Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— ĐINH THỊ HỒNG GẤM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— ĐINH THỊ HỒNG GẤM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng năm 2012 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2012 Tác giả v Mục lục Mở đầu vii Nội dung 1 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach . . . . . . . . 5 1.2.1 Biến phân bậc nhất và đạo hàm . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Biến phân và đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Định lí Lyusternik . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Hàm Lipschitz và dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Khái niệm bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Điều kiện cần cho bài toán biến phân 30 2.1 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Điều kiện Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 vi 2.3 Điều kiện Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Điều kiện Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Bài toán đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Điều kiện đủ cho bài toán biến phân 46 3.1 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương yếu . . . . . 49 3.2 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương mạnh . . . . 50 3.3 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong một số không gian (Banach phản xạ, Sobolev) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.1 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian Sobolve  W n 1,1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 vii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Sự hình thành của Giải tích hữu hạn chiều xuất phát từ việc nghiên cứu điều kiện cần cho những bài toán cực trị đơn giản, còn các bài toán biến phân là một yếu tố quan trọng tác động đến sự hình thành của Giải tích vô hạn chiều. Không gian vô hạn chiều của các hàm liên tục và hàm khả vi liên tục, việc phân loại tôpô, những duyên cớ đầu tiên cho Phép tính vi phân vô hạn chiều, tất cả những cái đó đều chào đời trong chiếc nôi của Phép tính biến phân. Việc nghiên cứu những bài toán biến phân thực sự đóng vai trò quan trọng trong thực tế cũng như trong lý thuyết (xem[2] và những tài liệu dẫn trong đó). Bài toán tìm đường lăn nhanh nhất có dạng:  x 1 x 0  1 + y 12 (x)  −2gy(x) dx → inf; (1) y(x 0 ) = 0, y(x 1 ) = y 1 . là bài toán đầu tiên của Giải tích vô hạn chiều (không gian của tất cả những quỹ đạo nối hai điểm cho trước có số chiều vô hạn) và cũng là một trong những bài toán có ràng buộc đầu tiên. Hai lời giải đầu tiên được công bố năm 1697, trong đó phương pháp do Johann Bernoulli đưa ra chỉ thích ứng với bài toán cụ thể này. Ngược lại, anh trai ông là Jacob Bernoulli đã đề xuất một phương pháp có thể tổng quát hóa được, mở ra kỷ nguyên của Lý thuyết biến phân (cổ điển). viii Sau khi bài toán này được công bố, đã xuất hiện một số bài toán tối ưu khác có ràng buộc như bài toán đẳng chu cổ điển : tìm đường cong khép kín có chu vi cho trước sao cho diện tích tạo thành là lớn nhất. Kết quả được Euler trình bày trong tài liệu [3] (1744) là cách xử lý tổng quát đầu tiên cho các bài toán tối ưu có ràng buộc. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của các bài toán biến phân (xem [3], [4] và [5] và những tài liệu dẫn trong đó). Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng với những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: "Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân" 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về những điều kiện cần, đủ tối ưu cho bài toán biến phân thông qua một số bài toán như: phương trình Euler, điều kiện Werierstrass, bài toán đẳng chu. . . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp một cách hệ thống một số kết quả về những điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Những bài toán biến phân. + Phạm vi: Những điều kiện tối ưu trong một số không gian hàm. ix 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết tối ưu. 6. Dự kiến đóng góp mới + Nghiên cứu và làm rõ được những điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân. + Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về những điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi đưa ra những kiến thức cơ bản nhằm bổ trợ kiến thức cho các chương sau nên các kết quả không chứng minh. 1.1 Không gian Banach Dưới đây là các định nghĩa và tính chất về không gian Banach và các kiến thức có liên quan như không gian định chuẩn, dãy hội tụ, hội tụ tuyệt đối. . . Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn). Cho X là không gian tuyến tính trên trường K. X được gọi là một không gian định chuẩn trên trường K nếu tồn tại một chuẩn . trên X, ∀u, v ∈ X và α ∈ K, thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) u  0 (với u là một số thực không âm) (ii) u = 0 nếu u = 0 (iii) αu = |α|. u (iv) u + v  u + v (bất đẳng thức tam giác) Một không gian định chuẩn trên trường K = R hoặc K = C được gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phức, tương ứng. [...]... bài toán min {f (x) |x ∈ D } Khi đó: (i) Nếu x∗ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán này thì x∗ cũng là nghiệm tối ưu toàn cục; 25 (ii) Nếu x∗ là nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc f là hàm lồi chặt thì x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục duy nhất của bài toán Chú ý 1.6.4 Nếu bài toán (P1) không có nghiệm tối ưu thì giá trị tối ưu của bài toán này, ký hiệu là int f (D), là cận dưới lớn nhất (hay giá... (x) x∈D với điều kiện x ∈ D Tương tự, bài toán (P2) cũng thường được phát biểu dưới dạng max {f (x) |x ∈ D } hoặc f (x) → max hoặc max f (x) x∈D với điều kiện x ∈ D Tương tự đối với bài toán (P2), ta cũng có các khái niệm như trên 24 Chú ý 1.6.1 Bài toán (P1) tương đương với bài toán max (−f (x)) v.đ.k x ∈ D Theo định nghĩa tập nghiệm tối ưu của hai bài toán này trùng nhau và giá trị tối ưu của chúng... chặt Giá trị tối ưu (hay giá trị cực tiểu) của bài toán (P1) được kí hiệu là min f (x) hoặc min {f (x) |x ∈ D } x∈D Nếu bài toán (P1) có nghiệm tối ưu là x∗ thì f (x∗ ) = min {f (x) |x ∈ D } Ta kí hiệu Arg min {f (x) |x ∈ D } là tập nghiệm tối ưu của bài toán (P1) Nếu bài toán chỉ có một nghiệm tối ưu x∗ thì có thể viết x∗ = arg min {f (x) |x ∈ D } Điểm x∗ ∈ Dđược gọi là nghiệm tối ưu địa phương... ∀x ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hoặc là nghiệm của bài toán (P1).Người ta còn một nghiệm tối ưu là một phương án tối ưu hay lời giải của bài toán đã cho Điểm x∗ ∈ D được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt nếu f (x∗ ) < f (x) ∀x ∈ D và x = x∗ Không phải bài toán (P1) nào cũng có nghiệm cực tiểu toàn cục nếu bài toán có nghiệm cực tiểu toàn... * - yếu ) (iii) ∂f (¯) = ∩ x ∪ ∂f (y) δ>0 y∈¯+δB x (iv) Nếu X hữu hạn chiều, thì ∂f nửa liên tục trên tại x ¯ 1.6 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange Định nghĩa 1.6.1 (Bài toán tối ưu) Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau: min f (x) với điều kiện x ∈ D, (P 1) max f (x) với điều kiện x ∈ D, (P 2) hoặc trong đó D ⊆ Rn được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng buộc và f : D → R là hàm... } ⊂ D sao cho lim f (xn ) = t0 n→∞ Tương tự, nếu bài toán (P2) không có nghiệm tối ưu thì giá trị tối ưu của bài toán này, kí hiệu là sup f (D) là cận trên nhỏ nhất (hay giá trị surpemum) hàm f trên D Nếu t∗ = sup f (D) , t∗ ∈ R ∪ {+∞} thì f (x) t∗ ∀x ∈ D và ∃ {xn } ⊂ D sao cho lim f (xn ) = t∗ n→∞ Ví dụ 1.6.5 Cho f (x) = cos x, D = R Khi đó , bài toán (P1) tương ứng có vô số nghiệm tối ưu toàn cục,... thì ngược dấu, nghĩa là min {f (x) |x ∈ D } = − max {−f (x) |x ∈ D } Vì vậy, không giảm tổng quát, ta chỉ xét bài toán (P1) hoặc (P2) Nếu D ≡ Rn thì ta nói (P1) là bài toán tối ưu không ràng buộc Ngược lại, nếu D ⊂ Rn thì ta nói (P1) là bài toán tối ưu có ràng buộc Trong các bài toán tối ưu có ràng buộc, tập D thường xác định bởi D := {x ∈ Rn /gi (x) 0, i = 1, , p} (1.18) với gi , i = 1, , p, là các... hoạch ngẫu nhiên, Quy hoạch tham số Định nghĩa 1.6.2 (Hàm Lagrange) Cho C là tập khác rỗng trong Rn , fi : C → R, bi ∈ R, i = 0, 1, , m là những hàm xác định trên C Xét bài toán tối ưu : min {f0 (x) : x ∈ D} , trong đó D = {x ∈ Rn : x ∈ C, fi (x) bi , i = 1, , m} là miền ràng buộc của bài toán Để nghiên cứu điều kiện tối ưu của bài toán trên người ta quan tâm đến hàm Lagrange m (x, λ) := λi (fi (x)... tối ưu là min {cos x |x ∈ R} = −1 Tập nghiệm tối ưu của bài toán (P2) tương ứng là: Arg max {cos x |x ∈ R} = {ˆ = 2kπ, k = 0, ±1, ±2, } x Và giá trị tối ưu là max {cos x |x ∈ R} = 1 26 Cho f (x) = arctgx Dễ thấy, trên R, hàm f không có một nghiệm cực tiểu địa phương, cực đại địa phương, cực tiểu toàn cục hoặc cực đại toàn cục nào Và ta có inf f (D) = − π và sup f (D) = + π 2 2 Các loại bài toán tối. .. trọng của quy hoạch nguyên là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên, đó là bài toán quy hoạch tuyến tính mà các biến số chỉ lấy giá trị nguyên Quy hoạch phi tuyến : hàm mục tiêu f (x) hoặc một trong các ràng buộc gi (x) , i = 1, , m không phải hàm afin Trong các bài toán tối ưu phi tuyến có hai lớp đặc biệt quan trọng, đó là: • Quy hoạch lồi • Quy hoạch lõm Quy hoạch động: Bài toán quy hoạch động xét các . cứu: " ;Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân& quot; 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về những điều kiện cần, đủ tối ưu cho bài toán biến phân thông qua một số bài toán như: phương trình Euler, điều kiện Werierstrass,. GẤM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— ĐINH THỊ HỒNG GẤM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI. 35 2.4 Điều kiện Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Bài toán đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Điều kiện đủ cho bài toán biến phân 46 3.1 Điều kiện