Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THU LOAN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THU LOAN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc 1.1 Dưới vi phân Clarke vi phân Michel–Penot 1.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke 1.3 Điều kiện tối ưu qua vi phân Michel–Penot 17 Nghiệm xấp xỉ điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ 26 2.1 Các khái niệm định nghĩa 26 2.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ bất đẳng thức biến phân vectơ 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Bảng ký hiệu X∗ Đối ngẫu tô pô không gian X; intA Phần tập A; f (x, v) đạo hàm suy rộng Clarke f x theo phương v ∂f (¯ x) Dưới vi phân Clarke f x¯; f ♦ (¯ x; v) Đạo hàm Michel - Penot f x¯ theo phương v; ∂ M P f (¯ x) Dưới vi phân Michel - Penot f x¯; ∇G f (¯ x) Đạo hàm Gâteaux f x¯; ∇f (¯ x) Đạo hàm Fréchet f x¯; N (C; x) Nón pháp tuyến C x ∈ C; T (C; x) Nón tiếp tuyến C x; co Bao lồi cone co A Nón sinh bao lồi A; lin Bao tuyến tính D∗ Nón đỗi ngẫu D I(x) Tập số ràng buộc tích cực Rm + Orthant không âm Rm Rm ++ Orthant dương Rm x∗ , x Giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X; Ker∇h(x) Hạch ∇h(x); t.ư Tương ứng Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng trình bày sách Kinderlehrer Stampachia [10] Trong năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phạm vi áp dụng rộng rãi Người ta nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, thuật tốn tìm nghiệm, tính ổn định nghiệm cấu trúc tập nghiệm Điều kiện tối ưu cho tốn bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn nghiên cứu qua vi phân Clarke, Michel–Penot, Mordukhovich vi phân suy rộng D.V Luu D.D Hang [12] thiết lập điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ ngôn ngữ vi phân Clarke vi phân Michel–Penot X.Q Yang X.Y Zheng [17] dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn Đây vấn đề có tính thời nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Do đó, tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ" Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn qua vi phân Clarke Michel–Penot D.V Luu D.D Hang đăng tạp chí J Math Anal Appl 412 (2014), 792–804, điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ bất đăng thức biến phân vectơ không trơn không gian Banach X.Q Yang X.Y Zheng đăng tạp chí J Glob Optim 40 (2008), 455–462 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiêm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke vi phân Michel–Penot Chương Nghiệm xấp xỉ điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn không gian Banach Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn, nhà trường phòng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thu Loan Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc Chương trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian Banach Các kết trình bày chương tham khảo [12] 1.1 Dưới vi phân Clarke vi phân Michel–Penot Giả sử X không gian Banach, X ∗ không gian đối ngẫu tôpô X, x¯ ∈ X f hàm giá trị thực xác định X Trong [2], đạo hàm theo phương Clarke f x¯ theo phương v xác định sau: f (¯ x; v) = lim sup x→¯ x,t↓0 f (x + tv) − f (x) t Dưới vi phân Clarke f x¯ xác định bởi: ∂f (¯ x) = ξ ∈ X ∗ :< ξ, v >≤ f (¯ x; v), ∀v ∈ X , < ξ, v > giá trị ξ ∈ X ∗ x ∈ X Chú ý vi phân Clarke f quy đạo hàm thông thường f khả vi chặt Trong [13], đạo hàm theo phương Michel - Penot f x¯ theo phương v xác định bởi: f ♦ (¯ x; v) = sup lim sup ω∈X t↓0 f (¯ x + t(v + ω)) − f (¯ x + tω) t Dưới vi phân Michel - Penot f x¯ ∂ M P f (¯ x) = ξ ∈ X ∗ :< ξ, v >≤ f ♦ (¯ x; v), ∀v ∈ X Chú ý f khả vi Gâteaux x¯, ∂ M P f (¯ x) = {∇G f (¯ x)}, ∇G f (¯ x) đạo hàm Gâteaux f x¯ Nếu f khả vỉ Fréchet x¯ với đạo hàm Fréchet ∇f (¯ x), ∂ M P f (¯ x) = {∇f (¯ x)} Nếu f Lipschitz địa phương với số L, hàm f (¯ x; ) f ♦ (¯ x; ) dương, cộng tính X, Lipschitz với số L X, ∂f (¯ x) ∂ M P f (¯ x) khác rỗng, lồi, compact *yếu X ∗ ξ với ξ ∈ ∂f (¯ x) ξ ∈ ∂ M P f (¯ x) Khi f hàm Lipschitz địa phương x¯, ta có f ♦ (¯ x, v) ≤ f (¯ x, v), (∀v ∈ X), ∂ M P f (¯ x) ⊂ ∂f (¯ x) Nếu f hàm thực lồi X, vi phân hàm lồi f x¯ định nghĩa sau: ∂C f (¯ x) := {ξ ∈ X ∗ : ξ, x − x¯ ≤ f (x) − f (¯ x), ∀x ∈ X} Nhắc lại Định lý 4.9 [1] Mệnh đề 7.3.9(d) [16] Mệnh đề 1.1 Giả sử A : X → Y ánh xạ tuyến tính liên tục f hàm thực lồi Y Khi đó, với x ∈ X, A∗ ∂C f (Ax) ⊂ ∂C (f A)(x) Nếu f liên tục điểm thuộc ImA, với x ∈ X, A∗ ∂C f (Ax) = ∂C (f A)(x), A∗ : Y ∗ → X ∗ ánh xạ liên hợp A, ImA ảnh A Mệnh đề 1.2 Nếu f lồi X Lipschitz địa phương x¯ ∈ X với v ∈ X, f ♦ (¯ x, v) = f (¯ x, v) ∂ M P f (¯ x) = ∂f (¯ x) = ∂C f (¯ x) Nón tiếp tuyến Clarke C ⊂ X điểm x¯ ∈ C định nghĩa sau: T (C; x¯) := {v ∈ X : ∀xn ∈ C, xn → x¯, ∀tn ↓ 0, ∃vn → v cho xn + tn ∈ C, ∀n} Nón pháp tuyến Clarke C x¯ N (C; x¯) := {ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ 0, ∀v ∈ T (C; x¯)} Các nón T (C; x¯) N (C; x¯) lồi khác rỗng, T (C; x¯) đóng N (C; x¯) đóng ∗ yếu Với nón D ⊂ X, nón đỗi ngẫu D định nghĩa sau: D∗ = {ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≥ 0, ∀v ∈ D} 1.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke Giả sử X không gian Banach thực T ánh xạ từ X vào không gian L(X, Y ) gồm tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Với x ∈ X, T (x) ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Giả sử g h ánh xạ từ X vào Rm Rl Khi đó, g = (g1 , , gm ), h = (h1 , , hl ) Giả 25 Với j = 1, , l x ∈ K, hj (x) − hj (¯ x) = Do tính ∂ M P -tựa lồi ±h1 , , ±hl , ta suy với x ∈ K, ∇hj (¯ x), x − x¯ = (j = 1, , l) (1.35) Do C lồi, ta có T (C; x¯) = R+ (C − x¯) Hơn nữa, ζ, x − x¯ ≤ (∀x ∈ C) (1.36) Từ (1.33)–(1.36), ta suy ¯ (¯ λT x)(x − x¯) ≥ (∀x ∈ K) (1.37) Ta x¯ nghiệm hữu hiệu (EVVI) Thật vậy, điều không tồn x1 ∈ K cho T (¯ x)k (x1 − x¯) ≤ 0, với k ∈ J, T (¯ x)s (x1 − x¯) < 0, với s ∈ J ¯ k > (∀k ∈ J), ta suy Vì λ ¯ k T (¯ λ x)k (x1 − x¯) < k∈J Điều mâu thuẫn với (1.37) Định lý chứng minh 26 Chương Nghiệm xấp xỉ điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ Chương trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho -nghiệm toán bất đẳng thức vectơ X.Q Yang X.Y Zheng [17] 2.1 Các khái niệm định nghĩa Giả sử X không gian Banach A tập đóng X, a ∈ A Giả sử T (A, a) nón tiếp tuyến Clarke A a xác định A−x , A t x → a,t→0+ T (A, a) = lim inf A x → a nghĩa x −→ a với x ∈ A Như vậy, v ∈ T (A, a) với dãy {an } A hội tụ đến a dãy {tn } khoảng (0, ∞) giảm tới 0, tồn dãy {vn } X hội tụ đến v cho an + tn ∈ A với n Kí hiệu N (A, a) nón pháp tuyến Clarke, nghĩa là, N (A, a) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , h ≤ ∀h ∈ T (A, a)} Ta biết A lồi N (A, a) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − a ≤ ∀x ∈ A} 27 Giả sử φ : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục thường Với x0 ∈ dom(φ), kí hiệu ∂φ(x0 ) vi phân Clarke φ x0 Ta biết (xem [2]) ∂φ(x0 ) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −1) ∈ N (epi(φ), (x0 , φ(x0 ))} , epi(φ) = {(x, t) ∈ X × R : φ(x) ≤ t} Khi φ lồi, ta có ∂φ(x0 ) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x0 ≤ φ(x) − φ(x0 ), ∀x ∈ X} Kết sau cần cho chứng minh kết chương Mệnh đề 2.1 [3] Giả sử φ hàm Lipschitz địa phương X a ∈ A Giả sử φ(a) = inf {φ(x) : x ∈ A} Khi đó, ∈ ∂φ(a) + N (A, a) Giả sử Y không gian Banach khác C ⊂ Y nón lồi đóng có phần khác rỗng Nón C sinh quan hệ thứ tự sau Y : y1 ≤C y2 ⇔ y2 − y1 ∈ C, y1 ≤intC y2 ⇔ y2 − y1 ∈ int(C), y1 y1 C\{0} y2 intC ⇔ y2 − y1 ∈ / C\ {0} , y2 ⇔ y2 − y1 ∈ / int(C) Giả sử F : X → L(X, Y ) ánh xạ, L(X, Y ) tập tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X tới Y Xét toán bất đẳng thức biến phân vectơ sau đây: (WVVI) Tìm x ∈ A cho F (x)(z − x) intC 0, với z ∈ A, C\{0} 0, với z ∈ A (VVI) Tìm x ∈ A cho F (x)(z − x) Rõ ràng x¯ nghiệm (WVVI)(t.ư (VVI)) F (¯ x)(A − x¯) ⊂ Y \ − int(C) (t.ư., F (¯ x)(A − x¯) ⊂ Y \ − (C\ {0})) Từ nảy sinh khái niệm ε − nghiệm Với ε ≥ 0, ta nói x¯ ∈ A ε-nghiệm (WVVI) (t.ư (VVI)) 28 F (¯ x)(A − x¯) ⊂ Y \ − int(C) + εBY (t.ư., F (¯ x)(A − x¯) ⊂ Y \ − (C\ {0}) + εBY ), BY hình cầu đơn vị Y 2.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ bất đẳng thức biến phân vectơ Trong mục này, ta giả sử e0 điểm cố định int(C) với ||e0 || = Giả sử C ∗ nón đối ngẫu C, nghĩa C ∗ = {c∗ ∈ Y ∗ : c∗ , c ≥ ∀c ∈ C}, giả sử C1∗ := {c∗ ∈ C ∗ : c∗ , e0 = 1} Rõ ràng ||c∗ || ≥ (∀c∗ ∈ C1∗ ) (2.1) Hơn nữa, C1∗ tập lồi compact ∗ yếu Y ∗ Thật vậy, rõ ràng C1∗ tập lồi đóng ∗ yếu Y ∗ Do Định lý Alaoglu, để chứng minh tính compact ∗ yếu C1∗ , ta cần C1∗ bị chặn Lấy r > cho e0 + rBY ⊂ C (do e0 ∈ int(C)) Ta suy rằng, với c∗ ∈ C1∗ , − r c∗ = inf c∈e0 +rBγ c∗ , c ≥ Điều C1∗ bị chặn Trong phần lại mục này, ta ln giả sử nón thứ tự C khơng tầm thường , có nghĩa C = X Như ∈ / int(C) Ta suy C1∗ = ∅ Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ để điểm A r -nghiệm (WVVI) (VVI) Mệnh đề 2.2 Giả sử A tập đóng X, a ∈ A ε ≥ Ta có 29 (i) Nếu tồn c∗ ∈ C ∗ với ||c∗ || = cho inf { F (a)∗ (c∗ ), x) : x ∈ A} ≥ F (a)∗ (c∗ ), a − ε, (2.2) F (a)∗ tốn tử liên hợp F (a), với r > 1, a rε-nghiệm (WVVI) (ii) Nếu tồn c∗ ∈ intC ∗ với ||c∗ || = cho (2.2) đúng, với r > 1, a rε-nghiệm (VVI) Chứng minh (i) Trước hết giả sử ε = Trong trường hợp này, (2.2) có nghĩa c∗ , F (a)(x − a) ≥ với x ∈ A Do c∗ ∈ C ∗ \ {0} ta suy F (a)(x − a) intC với x ∈ A Vì vậy, a nghiệm (WVVI) Tiếp theo ta xét trường hợp ε > Giả sử ngược lại, tồn r > ∼ cho a không rε-nghiệm (WVVI) Khi tồn a ∈ / A cho ∼ F (a)(a −a) ∈ / Y \ − int(C) + rεBY Do đó, ∼ F (a)(a −a) + rεBY ⊂ −int(C) Vì vậy, ∼ c∗ , F (a)(a −a) + ||c∗ ||rε = sup ∼ c∗ , y : y ∈ F (a)(a −a) + rεBY ≤ Từ ||c∗ || = ta suy ∼ F (a∗ )(c∗ ), a ≤ F (a∗ )(c∗ ), a − rε < F (a∗ )(c∗ ), a − ε Điều mâu thuẫn với (2.2) (ii) Phần chứng minh tương tự cách ý kiện c∗ , b ≥ c∗ ∈ intC + kéo theo b C\{0} Mệnh đề chứng minh 30 Chú ý trường hợp đặc biệt X = Y = Rn , C = Rn+ , ε = A lồi, mệnh đề 3.1 (i) quy định lý [7] Với giả thiết tính lồi suy rộng A, ta trình bày một điều kiện cần Để làm điều ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Giả sử D := {y ∈ Y : (y + BY ) ⊂ −int(C)} r0 := d(0, D), Khi D tập lồi có phần khác rỗng r0 ≥ Chứng minh Lấy y1 , , y2 ∈ D t ∈ [0, 1] Khi y1 + BY ⊂ −int(C) y2 + BY ⊂ −int(C) Từ tính lồi cua C ta suy ty1 + (1 − t)y2 + BY = t(y1 + BY ) + (1 − t)(y2 + BY ) ⊂ −int(C) Vì D lồi Vì e0 ∈ int(C) ||e0 || = 1, tồn δ > cho e0 + 2δBY ⊂ C, vậy, e0 + δBY ⊂ int(C) Do đó, e0 + BY = − (e0 + δBY ) ⊂ −int(C) δ δ Điều kéo theo − eδ0 ∈ D Lưu ý D − int(C) ⊂ D Ta suy D có phần khác rỗng Ta cần r0 ≥ Giả sử ngược lại r0 < Khi tồn y0 ∈ D cho ||y0 || < Từ định nghĩa D ta suy ∈ −int(C) Vì C nón, nên C = X, ta đến mâu thuẫn Bổ đề chứng minh Giả sử A ⊂ X f : X → Y f gọi kiểu lồi nón (cone convexlike) A với b1 , b2 ∈ A, kì t ∈ [0, 1], tồn b ∈ A cho f (b) ≤C f (tb1 + (1 − t)b2 ) Ta biết f kiểu lồi nón A tập f (A) + C lồi (xem [8]) 31 Mệnh đề 2.3 Giả sử ε ≥ a ∈ A Giả sử a ∈ A ε-nghiệm (WVVI) F (a) kiểu lồi nón A Khi tồn c∗ ∈ C ∗ với ||c∗ || = 1, cho inf { F (a)∗ (c∗ ), x : x ∈ A} ≥ F (a∗ )(c)∗ , a − r0 ε, (2.3) r0 Bổ đề 2.1 Chứng minh Trước hết ta xét trường hợp ε = Trong trường hợp này, a nghiệm (WVVI) Do vậy, F (a)(A − a) ⊂ Y \ − int(C), nghĩa F (a)(A − a) ∩ −int(C) = ∅ Chú ý int(C) + C ⊂ int(C), ta suy (F (a)(A − a) + C) ∩ −int(C) = ∅ Chú ý định nghĩa tính kiểu lồi nón, F (a)(A − a) + C tập lồi Y Từ định lý tách ta suy tồn c∗ ∈ Y ∗ với ||c∗ || = cho inf { c∗ , F (a)(x − a) + c : (x, c) ∈ A × C} ≥ sup { c∗ , y : y ∈ −C} Lưu ý C nón, ta suy c∗ ∈ C ∗ \ {0} (2.3) Tiếp theo, ta giả sử ε > Giả sử Dε := εD, D Bổ đề 2.1 Khi Dε tập lồi có phần khác rỗng Ta có F (a)(A − a) ∩ Dε = ∅ Do điều ý Dε − C = ε(D − C) ⊂ εD = Dε , ta suy (F (a)(A − a) + C) ∩ Dε = ∅ (2.4) 32 Theo định lý tách, tồn c∗ ∈ Y ∗ với ||c∗ || = cho inf { c∗ , y : y ∈ F (a)(A − a) + C} ≥ sup { c∗ , y : y ∈ Dε } Điều kéo theo c∗ ∈ C + inf { c∗ , y : y ∈ F (a)(A − a)} ≥ sup { c∗ , y : y ∈ Dε } (2.5) Mặt khác, theo định nghĩa r0 , tồn dãy {yn } D cho ||yn || −→ r0 Vì vậy, c∗ , εyn ≥ −||c∗ ||ε||yn || = −ε||yn || −→ −εr0 Từ (2.5) ta suy (2.3) Ta cần phải (2.4) Giả sử ngược lại tồn y ∈ Dε ∩F (a)(A − a) Khi đó, y ∈ D, nghĩa y ε + BY ⊂ −int(C) Bởi C nón y ∈ −int(C) + εBY Vì vậy, y ∈ / Y \ − int(C) + εBY Điều mâu thuẫn với giả thiết a ε-nghiệm (WVVI) Mệnh đề chứng minh Hệ sau suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1 2.2 Hệ 2.1 Giả sử a ∈ A F (a) kiểu lồi nón A Khi a nghiệm (WVVI) tồn c∗ ∈ C1∗ cho F (a∗ )(c∗ ), a = inf { F (a∗ )(c∗ ), x : x ∈ A} (2.6) Nhận xét 2.1 Hệ 2.1 có nghĩa (WVVI) giải tồn c∗ ∈ C1+ cho bất đẳng thức biến phân vô hướng sau giải được: (SVI) tìm x ∈ A cho F (x)∗ (c∗ ), z − x ≥ với z ∈ A Mệnh đề 2.4 Giả sử L ∈ (diam(A), +∞) ε ≥ Giả sử A tập lồi đóng X a ∈ A Giả sử ∈ F (a)∗ (C1∗ ) + N (A, a) + ε BX ∗ L (2.7) 33 Khi a ε-nghiệm (WVVI) Chứng minh Trước hết giả sử ε = Trong trường hợp này, (2.7) có nghĩa tồn c∗ ∈ C1∗ cho −F (a)∗ (c∗ ) ∈ N (A, a) Do tính lồi A ta suy inf { F ∗ (a)(c∗ ), x : x ∈ A} = F (a)∗ (c∗ ), a Từ hệ 2.1 ta suy a nghiệm (WVVI) Tiếp theo, ta xét trường hợp ε > Giả sử ngược lại, a không ∼ ε− nghiệm (WVVI) Khi tồn a ∈ / A cho ∼ F (a)(a −a) ∈ / Y \ − int(C) + εBY Vì vậy, ∼ F (a)(a −a) + εBY ⊂ −int(C) (2.8) Do (2.7), tồn c∗ ∈ C1∗ u∗ ∈ Bx∗ cho x∗ = −F (a)∗ (c∗ ) + ε ∗ u ∈ N (A, a) L Như vậy, −F (a)∗ (c∗ ) + ε ∗ u , x − a ≤ 0, ∀x ∈ A L Do đó, ∼ ∼ c∗ , F (a)(a −a) = F (a)∗ (c∗ ), a −a ≥ ε ∗ ∼ ε ∼ u , a −a ≥ || a −a|| L L Từ cách chọn L ta suy ∼ c∗ , F (a)(a −a) ≥ ε (2.9) Mặt khác, (2.8) ta có ∼ c∗ , F (a)(a −a) + ε||c∗ || = sup ∼ c∗ , y : y ∈ F (a)(a −a) + εBY Từ (2.1) ta suy ∼ c∗ , F (a)(a −a) ≤ −ε||c∗ || ≤ −ε ≤ 34 Điều mâu thuẫn với (2.9) Mệnh đề chứng minh Ví dụ sau chí trường hợp ε = 0, Mệnh đề 2.3 không bỏ giả thiết A lồi Ví dụ 2.1 Cho X = Y = R2 C = (s, t) ∈ R2 : t ≥ Cho F (x) ánh xạ đồng R2 với x ∈ X, A = (s, t) ∈ R2 : s2 + t2 ≤ s3 ≤ t Lấy e0 = (0, 1) a = (0, 0) Khi C1∗ = {(0, 1)} Ta có N (A, (0, 0)) = {(0, t) : t ≤ 0} (2.10) Từ ý N (F (a)(A), F (a)) = N (A, (0, 0)), ta suy (2.7) với ε = Nhưng, rõ ràng F (a)(A − a) ∩ −int(C) = A ∩ −int(C) (−1, −1) Điều kéo theo F (a)(A − a) không tập Y \ − int(C) Như vậy, a không nghiệm (WVVI) Tiếp theo, ta (2.10) Để làm điều ta cần T (A, (0, 0)) = (s, t) ∈ R2 : t ≥ Lấy (u, v) ∈ T (A, (0, 0)) dãy xn → tn (2.11) 0+ Khi tồn (un , ) → (u, v) cho (xn , x3n ) + tn (un , ) ∈ A với n Vì vậy, (xn + tn un )3 ≤ x3n + tn ∀n Điều có nghĩa 3x2n un + 3xn tn u2n + t2n u3n ≤ với n Cho n → ∞, ta có ≤ v Vì T (A, (0, 0)) ⊂ (s, t) ∈ R2 : t ≥ Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, lấy (u, v) ∈ R2 với v ≥ Lấy dãy {(xn , yn )} A với (xn , yn ) → (0, 0) dãy {tn )} với 35 tn Với số tự nhiên n, lấy := 3x2n u + 3xn tn u2 + t2n u3 + v Khi đó, (u, ) → (u, v) với n, (xn + tn u)3 ) = x3n + 3x2n tn u + 3xn t2n u2 + t3n u3 ≤ yn + tn (3x2n u + 3xn tn u2 + t2n u3 ≤ yn + tn Mặt khác,(xn , yn ) → (0, 0) tn kéo theo tồn số tự nhiên n0 cho (xn + tn u)2 + (yn + tn )2 ≤ với n > n0 Lấy (un , ) = (0, 0) với n ≤ n0 (un , ) = (u, ) với n > n0 Khi đó, (un , ) → (u, v) (xn , yn ) + tn (u, ) ∈ A với n Điều kéo theo (u, v) ∈ T (A, (0, 0)) Vì vậy, T (A, (0, 0)) ⊃ (s, t) ∈ R2 : t ≥ Điều (2.11) Khi bỏ tính lồi A ta nhận điều kiện cần sau đây: Mệnh đề 2.5 Giả sử A tập đóng X giả sử a ∈ A nghiệm (WVVI) Khi đó, ∈ F (a)∗ (C1∗ ) + N (A, a) (2.12) Chứng minh Vì e0 ∈ int(C), ta có e0 − int(C) lân cận lồi mở e0 biên Kí hiệu P hàm Minkowski e0 − int(C), nghĩa P (y) = inf {t > : y ∈ t(e0 − int(C))} ∀y ∈ Y Khi đó, P (e0 ) = e0 − int(C) = {y ∈ Y : P (y) < 1} (2.13) ∂P (e0 ) ⊂ C1∗ (2.14) Ta Lấy y ∗ ∈ ∂P (e0 ) Khi đó, y ∗ , y − e0 ≤ P (y) − P (e0 ) với y ∈ Y Từ (2.13) ta suy y ∗ , −e0 ≤ P (0) − P (e0 ) = −1, y ∗ , −c ≤ P (e0 − c) − P (e0 ) ≤ ∀c ∈ int(C) 36 Vì vậy, y ∗ ∈ C ∗ Mặt khác, y ∗ , e0 ≤ P (2e0 ) − P (e0 ) = P (e0 ) = Do đó, y ∗ ∈ C1∗ Điều (2.14) Bởi a nghiệm (WVVI), F (a)(A − a) ∩ −int(C) = ∅ Vì vậy, e0 + F (a)(A − a) ∩ (e0 − int(C) = ∅ Từ (2.13) ta suy P (e0 ) = inf {P (y) : y ∈ e0 + F (a)(A − a)} (2.15) Đặt f (x) := P (e0 + F (a)(x − a)) với x ∈ X Khi f hàm lồi liên tục X f (a) = inf {f (x) : x ∈ A} Từ mệnh đề 2.1 ta suy ∈ ∂f (a) + N (A, a) (2.16) Bởi tốn tử tuyến tính F (a) : X → Y khả vi chặt ([3], Định lý 2.3.10), ta suy ∂f (a) ⊂ F (a)∗ (∂P (e0 )) Từ (2.14) ta suy (2.12) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.6 Giả sử A tập đóng X a ∈ A nghiệm tốn (WVVI) Khi đó, ∈ C1∗ + N (F (a)(A), F (a)(a)) (2.17) Chứng minh Cũng chứng minh Mệnh đề 2.4, (2.15) Từ Mệnh đề 2.1 ta suy ∈ ∂P e0 + N (e0 + F (a)(A − a), e0 ) N (e0 + F (a)(A − a), e0 ) = N (F (a)(A), F (a)(a)) Từ (2.14), ta suy (2.17) 37 Kết luận Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cho số loại nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn qua vi phân Clarke Michel–Penot [12], điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ bất đăng thức biến phân vectơ không trơn không gian Banach [17] Nội dung Luận văn bao gồm: - Các điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiêm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ qua vi phân Clarke vi phân Michel–Penot - Các điều kiện cần điều kiện đủ cho -nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn (WVVI) (VVI) qua vi phân Clarke Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân vectơ, tối ưu vectơ toán cân vectơ vấn đề thời nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đ.V Lưu, P.H Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Đ.V Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [3] F.H Clarke (1989), Optimization and Nonsmooth Analysis, Les publications CRM, Montreal, Canada [4] G.-Y Chen, B.D Craven (1989), "Approximate dual and approximate vector variational inequality for multiobjective optimization", J Austral Math Soc Ser A 47, 418-423 [5] I.V Girsanov (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extremum Problems, Springer-Verlage, Berlin, Heidenberg [6] X.H Gong (2010), "Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium problems", Nonlinear Anal., 73, 3598-3612 [7] C.J Goh, X.Q Yang (2000), "On scalarization methods for vector variational inequalities" In.: Giannessi, F (ed) Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, pp., 217-232 Kluwwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/ London (2000) 39 [8] V Jeyakumar (1985), "Convexlike alternative and mathematiccal programming", Optimization 16, 643-652 [9] A Jourani (1994), "Constraint qualifications and Lagrange multipliers in nondifferentiable programming problems", J Optim Theory Appl., 81, 553 - 548 [10] Kinderlehrer, D., Stampacchia, G (1980), An introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [11] D.V Luu (2012), "Necessary conditions for efficiency in terms of the Michel–Penot subdifferentials", Optimization, 61, 1099-1117 [12] D.V Luu, D.D Hang (2014), "On optimality conditions for vector variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications 412 (2014), 792–804 40, 455–462 [13] Michel, P, Penot, J.-P (1984), "Calcul sous-différentiel pour des fonctions lipschitziennes et nonlipschitziennes", C R Acad Pris Sér I Math 12, 269-272 [14] T.W Reiland (1987), "A geometric approach to nonsmooth optimization with sample applications", Nonlinear Anal 11, 1169-1184 [15] W.D Rong, "Epsilon-approximate solutions to vector optimization problems and vector variational inequalities" (Chinese), Nei Monggol Daxue Xuebao Ziran Kexue 23, 513-518 (1992) [16] W Schrotzek (2007), Nonsmooth Analysis, Springer, Berlin, Heidelberg, New York [17] X.Q Yang, X.Y Zheng (2008), "Approximate solutions and optimality conditions of vector variational inequalities in Banach spaces", Journal of Global Optimization 40, 455–462 ... tài: "Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ" Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn qua vi phân. .. Chương Điều kiện tối ưu cho nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân vectơ: trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiêm hữu hiệu toàn cục nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ. .. hiệu ii Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc 1.1 Dưới vi phân Clarke vi phân Michel–Penot 1.2 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức