Thuật toán giải một số bài toán tối ưu phân thức tuyến tính và phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình vẽ Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 HÀM PHÂN THỨC AFIN 1.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 1.3 CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER 11 1.4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN 14 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 18 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN (LP) 18 2.1.1 Biến đổi (LFP) toán tuyến tính (LP) 18 2.1.2 Thuật tốn 20 2.1.3 Ví dụ minh họa 20 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) 25 2.2.1 Cơ sở phương pháp 26 2.2.2 Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu mẫu số 27 2.2.3 Ví dụ minh họa 28 2.2.4 Bài toán cực tiểu 29 TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI TUYẾN 32 iv 3.1 THUẬT TOÁN DINKELBACH 32 3.1.1 Ký hiệu kết chuẩn bị 32 3.1.2 Sự hội tụ tồn cục thuật tốn 34 3.2 THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN 36 3.3 ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 39 Kết luận Tài liệu tham khảo 44 45 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R Rn Tập số thực Không gian véctơ n chiều Rn+ Tập véctơ không âm Rn T x Ký hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận Chuẩn Euclid véctơ x ∈ Rn |x| {xk }, {xk } Giá trị tuyệt đối x ∈ R Dãy điểm Rn x, y [x, y] Tích vơ hướng hai vectơ x y Đoạn thẳng nối x y Rn x≤y Véctơ x nhỏ hay véctơ y, (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x≥y Véctơ x lớn hay véctơ y, (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) x∈X x∈ /X x phần tử tập X x không phần tử tập X int X Phần tập X C ∅ Bao đóng tập C Tập hợp rỗng A+B A∪B Tổng véctơ hai tập A B Hợp hai tập A B A∩B A×B Giao hai tập A B Tích Đề hai tập A B A⊂B A tập B A⊆B (mọi phần tử A phần tử B A tập (có thể bằng) B S ⊆ Rn Tập lồi đa diện Rn DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Chương 1: - Hình 1.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 1.1 - Hình 1.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 1.2 Chương 2: - Hình 2.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.1 - Hình 2.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.2 - Hình 2.3 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.6 Chương 3: - Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật tốn Dinkelbach MỞ ĐẦU Quy hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt LFP), rộng quy hoạch phân thức phi tuyến, mở rộng trực tiếp quy hoạch tuyến tính (Linear Programming, viết tắt LP), với đối tượng nghiên cứu tốn tìm cực tiểu (cực đại) hàm phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), tập ràng buộc xác định đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Các tốn quy hoạch phân tuyến tính thường dùng để mơ tả tốn học cho nhiều toán thực tế với hàm mục tiêu phân thức, chẳng hạn: lợi nhuận/chi phí, sản phẩm/số lao động, v.v ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, tài chính, kỹ thuật, v.v Quy hoạch phân tuyến tính có nhiều điểm tương đồng với quy hoạch tuyến tính, lý thuyết lẫn phương pháp giải Trong số trường hợp riêng, tốn quy hoạch phân tuyến tính trở thành tốn quy hoạch tuyến tính giải theo thuật tốn đơn hình quen thuộc quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, nhiều tác giả tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính giải hay nhiều tốn quy hoạch tuyến tính Luận văn với đề tài "Thuật toán giải số toán tối ưu phân thức tuyến tính phi tuyến" nhằm tìm hiểu trình bày số thuật tốn gần đây, nêu tài liệu tham khảo [5] - [7], giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa quy hoạch tuyến tính) giải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số) Nội dung luận văn trình bày ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại hàm phân thức afin tính chất, tốn quy hoạch phân tuyến tính, mối liên hệ quy hoạch phân tuyến tính với quy hoạch tuyến tính cuối chương giới thiệu phương pháp tiêu biểu dựa thuật toán đơn hình để giải quy hoạch phân tuyến tính Chương "Thuật tốn cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính" trình bày thuật tốn cải tiến M B Hasan S Acharjee nêu [5] giải toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) cách đưa tốn quy hoạch tuyến tính (LP) thuật tốn P Pandian M Jayalakshmi nêu [7] đưa (LFP) giải hai toán (LP) Chương "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức phi tuyến" trình bày kết nghiên cứu A Jeflea nêu [6] tiếp cận tham số giải toán phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần toán tham số hội tụ thuật toán Áp dụng cách tiếp cận tham số giải tốn phân thức tuyến tính (LFP) Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên GS, PGS, TS Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 21 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Lê Đình Thản 31 (P) (Q) max{−2x1 + x2 + : x ∈ S}, min{x1 + 2x2 + : x ∈ S} Dùng thuật tốn đơn hình giải (P), ta nghiệm tối ưu x0 = (0, 4)T với giá trị tối ưu −p(x0 ) = giá trị tương ứng g(x0 ) = ≈ 0, 555555 Theo Bước phương pháp trình bày, chọn x0 làm nghiệm sở ban đầu, giải toán (Q) theo thuật tốn đơn hình, ta thu liên tiếp hai nghiệm chấp nhận (Q): = 0, b) x2 = (1, 0)T với q(x2 ) = giá trị tương ứng g(x2 ) = −0, Do g(x1 ) = 0, > g(x2 ) = −0, theo Bước 4a) phương a) x1 = (0, 2)T với q(x1 ) = giá trị tương ứng g(x1 ) = pháp trình bày, nghiệm tối ưu tốn max{g(x) : x ∈ S} x∗ = (x∗1 , x∗2 ) = x1 = (0, 2)T với giá trị mục tiêu tối ưu gmax = 0, Từ kết suy nghiệm tối ưu toán cực tiểu: x∗1 = 0, x∗2 = với giá trị mục tiêu tối ưu fmin = −gmax = −0, Tóm tắt chương Chương trình bày thuật tốn cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính (LFP) nhờ đưa hay hai toán quy hoạch tuyến tính (LP) nêu số ví dụ minh họa cho thuật tốn trình bày 32 Chương TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI TUYẾN Chương trình bày kết nghiên cứu A Jeflea (2003) tiếp cận tham số giải toán phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần toán tham số hội tụ thuật toán Áp dụng cách tiếp cận tham số giải tốn phân thức tuyến tính (LFP) Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [6] 3.1 THUẬT TOÁN DINKELBACH Mục đề cập tới toán quy hoạch phân thức, thuật toán Dinkelbach hội tụ tồn cục thuật tốn cho trường hợp tổng quát 3.1.1 Ký hiệu kết chuẩn bị Quy hoạch phân thức tổng quát mô tả dạng toán: p(x) (P) min{f (x) = : x ∈ X}, q(x) X tập compact khác rỗng Rn , p(x) q(x) 33 hàm giá trị thực liên tục x ∈ X Hơn ta giả thiết q(x) > với x ∈ X (3.1) Do f (x) hàm liên tục tập compact X nên toán (P) có nghiệm Ký hiệu S tập nghiệm tối ưu toán (P) Jagannathan (1966) đưa kết luận sâu sắc mặt lý thuyết cho mối quan hệ quy hoạch phân thức phi tuyến quy hoạch tham số phi tuyến Ông nghiên cứu mối quan hệ toán (P) toán sau đây, phụ thuộc λ: (P(λ)) min{p(x) − λq(x) : x ∈ X} chứng minh định lý quan trọng sau Định lý 3.1 (Định lý Jagannathan) Giả sử y ∈ X Khi y nghiệm tối ưu (P) y nghiệm tối ưu toán: min{p(x) − f (y)q(x) : x ∈ X} = min{p(x) − p(y) q(x) : x ∈ X} q(y) Bài tốn P (λ) có nghiệm với λ ∈ R, tập X compact (đóng, bị chặn) Rn hàm p(x), q(x) liên tục X Ta xác định: F (λ) = min{p(x) − λq(x) : x ∈ X} Dinkelbach (1968) đưa phương pháp, dựa định lý Jagannathan để giải toán phân thức phi tuyến, hàm q(x) lõm hàm p(x) lồi Dinkelbach chứng minh hội tụ thuật toán cho trường hợp Có thể mơ tả thuật tốn gốc Dinkelbach sau: Bước Chọn x1 điểm chấp nhận X λ1 = f (x1 ) Đặt k = chuyển sang Bước Bước (Bài toán con) Dùng thuật toán quy hoạch lồi giải toán sau đây: SUB(k): F (λk ) = min{p(x) − λk q(x) : x ∈ X} ký hiệu xk+1 nghiệm tối ưu toán 34 Bước Nếu F (λk ) = dừng thuật tốn xk nghiệm tối ưu (P) Trái lại, đặt λk+1 = f (xk+1 ), k := k + chuyển tới Bước Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật tốn Dinkelbach 3.1.2 Sự hội tụ tồn cục thuật tốn Mục nhỏ thuật toán Dinkelbach để giải toán phân thức tổng quát Thuật toán áp dụng giải tốn SUB(k), sinh vòng lặp, SUB(k) khơng thiết tốn quy hoạch lồi Giả sử xk dãy điểm X Ký hiệu fk hàm xác định fk (x) = p(x) − f (xk )q(x) (Để ý fk (xk ) = p(xk ) − f (xk )q(xk ) = f (xk ) = p(xk )/q(xk )) Bổ đề 3.1 Giả sử xk dãy điểm X Nếu fk (x) < với x thuộc X f (x) < f (xk ) Chứng minh Kết luận bổ đề suy từ biểu thức sau đây: fk (x) = p(x) − f (xk )q(x) < Chia hai vế cho q(x) > (theo (3.1)), ta nhận f (x) < f (xk ) Bổ đề sau cho thấy giá trị hàm mục tiêu f (x) (P) giảm dần 35 Bổ đề 3.2 Giả sử xk nghiệm chấp nhận (P) xk+1 nghiệm tối ưu SUB(k) Nếu xk nghiệm tối ưu SUB(k) xk nghiệm tối ưu (P) Trái lại, f (xk+1 ) < f (xk ) Chứng minh Nếu xk nghiệm tối ưu SUB(k) định lý Jagannathan đảm bảo xk nghiệm tối ưu (P) Trái lại, xk+1 nghiệm tối ưu SUB(k) nên fk (x k+1 p(xk ) k ) < fk (x ) = p(x ) − f (x )q(x ) = p(x ) − q(x ) = q(xk ) k k k k k theo Bổ đề 3.1, ta có f (xk+1) < f (xk ) Bổ đề 3.2 bảo đảm cho tính đắn việc kiểm tra tối ưu Bước thuật toán Nếu sau giải SUB(k) chưa phát hội tụ, thuật toán tiếp tục vòng lặp k := k + với tham số λk+1 = f (xk+1) , v.v Định lý sau khẳng định hội tụ thuật toán Định lý 3.2 Thuật toán Dinkelbach dừng sau hữu hạn vòng lặp, tạo dãy vô hạn cho điểm tụ dãy nghiệm tối ưu (P) Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ thuật toán Dinkelbach (ký hiệu D : x ∈ X → y = argmin{p(y) − (p(x)/q(x))q(y) : y ∈ X}) đóng tập X\S Giả sử {xk } {y k } hai dãy thỏa mãn (S - tập nghiệm tối ưu (P))  k  x ∈ X, lim xk = x ∈ X\S k→∞ (3.2)  y k ∈ D(xk ), lim y k = y k→∞ Ta chứng minh y ∈ D(x) Thật vậy, y k ∈ X X tập đóng, nên y ∈ X Đặt p(x) G(x, y) = p(y) − q(y), x ∈ X, y ∈ D(x) q(x) Giả xử yˆ ∈ D(x) Ta có bất đẳng thức G(x, yˆ) ≤ G(x, y) (3.3) 36 Theo giả thiết (3.2), y k nghiệm tối ưu P (f (xk )) ta có bất đẳng thức G(xk , y k ) ≤ G(xk , yˆ) (3.4) Hàm G(x, y) liên tục X × X, nói riêng liên tục (x, y) Qua giới hạn hai vế (3.4), ta nhận G(x, y) ≤ G (x, yˆ) Kết hợp với (3.3), bất đẳng thức kéo theo G(x, yˆ) = G(x, y) y nghiệm tối ưu P (f (x)), tức y ∈ D(x) Vậy ta chứng minh ánh xạ thuật tốn Dinkelbach ánh xạ đóng tập X\S Bổ đề 3.2 cho thấy giá trị mục tiêu f (xk ) giảm dần Các tính chất đảm bảo thuật toán Dinkelbach hội tụ định lý chứng minh đầy đủ 3.2 THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN Mục trình bày mở rộng nhằm đẩy nhanh thuật toán Dinkelbach Phương pháp bao gồm việc giải gần toán Chứng minh hội tụ toàn cục phương pháp với giả thiết: thuật toán dùng để giải toán làm giảm dần giá trị hàm mục tiêu f (x) ánh xạ thuật tốn đóng Patriksson (1993) đưa lớp phương pháp tuyến tính hóa riêng biệt, cho phép giải toán tối ưu liên tục nhờ giải dãy toán tối ưu miền chấp nhận ban đầu Nghiệm tối ưu toán xác định hướng giảm vòng lặp Patriksson cho từ cách nhìn thực tiễn, tốn khơng thể giải xác mà phải có đánh đổi cơng sức bỏ để giải tốn với mức độ giảm giá trị hàm mục tiêu nhận Ý tưởng thuật toán rút gọn hạn chế cơng sức giải tốn đó, cách quy định số vòng lặp thực khơng vượt q số nguyên nk Số ấn định trước xem xét dựa vào kết hoạt động thuật toán tiêu chuẩn dừng chọn cho toán 37 Chiến lược áp dụng vào thuật tốn Dinkelbach Trong ngữ cảnh toán SUB(k) giải gần cách thực nk vòng lặp theo thuật tốn làm giảm giá trị hàm mục tiêu Sau dãy {nk } chọn tùy ý miễn nk ≥ với k, hội tụ đảm bảo với điều kiện phương pháp dùng để giải SUB(k) có ánh xạ thuật tốn đóng Định lý sau thiết lập hội tụ toàn cục thuật toán rút gọn Định lý 3.3 Giả sử thuật toán dùng để giải SUB(k) thuật toán làm giảm giá trị hàm mục tiêu, ánh xạ thuật tốn đóng lớp toán P (λ) với tiêu chuẩn dừng giải SUB(k) thực tối đa nk vòng lặp (1 ≤ nk < ∞) xk điểm khởi đầu SUB(k) Khi đó, thuật tốn Dinkelbach rút gọn dừng sau hữu hạn vòng lặp, tạo dãy vô hạn {xk } cho điểm tụ dãy nghiệm tối ưu toán (P) Chứng minh Điểm xk+1 thu vòng lặp thuật tốn giảm giá trị hàm hàm mục tiêu giải P (λk ), với điểm ban đầu xk Điều đảm bảo xk không nghiệm tối ưu SUB(k) fk (xk+1 ) < fk (xk ) = Trái lại, xk nghiệm tối ưu SUB(k) theo định lý Jagannathan, xk nghiệm tối ưu toán (P) Hơn nữa, trường hợp fk (xk+1 ) = thuật toán Dinkelbach rút gọn phát xk nghiệm tối ưu (P) Vì ta giả sử fk (xk+1 ) < với k Bổ đề 3.3 Bổ đề 3.1 đảm bảo dãy {f (xk )} đơn điệu giảm dần Dãy bị chặn giá trị tối ưu (P) kết dãy hội tụ: lim f (xk ) = λ∗ dãy hội tụ λ∗ k→∞ (3.5) Nếu với số dương K tồn số nguyên hữu hạn i cho nk ≥ K với k ≥ i lim nk = +∞ Trong trường hợp k→∞ này, toán giải xác giới hạn hội tụ đảm 38 bảo nhờ Định lý 3.2 Trái lại, giả sử {y k } dãy dãy {xk } thỏa mãn lim y k = y k→∞ Ta chứng minh y nghiệm tối ưu (P) Thật vậy, lim nk = +∞, nên phải có số nguyên k ∗ xuất vô số lần dãy k→∞ {nk } Chọn dãy {uk } {y k } tương ứng với số Giả sử M ánh xạ thuật toán xác định hợp k ∗ lần liên tiếp ánh xạ thuật tốn đóng dùng để giải tốn (mà ta ký hiệu A) với hàm B : X × [λmin , λmax ] −→ X × [λmin , λmax ] (x, λ) −→ (x, f (x)), λmin λmax giá trị nhỏ lớn (P), nghĩa M = AA AB (A xuất k ∗ lần) Vì ánh xạ A đóng B(x, λ) = (x, f (x)) hàm liên tục miền xác định, nên ánh xạ hợp M đóng Xét dãy dãy {xk } mà ta ký hiệu {y k }, thỏa mãn (y k , f (uk )) ∈ M (uk , f (uk )) Khơng giảm tổng qt ta giả thiết dãy {y k }, hội tụ: lim y k = y k→∞ f (uk ) f (y k ) hai dãy dãy hội tụ {f (xk )} theo (3.5), ta có lim f (uk ) = λ∗ , lim f (y k ) = λ∗ k→∞ k→∞ (3.6) Vì {uk } {y k } hai dãy hội tụ f hàm liên tục giới hạn hai dãy tương ứng y y , nên ta có lim f (uk ) = f (y), lim f (y k ) = f (y ) k→∞ k→∞ (3.7) 39 Từ hệ thức (3.6) (3.7) suy f (y) = f (y ) (3.8) Vì M ánh xạ đóng từ (3.6) (3.7), ta thấy (y , f (y)) ∈ M (y, f (y)) Nếu y không nghiệm tối ưu P (f (x)), y cải tiến giá trị hàm mục tiêu P (f (x)) y, tức p(y ) − f (y)q(y ) < p(y) − f (y)q(y) = theo Bổ đề 3.1, f (y ) < f (y), điều trái với (3.8) Ta chứng minh y nghiệm tối ưu P (f (y)) định lý Jagannathan đảm bảo y nghiệm tối ưu (P ) 3.3 ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Cách tiếp cận tham số W Dinkelbach đề xuất năm 1968 chiến thuật tổng quát hay dùng tốn quy hoạch phân thức (khơng thiết phân thức tuyến tính) Với quy hoạch phân tuyến tính, phương pháp quy việc giải tốn ban đầu giải dãy toán quy hoạch tuyến tính Xét tốn quy hoạch phân tuyến tính (LFP): min{ p(x) pT x + α = T : Ax ≤ b, x ≥ 0} q(x) q x+β Ký hiêu S = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} Giả thiêt mẫu số q(x) > với x ∈ S Xét hàm số F (λ) = { p(x) − λq(x)} , λ ∈ R x∈S Định lý sau sở cho thuật toán Dinkelbach Định lý 3.4 x∗ nghiệm tối ưu tốn quy hoạch phân tuyến tính (LFP) F (λ∗ ) = min{p(x) − λ∗ q(x)} = 0, x∈S 40 p(x∗ ) λ = q(x∗ ) ∗ Định lý cách tìm nghiệm tối ưu toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) Thật vậy, giả thiết q(x) > với x ∈ S nên ∂F (λ) −q(x) < 0, ∀x ∈ S ∂λ Điều cho thấy hàm F (λ) giảm thực λ tăng Thuật toán Dinkelbach gồm bước: p(x0 ) Bước Chọn x ∈ S, đặt k = tính λ1 = q(x0 ) Bước Giải quy hoạch tuyến tính tìm xk = arg {p(x) − λk q(x)} x∈S ∗ k Bước Nếu F (λk ) = x = x nghiệm tối ưu: dừng thuật toán p(xk ) Bước Đặt λk+1 = đặt k ←− k + 1; Trở lại Bước q(xk ) • Các kết thuật toán áp dụng cho toán cực đại Để minh họa thuật toán, ta xét ví dụ: tốn cực tiểu tốn cực đại Ví dụ 3.1 Giải lại tốn xét Ví dụ 2.6 (bài tốn cực tiểu): f (x) = 2x1 − x2 − −→ min, với ràng buộc x ∈ S x1 + 2x2 + S = {x ∈ R2 : −2x1 + 7x2 ≤ 28, 3x1 − x2 ≤ 15, 2x1 + x2 ≥ 2, x1 , x2 ≥ 0} Tập ràng buộc S tốn vẽ Hình 2.3 (đa giác đỉnh) Bước Do x = (1, 0)T ∈ S nên ta chọn x0 = (1, 0)T làm điểm xuất phát cho thuật toán, đặt k = tính λ1 = p(x0 ) = · q(x0 ) Bước Lập hàm mục tiêu F (λ1 ) = p(x) − λ1 q(x) = p(x) − q(x) = 1, 5x1 − 2x2 − 1, 41 Cực tiểu hàm tập ràng buộc S đạt x1 = (0, 4)T , F (λ1 ) = −9, Bước Do F (λ1 ) = nên x1 chưa tối ưu Bước Tính λ2 = −4 − p(x1 ) = = − q(x1 ) × + Đặt k := k + = quay trở lại Bước Bước Lập hàm mục tiêu F (λ2 ) = p(x) − λ2 q(x) = p(x) + q(x) 5 = + × x1 + −1 + × x2 + −1 + × 9 23 = x1 + x2 − 9 Cực tiểu hàm tập ràng buộc S đạt x2 = (0, 2)T , F (λ2 ) = − Bước Do F (λ2 ) = nên x2 chưa tối ưu Bước Tính p(x2 ) × − × − λ3 = = = − q(x2 ) 1×0+2×0+1 Đặt k := k + = quay trở lại Bước Bước Lập hàm mục tiêu F (λ3 ) = p(x) − λ3 q(x) = p(x) + q(x) 3 = + × x1 + −1 + × x2 + −1 + × 5 13 = x1 + x2 − 5 Cực tiểu hàm tập ràng buộc S đạt x3 = (0, 2)T , F (λ3 ) = Bước Do F (λ2 ) = nên x∗ = (0, 2)T lời giải tối ưu: dừng thuật toán 42 Từ đó, nghiệm tối ưu tốn (LFP) x∗ = (0, 2)T với giá p(x∗ ) trị mục tiêu nhỏ = −0, q(x∗ ) Ví dụ 3.2 Giải lại tốn xét Ví dụ 2.3 (bài toán cực đại): x1 + 2x2 + 3, 5x3 + x4 + f (x) = −→ max, với tập ràng buộc 2x1 + 2x2 + 3, 5x3 + x4 + S = {2x1 +x2 +3x3 +3x4 ≤ 10, x1 +2x2 +x3 +x4 ≤ 14, x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0} Giải Trong ví dụ có n = biến m = ràng buộc Bước Do x = (0, 0, 0, 0)T ∈ S nên ta chọn x0 = (0, 0, 0, 0)T làm điểm xuất phát cho thuật tốn, đặt k = tính p(x0 ) λ1 = = q(x0 ) Bước Lập hàm mục tiêu F (λ1 ) = p(x)−λ1 q(x) = p(x)− q(x) = 0, 5x1 +1, 5x2 +2, 625x3 +0, 25x4 Cực đại hàm tập ràng buộc S đạt x1 = (0; 6, 4; 1, 2; 0)T , F (λ1 ) = 12, 75 Bước Do F (λ1 ) = nên x1 chưa tối ưu Bước Tính p(x1 ) × 6, + 3, × 1, + λ2 = = = q(x1 ) × 6, + 3, × 1, + Đặt k : k + quay lại Bước Bước Lập hàm mục tiêu F (λ2 ) = p (x) − λ2 q (x) = p (x) − q (x) 6 = − × x1 + − × x2 7 6 + 3, − × 3, x3 + − × x4 + − × 7 11 17 = − x1 + x2 + x3 − x4 − 7 7 Cực đại hàm tập ràng buộc S đạt x2 = (0; 6, 4; 1, 2; 0)T , F (λ2 ) = 43 Bước Do F (λ2 ) = nên x∗ = x2 = (0; 6, 4; 1, 2; 0)T nghiệm tối ưu: dừng thuật tốn Từ đó, nghiệm tối ưu toán (LFP) x∗ = (0; 6, 4; 1, 2; 0)T với giá trị mục tiêu lớn nhất: fmax = f (x∗ ) = p(x∗ ) × 6, + 3, × 1, + = = ≈ 0, 857143 q(x∗ ) × 6, + 3, × 1, + Tóm tắt chương: Chương trình bày thuật toán giải toán quy hoạch phân thức phi tuyến, dựa cách tiếp cận tham số áp dụng thuật toán tham số để giải toán phân thức tuyến tính (LFP), kèm theo ví dụ minh họa 44 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu giới thiệu số thuật toán gần để giải tốn quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa quy hoạch tuyến tính) giải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số) Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: Hàm phân thức afin tính chất, tốn quy hoạch phân tuyến tính, phương pháp giải quy hoạch phân tuyến tính, dựa cách tiếp cận Charnes - W Cooper đưa giải quy hoạch tuyến tính Thuật toán cải tiến M B Hasan S Acharjee giải tốn quy hoạch phân tuyến tính (LFP) cách đưa tốn quy hoạch tuyến tính (LP) thuật toán P Pandian M Jayalakshmi đưa (LFP) giải hai toán (LP) Kết nghiên cứu A Jeflea tiếp cận tham số giải toán quy hoạch phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần toán tham số hội tụ thuật toán Áp dụng cách tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức tuyến tính (LFP) Đóng góp tác giả luận văn tìm hiểu, xếp trình bày lại số thuật giải tốn quy hoach phân tuyến tính nhờ đưa giải quy hoạch tuyến tính giải quy hoạch phân thức phi tuyến theo cách tiếp cận tham số Xây dựng ví dụ minh họa cho thuật tốn trình bày Tác giả luận văn hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu thêm thuật toán khác giải quy hoạch phân tuyến tính tốn mở rộng 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, Nhà xuất Giao thông Vận tải Hà Nội Tiếng Anh [3] E B Bajalinov (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software, Kluwer Academic Publishers [4] A Charnes, W W Cooper (1962), "Programming with linear fractional functions", Naval Research Logistics Quaterly, 9, 181-186 [5] M B Hasan, S Acharjee (2011), "Solving LFP by converting it into a single LP", International Journal of Operations Research, 8, - 14 [6] A Jeflea (2003), "A parametric study for solving nonlinear fractional problems", An St U niv Ovidius Constanta, Vol 11(2), 87 - 92 [7] P Pandian, M Jayalakshmi (2013), "On solving linear fractional programming problems", Modern Applied Science, Vol 7, No 6, 90 - 100 ...  - LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... thức tuyến tính phi tuyến" nhằm tìm hiểu trình bày số thuật toán gần đây, nêu tài liệu tham khảo [5] - [7], giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa quy hoạch tuyến tính) giải quy hoạch phân thức. .. đưa (LFP) giải hai toán (LP) Chương "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức phi tuyến" trình bày kết nghiên cứu A Jeflea nêu [6] tiếp cận tham số giải toán phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach,