Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ ( Luận văn thạc sĩ)Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ ( Luận văn thạc sĩ)Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ ( Luận văn thạc sĩ)Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ ( Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYÔN THị VIệT HồNG PHéP VÔ HƯớng hóa điều kiện tối -u cho toán cân véc tơ LUN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Luận văn hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS đỗ văn l-u Phn bin 1: GS.TS NGUYN BƯỜNG Phản biện 2: TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên vào hồi… ngày… tháng ….năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên - Và thư viện trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆● P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆● P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳ ✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ữợ P ộ ❱➠♥ ▲÷✉ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ð ✤➛✉ ✷ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❱➋ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ì P P ữợ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❈❺◆ ❱⑨ ✣Õ ❈❍❖ ◆●❍■➏▼ ❍Ú❯ ❍■➏❯ ❈Õ❆ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ✶✾ ✷✳✶ ✷✳✷ ✷✳✸ ✷✳✹ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ t tỡ P ổ ữợ õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✸ ✷✼ ✸✾ ❑➳t ❧✉➟♥ ✹✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✼ ✶ ▼ð ✤➛✉ ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞♦ ♣❤↕♠ ✈✐ →♣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ ❝õ❛ ♥â ✭①❡♠ ❬✸❪✲❬✼❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✷❪ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ✤â✮✳ ▲ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❜❛♦ ❤➔♠ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ✤➙② ♥❤÷ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ◆❛s❤ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜ò ✈➨❝ tì✱ ◆❣÷í✐ t❛ ự t sỹ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✱ ❝➜✉ tró❝ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐✱ ❈→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔✿ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉✳ ✣➸ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ♥❣÷í✐ t❛ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ổ ữợ õ tt t q ổ ữợ õ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚ø t q ổ ữợ õ ✤➣ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ❑❤✐ ữ tt t ỗ t ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤â✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â ✤÷đ❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✷ ✈➨❝ tì✳ ✣➙② ❧➔ ✤➲ t➔✐ t❤í✐ sü ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ t❤➳ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t P ổ ữợ õ tố ữ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✧✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ❬✹❪ ✈➲ ♣❤➨♣ ổ ữợ õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tố ữ tỡ ỗ ✤➛✉✱ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ữợ r ữợ r ởt số tự ỡ ữợ r ữợ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ổ ữợ õ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì õ r t ữợ ổ ỳ ữợ r ữợ r st ữỡ ợ tt t ỗ ỳ ú tổ tr ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✤â✳ P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✸ ✈➨❝ tì✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t❤➛② ❣✐→♦ P●❙✳ ộ ữ ữớ t t ữợ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ò♥❣ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ỗ t tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✻❆ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ tr➻♥❤ ✤ë ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ sỹ õ ỵ t ổ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✹✳ ◆❣÷í✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t ỗ ữỡ ❚❍Ù❈ ❱➋ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❈▲❆❘❑❊ ❱⑨ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❳❻P ❳➓ ❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ỡ ữợ r ữợ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✽❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✶✶❪✳ ✶✳✶ ữợ r sỷ X ổ ❇❛♥❛❝❤✱ f : X → R✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f : X → R✳ ❛✮ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ X, ❤❛② ▲✐♣s❝❤✐t③ ð ❣➛♥ x✱ ♥➳✉ tỗ t U x số K > s❛♦ ❝❤♦ (∀x, x ∈ U ) |f (x) − f (x )| K x−x ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ♠å✐ x ∈ Y ✳ ✺ Y ⊂ X✱ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉ f ❜✮ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ K tr➯♥ t➟♣ Y ♥➳✉ ✭✶✳✶✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, x ∈ Y ✳ ⊂ X✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû F : X → Y ✱ tr♦♥❣ ✤â X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ⑩♥❤ ①↕ F ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t x tỗ t số > sè K > s❛♦ ❝❤♦ F (x ) − F (x ) Y K x −x X (∀x , x ∈ x + γB), ✭✶✳✷✮ tr♦♥❣ ✤â B ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ♠ð✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ X ✳ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ❤➔♠ f t❤❡♦ ữỡ v( X) t x ỵ f (x; v)✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ f ◦ (¯ x; v) = lim sup x→¯ x;t↓0 f (x + tv) − f (x) , t ✭✶✳✸✮ tr♦♥❣ ✤â x ∈ X, t > 0✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡✳ ✣à♥❤ ỵ sỷ f st ữỡ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ K t↕✐ x✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✭✐✮ ❍➔♠ v → f ◦(x; v) ❤ú✉ ❤↕♥✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ữỡ ữợ t tr X |f (x; v)| ≤ K v ; ✭✐✐✮ f ◦(x; v) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ (x, v); f ◦(x; ) ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭t❤❡♦ ✈✮ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè K tr➯♥ X ❀ ✭✐✐✐✮ f ◦(x; −v) = (−f )◦(x; v) ✻ ... + (1 − α)f ◦ ( x; u) ≥ α ξ1 , u + (1 − α) ξ2 , u = αξ1 + (1 − α)ξ2 , u ⇒ αξ1 + (1 − α)ξ2 ∈ ∂f ( x) ⇒ f ( x) ỗ ự f (x) ❝♦♠♣❛❝t ∗②➳✉✿ ✈ỵ✐ ξ ∈ ∂f ( x), ξ ∗ ≤ K ⇒ ¯∗ (0 , K)✱ tr♦♥❣ ✤â B ¯∗ (0 ,... f ◦ ( x; v) ≥ ζ; v ( v ∈ X) ❚ø ✤â s✉② r❛ ζ ∈ ∂f ( x)✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ∂f (x) = ự f (x) ỗ ξ1, ξ2 ∈ ∂f ( x), ≤ α ≤ 1✳ ❑❤✐ ✤â✱ f ◦ ( x; u) ≥ ξi , u ( u ∈ X, i = 1, 2) ✼ ⇒ f ◦ ( x; u) = αf ◦ ( x;... → f ◦(x; v) ❤ú✉ ❤↕♥✱ t❤✉➛♥ t ữỡ ữợ t tr X |f (x; v)| ≤ K v ; ✭✐✐✮ f ◦(x; v) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ (x, v); f ◦(x; ) ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭t❤❡♦ ✈✮ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè K tr➯♥ X ❀ ✭✐✐✐✮ f ◦(x; −v) = ( f )◦(x; v)