Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ *** TRẦN VĂN SỰ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGƠN NGỮ CỦA ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: PGS TS Đỗ Văn Lưu Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Công Điều Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ, ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam Mở đầu Bài tốn cân vectơ có vai trò quan trọng giải tích phi tuyến quan tâm nghiên cứu nhiều thời gian gần phạm vi áp dụng rộng rãi nó, chẳng hạn, xem Anh (2012, 2015), Ansari (2000, 2001a, 2001b, 2002), Bianchi (1996, 1997), Feng-Qiu (2014), Khanh (2013, 2015), Luu (2014a, 2014b, 2014c, 2015, 2016), Su (2017, 2018), Tan (2011, 2012, 2018a, 2018b), v.v Bài toán cân vectơ mở rộng từ tốn cân vơ hướng đưa lần Blum Oettli (1994) điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu chủ đề quan trọng cần quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, xem Luu (2010, 2016, 2017), Gong (2008, 2010), Long-Huang-Peng (2011), Jiménez-NovoSama (2003, 2009), Li-Zhu-Teo (2012), v.v Luận án làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp cấp hai cho toán cân vectơ ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên qua đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định cho điều kiện cấp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai Đạo hàm tiếp liên có vai trò quan trọng giải tích giải tích ứng dụng, sử dụng việc thiết lập điều kiện tối ưu Aubin (1981) người đưa khái niệm đạo hàm tiếp liên ánh xạ đa trị áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu tối ưu vectơ Aubin-Ekeland (1984), Corley (1988) Luc (1991); Jahn-Rauh (1997) đưa khái niệm đạo hàm tiếp liên ánh xạ đa trị dẫn điều kiện tối ưu tương ứng; Chen- Jahn (1998) đề xuất khái niệm đạo hàm tiếp liên tổng quát cho ánh xạ đa trị áp dụng kết cho toán cân vectơ đa trị Đối với hàm đơn trị, không chuyển trực tiếp từ kết đa trị sang đơn trị mà thiết lập kết sâu sắc Dựa vào định nghĩa Aubin (1981), Jiménez-Novo (2008) chứng minh quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với hàm vững, ổn định, khả vi Hadamard, khả vi Fréchet áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ không ràng buộc Tác giả dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cho toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định Một số vấn đề tồn đọng kết Jiménez-Novo (2008) chưa đưa điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương tốn cân vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức bất đẳng thức ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên áp dụng Luận án chúng tơi góp phần giải vấn đề tồn vừa đề cập Rodríguez-Marín Sama (2007a, 2007b) nghiên cứu tồn tại, tính tính chất đạo hàm tiếp liên, mối liên hệ đạo hàm tiếp liên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định ánh xạ đa trị trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều Một số vấn đề tồn đọng kết Rodríguez-Marín Sama (2007a, 2007b) chưa xem xét tồn đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm đơn trị tùy ý với không gian ảnh Banach Về điều kiện tối ưu, Jiménez-Novo Sama (2009) dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địa phương cấp tối ưu đa mục tiêu qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định Trường hợp điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định không nghiên cứu Jiménez-Novo Sama (2009) chưa nghiên cứu tác giả khác Luận án nghiên cứu kết tồn đạo hàm tiếp liên với hàm đơn trị tùy ý khơng gian Banach, mối liên hệ với đạo hàm tiếp liên dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ khơng ràng buộc có ràng buộc qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững không gian Banach, cuối cung cấp điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu ổn định làm sở cho việc mở rộng kết sang nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai Trong thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ đạo hàm đạo hàm tiếp liên cho toán cân vectơ trường hợp đặc biệt nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Jahn-Khan-Zeilinger (2005), Durea (2008), Li-Zhu-Teo (2012), KhanTammer (2013), v.v Ta nhận thấy kết tồn đạo hàm tiếp liên cấp hai với hàm đơn trị tùy ý không gian Banach chưa nghiên cứu, kết điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh thực cho trường hợp tốn có ràng buộc tập Luận án nghiên cứu kết tồn đạo hàm tiếp liên cấp hai tổng quát với lớp hàm đơn trị tùy ý không gian Banach xây dựng điều kiện đủ, cần đủ tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc qua ngơn ngữ Mục đích luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm đạo hàm tiếp liên, cụ thể sau: 1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán cân vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức bất đẳng thức ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định không gian hữu hạn chiều 2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu toán cân vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên không gian Banach với hàm vững, hàm khả vi Hadamard khả vi Fréchet 3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên không gian Banach 4) Áp dụng số kết đạt vào bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm bốn chương kết luận án nằm Chương 2,3,4 Chương giới thiệu vài khái niệm từ loại nghiệm hữu hiệu (CVEP), nón tiếp liên, tập tiếp liên, đạo hàm tiếp liên, đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai Trình bày khái niệm hàm ổn định, hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet số công thức liên quan đến đạo hàm tiếp liên cung cấp Cuối trình bày khái niệm điểm cực tiểu lý tưởng Pareto tập theo nón Chương nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John KarushKuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán cân vectơ có ràng buộc ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định không gian hữu hạn chiều trình bày số ứng dụng bất đẳng thức biến phân vectơ tốn tối ưu vectơ Trong chương này, chúng tơi có đề xuất hai điều kiện quy (CQ1) (CQ2) cho mục đích nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker KarushKuhn-Tucker mạnh cung cấp nhiều ví dụ minh họa có ví dụ thực tế toán sản xuất - vận tải toán cân Nash-Cournot Chương nghiên cứu tồn đạo hàm tiếp liên điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trường hợp không gian đầu - cuối Banach không gian đầu Banach không gian cuối hữu hạn chiều Phần cuối chương nghiên cứu tốn cân vectơ có ràng buộc dựa việc đề xuất điều kiện quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe (KRZ) Chương nghiên cứu tồn đạo hàm tiếp liên cấp hai điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý không gian Banach Phần cuối chương giới thiệu Giả thiết 4.1 làm sở để nghiên cứu điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý không gian Banach Các kết luận án báo cáo tại: • Hội thảo tồn Quốc lần thứ IV "Ứng dụng Toán học", Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015; • Hội nghị Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội 21-23/04/2016; • Seminar Tối ưu, Khoa Tốn tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương luận án giới thiệu kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu đạt chương sau luận án cụ thể sau: Mục 1.1 đề cập đến số khái niệm như: Tập tiếp tuyến, đạo hàm tiếp liên, hàm ổn định, đạo hàm tiếp liên • Trong mục 1.1.1 trình bày định nghĩa nón tiếp liên, nón kề, nón tiếp tuyến phần trong, nón tiếp tuyến phần theo dãy, nón pháp tuyến, tập tiếp liên cấp hai, tập kề cấp hai, tập tiếp tuyến phần cấp hai số tính chất chúng • Trong mục 1.1.2 trình bày định nghĩa đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai • Trong mục 1.1.3 trình bày định nghĩa đạo hàm Hadamard, hàm ổn định, hàm vững số tính chất liên quan • Trong mục 1.1.4 trình bày định nghĩa điểm cực tiểu (cực đại) lý tưởng Pareto tập theo nón tính chất nó; trình bày định nghĩa đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai với số kết tồn chúng Mục 1.2 đề cập đến toán cân vectơ tổng quát trường hợp riêng • Trong mục 1.2.1 trình bày toán cân vectơ (VEP), (VEP1 ), (CVEP) (CVEP1 ) xây dựng khái niệm nghiệm hữu hiệu yếu (địa phương), hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu cho (CVEP) •• Định nghĩa loại nghiệm hữu hiệu cho (CVEP) Cho X, Y, Z W không gian Banach thực với C tập không rỗng X; Q S nón lồi Y Z; F : X × X → Y song hàm vectơ; g : X → Z h : X → W ràng buộc, K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} tập chấp nhận toán cân vectơ Bài tốn cân vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVEP) phát biểu sau: tìm vectơ x ∈ K cho F (x, y) ∈ −intQ (∀ y ∈ K) (1.1) Vectơ x gọi nghiệm hữu hiệu yếu toán (CVEP) Nếu tồn lân cận U x cho (1.1) thỏa mãn với y ∈ K ∩ U x gọi nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (CVEP) Nếu toán (CVEP) có ràng buộc tập, ta ký hiệu (VEP) gọi tốn cân vectơ khơng ràng buộc Nếu X = Rn , Y = Rm , Z = Rr , r W = Rl nón Q = Rm + , S = R+ , toán (CVEP) gọi toán (CVEP1 ) toán (VEP) gọi toán (VEP1 ) Gọi Y ∗ không gian đối ngẫu tôpô khơng gian Banach Y Ký hiệu Q+ nón đối ngẫu nón Q ⊂ Y, nghĩa Q+ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y ≥ ∀ y ∈ Q} Tựa phần Q+ Q định nghĩa Q = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y > ∀ y ∈ Q \ {0}} Cho B sở nón Q, ký hiệu Q∆ (B) = {y ∗ ∈ Q : ∃ t > thỏa mãn y ∗ , b ≥ t ∀ b ∈ B} Sử dụng định lí tách tập lồi rời {0} B, ta suy tồn y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} thỏa mãn r = inf { y ∗ , b : b ∈ B} > y ∗ , = Xét lân cận lồi mở cân đối VB gốc Y r VB = {y ∈ Y : | y ∗ , y | < } Ký hiệu VB sử dụng xuyên suốt luận án Dễ dàng thấy r inf { y ∗ , y : y ∈ B + VB } ≥ , với lân cận lồi U gốc với U ⊂ VB , ta có B + U tập lồi ∈ cl(B + U ) Do đó, cone(B + U ) nón lồi nhọn chứa Q \ {0} phần Dựa theo cách mơ tả trên, Gong (2008, 2010) xây dựng định nghĩa nghiệm hữu hiệu toàn cục, hữu hiệu Henig siêu hữu hiệu cho (CVEP) sau Định nghĩa 1.1 Vectơ x ∈ K gọi nghiệm hữu hiệu toàn cục (CVEP) tồn nón lồi nhọn H ⊂ Y với Q \ {0} ⊂ intH thỏa mãn F (x, K) ∩ (−H) \ {0} = ∅ Định nghĩa 1.2 Vectơ x ∈ K gọi nghiệm hữu hiệu Henig (CVEP) tồn lân cận lồi cân đối U với U ⊂ VB thỏa mãn cone F (x, K) ∩ − int cone(U + B) = ∅ Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ K gọi nghiệm siêu hữu hiệu (CVEP) với lân cận V 0, tồn lân cận U thỏa mãn cone F (x, K) ∩ U − Q ⊂ V Gọi L(X, Y ) không gian tất ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y Ta viết h, x giá trị h ∈ L(X, Y ) x ∈ X Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVVI) xác định F (x, y) = T x, y − x , T ánh xạ từ X vào L(X, Y ) Trong trường hợp khái niệm nghiệm (CVEP) khái niệm nghiệm (CVVI), tương tứng Tương tự cho tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) thỏa mãn F (x, y) = f (y) − f (x) với f ánh xạ từ X vào Y • Trong mục 1.2.2 trình bày tốn tối ưu vectơ bao gồm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cực tiểu chặt địa phương cấp m (m ∈ N) điều kiện tối ưu ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên chúng • Trong mục 1.2.3 trình bày toán bất đẳng thức biến phân vectơ số vấn đề liên quan Chương Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên Chương nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John KarushKuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (CVEP1 ) số áp dụng vào bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1 ), toán tối ưu vectơ (CVOP1 ), toán sản xuất-vận tải toán cân Nash-Cournot Nội dung chương dựa vào cơng trình [1] [5] phần Danh mục cơng trình cơng bố 2.1 Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) Xét toán (CVEP1 ) định nghĩa Chương Ký hiệu I = {1, 2, , r}, J = {1, 2, , m} L = {1, 2, , l} Với x ∈ K, ta gán F = (F1 , F2 , , Fm ), Fx (.) = F (x, ), Fk,x (.) = Fk (x, ) (∀ k ∈ J), tập chấp nhận (CVEP1 ) có dạng: K = {x ∈ C : gi (x) ≤ (∀ i ∈ I), hj (x) = (∀ j ∈ L)} Ta ký hiệu Ker∇h(x) = {v ∈ X : ∇h(x), v = 0}, I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} 10 Nhận xét 2.1 Định lí 2.2 áp dụng để thiết lập điều kiện tối ưu cần cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương mơ hình tốn sản xuất vận tải (Ví dụ 2.2 trang 41, 42) mơ hình tốn cân Nash-Cournot (Ví dụ 2.3 trang 43, 44) Nhận xét 2.2 Định lí 2.1 Định lí 2.2 giải trường hợp tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc tập, tác giả Jiménez-Novo (2008) chưa giải Tác giả nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cho tốn (CVEP1 ) có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Ngoài ra, C = Rn Định lí 2.1 trùng với kết Jiménez-Novo (2008) Trường hợp C = Rn , Định lí 2.2 dẫn tới hệ trực tiếp sau Hệ 2.1 Cho C = Rn x nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn hàm Fx , g vững x ∈ K Thêm nữa, với v ∈ Ker∇h(x) tồn z ∈ Dc g(x)v cho zi < (∀ i ∈ I(x)) Khi đó, (i) Với v ∈ Rn , tồn λk ≥ (∀ k ∈ J), µi ≥ (∀ i ∈ I), γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời 0, thỏa mãn 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + i∈I k∈J γj ∇hj (x), v , µi Dc gi (x)v + (2.4) j∈L µi gi (x) = (∀ i ∈ I) (2.5) (ii) Với v ∈ Ker∇h(x), tồn λk ≥ (∀ k ∈ J), µi ≥ (∀ i ∈ I) với (λ, µ) = (0, 0) thỏa mãn 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, i∈I k∈J µi gi (x) = (∀ i ∈ I) Trường hợp hàm Fk,x (k ∈ J) gi (i ∈ I) khả vi Hadamard x, ta có hệ trực tiếp khác từ Định lí 2.2 sau Hệ 2.2 Cho x nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn hàm Fx , g khả vi Hadamard vững x ∈ K Thêm nữa, với v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), dgi (x; v) < (∀ i ∈ I(x)) Khi đó, 11 (i) Với v ∈ IT (C, x), tồn λk ≥ (∀ k ∈ J), µi ≥ (∀ i ∈ I), γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời 0, thỏa mãn λk dFk,x (x; v) + i∈I k∈J γj ∇hj (x), v = 0, µi dgi (x; v) + (2.6) j∈L µi gi (x) = (∀ i ∈ I) (2.7) (ii) Với v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn λk ≥ (∀ k ∈ J), µi ≥ (∀ i ∈ I) với (λ, µ) = (0, 0) thỏa mãn λk dFk,x (x; v) + µi dgi (x; v) = 0, i∈I k∈J µi gi (x) = (∀ i ∈ I) Nhận xét 2.3 Kết tiểu mục áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI1 ) (Định lí 2.5), tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP1 ) (Định lí 2.8), mơ hình tốn sản xuất-vận tải toán cân Nash-Cournot 2.2 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) Để dẫn điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ), đưa vào điều kiện quy sau: (CQ1) Tồn s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) thỏa mãn (i) yk < (∀yk ∈ Dc Fk,x (x)v0 , ∀ k ∈ J, k = s); zi < (∀zi ∈ Dc gi (x)v0 , ∀i ∈ I(x)); (ii) ∇hj (x), v0 = (∀ j ∈ L) (CQ2) Tồn s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) cho với λk ≥ (∀ k ∈ J, k = s); µi ≥ (∀ i ∈ I(x)), không đồng thời 0, γj ∈ R (∀ j ∈ L), ta có 0∈ λk Dc Fk,x (x)v0 + k∈J,k=s γj ∇hj (x), v0 µi Dc gi (x)v0 + i∈I(x) Mệnh đề 2.1 (CQ1) kéo theo (CQ2) j∈L 12 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) phát biểu sau Định lí 2.3 Cho x nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) Giả sử tất giả thiết Định lí 2.2 thỏa mãn điều kiện quy (CQ2) (với số s ∈ J) Lúc đó, với v ∈ Ker∇h(x)∩ IT (C, x), tồn λs > 0, λk ≥ (∀ k ∈ J, k = s), µi ≥ (∀ i ∈ I) thỏa mãn 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, i∈I k∈J µi gi (x) = (∀ i ∈ I) Một điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker mạnh tất nhân tử Largange tương ứng với tất thành phần đối tượng dương dẫn dắt Định lí 2.4 Cho x nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) Giả sử tất giả thiết Định lí 2.2 thỏa mãn điều kiện quy (CQ2) (với tất số s ∈ J) Lúc đó, với v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn λk > (∀ k ∈ J), µi ≥ (∀ i ∈ I) thỏa mãn 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, i∈I k∈J µi gi (x) = (∀ i ∈ I) Để khép lại chương này, cung cấp nhận xét quan trọng sau Nhận xét 2.4 Ta có nhận định: (i) Định lí 2.3 2.4 ta thay điều kiện quy (CQ2) (CQ1) (ii) Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (CVEP1 ) chưa nghiên cứu (iii) Kết thu tiểu mục áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (Định lí 2.6, 2.7, 2.9 2.10) Chương Điều kiện tối ưu cho tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên Trong chương này, nghiên cứu điều kiện tồn đạo hàm tiếp liên với số mối liên hệ đạo hàm tiếp liên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đơn trị nghiên cứu điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc tập có đầy đủ ràng buộc Nội dung chương dựa vào cơng trình [2], [3], [4] [7] phần Danh mục cơng trình cơng bố 3.1 Sự tồn mối liên hệ đạo hàm tiếp liên với đạo hàm tiếp liên Cho ∅ = A ⊂ Y tập hợp khác rỗng Q ⊂ Y nón Chúng ta nhắc lại số ký hiệu Dinh The Luc (1989) L Rodríguez-Marín M Sama (2007a, 2007b) sau • Tập A gọi Q− bị chặn (t.ứ., Q− bị chặn trên), tồn y ∈ Y cho A ⊂ y + Q (t.ứ., A ⊂ y − Q) • Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y gọi có đạo hàm bị chặn dưới, ký hiệu (LBD) (x, y) ∈ graphF , Dc F+ (x, y)u Q− bị chặn với u ∈ L, L hình chiếu T (epi(F ), (x, y)) lên khơng gian X 14 • Ký hiệu điểm cực tiểu: IM in(A|Q) = {y ∈ A : A ⊂ y + Q}, M in(A|Q) = {y ∈ A : A ∩ (y − Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)}, IM ax(A|Q) = {y ∈ A : A ⊂ y − Q}, M ax(A|Q) = {y ∈ A : A ∩ (y + Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)}, infQ A = IM ax y ∈ Y : A ⊂ y + Q |Q , supQ A = IM in y ∈ Y : A ⊂ y − Q |Q Sau dẫn kết tồn đạo hàm tiếp liên trường hợp ánh xạ đa trị f+ có tính chất (LBD) (x, f (x)) ∈ graphf+ Mệnh đề 3.1 Cho f : X → Y x ∈ X Giả sử f+ : X ⇒ Y có tính chất (LBD) điểm (x, f (x)) ∈ graphf+ hay Dc f+ (x, f (x))u Q− bị chặn với u ∈ L, L hình chiếu T (epif, (x, f (x))) lên X Các điều kiện sau tương đương: (i) Df (x) tồn (ii) infQ Dc f+ (x, f (x))u ∈ Dc f+ (x, f (x))u ∀ u ∈ L Sự tồn đạo hàm tiếp liên phát biểu sau Mệnh đề 3.2 Cho f : X → Y x ∈ X Giả sử Dc f+ (x, f (x))u Q− bị chặn với u ∈ L nón Q nhọn Các điều kiện sau tương đương: (i) Df (x) tồn (ii) supQ Dc f+ (x, f (x))u ∈ Dc f+ (x, f (x))u ∀ u ∈ L Sử dụng khái niệm điểm cực tiểu Pareto, ta thu mối liên hệ đạo hàm tiếp liên đạo hàm tiếp liên Mệnh đề 3.3 Cho f : X → Y x ∈ X Giả sử nón Q có sở compact B Df+ (x, f (x)) tồn Với u ∈ X, ta có M in Df+ (x, f (x))u + Q|Q ⊂ Dc f (x)u (3.1) Đặc biệt, Df+ (x, f (x))u ∈ Dc f (x)u Từ ta có cơng thức biểu diễn cho đạo hàm tiếp liên (3.2) 15 Mệnh đề 3.4 Cho f : X → Y x ∈ X Giả sử nón Q có sở compact B u ∈ dom Dc f+ (x, f (x)) Khi đó, Df (x)u tồn Df (x)u = IM in Dc f (x)u|Q = IM in Dc f+ (x, f (x))u|Q (3.3) = M in Dc f (x)u|Q = M in Dc f+ (x, f (x))u|Q Nhận xét 3.1 Mệnh đề 3.4 giải trường hợp liên quan đến tồn đạo hàm tiếp liên ánh xạ đơn trị tùy ý với không gian ảnh Banach, Jiménez-Novo Sama (2009) thực kết cho hàm ổn định với không gian ảnh hữu hạn chiều 3.2 Điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu (VEP) 3.2.1 Trường hợp không gian Banach Các điều kiện cần đủ tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu (VEP) phát biểu sau Bổ đề 3.1 Cho x ∈ K giả sử (i) Q có sở compact B; (ii) DFx (x)u tồn với u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)); (iii) Fx (K) ⊂ Dc Fx (x)u + Q với u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) Khi đó, bất đẳng thức sau với u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) : ξ, DFx (x)u ≤ ξ, Fx (y) ∀ y ∈ K, ∀ ξ ∈ Q+ Định lí 3.1 Cho x ∈ K với Fx (x) = Dưới giả thiết Bổ đề 3.1 giả sử thêm ánh xạ Fx vững x Khi đó, vectơ x nghiệm hữu hiệu yếu (VEP) với u ∈ A(K, x) ∩ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn ξ ∈ Q+ \ {0} thỏa mãn ≤ ξ, DFx (x)u ≤ ξ, Fx (y) ∀ y ∈ K (3.4) Đặc biệt, K lồi vectơ x nghiệm hữu hiệu yếu (VEP) với u ∈ T (K, x)∩dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn ξ ∈ Q+ \{0} cho (3.4) thỏa mãn 16 Nhận xét 3.2 Định lí 3.1 giải trường hợp nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ có ràng buộc tập qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên, Jiménez-Novo Sama (2009) chưa làm điều đó, họ thu điều kiện cần đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địa phương cấp tốn tối ưu đa mục tiêu khơng ràng buộc Định lí 3.2 Cho x ∈ K với Fx (x) = điều kiện (i), (ii) (iii) Bổ đề 3.1 thỏa mãn Giả sử Fx vững x Khi đó, vectơ x ∈ K nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu) (VEP) với u ∈ A(K, x) ∩ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn ξ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ )) thỏa mãn ≤ ξ, DFx (x)u ≤ ξ, Fx (y) ∀ y ∈ K Nhận xét 3.3 Các kết nhận Định lí 3.2 hồn tồn chúng tơi chưa thấy nghiên cứu tương tự trước cho loại nghiệm hữu hiệu có sử dụng ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên 3.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều Nếu hàm Fx (.) ổn định x, điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu (VEP) phát biểu sau Định lí 3.3 Giả sử dimY < +∞ Q ⊂ Y nón lồi đóng phần khác rỗng Cho x ∈ K giả sử Fx : X → Y ổn định x với Fx (x) = Giả sử thêm với u ∈ A(K, x) thỏa mãn Dc Fx (x)u ∩ (−intQ) = ∅, (3.5) với y ∈ K tồn e ∈ Q cho DFx (x)u ∈ IM in((Fx (.) ± Q)(y) − e | Q) Khi đó, vectơ x ∈ K nghiệm hữu hiệu yếu (VEP) Nhận xét 3.4 Nếu ta thay điều kiện (3.5) điều kiện khác DFx (x)u ∈ −intQ kết thu Định lí 3.3 Định lí 3.3 kết điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu toán (VEP) với hàm mục tiêu ổn định điểm tối ưu x 17 3.3 Điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) Xét tốn (VEPC) X = Rn , Y = Rm , Z = Rr , W = Rl , nón có phần khác rỗng Q S Rm Rr có sở compact B B tương ứng Khi đó, ta xem h = (h1 , h2 , , hl ) : Rn → Rl với hk : Rn → R với k = l Điều kiện quy kiểu KurcyuszRobinson-Zowe ký hiệu (KRZ) định nghĩa z ∈ Z : (y, z) ∈ cone D(Fx , g)(x) Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) + cone S + g(x) = Z Một số điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John Kuhn - Tucker cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) phát biểu sau Định lí 3.4 (Điều kiện cần kiểu Fritz John) Cho x ∈ K với Fx (x) = Giả sử Fx , g vững x, h liên tục lân cận x khả vi Fréchet x với hệ ∇h1 (x), , ∇hl (x) độc lập tuyến tính Lúc đó, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) với u ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) (v1 , v2 ) = D(Fx , g)(x)u, tồn (λ, η) ∈ Rm × Rr với (λ, η) = (0, 0) thỏa mãn λ ∈Q+ , η ∈ N (−S, g(x)), λ, v1 + η, v2 ≥ (3.6) Định lí 3.5 (Điều kiện cần kiểu Kuhn-Tucker) Cho x ∈ K với Fx (x) = Giả sử Fx , g h thỏa mãn Định lí 3.4, tập M := D(Fx , g)(x)(Ker∇h(x) ∩ IT (C, x)) lồi điều kiện quy (KRZ) Khi đó, x ∈ K nghiệm hữu hiệu yếu (t.ứ., hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu) (CVEP) tồn (λ, η) ∈ Rm × Rr \ {(0, 0)} thỏa mãn λ ∈ Q+ \ {0} (t.ứ., Q∆ (B), Q , int(Q+ )), (3.7) η ∈ N (−S, g(x)), (3.8) λ, v1 + η, v2 ≥ ∀ (v1 , v2 ) ∈ M (3.9) Nhận xét 3.5 Định lí 3.4 3.5 kết điều kiện cần tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức tập qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên Chương Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán cân vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên Trong chương này, nghiên cứu kết tồn đạo hàm tiếp liên cấp hai với hàm đơn trị tùy ý không gian Banach dẫn điều kiện tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc (CVEP) qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm mục tiêu tùy ý không gian Banach Nội dung chương dựa vào cơng trình [6] [8] phần Danh mục cơng trình cơng bố 4.1 Sự tồn mối liên hệ đạo hàm tiếp liên cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai Đặc trưng dựa vào điều kiện nón có sở compact sau Mệnh đề 4.1 Cho k : X → Y, x ∈ X (u, v) ∈ X × Y Giả sử nón Q có sở compact B x ∈ dom Dc2 k+ (x, k(x), u, v) Các điều kiện sau tương đương: (i) D k(x, u, v)x tồn (ii) IM in Dc2 k(x, u, v)x|Q = ∅ Khi đó, D k(x, u, v)x = IM in Dc2 k(x, u, v)x|Q 19 Trường hợp nón Q nhọn, sử dụng ánh xạ đa trị k+ = k + Q thay cho k ta thu kết sau Mệnh đề 4.2 Cho k : X → Y, x ∈ X (u, v) ∈ X × Y Giả sử nón Q nhọn x ∈ dom Dc2 k+ (x, k(x), u, v) Các điều kiện sau tương đương: (i) D k(x, u, v)x tồn (ii) IM in Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x|Q = ∅ Khi đó, D k(x, u, v)x = IM in Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x|Q Nhận xét 4.1 Các kết thu Mệnh đề 4.1 4.2 cho trường hợp đạo hàm tiếp liên cấp hai ánh xạ k (x, u, v) ta thay IMin IMax Ngoài ra, Mệnh đề 4.1 4.2 mở rộng Định lí 2.8 (xem Jiménez - Novo Sama (2009)) Sử dụng khái niệm Q− bị chặn dưới, đặc trưng khác tồn đạo hàm tiếp liên phát biểu sau Mệnh đề 4.3 Cho k : X → Y, x ∈ X (u, v) ∈ X × Y Giả sử nón Q nhọn Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x Q− bị chặn với x ∈ L, L hình chiếu T (epi k, (x, k(x)), (u, v)) lên không gian đầu X Khi điều kiện sau tương đương: (i) D k(x, u, v)x tồn với x ∈ L (ii) infQ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x ∈ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x với x ∈ L Một dạng đối ngẫu Mệnh đề 4.3 kết sau Mệnh đề 4.4 Cho k : X → Y, x ∈ X (u, v) ∈ X × Y Giả sử nón Q nhọn Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x Q− bị chặn với x ∈ L Khi điều kiện sau tương đương: (i) D k(x, u, v)x tồn với x ∈ L (ii) supQ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x ∈ Dc2 k+ (x, k(x), u, v)x với x ∈ L Nhận xét 4.2 Các kết thu Mệnh đề 4.3 Mệnh đề 4.4 mở rộng đáng kể Mệnh đề 3.1 Mệnh đề 3.2 tương ứng 20 4.2 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) Xét toán (CVEP) với ràng buộc tập nón, nghĩa tập chấp nhận K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S} Với x, u ∈ X (v, w) ∈ Y × Z, ta gán Mx (u, v, w) := dom Dc2 (Fx+ , g+ ) x, (Fx , g)(x), u, v, w Một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) phát biểu sau Định lí 4.1 Cho x ∈ K với Fx (x) = nón Q, S có phần khác rỗng Giả sử tồn u ∈ IT (C, x) (v, w) ∈ Dc (Fx+ , g+ )(x, (Fx , g)(x))u∩ (−Q) × (−S) cho với x ∈ Mx (u, v, w), điều kiện sau thỏa mãn: (i) D (Fx , g)(x, u, v, w)x tồn (ii) D (Fx , g)(x, u, v, w)x ∈ (−intQ) × IT (−S, w) (iii) Với y ∈ K, tồn e1 ∈ Q, e2 ∈ IT (S, −w) cho D (Fx , g)(x, u, v, w)x ∈ IM in (Fx , g)(y) − (e1 , e2 ) + P | Q × S Ở đây, nón P ⊂ Y × Z thỏa mãn P = Q × S P = −(Q × S) Khi đó, vectơ x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Nhận xét 4.3 Định lí 4.1 kết mở rộng từ điều kiện đủ tối ưu cấp qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên dựa sở kết thu Định lí 3.3 Ngồi ra, định lí giải trường hợp điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho tốn tối ưu hóa vectơ có ràng buộc nón Li-Zhu Teo (2012) chưa giải Một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu (CVEP) phát biểu sau Định lí 4.2 Cho x ∈ K với Fx (x) = nón Q, S có phần khác rỗng Giả sử nón Q có sở B tồn u ∈ IT (C, x), (v, w) ∈ Dc (Fx+ , g+ )(x, (Fx , g)(x))u ∩ (−Q) × (−S) cho với x ∈ Mx (u, v, w), điều kiện sau thỏa mãn: 21 (i) D (Fx , g)(x, u, v, w)x tồn (ii) Tồn λ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ ) thêm B compact), η ∈ S + với η, w = thỏa mãn λ, ax + η, bx ≥ (iii) Với y ∈ K, tồn e1 ∈ Q, e2 ∈ IT (S, −w) cho D (Fx , g)(x, u, v, w)x ∈ IM in (Fx , g)(y) − (e1 , e2 ) + P | Q × S Ở đây, nón P ⊂ Y × Z thỏa mãn P = Q × S P = −(Q × S) Khi đó, vectơ x nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu) (CVEP) Nhận xét 4.4 Kết thu điều kiện đủ tối ưu cấp hai qua ngôn đạo hàm tiếp liên cho nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu (CVEP) chưa nghiên cứu trước 4.3 Điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) Xét tốn (CVEP) với tập chấp nhận có dạng K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} Để dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP), cung cấp giả thiết sau Giả thiết 4.1 Với x ∈ K, tồn u ∈ IT (C, x) ∩ IT (h−1 (0), x) (v, w) ∈ Dc (Fx+ , g+ )(x, (Fx , g)(x))u ∩ (−Q) × (−S) thỏa mãn (A) (ax , bx ) := D (Fx , g)(x, u, v, w)x tồn với x ∈ Mx (u, v, w); (B) (Fx , g)(K) ⊂ D (Fx , g)(x, u, v, w)x + Q × S với x ∈ Mx (u, v, w); (C) Điều kiện quy sau z ∈ Z : (y, z) ∈ cone (Fx , g)(K) + cone(S + w) = Z Đầu tiên, điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) phát biểu sau 22 Định lí 4.3 Cho x điểm chấp nhận (CVEP) Giả sử nón Q có phần khác rỗng Giả thiết 4.1 thỏa mãn Khi đó, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) với x ∈ Mx (u, v, w), tồn (λ, η) ∈ (Y ∗ × Z ∗ ) \ {(0, 0)} thỏa mãn λ ∈ Q+ \ {0}, η ∈ S + với ∼ η, w = 0; ∼ (4.1) ∼ λ, Fx (x) + η, g(x) ≥ λ, ax + η, bx ≥ ∀ x ∈ K (4.2) Nhận xét 4.5 Định lí 4.3 kết mở rộng từ điều kiện cần đủ tối ưu cấp cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ khơng ràng buộc (VEP) qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên dựa kết thu Định lí 3.1 Đây kết điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn (CVEP) qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý không gian Banach Trường hợp nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu, điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai phát biểu sau Định lí 4.4 Cho x điểm chấp nhận (CVEP) giả sử Giả thiết 4.1 thỏa mãn nón Q có sở B Khi đó, vectơ x nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu thêm điều kiện B compact) (CVEP) với x ∈ Mx (u, v, w), tồn (λ, η) ∈ (Y ∗ × Z ∗ ) \ {(0, 0)} thỏa mãn λ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ )); η ∈ S + với ∼ ∼ (4.3) η, w = 0; (4.4) ∼ λ, Fx (x) + η, g(x) ≥ λ, ax + η, bx ≥ ∀ x ∈ K (4.5) Nhận xét 4.6 Đây kết điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý không gian Banach dựa kết thu Định lí 3.2 23 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đạt kết sau 1) Chứng minh kết tồn công thức biểu diễn đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai cho ánh xạ đơn trị không gian Banach thiết lập số mối liên hệ đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai tương ứng 2) Xây dựng điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John Karush-Kuhn-Tucker (Karush-Kuhn-Tucker mạnh) cho nghiệm hữu yếu địa phương (CVEP1 ) ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, hàm ổn định, hàm khả vi Hadamard theo hướng khả vi Fréchet áp dụng kết thu cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI1 ), tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP1 ), nhận điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cho mơ hình tốn sản xuất - vận tải toán cân Nash - Cournot 3) Xây dựng điều kiện cần đủ tối ưu cấp cấp hai kiểu Fritz John Kuhn-Tucker qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên cho toán cân vectơ (VEP) (CVEP) với lớp hàm vững, hàm ổn định, hàm khả vi Hadamard theo hướng khả vi Fréchet cho điều kiện cấp với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai Hướng phát triển: • Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ áp dụng • Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp cấp hai ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên cho toán cân vectơ (CVEP) áp dụng • Nghiên cứu cơng thức tính đạo hàm tiếp liên cấp hai đạo hàm tiếp liên cấp hai không gian Banach • Nghiên cứu xây dựng mơ hình thực tế công cụ đạo hàm đạo hàm tiếp liên cấp cấp hai 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Do Van Luu, Tran Van Su, Contingent derivatives and necessary efficiency conditions for vector equilibrium problems with constraints, RAIRO - Oper Res., 2017, (online) https://doi.org/10.1051/ro/2017042 (SCI-E) Tran Van Su, Optimality conditions for vector equilibrium problems in terms of contingent epiderivatives, Numer Funct Anal Optim., 2016, 37, 640-665 (SCI-E) Tran Van Su, New optimality condition for unconstrained vector equilibrium problem in terms of contingent derivatives in Banach spaces, 4OR- Q J Oper Res., 2017, (online) https://doi.org/10.1007/s10288017-0360-4 (SCI-E) Tran Van Su, A new optimality condition for weakly efficient solutions of convex vector equilibrium problems with constraints, J Nonlinear Funct Anal., 2017, 7, 1-14 (Scopus) Tran Van Su, Optimality conditions for weak efficient solution of vector equilibrium problem with constraints, J Nonlinear Funct Anal., 2016, 4, 1-16 (Scopus) Tran Van Su, Second-order optimality conditions for vector equilibrium problems, J Nonlinear Funct Anal., 2015, 6, 1-31 (Scopus) Tran Van Su, Fritz John type optimality conditions for weak efficient solutions of vector equilibrium problems with constrains in terms of contingent epiderivatives, Appl Math Sci., 2015, 126, 6249-6261 (Scopus) Do Van Luu, Tran Van Su, Nguyen Cong Dieu, Second-order efficiency conditions for vector equilibrium problem with constraints via contingent epiderivatives, Ann Oper Res., (submitted) (SCI) ... theo hướng điều kiện tối ưu cấp cấp hai cho toán cân vectơ ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên qua đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định cho điều kiện cấp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai Đạo hàm tiếp liên có... lập điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ không ràng buộc Tác giả dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cho toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm. .. N) điều kiện tối ưu ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên chúng • Trong mục 1.2.3 trình bày toán bất đẳng thức biến phân vectơ số vấn đề liên quan Chương Điều kiện tối ưu cho tốn cân vectơ ngơn ngữ đạo hàm