TIỂU LUẬN Môn: Phạm trù và hàm tử ẢNH, DÃY KHỚP, TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH

TIỂU LUẬN Môn: Phạm trù và hàm tử ẢNH, DÃY KHỚP, TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH Chương 1: Lý thuyết cơ sở Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa cơ bản và một số kết quả về phạm trù. Đó là tiền đề để giải quyết các bài tập trong chương 2. Chương 2: Bài tập áp dụng Chương này trình bày khá cụ thể ba bài tập giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ảnh, dãy khớp, tích và đối tích trong lý thuyết phạm trù.

0 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ NHƯ Ý Chuyên ngành: Toán Giải Tích ẢNH, DÃY KHỚP, TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH TIỂU LUẬN Môn: Phạm trù và hàm tử Giáo viên hướng dẫn TS.PHAN VĂN THIỆN Huế, tháng 4 năm 2012 1 MỞ ĐẦU Với nội dung ngắn gọn tiểu luận được chia làm 2 phần: Chương 1: Lý thuyết cơ sở Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa cơ bản và một số kết quả về phạm trù. Đó là tiền đề để giải quyết các bài tập trong chương 2. Chương 2: Bài tập áp dụng Chương này trình bày khá cụ thể ba bài tập giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ảnh, dãy khớp, tích và đối tích trong lý thuyết phạm trù. Để hoàn thành tiểu luận này tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phan Văn Thiện cùng tập thể lớp cao học toán K20 đã trao đổi góp ý kiến. Dù đã rất cố gắng tìm hiểu và trình bày theo cách hiểu của mình nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên tiểu luận không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong quý thầy cô và bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để tiểu luận hoàn thiện hơn. Ngày 28 tháng 4 năm 2012 Học viên thực hiện Đặng Thị Như Ý 2 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1 Chương 1: Lý Thuyết Cơ Sở 3 Chương 2: Bài Tập Áp Dụng 5 Kết luận 8 Tài liệu tham khảo 9 3 ẢNH – DÃY KHỚP – TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa 1.1: Cho một phạm trù  có nghĩa là cho các dữ liệu sau: 1. Cho một lớp Ob  và một lớp Mor  . Lớp Ob  gọi là lớp các vật, lớp Ob  gọi là lớp các xạ. 2. Với hai vật , A B Ob   ta có một tập hợp (có thể rỗng) ( , ) C Hom A B nằm trong . ( , ) C M Homo A B r  gọi là tập hợp các xạ từ A tới B. Để chỉ ( , ) C f Hom A B  , ta viết : f A B  hay f A B  . 3.Với , , A B C Ob   có ánh xạ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Hom B C Hom A B Hom A C g f gf    gọi là các phép hợp thành của các ánh xạ f và g . Các điều kiện sau phải thỏa mãn: a) Phép hợp thành có tính kết hợp nếu f g h A B C D    là các xạ đã cho thì ta có: ( ) ( ) h gf hg f  b) Với mọi A Ob   có một xạ 1 ( , ) A Hom A A  gọi là xạ đồng nhất của A, sao cho với mọi ( , ) f Hom A B  với mọi ( , ) g Hom C A  ta có 1 , 1 A A f f g g   . c) Nếu các cặp ' ' ( , ),( , ) A B A B khác nhau thì ' ' ( , ) ( , )Hom A B Hom A B    xạ đồng nhất 1 A được xác định duy nhất bởi vật A . Với mỗi , ( , ) A Ob Hom A A   là một vị nhóm với phép hợp thành. 1.2 Khái niệm về biểu đồ giao hoán: Cho các cấu xạ : , : , : , : A B B C A C C D         nếu    thì ta nói biểu đồ trên giao hoán. 1.3 Mệnh đề: Cho  là phạm trù có vật không. Giả sử ta có biểu đồ giao hoán A B C D     A B ' A ' B f ' f   4 và ' , f f có hạt nhân thì tồn tại duy nhất một cấu xạ ' : Kerf Kerf   sao cho biểu đồ sau giao hoán: 1.4 Định nghĩa 1.2: Xạ : f A B  gọi là đơn xạ nếu với mọi xạ : ; : k X A l X A   sao cho fk fl  thì ta có k l  . 1.5 Định nghĩa 1.3: Cho  là phạm trù, 1 1 2 2 : , : f A B f A B   là hai cấu xạ. Biểu đồ: gọi là một níu nếu i) 1 1 2 2 f P f P  ii) Với mọi cặp cấu xạ ' ' ' 1 1 2 2 2 : , : : P P A P P P A   nghiệm đúng ' ' 1 1 2 2 f P f P  , tồn tại duy nhất một cấu xạ ' : P P   sao cho ' ' 1 1 2 2 , P P P P     1.6 Định nghĩa 1.4: Phạm trù  được gọi là khớp nếu nó có hạt nhân, đối hạt nhân và mọi cấu xạ : f A B  đều có thể phân tích thành , ( ker ), ker( ) v u A I B u Ker Co f v Co Kerf     Sự phân tích đó được gọi là sự phân tích của f . 1.7 Định nghĩa 1.5: Cho   i i I A  là một họ vật trong phạm trù  . Tích của họ vật này là họ cấu xạ   : i i i I P P A   đều có duy nhất một cấu xạ : A P   thỏa mãn , i i P i I      . Ký hiệu vật P là i i I A   . 1.8 Định nghĩa 1.6: Đối tích là đối ngẫu của tích. P 2 A 1 A B 2 P 1 f 2 f 1 P K erf A ' Kerf ' A u  B ' B f  ' f  ' u 5 Cho   i i I A  là một họ vật trong phạm trù  . Đối tích của họ vật này là một họ cấu xạ   : i i i I q A X   sao cho với mọi họ cấu xạ   : i i i I A A    đều có duy nhất một cấu xạ : X A   thỏa mãn , i i q i I      . Ký hiệu vật X là i i I A   . CHƯƠNG 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho  là phạm trù khớp. Chứng minh rằng nếu biểu đồ sau giao hoán: thì tồn tại duy nhất một cấu xạ ' : Im Im f f   sao cho biểu đồ sau giao hoán Giải: Vì biểu đồ sau giao hoán: Và ' , f f có hạt nhân thì tồn tại duy nhất một cấu xạ ' : Kerf Kerf   sao cho biểu đồ sau giao hoán: A B ' A ' B f ' f   A Im f ' A v ' v  B ' B u  ' u  ' Im f A B ' A ' B f ' f   6 Do đó tồn tại ảnh của ' , f f và tồn tại một cấu xạ ' : Im Im f f   sao cho biểu đồ sau giao hoán: Bài 2: Cho  là phạm trù khớp. Chứng minh rằng nếu hình vuông là níu và f là đơn xạ thì ' f cũng là đơn xạ. Giải: Vì hình vuông trên là níu nên ,    ta có: ' f f    . Mặt khác f là đơn xạ nên ta có: f f        Do đó: ' , = f f      Nên ' f f  khi    Từ đó suy ra: ' ' f f    thì    . Vậy ' f là đơn xạ A B ' A ' B f ' f   A Im f ' A v  B ' B u  ' u  ' v Im ' f K erf A ' Kerf ' A u  B ' B f  ' f  ' u 7 Bài 3: a) Trong phạm trù Set các tập, hãy xác định đối tích của một họ tập hợp   i i I A  . b) Trong phạ trù Group các nhóm, hãy xác định đối tích của một họ nhóm   i i I G  . c) Trong phạm trù Ab các nhóm aben, hãy xác định đối tích của một họ nhóm abel   i i I A  Giải: a) Trong phạm trù Set các tập, đối tích của một họ tập hợp   i i I A  là tập hợp rời của các tập i A ,   ( , )/ i i i I i I A x i x A       . b) Trong phạm trù Group các nhóm, đối tích của một họ nhóm   i i I G  là tích tự do của các nhóm với họ ( ) , ( ), i i I i i i I G G Ob Gr S G      (hợp rời). c) Trong phạm trù Ab các nhóm aben, đối tích của một họ nhóm abel   i i I A  là nhóm tổng trực tiếp i I i A   . 8 KẾT LUẬN Tiểu luận gồm ba phần: phần mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung chia làm hai chương. Trong đó, chương 1 nêu lên một số khái niệm cơ bản về phạm trù và các vấn đề cơ sở của phạm trù giúp người đọc hiểu rõ hơn về lý thuyết phạm trù và hàm tử. Chương 2 trình bày ngắn gọn một số bài tập cơ bản giúp bạn đọc hiểu sâu hơn nội dung phần lý thuyết đã nêu trong chương 1. Tác giả đã có nhiều cố gắng để hoàn thành tiểu luận tuy nhiên do thời gian có hạn nên còn nhiều thiếu sót mong sự góp ý chân thành của độc giả để tiểu luận được hoàn thiện hơn. Một lần nữa tác giả xin chân thành cám ơn thầy, các học viên cao học và toàn thể độc giả đã giúp tác giả hoàn thành bài tiểu luận ngắn gọn này. 9 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Văn Thiện, bài giảng Phạm Trù Và hàm Tử [2] Ngô thúc Lanh, Giáo trình đại số (sau đại học), nhà xuất bản giáo dục, 1985. [3] B.Mitchell, Lý thuyết phạm trù( bản dịch tiếng việt ) nhà xuất bản Đại học Trung học Chuyên Nghiệp, 1981. Tiếng Anh [1] Saunder MacLane, Categories for mathematican woring, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag. [2] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories. [3] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Cat-egories, Types and Structure, MIT Press. [4] http://www.google.com.vn/ [5] http://www.amazon.com/Exercises-Modules-Rings-Problem- Mathematics/dp/0387988505 [6] http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-98850-4 [7] http://www.powells.com/biblio?isbn=9780387988504. [8] http://quhtv.blog.com/2011/10/25/download-exercises-in-modules-and- rings-e-book/. . áp dụng Chương n y trình b y khá cụ thể ba bài tập giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ảnh, d y khớp, tích và đối tích trong lý thuyết phạm trù. Để hoàn thành tiểu luận n y tôi xin chân thành. chia làm 2 phần: Chương 1: Lý thuyết cơ sở Chương n y trình b y một số khái niệm, định nghĩa cơ bản và một số kết quả về phạm trù. Đó là tiền đề để giải quyết các bài tập trong chương 2. . giúp người đọc hiểu rõ hơn về lý thuyết phạm trù và hàm tử. Chương 2 trình b y ngắn gọn một số bài tập cơ bản giúp bạn đọc hiểu sâu hơn nội dung phần lý thuyết đã nêu trong chương 1. Tác giả