập con mở khác rỗng của X. Hơn nữa, giả sử ánh xạ f : D → Y với x ∈ D. Nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục f  (x) : X → Y với tính chất lim h→0 f(x + h) − f(x) − f  (x)(h) h = 0, 7 thì f  (x) được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và f được gọi là đạo hàm khả vi Fréchet tại x. Nhận xét 1.1. Nếu f khả vi Fréchet tại x, thì f là khả vi Gâteaux tại x và đạo hàm Fréchet của f tại x bằng đạo hàm Gâteaux của f tại x theo mỗi phương h. Định nghĩa 1.6. Giả sử X và Y là các không gian tuyến tính thực, C là một nón lồi nhọn trong Y , A là một tập con lồi khác rỗng của X. Ánh xạ f : A → Y được gọi là C- lồi, nếu ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ [0, 1] , λf(x) + (1 − λ)f(y) − f(λx + (1 − λ)y) ∈ C. Định nghĩa 1.7. Giả sử T là ánh xạ đa trị từ X vào Y với T (x) = φ, ∀x ∈ X. T được gọi là một quá trình lồi từ X → Y nếu (a) T x + T y ⊂ T (x + y), ∀x, y ∈ X, (b) T (λx) = λT (x) , ∀x ∈ X, λ > 0, (c) 0 ∈ T (0). Quá trình lồi T : X → Y được gọi là đóng nếu {(x, y) : y ∈ T x} đóng trong X × Y. Định lí sau đây là một tổng quát hóa của định lí Ljusternik. 8 Định lý 1.1. Giả sử X và Y là không gian Banach thực, và cho f : X → Y là C 1 ánh xạ. Nếu f  (x)(X) = Y , thì với x ∈ X có chuẩn x đủ nhỏ, tồn tại u ∈ X với u = ◦(x) sao cho f(x + x + u) − f(x) − f  (x)(x) = 0. Để chứng minh một kết quả tương tự định lí 1.1, trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây. Bổ đề 1.1. Giả sử X và Y là không gian Banach, S là tập hợp lồi mở khác rỗng của X, và ánh xạ: f : S → Y, x ∈ S, h ∈ X với L = {x + th : 0  t  1} ⊂ S. Giả sử f khả vi liên tục Fréchet trên L. Khi đó, f(x + h) − f(x) = 1  0 f  (x + th)(h)dt. Chứng minh. Kí hiệu không gian đối ngẫu tôpô của Y là Y ∗ . Với x ∈ S, h ∈ X,L = {x + th : 0  t  1} ⊂ S và y ∗ ∈ Y ∗ , ta xác định hàm giá trị thực g(t) = y ∗ ◦ f(x + th), t ∈ [0, 1] . Với mỗi t ∈ [0; 1], ta có g  (t) = lim ∆t→0 g(t + ∆t) − g(t) ∆t = lim ∆t→0 y ∗ f(x + (t + ∆t)h) − y ∗ f(x + th) ∆t = y ∗ ◦ f  (x + th)(h). 9 Theo công thức Newton-Leibniz, ta có y ∗ (f(¯x + h) − f(¯x) = g(1) − g(0) = 1  0 g  (t)dt = y ∗ ( 1  0 f  (¯x + th)(h)dt = y ∗ ( 1  0 f  (¯x + th)(h)dt) Do tính bất kì của y ∗ ∈ Y ∗ nên f(x + h) − f(x) = 1  0 f  (x + th)(h)dt. Bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta trình bày một mở rộng của định lí 1.1 Định lý 1.2. Giả sử X và Y là các không gian Banach thực, giả sử S là một tập con lồi mở của X, và f : S → Y là khả vi liên tục Fréchet trong một lân cận của x ∈ S. Nếu f  (x)(X) = Y , thì với bất kì x ∈ X với x đủ nhỏ, tồn tại u ∈ X với u = ◦ (x) sao cho f(x + x + u) − f(x) − f  (x)(x) = 0 Chứng minh. Đặt X 0 = {x ∈ X : f  (x)(x) = 0} . Do f  (x) liên tục, X 0 là không gian con tuyến tính đóng của X. [...]... Điều này mâu thuẫn với (2.25), Do đó, x là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC) Chương 3 ÁP DỤNG Chương 3 trình bày các kết quả của X.H.Gong về các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ( VVIC) và bài toán tối ưu véc tơ có ràng buộc nón (VOPC) dựa trên các kết quả đã nhận được trong chương 2 cho bài toán cân bằng véc tơ 3.1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu. .. HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ Chương 2 trình bày điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ khả vi Fréchet có ràng buộc nón, dựa trên một mở rộng định lí Ljusternik cho C 1 ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho quá trình lồi và định lí tách các tập lồi Chương 2 cũng trình bày điều kiện đủ tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ khả vi Gâteaux với các giả thiết về tính lồi cho các... thiết về tính lồi cho các hàm dữ kiện 2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ khả vi Fréchet Để chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của (VEPC) chúng ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử X, Y là không gian định chuẩn thực, S là tập con lồi mở khác rỗng của X và C là một nón nhọn lồi đóng trong Y Giả sử f : S → Y là 21 22 C- lồi và f là khả vi Gâteaux tại x ∈ S Khi... ∀x ∈ X x Bởi vì g (x)(X) = Z cho nên z ∗ (z) = 0, ∀z ∈ Z Có nghĩa là z ∗ = 0 Điều đó mâu thuẫn với z ∗ = 0 2.2 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vecto Định lý 2.2 Cho X, Y ,và Z là các không gian Banach, và C ⊂ Y là nón nhọn lồi đóng, và K ⊂ Z là một nón nhọn lồi với int K = φ Cho S là tập lồi mở khác rỗng của X Cho x ∈ A và F (x, x) = 0 Giả sử Fx (·) và g(·) khả vi ¯ Gâteaux tại... (x) − f (x) − f (x)(x − x) ∈ C, ∀x ∈ S Cho x ∈ S Kí hiệu Fx (y) : S → Y là ánh xạ Fx (y) = F (x, y), y ∈ S Một điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (VEPC) được phát biểu như sau Định lý 2.1 Giả sử X, Y và Z là các không gian Banach thực, C và K là các nón nhọn lồi đóng trong Y và Z Giả sử int K = φ Cho S là tập con lồi mở khác rỗng của X , x ∈ A và giả sử F (x, x) = 0 Giả sử Fx (·) :... giao của tất cả các nửa không gian chứa A Chứng minh Gọi tương giao của tất cả các nửa không gian chứa A là M Bởi vì các nửa không gian là lồi đóng, cho nên một nửa không gian chứa A khi và chỉ khi nó chứa coA Do đó coA ⊂ M Mặt khác, nếu x ∈ coA, thì do định lí tách thứ hai , tồn tại nửa không gian / chứa coA và không chứa x Vậy, x ∈ M Do đó, coA = M / Chương 2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU... cận của x, và g(·) : S → Z là khả vi Fréchet tại x Giả sử rằng Fx (x)(X) = Y Nếu x là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC), thì tồn tại y ∗ ∈ C ∗ , z ∗ ∈ K ∗ \ {0} sao cho (y ∗ ◦ Fx (¯) + z ∗ ◦ g (¯))(x − x) x ¯ ¯ x 0 ∀x ∈ S và z ∗ (g(¯)) = 0 x Hơn nữa, nếu g (x)(X) = Z thì y ∗ = 0 Chứng minh Giả sử x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu của (VEPC) Lấy e ∈ int K Khi đó V = (e − int K) ∩ (−e + int K) là một lân cận của. .. tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bất đẳng thức biến phân vecto Định lý 3.1 Cho X, Y và Z là các không gian Banach thực, và C ⊂ Y, K ⊂ Z là nón nhọn lồi đóng với int K = φ Cho S là một tập con khác rỗng mở lồi của X, và T : S → L(X, Y ), g(·) : S → Z khả vi Fréchet tại x ∈ A Giả ¯ sử T (x)(X) = Y Nếu x là một nghiệm hữu hiệu của (VVIC), thì tồn tại y ∗ ∈ C ∗ , z ∗ ∈ K \ {0} sao cho (y ∗ ◦ T (¯) + z ∗... lý 3.2 Cho X, Y, Z là các không gian Banach thực, và cho C ⊂ Y là nón nhọn lồi đóng, K ⊂ Z là một nón nhọn lồi đóng với int K = φ Cho S là một tập con lồi mở khác rỗng của X Cho x ∈ A Giả sử T : S → L(X, Y ), g(·) khả vi Gâteaux tại x và g(·) là K- lồi trên S Nếu tồn tại y ∗ ∈ C # và z ∗ ∈ K ∗ thỏa mãn (y ∗ ◦ T (x) + z ∗ ◦ g (x))(x − x) 0, ∀x ∈ S, và z ∗ (g(x)) = 0 thì x là một nghiệm hữu hiệu của (VVIC)... Fx (·) và g(·) khả vi ¯ Gâteaux tại x, Fx (·) là C- lồi trên S, và g(·) là K- lồi trên S Giả sử tồn tại 31 y ∗ ∈ C # và z ∗ ∈ K ∗ sao cho (y ∗ ◦ Fx (¯) + z ∗ ◦ g (¯))(x − x) x ¯ ¯ x 0 ∀x ∈ S (2.21) và z ∗ (g(x)) = 0 (2.22) Khi đó x là nghiệm hữu hiệu của (VEPC) Chứng minh Bởi vì ánh xạ Fx (·) và g(·) là khả vi Gâteaux tại x ∈ A và Fx (·) của Clồi trên S, g(·) là K- lồi trên S Từ bổ đề 2.1 , ta có Fx . phân véc tơ, bài toán tối ưu véc tơ, bài toán cân bằng Nash véc tơ và bài toán bù véc tơ là các trường hợp riêng của bài toán cân bằng véc tơ. Một đề tài quan trọng của bài toán cân bằng véc tơ. “ Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ và áp dụng ” . Luận văn trình bày các kết quả của X.H.Gong(2012) về điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài. . . . . . . . . . . . 17 2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ 21 2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ khả vi Fréchet . . . . .