Thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN ĐỖ QUỲNH TRANG THUẬT TOÁN TÌM NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN ĐỖ QUỲNH TRANG THUẬT TOÁN TÌM NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị tối ưu đa mục tiêu 1.1 Tập lồi đa diện 1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 1.3 Tìm đỉnh cạnh hữu hiệu 11 1.3.1 Tìm đỉnh hữu hiệu ban đầu 11 1.3.2 Tìm đỉnh hữu hiệu cạnh hữu hiệu 12 Chương Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu 14 2.1 Phát biểu toán 14 2.2 Xác định điểm hữu hiệu (BMPP’) 16 2.3 Thực thi thuật toán 18 2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu 21 2.5 Ví dụ minh họa 24 Tài liệu tham khảo 32 Mở đầu Bài toán tối ưu hai cấp hiểu đơn giản toán tối ưu mà ràng buộc lại toán tối ưu khác Bài toán tối ưu hai cấp xuất sách báo, tạp chí có liên quan tới hệ thống phân cấp, toán hai cấp nảy sinh từ nhiều ứng dụng đa dạng chẳng hạn hoạt động vận tải, kinh tế, sinh thái học, kỹ thuật, Khi hàm mục tiêu hàm ràng buộc toán hàm tuyến tính, ta có toán tối ưu hai cấp tuyến tính Chúng phân thành: toán mục tiêu (được nghiên cứu ứng dụng nhiều hơn), toán đa mục tiêu (khó ứng dụng có thuật toán hiệu quả) toán tối ưu tập Pareto trường hợp riêng biệt Tối ưu hai cấp thuộc lớp toán tối ưu toàn cục, nói chung phức tạp khó giải Nói riêng bao hàm toán tối ưu tập Pareto trường hợp cụ thể Nhiều phương pháp đề xuất, nhiên hiệu không cao chủ yếu toán tuyến tính hai cấp với hay nhiều mục tiêu Bài toán tối ưu hai cấp có số dạng sau: • Bài toán tối ưu hai cấp mục tiêu (Bilevel Programming Problem - BPP)     G(x) 0,      miny∈Y f (x, y) (BPP) F(x, y) với x∈X   y nghiệm     với g(x, y)  với x ∈ X ⊂ Rn , y ∈ Y ⊂ Rm F, f : X ×Y → R hàm mục tiêu toán (bài toán cấp trên) toán (bài toán cấp dưới), G : X → R, g : X ×Y → R hàm ràng buộc Khi F, f G, g tuyến tính, toán gọi toán tối ưu tuyến tính hai cấp (Bilevel Linear Programming Problem - BLPP) hay trò chơi Stackelberg tuyến tính (Linear Stackelberg Game - LSG) • Bài toán tối ưu đa mục tiêu hai cấp (Bilevel Multi-Objective Programming Problem - BMPP): Nếu F f véctơ hàm (hàm giá trị véctơ), tức F : Rn × Rm → R p f : Rn × Rm → Rq Bài toán tối ưu đa mục tiêu hai cấp (BMPP) viết sau F(x, y) = F1 (x, y), · · · , Fp (x, y) với x∈X x∈X    G(x) 0, x ∈ X        min f (x, y) = f1 (x, y), · · · , fq (x, y)  y∈Y  y nghiệm y∈Y       với g(x, y) 0, y ∈ Y (BMPP) Khi F, f , G, g ánh xạ tuyến tính ta có toán tối ưu tuyến tính hai cấp đa mục tiêu Bài toán bao gồm trường hợp riêng toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu Đề tài luận văn “Thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu” có mục đích tìm hiểu trình bày số kết lý thuyết liên quan tới toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu giới thiệu thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu (khái niệm hiểu theo nghĩa Pareto định nghĩa phần sau) Luận văn viết dựa tài liệu tham khảo [1]-[6] có chủ yếu nhằm giới thiệu thuật toán đưa hai tài liệu [5] [6] Nội dung luận văn gồm hai chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị tối ưu đa mục tiêu Chương nhắc lại số khái niệm tập lồi tập lồi đa diện (đỉnh, cạnh diện tập lồi đa diện), khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, tính chất tập nghiệm hữu hiệu giới thiệu thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán • Chương Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu có nội dung: – Phát biểu toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu – Khái niệm nghiệm hữu hiệu – Tính chất nghiệm hữu hiệu toán – Thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Đỗ Quỳnh Trang Chương Kiến thức chuẩn bị tối ưu đa mục tiêu Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu giới thiệu cách tìm đỉnh cạnh hữu hiệu toán, dựa phương pháp nón pháp tuyến Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [4] [6] 1.1 Tập lồi đa diện Trước hết ta nêu lại số khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1.1 (Tập afin) Tập M ⊆ Rn gọi tập afin có λ a + (1 − λ )b ∈ M với a, b ∈ M λ ∈ R, tức M chứa hai điểm M chứa đường thẳng qua hai điểm Định nghĩa 1.1.2 Bao afin tập E ⊂ Rn giao tất tập afin chứa E, ký hiệu aff(E) Đó tập afin nhỏ chứa E Định nghĩa 1.1.3 Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M định nghĩa số chiều không gian song song với M Định nghĩa 1.1.4 (Tập lồi) Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi với x1 , x2 ∈ C λ ∈ [0, 1] ta có λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ C Thứ nguyên tập lồi C, ký hiệu dimC, định nghĩa thứ nguyên affC (bao afin C) Bổ đề 1.1.5 Giao họ tập lồi Rn tập lồi Định nghĩa 1.1.6 (Siêu phẳng) Cho véctơ a ∈ Rn (a = 0) số b ∈ R Tập H = x ∈ R n | aT x = a1 x + + an x n = b gọi siêu phẳng Rn Đó tập nghiệm phương trình tuyến tính Rn Ví dụ 1.1.7 Trong không gian chiều R3 , phương trình ax + by + cz = d, với a, b, c, d ∈ R không 0, xác định siêu phẳng (mặt phẳng) R3 Định nghĩa 1.1.8 Cho véctơ a ∈ Rn (a = 0) số b ∈ R Khi đó, tập H1 = x ∈ Rn | aT x = a1 x1 + + an xn ≤ b , H1 = x ∈ Rn | aT x = a1 x1 + + an xn ≥ b , gọi nửa không gian đóng, xác định siêu phẳng aT x = b Ví dụ 1.1.9 Trong mặt phẳng R2 , Siêu phẳng x1 + x2 = tạo hai nửa không gian (nửa mặt phẳng) đóng H1 = x ∈ R2 | x1 + x2 ≤ H2 = x ∈ R2 | x1 + x2 ≥ Bổ đề 1.1.10 Mọi siêu phẳng nửa không gian đóng tập lồi Định nghĩa 1.1.11 (Tập da diện) Nếu P ⊆ Rn giao số hữu hạn nửa không gian đóng P gọi tập đa diện Một cách hình thức, cho a1 , , am ∈ Rn tập hữu hạn véctơ cột b1 , , bm số Xét nửa không gian đóng Hi = x ∈ Rn | , x ≥ bi Khi đó, P = m Hi tập đa diện i=1 Mỗi bất phương trình , x ≥ bi gọi ràng buộc cuả P Ta nói điểm x0 ∈ P thỏa ∗ mãn chặt ràng buộc i∗ , x ≥ bi∗ Bổ đề 1.1.12 Tập đa diện tập lồi Một tập đa diện không bị chặn Một tập đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng (tam giác, hình chữ nhật, hình thang, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi Định nghĩa 1.1.13 (Đường thẳng) Cho hai véctơ x0 , d ∈ Rn (d = 0) Đường thẳng qua x0 theo phương d tập điểm x(λ ) = x0 + λ d với λ ∈ R Véctơ d gọi véctơ phương đường thẳng Định nghĩa 1.1.14 (Tia) Cho điểm x0 ∈ Rn véctơ phương d ∈ Rn (d = 0) Tia từ x0 theo hướng d tập điểm Γ = x | x = x0 + λ d, λ ≥ Định nghĩa 1.1.15 (Nón lồi) Cho tập lồi K ⊆ Rn Khi đó, K nón lồi với x ∈ K λ > 0, ta có λ x ∈ K Một tập lồi đa diện mà đồng thời nón lồi gọi nón lồi đa diện Định nghĩa 1.1.16 (Hướng lùi xa) Cho tập lồi C ⊆ Rn Véctơ d ∈ Rn , d = gọi hướng lùi xa C x | x = x0 + λ d, λ ≥ ⊆ C với x0 ∈ C Có quan hệ đáng ý sau ma trận A xác định P hướng lùi xa P Định lí 1.1.17 Giả sử P ⊆ Rn tập đa diện xác định P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} Khi đó, d hướng lùi xa P Ad ≥ 0, d ≥ 0, d = Hệ 1.1.18 Nếu P0 = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} Khi đó, d hướng lùi xa P Ad = 0, d ≥ 0, d = Định nghĩa 1.1.19 (Nón lùi xa) Nón lồi tạo nên tập tất hướng lùi xa tập lồi C véctơ gọi nón lùi xa C, ký hiệu recC Ví dụ 1.1.20 Với tập đa diện P P0 vừa xét rec P = {d ∈ Rn : Ad ≥ 0, d ≥ 0} rec P0 = {d ∈ Rn : Ad = 0, d ≥ 0} Định lí 1.1.21 Tập đa diện P không bị chặn rec P = {0} Định nghĩa 1.1.22 (Diện tập lồi) Một tập lồi F tập lồi C gọi diện (face) C x, y ∈ C mà λ x + (1 − λ )y ∈ F, với λ ∈ (0, 1) [x, y] ⊆ F, nghĩa đoạn thẳng thuộc C mà có điểm bên thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn F Một diện C, khác rỗng khác C, gọi diện thực C Ví dụ, diện thực khối lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh mặt Định nghĩa 1.1.23 (Điểm cực biên) Một diện có thứ nguyên (số chiều) gọi điểm cực biên C Nói cách khác, x0 ∈ C điểm cực biên C không tồn x1 , x2 ∈ C, x1 = x0 x2 = x0 cho x0 = λ x1 + (1 − λ )x2 với λ ∈ (0, 1) Điểm cực biên tập đa diện P gọi đỉnh P Định nghĩa 1.1.24 (Đỉnh suy biến) Cho tập đa diện P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} Giả sử x0 đỉnh P Nếu x0 thỏa mãn chặt (với dấu bằng) n ràng buộc xác định P x0 gọi đỉnh không suy biến, trái lại (x0 thỏa mãn chặt nhiều n ràng buộc) x0 gọi đỉnh suy biến Cho tập đa diện P = ∅ xác định hệ bất phương trình tuyến tính , x ≥ bi, i = 1, 2, , m Với x ∈ P, ký hiệu I(x) = i : , x = bi tập số ràng buộc mà x thỏa mãn chặt Đặt I0 = i : , x = bi với x ∈ P Tính chất đặc trưng diện (nói riêng, đỉnh cạnh) P cho định lý sau Định lí 1.1.25 (Diện tập đa diện) Một tập lồi khác rỗng F ⊂ P diện thực P F = x : , x = bi , i ∈ I, , x ≥ bi , i ∈ /I với I tập số cho I0 ⊂ I ⊂ {1, , m} (I gọi tập số xác định diện F) Hơn nữa, ta có dim F = n − rank{ai : i ∈ I} dim P = n − rank{ai : i ∈ I0 } 18 Khi đó, tồn (x , y ) ∈ E( f¯, Z, ≤K4 ) cho (x , y ) vượt trội (x, y), nghĩa F(x , y ) ≤ F(x, y) F(x , y ) = F(x, y) Do E( f¯, Z, ≤K4 ) ⊆ Z, nên tồn (x , y ) ∈ Z cho F(x , y ) ≤ F(x, y) F(x , y ) = F(x, y) Kết (x, y) ∈ / E(F, Z, ≤K1 ), trái với giả thiết (x, y) ∈ E( f¯, Z, ≤K4 ) ∩ E(F, Z, ≤K1 Định lý chứng minh Kết sau suy từ Định lý 2.2.5 Hệ 2.2.4 Hệ 2.2.6 E( f¯, Z, ≤K4 ) ∩ E(F, Z, ≤K1 ) ⊆ S Kết sau cho thấy để tìm nghiệm hữu hiệu (BMPP’) ta giải toán (MPP1 ) với thứ tự ≤K1 toán (MPP2 ) với thứ tự ≤K4 giữ lại điểm hữu hiệu thuộc hai tập điểm hữu hiệu 2.3 Thực thi thuật toán Để thực kết trên, ta cần chắn thuật toán sinh nhát nghiệm hữu hiệu toán (BMPP’) Điều chắn xảy E( f¯, Z, ≤K4 ) ∩ E(F, Z, ≤K1 ) = ∅ Như vậy, điều kiện cần E( f¯, Z, ≤K4 ) E(F, Z, ≤K1 ) phải khác rỗng Kết sau cho điều kiện đủ để hai tập kể khác rỗng Định lí 2.3.1 Nếu có ba điều kiện sau: (a) Z tập compact, khác rỗng (b) với i = {1, , p}, Fi nửa liên tục (c) với j = {1, , q}, f j nửa liên tục 19 E( f¯, Z, ≤K4 ) = ∅ E(F, Z, ≤K1 ) = ∅ p Chứng minh Nếu có điều kiện (b) F nửa liên tục R+ (tức nghịch ảnh orthant âm tịnh tiến tập đóng) Theo (a) Z tập compact khác rỗng p nên F(Z) R+ -nửa liên tục khác rỗng Dựa kết khẳng định tập điểm không bị vượt trội khác rỗng Từ kết luận tập điểm Pareto khác rỗng, tức E( f¯, Z, ≤K1 ) = ∅ Chứng minh tương tự cho phép kết luận E( f¯, Z, ≤K4 ) = ∅ Định lý sau cho điều kiện đủ để thực thuật toán dựa Hệ 2.2.6 Định lí 2.3.2 Nếu có hai điều kiện sau: (1) Z ⊂ Rm+n tập compact, khác rỗng + (2) tồn i0 ∈ {1, , p}, tồn j0 ∈ {1, , q} tồn α > cho • Fi0 f j0 hàm nửa liên tục dưới, • Fi0 f j0 hàm đơn ánh, • Fi0 = α f j0 E( f¯, Z, ≤K4 ) ∩ E(F, Z, ≤K1 ) = ∅ Chứng minh Giả sử có (1) (2) Xét toán tối ưu min{ f j0 (z) : z ∈ Z} (pb1 ) Do f j0 hàm nửa liên tục Z tập compact khác rỗng, nên (pb1 ) có nghiệm, chẳng hạn z0 Ta chứng minh z0 ∈ E( f¯, Z, ≤K4 ) ∩ E(F, Z, ≤K1 ) Thật vậy, trước hết ta z0 ∈ E( f¯, Z, ≤K4 ) Giả sử z0 ∈ / E( f¯, Z, ≤K4 ) Khi đó, tồn z ∈ Z, z = z0 , cho f¯(z ) = f¯(z0 ) f¯(z ) ≤ f¯(z0 ) Từ suy f j0 (z ) ≤ f j0 (z0 ) Mặt khác, z0 nghiệm tối ưu (pb1 ) nên f j0 (z0 ) ≤ f j0 (z ) 20 f j0 (z0 ) = f j0 (z ) Vì f j0 hàm đơn ánh nên điều kéo theo z0 = z , ta gặp mâu thuẫn! Vậy phải có z0 ∈ E( f¯, Z, ≤K4 ) Do Fi0 = α f j0 α > nên z0 nghiệm tối ưu toán min{Fj0 (z) : z ∈ Z} Lập luận tương tự trên, ta thấy z0 ∈ E(F, Z, ≤K1 ) = ∅ Nếu điều kiện nêu thỏa mãn ta nghĩ tới thực thuật toán sinh điểm hữu hiệu (BMPP) dựa Hệ 2.2.6 Có thể sử dụng hai ý tưởng Ý tưởng thứ giúp xác định toàn tập điểm hữu hiệu (MLPP1 ) sau lặp lặp lại tập để giữ lại nghiệm đồng thời điểm tối ưu Pareto toán thứ hai (MLPP2 ) Nhưng có lẽ khó sinh toàn tập hữu hiệu toán (MLPP1 ) Ý tưởng thứ hai giúp bước tạo điểm hữu hiệu (MPP1 ) kiểm tra đồng thời tính hữu hiệu (MLPP2 ) trước chuyển tới điểm hữu hiệu (MPP1 ) Cách tỏ thực tiễn Thuật toán dựa ý tưởng thứ hai diễn đạt sau Thuật toán gồm bước tính toán sau: Nhập liệu toán lập toán (MPP1 ) (MPP2 ) Đặt S = ∅ Tìm nghiệm hữu hiệu (chẳng hạn z) toán (MPP1 ) chuyển sang thực Tìm nghiệm hữu hiệu z toán (MPP1 ) Nếu z nghiệm hữu hiệu toán (MPP2 ) z nghiệm toán (BMPP) : S = S ∪ {z} Nếu số điểm S đủ lớn, tất điểm hữu hiệu (MPP1 ) kiểm tra dừng thuật toán Trái lại, quay lại thực Ở mục sau trình bày cách thực có hiệu để tạo nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính hai cấp 21 2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu Xét toán sau F(x, y) = [C1 (x, y), ,C p (x, y)] x∈Rn+ với    A1 x ≤ b1 ,     y đạt minm f (x, y) = [c1 (x, y), , cq (x, y)]  y∈R+     A x + A y ≤ b , y ≥ (BLMPP) Hai toán tối ưu đa mục tiêu dùng Thuật toán     A x ≤ b1 ,    F(x, y) = [C1 (x, y), ,C p (x, y)] với A2 x + A3 y ≤ b2 ,  x∈Rn+     x ≥ 0, y ≤ (LMPP1 ) f¯(x, y) = [c1 (x, y), , c p (x, y)] x∈Rn+     A1 x ≤ b1 ,    với A2 x + A3 y ≤ b2 ,      x ≥ 0, y ≤ (LMPP2 ) A1 , A2 , A3 , b1 , b2 ma trận véctơ có kích thước thích hợp Cho trước x ∈ R y ∈ R Để cho tiện ta đưa vào véctơ z ∈ R với n thành phần đầu x1 , , xn m thành phần sau y1 , , ym Ta gọi C (tương ứng c) ma trận cấp p × (n + m) (tương ứng, (q + n) × (n + m)) cho F(z) = [C1z , ,C pz ] = Cz tương ứng (z = cz) Để cho gọn, ký hiệu kết nêu sau (LMPP1 ), tất (LMPP2 ) Sau thêm vào p + q biến không âm z p+q+1 , z p+q+2 , , z p+2q , liệu toán (LMPP1 ) biểu diễn dạng bảng sau: 22 ZN ZB D C b A   b A1  b =   A =  b2 A2 A3 Thuật toán điểm cực biên hữu hiệu ban đầu lặp lặp lại   qua điểm cực biên hữu hiệu khác toán (LMPP1 ) Ở bước lặp bất kỳ, điểm cực biên hữu hiệu z (LMPP1 ) chưa kiểm tra kiểm tra xem z có điểm hữu hiệu toán (LMPP2 ) không Những điểm tối ưu Pareto hai toán lưu giữ lại Toàn lược đồ lặp lại điểm cực biên hữu hiệu (LMPP1 ) kiểm tra Do điểm cực biên hữu hiệu tạo thành đồ thị liên thông, nên (LMPP1 ) có số hữu hạn điểm cực biên hữu hiệu thuật toán dừng sau số hữu hạn bước Ở bước thuật toán, điểm (cực biên) hữu hiệu xét z∗ tương ứng với bảng đơn hình T (như nói tới trên) NT ký hiệu tập số biến phi sở z∗ (tương ứng với bảng T) Ký hiệu ST tập điểm tối ưu Pareto toán (LMPP1 ), kiểm tra hữu hiệu (LMPP2 ) S2 tập điểm kiểm tra tối ưu Pareto cho hai toán Kết sau lược đồ dùng để kiểm tra điểm chấp nhận nghiệm tối ưu Pareto toán (LMPP1 ) Bổ đề 2.4.1 Điểm z0 ∈ Z nghiệm tối ưu Pareto (LMPP1 ) nghiệm tối ưu (¯z, s) ¯ toán qui hoạch tuyến tính sau có giá trị mục tiêu 0: max eT s : Cz + Is = Cz0 , z ∈ Z, s ≥ Nếu s¯ = z¯ nghiệm tối ưu Pareto (LMPP1 ) Có thể dùng kết sau để xác định cạnh hữu hiệu kề đỉnh hữu hiệu z∗ 23 Bổ đề 2.4.2 Cạnh kề điểm cực biên hữu hiệu có, nhận cách tăng giá trị cho biến phi sở z j , hữu hiệu hệ: −CT v + Iw = CT e có nghiệm (v, w) ≥ với w j > 0, (2.1) với điều kiện cột xoay tương ứng với biến phi sở z j có dòng xoay tương ứng với bi > Nếu dòng quay có bi = j < với j cạnh nhận phép xoay đơn hình, hữu hiệu có (2.1) Dựa bổ đề này, việc kiểm tra tính hữu hiệu cạnh thực cách giải qui hoạch tuyến tính: max wi : −CT v + Iw = CT e, (v, w) ≥ Nếu giá trị mục tiêu tối ưu cạnh tương ứng hữu hiệu Đó lược đồ dùng thuật toán để tìm cạnh hữu hiệu Dựa kết này, Có thể mô tả lại thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán (BLMPP) sau Thuật toán gồm bước tính toán sau: Bước Đọc liệu toán (BLMPP) lập toán (LMPP1 ) (LMPP2 ) Đặt S2 = ∅ (S2 - tập điểm hữu hiệu biết (BLMPP)) Bước Tìm điểm chấp nhận tùy ý z0 ∈ Z Bước Với z0 lập giải toán sau (để tìm điểm hữu hiệu ban đầu (LMPP1 )): max eT s : Cz + Is = Cz0 , z ∈ Z, s ≥ (test1 ) Giả sử (¯z, s) ¯ nghiệm tối ưu (test1 ) Nếu giá trị mục tiêu tối ưu (test1 ) z0 điểm hữu hiệu đặt S1 = {z0 } Trái lại, z¯ điểm hữu hiệu đặt S1 = {¯z} Bước Nếu S1 = ∅ dừng thuật toán Trái lại, chọn phần tử z∗ ∈ S1 đặt S1 := S1 \ {z∗ } 24 Bước Kiểm tra z∗ hữu hiệu (LMPP2 ) cách giải toán: max eT s : cz + Is = Cz∗ , z ∈ Z, s ≥ (test2 ) Giả sử (¯z, s) ¯ = (x, ¯ y, ¯ s) ¯ nghiệm tối ưu (test2 ) Nếu giá trị mục tiêu tối ưu (test2 ) z∗ điểm hữu hiệu (LMPP2 ) nghiệm (BLMPP), đặt S2 := S2 ∪ {z∗ } Nếu đủ số điểm hữu hiệu dừng thuật toán Bước Tìm cạnh hữu hiệu (LMPP1 ) kề z∗ cách giải toán sau, biến phi sở x j z∗ : PB j max w j : −C j v + Iw = C j e, v ≥ 0, w ≥ Ký hiệu JT ⊂ NT tập số biến phi sở z j cho giá trị tối ưu toán (PB j ) (Nhớ cạnh nhận cách tăng giá trị biến phi sở z j cạnh hữu hiệu j ∈ JT ) Bước Với j ∈ JT xác định điểm hữu hiệu kề z∗ cách thực phép biến đổi bảng đơn hình theo cột j Ký hiệu ST tập điểm hữu hiệu, kề điểm hữu hiệu có z∗ , chưa kiểm tra Đặt S1 := S1 ∪ ST chuyển tới Bước 2.5 Ví dụ minh họa Tìm nghiệm hữu hiệu toán: {−x1 + 2x3 , −x1 − x3 , −x1 + 2x2 }     x1 + x2 1, x2 ≤ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥      min − x1 + x3 , 2x1 + x2 + 2x3   x3 nghiệm     x1 − x2 + x3 ≤ 4, x3 ≥  (BLMPP) Bài toán thỏa mãn giả thiết nêu Định lý 2.3.2 (i0 = 2, j0 = 1, α = 2) Bước Xét hai toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu sau đây: {−x1 − 2x2 , −x1 + 2x3 , x1 − x3 } 25 với     x1 + x2 1, x2 2,    x1 − x2 + x3 4,      x1 0, x2 0, x3 (LMPP1 ) − x1 + x3 , −2x1 + x2 + 2x3 , x1 , x2     x1 + x2 1, x2 2,    với x1 − x2 + x3 4,      x1 0, x2 0, x3 (LMPP2 ) Trong hai toán Z = z ∈ R3 : Az ≤ b, z ≥ với     −1 −2 2         C = −1  , c = 1 0     −1     1         A = 0 0 , b = 2     −1 Bước Xuất phát từ z0 = (0, 0, 0) ∈ Z Bước Bài toán sau xây dựng để tìm điểm cực biên hữu hiệu ban đầu toán (LMPP1 ) s1 + s2 + s3 → max, với điều kiện − x1 − 2x2 + s1 = 0, −x1 + 2x3 + s2 = 0, x1 − x3 + s3 = 0, x1 + x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 4, x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 ≥ (test1 ) 26 Hình 2.1.Miền ràng buộc Z Lời giải tối ưu: (z, s) = ((0, 1, 0), (2, 0, 0)) giá trị mục tiêu tối ưu Vì giá trị khác 0, nên z0 = (0, 0, 0) không điểm hữu hiệu (LMPP1 ) Từ lời giải tối ưu ta kết luận z¯ = (0, 1, 0) điểm cực biên hữu hiệu (LMPP1 ) Vì thế, tập điểm hữu hiệu có (LMPP1 ): S1 = (0, 1, 0) Bước Vì S1 = ∅ nên ta chọn (0, 1, 0) loại khỏi S1 (do S1 = ∅) Bước Ta kiểm tra xem liệu (0, 1, 0) có điểm hữu hiệu (LMPP2 ) hay không, nhờ giải qui hoạch tuyến tính (để ý c¯z = (0, 1, 0, 1)) s1 + s2 + s3 + s4 → max, (test1 ) với điều kiện − x1 + x3 + s1 = 0, 2x1 + x2 + 2x3 + s2 = 1, x1 + s3 = 0, x2 + s4 = x1 + x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 4, x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 , s4 ≥ Lời giải tối ưu: (z, s) = ((0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)) Vì giá trị mục tiêu tối ưu 2, lớn 0, nên =¯z = (0, 1, 0) điểm hữu hiệu (LMPP2 ) Ta tiếp tục Bước 27 Bước Sử dụng bảng đơn hình tối ưu z¯ = (0, 1, 0) để tìm cạnh hữu hiệu kề z¯ Ở biến phi sở z1 , z3 z4 Với j = 1, 3, ta giải toán (PB j ) nêu thuật toán Với j = 1, toán (PB1 ) w j → max với điều kiện −v1 + v2 − v3 + w1 = 1, −2v1 + w3 = 2, −2v2 + v3 + w4 = 1, v, w ≥ (PB j ) Giá trị mục tiêu tối ưu Bằng cách tương tự, với j = 3, giá trị mục tiêu tối ưu (PB3 ) Với j = 4, giá trị mục tiêu tối ưu (PB4 ) Vì JT1 = {1, 4} Ta chuyển sang Bước Bước Chỉ có j = dẫn tới điểm cực biên hữu hiệu Điểm hữu hiệu nhận (1, 0, 0) tương ứng với bảng đơn hình T2 Tập biến phi sở NT2 = {2, 3, 4} Khi ta có tập ST1 = {(1, 0, 0)} S1 = {(1, 0, 0)} Ta trở lại Bước Bước Do S1 = ∅ nên ta chọn (1, 0, 0) loại điểm khỏi S1 (Vì S1 = ∅) Ta chuyển tới Bước Bước Ta kiểm tra (1, 0, 0) điểm hữu hiệu (LMPP2 ), cách giải toán: s1 + s2 + s3 + s4 → max với điều kiện − x1 + x3 + s1 = −0, 5; 2x1 + x2 + 2x3 + s2 = 2, x1 + s3 = 1, x2 + s4 = 0, x1 + x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 4, x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 , s4 ≥ Giá trị mục tiêu tối ưu toán Vì (1, 0, 0) điểm hữu hiệu (LMPP2 ) nghiệm hữu hiệu toán cho: s2 = {(1, 0, 0)} Ta tiếp tục Bước Bước Tìm điểm cực biên hữu hiệu kề điểm hữu hiệu có z∗ = (1, 0, (Dùng T2 NT2 ) cách giải toán (PB j ) với j ∈ NT2 Với j = 2, ta nhận 28 giá trị mục tiêu tối ưu (PB2 ) Với j = 3, ta nhận giá trị mục tiêu tối ưu (PB3 ) Với j = 4, giá trị mục tiêu tối ưu (PB4 ) Vì JT2 = {3} Chuyển sang Bước Bước Ta thấy j = dẫn tới điểm cực biên hữu hiệu (1, 0, 3) tương ứng với bảng đơn hình T3 Tập biến phi sở NT2 = {2, 4, 6} Khi ta có tập ST3 = {(1, 0, 3)} S1 = {(1, 0, 3)} Ta trở lại Bước Bước Do S1 = ∅ nên ta chọn (1, 0, 3) loại điểm khỏi S1 (Vì S1 = ∅) Ta chuyển tới Bước Bước Ta kiểm tra (1, 0, 3) điểm hữu hiệu (LMPP2 ), cách giải toán: s1 + s2 + s3 + s4 → max với điều kiện − x1 + x3 + s1 = 2, 5; 2x1 + x2 + 2x3 + s2 = 8, x1 + s3 = 1, x2 + s4 = 0, x1 + x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 4, x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 , s4 ≥ Giá trị tối ưu toán 11, Do (1, 0, 3) không điểm hữu hiệu (LMPP2 ) không nghiệm toán cho Ta tiếp tục Bước Bước Tìm điểm cực biên hữu hiệu kề điểm hữu hiệu có z∗ = (1, 0, 3) cách giải toán (PB j ) với j ∈ NT3 Với j = 2, giá trị mục tiêu tối ưu (PB2 ) Với j = j = 6, giá trị mục tiêu tối ưu (PB4 ) (PB6 ) 0, JT3 = {4, 6} Chuyển sang Bước Bước Ta nhận thấy có j = dẫn tới điểm cực biên hữu hiệu (0, 0, 4) tương ứng với bảng đơn hình T4 Tập biến phi sở NT4 = {1, 2, 6} Như tập ST4 = {(0, 0, 4)} S1 = {(0, 0, 4)} Ta trở lại Bước Bước Do S1 = ∅ nên ta chọn (0, 0, 4) loại điểm khỏi S1 (Vì S1 = ∅) Ta chuyển tới Bước 29 Bước Ta kiểm tra (0, 0, 4) điểm hữu hiệu (LMPP2 ), cách giải toán: s1 + s2 + s3 + s4 → max với điều kiện − x1 + x3 + s1 = 4, 2x1 + x2 + 2x3 + s2 = 8, x1 + s3 = 0, x2 + s4 = 0, x1 + x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 4, x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 , s4 ≥ Giá trị mục tiêu tối ưu toán 12 Như (0, 0, 4) không điểm hữu hiệu (LMPP2 ) không nghiệm toán cho Ta tiếp tục Bước Bước Tìm điểm cực biên hữu hiệu kề điểm hữu hiệu có z∗ = (0, 0, 4) cách giải toán (PB j ) với j ∈ NT4 Với j ∈ NT4 , giá trị mục tiêu tối ưu (PB j ) , Vì JT4 = {1, 2, 6} Chuyển sang Bước Bước Ta nhận thấy có j = dẫn tới điểm cực biên hữu hiệu (0, 1, 5) tương ứng với bảng đơn hình T5 Tập biến phi sở NT5 = {1, 4, 6} Vì tập ST5 = {(0, 1, 5)} S1 = {(0, 1, 5)} Ta trở lại Bước Bước Do S1 = ∅ nên ta chọn (0, 1, 5) loại điểm khỏi S1 (Vì S1 = ∅) Ta chuyển tới Bước Bước Kiểm tra (0, 1, 5) hữu hiệu (LMPP2 ) cách giải toán: s1 + s2 + s3 + s4 → max với điều kiện − x1 + x3 + s1 = 5, 2x1 + x2 + 2x3 + s2 = 11, x1 + s3 = 0, x2 + s4 = 1, x1 + x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 4, x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 , s4 ≥ Giá trị mục tiêu tối ưu toán 17 Như (0, 1, 5) không điểm hữu hiệu (LMPP2 ) không nghiệm toán cho Ta tiếp tục Bước Bước Tìm điểm cực biên hữu hiệu kề điểm hữu hiệu có z∗ = (0, 1, 5) cách giải (PB j ) với j ∈ NT5 30 Với j = 1, giá trị mục tiêu tối ưu (PB1 ) 1, Với j = 4, giá trị mục tiêu tối ưu (PB4 ) Với j = giá trị mục tiêu tối ưu (PB6 ) Chuyển tới Bước Bước j = dẫn tới điểm cực biên hữu hiệu kiểm tra (cụ thể (0, 1, 0)) Ta trở lại Bước Bước S1 = ∅ : dừng thuật toán Do S2 = {(1, 0, 0)} nên ta kết luận x∗ = (1, 0, 0) nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính cho Đỉnh Tọa độ z Cz cz O (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) A (1, 0, 0) (−1, −1, 1) (−, 2, 1, 0) B (0, 1, 0) (−2, 0, 0) (0, 1, 0, 1) C (0, 0, (0, 2, −1) (4, 8, 0, 0) D (1, 0, 3) (−1, 5, −2) ( 52 , 8, 1, 0) E (0, 1, 5) (−2, 10, −5) (5, 11, 0, 1) Bảng 2.1 Giá trị hàm mục tiêu đỉnh Kết luận Chương Chương trình bày cách phát biểu lạc quan toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu - toán (BMPP) Theo cách tiếp cận này, (BMPP) đưa hai toán tối ưu (một cấp) đa mục tiêu cho điểm hữu hiệu hai toán nghiệm hữu hiệu (BMPP) Giới thiệu thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán (BMPP) áp dụng thuật toán để giải trường hợp tuyến tính (BMPP) Ngoài ra, đề cập tới điều kiện cần điều kiện đủ để áp dụng thuật toán trình bày 31 Kết luận Luận văn đề cập tới toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu trường hợp riêng toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu Giới thiệu cách "tiếp cận lạc quan" đưa toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu ban đầu hai toán tối ưu cấp đa mục tiêu trình bày thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán, dựa tìm nghiệm hữu hiệu chung hai toán cấp đa mục tiêu 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Aboussoror A., Mansouri A (2005), “Weak linear bilevel programming problems: Existence of solutions via a penalty method”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 304, pp 399-408 [3] Ansari E., Rezai H Z (2011), “Solving multi-objective linear bilevel multifollower programming problem”, International Journal of Industrial Mathematics, 8, pp 303-316 [4] Kim N.T.B., Luc D.T (2000), “Normal cone to a polyhedral convex set and generating efficient faces in linear multi-objective programming”, Acta Mathematica Vietnamica, 25, pp 101-124 [5] Pieume C O., Marcotte P., Fotso L P., Siarry P (2011), “Solving bilevel linear multi-objective programming problem”, American Journal of Operations Research, 1, pp 214–219 [6] Pieume C O., Marcotte P., Fotso L P., Siarry P (2013), “Generating efficient solutions in bilevel multi-objective programming problems”, American Journal of Operations Research, 3, pp 289-298 [...]... Chương 2 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu Chương này đề cập tới bài toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu và trường hợp riêng là bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu Phần đầu trình bày một số kết quả lý thuyết liên quan tới bài toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu Sau đó giới thiệu thuật toán giải bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu và xét một ví dụ minh họa cho thuật toán giải... Giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh Kết luận Chương 2 Chương này đã trình bày cách phát biểu lạc quan của bài toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu - bài toán (BMPP) Theo cách tiếp cận này, (BMPP) được đưa về hai bài toán tối ưu (một cấp) đa mục tiêu sao cho một điểm hữu hiệu bất kỳ đối với cả hai bài toán sẽ là một nghiệm hữu hiệu của (BMPP) Giới thiệu thuật toán tìm các nghiệm hữu hiệu của bài toán (BMPP)... tới bài toán tối ưu đa mục tiêu và trường hợp riêng là bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, nhắc lại một số khái niệm có liên quan đến bài toán như: tập lồi đa diện và các đỉnh, cạnh, diện của tập lồi đa diện, khái niệm điểm tối ưu Pareto hay nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu và giới thiệu tóm tắt thuật toán xác định các đỉnh và cạnh hữu hiệu của bài toán, dựa theo phương pháp nón pháp tuyến. .. thuật toán đó để giải quyết trường hợp tuyến tính của (BMPP) Ngoài ra, còn đề cập tới một điều kiện cần và một điều kiện đủ để có thể áp dụng được thuật toán đã trình bày 31 Kết luận Luận văn đã đề cập tới bài toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu và trường hợp riêng là bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu Giới thiệu cách "tiếp cận lạc quan" đưa bài toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu ban đầu về hai. .. S ∪ {z} 5 Nếu số điểm trong S đủ lớn, hoặc tất cả các điểm hữu hiệu của (MPP1 ) đã được kiểm tra thì dừng thuật toán Trái lại, quay lại thực hiện 3 Ở mục sau sẽ trình bày cách thực hiện có hiệu quả để tạo ra các nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính hai cấp 21 2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu Xét bài toán sau đây min F(x, y) = [C1 (x, y), ,C p (x, y)] x∈Rn+... lạc quan" đưa bài toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu ban đầu về hai bài toán tối ưu một cấp đa mục tiêu và trình bày thuật toán tìm các nghiệm hữu hiệu của bài toán, dựa trên tìm nghiệm hữu hiệu chung của cả hai bài toán một cấp đa mục tiêu 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Aboussoror A.,... tưởng thứ hai có thể diễn đạt như sau Thuật toán 1 gồm 5 bước tính toán sau: 1 Nhập dữ liệu bài toán và lập bài toán (MPP1 ) và (MPP2 ) Đặt S = ∅ 2 Tìm một nghiệm hữu hiệu (chẳng hạn z) của bài toán (MPP1 ) và chuyển sang thực hiện 4 3 Tìm một nghiệm hữu hiệu mới z của bài toán (MPP1 ) 4 Nếu z là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MPP2 ) thì z là một nghiệm của bài toán (BMPP) : S = S ∪ {z} 5 Nếu số điểm... trị mục tiêu tối ưu của bài toán này là 17 Như vậy (0, 1, 5) không là điểm hữu hiệu của (LMPP2 ) và do đó không là nghiệm của bài toán đã cho Ta tiếp tục Bước 6 Bước 6 Tìm điểm cực biên hữu hiệu kề điểm hữu hiệu hiện có z∗ = (0, 1, 5) bằng cách giải (PB j ) với mỗi j ∈ NT5 30 Với j = 1, giá trị mục tiêu tối ưu của (PB1 ) là 1, 5 Với j = 4, giá trị mục tiêu tối ưu của (PB4 ) là 2 Với j = 6 giá trị mục. .. có nghĩa là tìm một phần hay toàn bộ tập điểm hữu hiệu và đệ trình nó cho người ra quyết định xem xét, đánh giá và lựa chọn Khi đó, nghiệm do người ra quyết định lựa chọn (chẳng hạn theo một tiêu chuẩn nào đó) được xem là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu đa mục tiêu đã cho Khi h(x) là một ánh xạ tuyến tính và U là một tập lồi đa diện thì ta có bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, ký hiệu là (MOLP)... vô nghiệm thì dừng: Bài toán (MOLP) không có nghiệm hữu hiệu Trái lại, giả sử λ > 0 là một nghiệm Đặt v = CT λ Nếu v = 0 thì dừng: Tập D là hữu hiệu (tức là mọi x ∈ D là nghiệm hữu hiệu) Còn nếu v = 0, giải bài toán qui hoạch tuyến tính: min{vT x : x ∈ D} Ta thu được nghiệm tối ưu, chẳng hạn đỉnh x0 , và x0 là một đỉnh hữu hiệu ban đầu của bài toán (MOLP) 1.3.2 Tìm các đỉnh hữu hiệu và cạnh hữu hiệu ... toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu có nội dung: – Phát biểu toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu – Khái niệm nghiệm hữu hiệu – Tính chất nghiệm hữu hiệu toán – Thuật toán tìm nghiệm. .. lồi đa diện), khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, tính chất tập nghiệm hữu hiệu giới thiệu thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán 3 • Chương Bài toán. .. hữu hiệu Đề tài luận văn Thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu toán tối ưu hai cấp tuyến tính đa mục tiêu có mục đích tìm hiểu trình bày số kết lý thuyết liên quan tới toán tối ưu hai cấp đa mục tiêu