TIỂU LUẬN BỘ MÔN PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ VẬT PHỔ DỤNG, HẠT NHÂN, HIỆU HẠT NHÂN, NÍU

TIỂU LUẬN BỘ MÔN PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ VẬT PHỔ DỤNG, HẠT NHÂN, HIỆU HẠT NHÂN, NÍU. Học phần Phạm trù và Hàm tử là một trong những môn học khó, bởi những yêu cầu chặt chẽ của một hệ thống các khái niệm và các tính chất liên quan.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TIỂU LUẬN BỘ MÔN PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ĐỀ TÀI VẬT PHỔ DỤNG, HẠT NHÂN, HIỆU HẠT NHÂN, NÍU Người thực hiện : HÀ VĂN QUÝ Lớp : Cao học toán K20 Người hướng dẫn : TS. PHAN VĂN THIỆN Huế, tháng 5-2012 Mục lục 1 LÝ THUYẾT 4 1.1 Phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Vật Phổ Dụng, Hạt Nhân, Hiệu Hạt Nhân, Níu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG 9 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 12 2 3 Lời mở đầu Học phần Phạm trù và Hàm tử là một trong những môn học khó, bởi những yêu cầu chặt chẽ của một hệ thống các khái niệm và các tính chất liên quan. Được sự hướng dẫn của TS. Phan Văn Thiện, tôi chỉ hy vọng nêu khái quát một số khái niệm và tính chất vừa đủ để giải các bài tập phần sau. Các phép chứng minh cho các tính chất trong phần 1 sẽ được tìm thấy trong [1]. Phần cuối cùng, tôi cố gắng trình bày một cách chân thực các bài tập kèm lời giải chi tiết. Lần đầu tiên tìm hiểu một lĩnh vực mới trong toán học, hẳn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô cùng các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Phan Văn Thiện đã vượt qua trở ngại về sức khỏe, truyền đạt những kiến thức đẹp đẽ về Phạm trù và Hàm tử, mở đầu cho tôi thấy vẻ đẹp của Toán học hiện đại, đặc biệt là chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số mà tôi cố theo đuổi. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn học viên cao học Toán K20 đã cùng trao đổi nhiều ý kiến thú vị. Một lần nữa, tôi được trải nghiệm tính chuyên nghiệp trong việc biên tập văn bản toán bằng ngôn ngữ T E X, đó cũng là một điều thú vị mà tôi gặt hái được trong tiểu luận này. Huế, tháng 5 năm 2012 Tác giả ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 4 1 LÝ THUYẾT 1.1 Phạm trù Định nghĩa 1. Cho một phạm trù C có nghĩa cho các dữ liệu sau: 1. Cho một lớp Ob(C) và một lớp MorC. Lớp Ob(C) gọi là lớp các vật, Mor(C) gọi là lớp các cấu xạ (xạ). 2. Với hai vật A, B∈Ob(C), ta có một tập hợp (có thể rỗng), Hom C (A, B) nằm trong Mor(C), Hom C (A, B) gọi là tập hợp các xạ từ A tới B. Để chỉ f ∈ Hom C (A, B), ta viết f : A → B hay A // f // B Nếu không có gì nhầm lẫn, ta viết Hom(A, B) thay cho Hom C (A, B). 3. Với A, B, C ∈ Ob(C), ta có ánh xạ: Hom(B, C) × Hom(A, B) −→ Hom(A, C) (g, f) −→ g ◦ f gọi là phép hợp thành các xạ f và g, các điều kiện sau phải được thỏa mãn: (a) Phép hợp thành có tính chất kết hợp: Nếu X // f // B // g // C // h // D là các xạ đã cho thì ta có: h(gf ) = (hg)f. (b) Với mọi A ∈ Ob(C) có một xạ 1 A ∈ Hom(A, A) gọi là xạ đồng nhất của A sao cho với mọi f ∈ Hom(A, B), với mọi g ∈ Hom(C, A) ta có: f.1 A = f; 1 A .g = g. (c) Nếu các cặp (A, B), (A  , B  ) khác nhau thì Hom(A, B) ∩ Hom(A  , B  ) = ∅. Ví dụ 1. Phạm trù Set các tập: trong đó ObSet là lớp tất cả các tập hợp, MorSet là lớp tất cả các ánh xạ. A, B ∈ ObSet, Hom(A, B) là tập tất cả các ánh xạ từ A đến B; Hom(∅, B) bao gồm một xạ ứng với phép nhúng tập rỗng vào B, xạ này gọi là xạ rỗng. Hom(A, ∅) = ∅ với A = ∅. Ví dụ 2. Phạm trù Group các nhóm: trong đó ObGroup là lớp các nhóm, MorGroup là lớp tất cả các đồng cấu nhóm. A, B ∈ ObGroup, Hom(A, B) là tập tất cả các đồng cấu từ A đến B. Ví dụ 3. Phạm trù R Mod các R-môđun: trong đó lớp các vật là lớp tất cả các R-môđun, lớp các xạ là lớp tất cả các đẳng cấu R-môđun. Với M, N ∈ Ob( R Mod), Hom(M, N) là tập tất cả các đồng cấu R-môđun từ M đến N. Định nghĩa 2. Xạ f : A → B được gọi là đơn xạ nếu mọi xạ k : X → A, l : X → A sao cho fk = fl thì ta có k = l. ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 1.2 Vật Phổ Dụng, Hạt Nhân, Hiệu Hạt Nhân, Níu 5 Định lý 1. Nếu f : A → B và g : B → C là các đơn xạ thì gf : A → C là đơn xạ. Định lý 2. Nếu gf là đơn xạ thì f là đơn xạ. Định nghĩa 3. Xạ g : B → C được gọi là toàn xạ nếu mọi xạ k : C → Y, l : C → Y sao cho kg = lg thì ta có k = l. Định lý 3. Nếu f : A → B và g : B → C là các toàn xạ thì gf : A → C là toàn xạ. Định lý 4. Nếu gf là toàn xạ thì g là toàn xạ. Đối với các phạm trù Set, R Mod, Group: các toàn xạ là các toàn ánh, toàn cấu tương ứng. Định nghĩa 4. Xạ f được là song xạ nếu f đồng thời là đơn xạ và toàn xạ. Nhận xét 1. • Hợp thành hai song xạ là song xạ. • Nếu gf là song xạ thì f là đơn xạ và g là toàn xạ. • Đối với phạm trù Set, R Mod, Group: các song xạ là các song ánh, đẳng cấu tương ứng. Để kết thúc phần này, ta nêu các khái niệm vật con, vật thương trong một phạm trù. Định nghĩa 5. Cho C là một phạm trù. Nếu f : A  → A là đơn xạ thì A  gọi là một vật con của A (hay A  ⊂ A) và f : A  → A được gọi là một phép lồng A  vào A. Khi đó, ta viết A  ⊂ A (hay f : A  → A). Định nghĩa 6. Cho C là một phạm trù. Nếu f : A → A  là toàn xạ thì A  được gọi là một vật thương của A. 1.2 Vật Phổ Dụng, Hạt Nhân, Hiệu Hạt Nhân, Níu Định nghĩa 7. Một vật A ∈ Ob(C) được gọi là vật khởi đầu của phạm trù C, nếu với mỗi vật X ∈ Ob(C) thì tập hợp Hom(A, X) có duy nhất một phần tử. Định nghĩa 8. Một vật B ∈ Ob(C) được gọi là vật tận cùng của phạm trù C, nếu với mỗi vật X ∈ Ob(C) thì tập hợp Hom(X, B) có duy nhất một phần tử. Nhận xét 2. Hai vật khởi đầu A, A  (hay tận cùng B, B  ) của cùng một phạm trù C là đẳng xạ và tồn tại một đẳng xạ duy nhất từ vật này đến vật kia. Định nghĩa 9. Vật khởi đầu hay vật tận cùng được gọi chung là vật phổ dụng. Định nghĩa 10. Một vật vừa khởi đầu vừa tận cùng trong một phạm trù C gọi là vật không của C, kí hiệu 0. ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 6 Định nghĩa 11. Phần tử duy nhất của Hom(0, 0) là xạ đồng nhất của vật 0, được gọi là xạ không. Định nghĩa 12. Phạm trù C có vật không, cho cấu xạ f : A → B. Hạt nhân của cấu xạ f, kí hiệu Kerf, là một cặp (K, u) với K ∈ Ob(C) và u : K → A là cấu xạ thỏa mãn: 1. f.u = 0 2. ∀u  : K  → A thỏa f.u  = 0 tồn tại duy nhất cấu xạ γ : K  → K sao cho uγ = u  . Để thuận tiện, đôi khi ta cũng gọi K hay u : K → A là hạt nhân của f. Định lý 5. Cho phạm trù C có vật 0, f : A → B cấu xạ. Khi đó: 1. Nếu (K, u : K → A) là các hạt nhân của f thì u đơn xạ. 2. Hai hạt nhân của f là đẳng xạ. Mệnh đề 1. Cho C là phạm trù có vật 0, f : A → B, g : B → C là các cấu xạ. Khi đó: 1. Nếu f là đơn xạ thì Kerf = 0. 2. Nếu g là đơn xạ thì Kerf = Ker(gf). Định nghĩa 13. Cho C là phạm trù có vật không, f : A → B cấu xạ. Đối hạt nhân của f, ký hiệu Cokerf là cặp (C, v), với C ∈ Ob(C) và v : B → C thỏa mãn: i) vf = 0. ii) Với mọi cấu xạ v  : B → C  thỏa v  f = 0 thì ∃! cấu xạ γ : C → C  sao cho v  = γv. Định lý 6. Cho C là phạm trù có vật không, f : A → B là cấu xạ. Khi đó, i) Nếu (C, v : B → C) là đối hạt nhân của f thì v là toàn xạ. ii) Hai đối hạt nhân của f là đẳng xạ. Mệnh đề 2. Cho C là phạm trù có vật không, f : A → B, g : B → C là cấu xạ. Khi đó, i) Nếu g là toàn xạ thì Cokerg = 0. ii) Nếu f là toàn xạ thì Cokerf = Coker(gf). Định nghĩa 14. Một phạm trù C được gọi là có hạt nhân (đối hạt nhân) nếu mọi cấu xạ đều có hạt nhân (đối hạt nhân). Mệnh đề 3. Nếu u : K → A là hạt nhân của f : A → B và p : A → C là đối hạt nhân của u thì u là hạt nhân của p. Định nghĩa 15. Cho C là phạm trù tùy ý, f, g : A → B là hai cấu xạ. Hiệu hạt nhân (hay đẳng hóa) của f và g là cặp (K, u : K → A), trong đó K ∈ Ob(C), u là cấu xạ, thỏa mãn: ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 1.2 Vật Phổ Dụng, Hạt Nhân, Hiệu Hạt Nhân, Níu 7 i) fu = gu. ii) ∀X ∈ Ob(C), ∀v : X → A ∈ Mor(C) : fv = gv ⇒ ∃!h : X → K : uh = v. Kí hiệu, hiệu hạt nhân của 2 cấu xạ f và g là Ker(f, g). Định nghĩa 16. Cho C là phạm trù tùy ý, f, g : A → B là hai cấu xạ. Hiệu đối hạt nhân (hay đối đẳng hóa) của f và g là cặp (C, p : B → C) thỏa mãn: i) pf = pg. ii) ∀Y ∈ Ob(C), ∀v : B → Y ∈ Mor(C) : vf = vg ⇒ ∃!h : C → Y : hp = v. Kí hiệu, hiệu đối hạt nhân của 2 cấu xạ f và g là Coker(f, g). Định nghĩa 17. Cho C là phạm trù, P ∈ Ob(C) f 1 : A 1 → B, f 2 : A 2 → B. Biểu đồ sau P p 1  p 2 // A 2 f 2  A 1 f 1 // B gọi là một níu nếu: 1. f 2 p 2 = f 1 p 1 2. Với mọi cặp cấu xạ p  1 : P  → A 1 , p  2 : P  → A 2 nghiệm đúng f 1 p  1 = f 2 p  2 thì tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : P  → P sao cho p  1 = p 1 γ, p  2 = p 2 γ. Định lý 7. Nếu biểu đồ P p 1  p 2 // A 2 f 2  A 1 f 1 // B là một níu và u, v : P  → P là hai cấu xạ thỏa mãn p 1 u = p 1 v và p 2 u = p 2 v thì u = v. Định nghĩa 18. Nếu biểu đồ P p 1  p 2 // A 2 f 2  A 1 f 1 // B là một níu thì (P, p 1 , p 2 ) gọi là tích thớ của hai cấu xạ f 1 , f 2 và được ký hiệu là f 1 ∧ f 2 . Ví dụ 4. Trong phạm trù Set, f 1 : A 1 → B f 2 : A 2 → B Tích thớ f 1 ∧ f 2 là: P = {(x 1 , x 2 ) ∈ A 1 × A 2 |f 1 (x 1 ) = f 2 (x 2 )} với các phép chiếu chính tắc p 1 (x 1 , x 2 ) = x 1 , p 2 (x 1 , x 2 ) = x 2 . ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 8 Định nghĩa 19. Một phạm trù được gọi là có níu nếu mọi cặp cấu xạ cùng đích đều có níu. ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế § 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG 9 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài toán 1. Giả sử C là phạm trù có vật không. Chứng minh rằng với mọi vật A ∈ C, 0 : 0 → A là đơn xạ và 0 : A → 0 là toàn xạ. Do đó có thể xem vật không là vật con và vật thương của mọi vật. Bài giải: Xét X ∈ ObC, các xạ tùy ý k, l : 0 → X sao cho k0 = l0. Vì 0 là vật không nên cũng là vật khởi đầu của C, theo định nghĩa 7, có duy nhất xạ từ 0 → X, từ đó các xạ k = l. Vậy 0 : A → 0 là toàn xạ. Với mỗi vật A tùy ý, ta có xạ 0 : 0 → A là đơn xạ nên theo định nghĩa 5 về vật con, 0 ⊂ A. Mặt khác, theo định nghĩa 6 về vật thương, có xạ 0 : A → 0 là toàn xạ nên 0 là một vật thương của A. Bài toán 2. i) Cho hai ánh xạ f, g : A → B trong phạm trù Set các tập hợp. Tìm hiệu đối hạt nhân của hai ánh xạ f và g. ii) Cho hai đồng cấu f, g : A → B trong phạm trù Group các nhóm. Tìm hiệu đối hạt nhân của f và g. iii) Trong phạm trù R Mod các R-môđun. Hãy tìm hiệu đối hạt nhân của hai đồng cấu của f và g. Bài giải: i) Cho hai ánh xạ f, g : A → B trong phạm trù Set các tập hợp. Trong tập B ta định nghĩa quan hệ 2 ngôi R: ∀b 1 , b 2 ∈ B. b 1 Rb 2 ⇔ ∃a ∈ A : f(a) = b 1 , g(a) = b 2 . Quan hệ này nói chung không bắc cầu. Tâp hợp các quan hệ tương đương trong B chứa R là khác rỗng, vì B 2 là quan hệ tương đương chứa R. Giao của tập hợp tất cả các quan hệ tương trong B chứa R là một quan hệ tương đương chứa R. Kí hiệu ¯ R gọi là quan hệ tương đương sinh ra bởi R. Gọi C = B/ ¯ R là hiệu đối hạt nhân của hai ánh xạ f và g. ii) Cho hai đồng cấu f, g : A → B trong phạm trù Group các nhóm. Gọi N là nhóm con của B sinh bởi các phần tử có dạng f(a)(g(a)) −1 , a ∈ A; N là nhóm con chuẩn tắc của B. Hiệu đối hạt nhân của f và g là nhóm thương B/N cùng toàn cấu chính tắc B → B/N. iii) Trong phạm trù R Mod các R-môđun. Hiệu đối hạt nhân của 2 đồng cấu f, g : M → N là đối hạt nhân Coker(f − g) của đồng cấu f − g cùng với toàn cấu chính tắc p : B → B/Coker(f − g). ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 10 Bài toán 3. Cho một níu P p 1  p 2 // A 2 f 2  A 1 f 1 // B Chứng minh rằng: a) Nếu f 1 là đơn xạ thì p 2 cũng vậy. b) Các tích thớ của f 1 , f 2 là đẳng cấu. Bài giải: a) Ta có P p 1  p 2 // A 2 f 2  A 1 f 1 // B là một níu. Nên ∀α, β : P  → P sao cho (f 1 p 1 )α = (f 2 p 2 )β . P  p  1  p  2 $$ α '' β  γ B B B B B B B B P p 1  p 2 // A 2 f 2  A 1 f 1 // B f 1 (p 1 α) = f 1 (p 1 β) Do f 1 là đơn xạ nên p 1 α = p 1 β. Đặt p  1 = p 1 α, p  2 = p 2 β. Khi đó tồn tại duy nhất một cấu xạ δ : P  → P sao cho p 1 γ = p  1 α = p 1 β và p 2 γ = p  2 = p 2 β. Do tính duy nhất của γ. ⇒ α = β = γ ⇒ p 1 là đơn xạ. ⇒ f 2 p 2 = f 1 p 1 là đơn xạ (do định lí 1). Do đó p 2 là đơn xạ (do định lí 2). b) Các tích thớ của f 1 , f 2 là đẳng cấu. Giả sử (P, p 1 , p 2 ) và (P  , p  1 , p  2 ) là các tích thớ của hai cấu xạ f 1 , f 2 . ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế [...]... với P  Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 12 3 TÀI LIỆU TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu [1] TS Phan Văn Thiện, Bài giảng Phạm trù và Hàm tử (Dành cho lớp cao học Toán K20), 2012 [2] N.T.Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, 1985 [3] B.Mitchell, Lý thuyết phạm trù (Tiếng Việt), NXB Đại học - THCN, 1981  Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế . γ  γ = 1 P  . Do đó, P đẳng xạ với P  . ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 12 TÀI LIỆU 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu [1] TS. Phan Văn Thiện, Bài giảng Phạm trù và Hàm tử (Dành cho lớp. tùy ý, f, g : A → B là hai cấu xạ. Hiệu hạt nhân (hay đẳng hóa) của f và g là cặp (K, u : K → A), trong đó K ∈ Ob(C), u là cấu xạ, thỏa mãn: ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 1.2 Vật Phổ. x 2 . ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế 8 Định nghĩa 19. Một phạm trù được gọi là có níu nếu mọi cặp cấu xạ cùng đích đều có níu. ✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế § 2. BÀI