TIỂU LUẬN HÀM LỒI SUY RỘNG VÀ GRADIENT SUY RỘNG TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG VECTƠ VÔ HƯỚNG TỐI ƯU Trong các định lý tối ưu, tính tối ưu cơ bản có các thuộc tính như: một cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục, một điểm dừng là một cực tiểu toàn cục và điều kiện tối ưu là điều kiện đủ để một điểm là cực tiểu toàn cục.
[...]... Cũng như hàm lồi, hàm trước invex thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục 11 Chương 3 Tính Lồi Suy Rộng Và Sự Xác Định Ràng Buộc Như chúng ta đã biết điều kiện dừng là điều kiện tối ưu cần thiết cho bài toán P khi điều kiện ràng buộc chính quy được thỏa mãn Mục đích của phần này nói đến vai trò của tính lồi suy rộng và thuộc tính invex trong điều kiện ràng buộc Với mục đích đó, chúng ta định... ), với gi giả lồi chúng ta có (x − x0 )T gi (x0 ) < 0, khi đó hướng d = x − x0 ∈ G0 và G0 = ∅ ii) Suy ra từ i)dựa vào tính tựa lồi của gi (x) tại x0 và giả thiết gi (x0 ) = 0 bao hàm tính giả lồi của gi (x) tại x0 iii) Mỗi j ∈ J hàm gi (x) là giả lồi và giả lõm khi đó gi (x∗ ) < gi (x0 ) = 0 bao hàm (x − x0 )T gi (x0 ) ≤ 0 Mặt khác gi (x∗ ) < gi (x0 ) = 0, i ∈ I(x0 )\J với gi là giả lồi (x − x0 )T... Gp và hơn nữa Gp = ∅ iv) Chúng ta có gi (x∗ ) < gi (x0 ) = 0; i ∈ I(x0 ) với mỗi gi , i ∈ I(x0 ) Khi đó: d = η(x∗ , x0 ) ∈ G0 Định lý 3.2 Cho x0 là nghiệm tối ưu của bài toán (P ) ở đây hàm gi ; i ∈ I(x0 ) là invex với vectơ hàm η Giả sử rằng tồn tại vectơ p ∈ 3 , p > 0 khi đó pi gi (x)) ≥ 0; ∀x ∈ X (3.2.1) i∈I(x0 ) thì điều kiện KT-dừng được thỏa mãn Chứng minh 6 Điều kiện tối ưu của x0 bao hàm điều. .. ) và định lý được chứng minh 15 Hệ quả 2 Cho f là giả lồi trong một tập lồi đóng S Giả sử f có giá trị cực đại trên S thì nó đạt tại biên Hệ quả 3 Cho f là một hàm giả lồi trong một tập lồi đóng S Giả sử f có giá trị cực đại trên S thì nó đạt cực trị tại một điểm 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Phan Nhật Tĩnh, Hàm Lồi Suy Rộng và gradient suy rộng Tiếng Anh 1 Generalized convexty and generalized... buộc 13 (3.2.4) Chương 4 Giá Trị Cực Đại Và Tính Lồi Suy Rộng Trong phần này chúng ta thấy rằng một hàm lồi suy rộng với một cực đại toàn cục, nó đạt được tại biên của tập chấp nhận được S Chúng ta sẽ bắt đầu chứng minh rằng nếu giá trị cực đại của hàm là đạt tại điểm trong tương ứng của S thì f là hằng số trên S, chúng được gọi là điểm trong tương ứng của tập lồi C ⊂ n Kí hiệu: riC riC = x ∈ af f C... tập lồi đóng, khi đó C có một điểm cực trị x, chúng là điểm cực trị của S Mặt khác ta có hàm nếu 0 ≤ x ≤ 1 1 f (x) = 2 −x + 2x nếu x > 1 (4.2.2) là không giảm Khi đó nó là tựa lồi và mỗi điểm x > 1 với giả sử f có giá trị cực đại không đạt tại biên Nếu định lý trên muốn áp dụng cho lớp hàm tựa lồi, cần yêu cầu thêm giả thiết lồi trong S Định lý 4.3 Cho f là hàm liên tục và là hàm tựa lồi. .. (x) là giả lồi tại x0 } Chú ý với coT (S, x0 ) là bao đóng của bao lồi nón tiếp xúc T (S, x0 ) đến miền chấp nhận S tại x0 ∈ S chúng ta có mối quan hệ sau clG0 ⊆ clGp ⊆ coT (S, x0 ) ⊆ G Điều kiện trên bảo đảm điều kiện KT-dừng, ta có coT (S, x0 ) = G trở thành ràng buộc xác định Định lý 3.1 Nếu một trong những điều kiện sau đây được xác định thì điều kiện ràng buộc là được thỏa mãn: i) Hàm gi (x);... hàm mục tiêu và tựa lồi chặt trên một tập lồi đóng S Nếu giả sử f có giá trị cực đại trên S thì nó đạt được tại một vài nơi trên 14 giá trị biên Định lý 4.2 Cho f là hàm liên tục và tựa lồi chặt trên một tập lồi đóng S thì nó đạt cực trị tại một điểm Chứng minh 8 Nếu f là hằng số thì điều trên là tầm thường Lấy x0 thỏa f (x0 ) = max f (x) x∈S (4.2.1) Từ định lý trên, x0 ∈ bdS Cho C là một mặt cực tiểu. .. với B là hình cầu đơn vị trong n Bổ đề 1 Cho hàm f là liên tục và tựa lồi chặt trong tập lồi S Nếu x0 ∈ riS khi đó f (x0 ) = max f (x) x∈S (4.0.1) thì f là hằng số trên S Chứng minh 7 Giả sử rằng tồn tại x ∈ S khi đó f (x) < f (x0 ), ở đây ∃x∗ ∈ S khi đó x0 ∈ [x∗ , x] Từ f là một hàm liên tục, không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng f (x∗ ) > f (x) Tựa lồi chặt của f bao hàm f (x) < f (x∗ ), ∀x... được thỏa mãn: i) Hàm gi (x); i ∈ I(x0 ) là giả lồi tại x0 và ∃x∗ ∈ S khi đó gi (x∗ ) < 0, i ∈ I(x0 ) ii) Hàm gi (x); i ∈ I(x0 ) là tựa lồi tại x0 ; gi (x0 ) = 0 và ∃x∗ ∈ S khi đó gi (x∗ ) < 0, i ∈ I(x0 ) 12 iii) Hàm gi (x); i ∈ I(x0 ) là giả lồi tại x0 và ∃x∗ ∈ S khi đó gi (x∗ ) < 0, i ∈ I(x0 )\J iv) Hàm gi (x); i ∈ I(x0 ) là invex tại x0 với η(x, x0 )và ∃x∗ ∈ S khi đó gi (x∗ ) < 0, i ∈ I(x0 ) Chứng