Các điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== BÙI THỊ BÍCH PHƯƠNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH HAI CẤP TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 16 tháng 07 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Bích Phương LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Các điều kiện tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 16 tháng 07 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Bích Phương BẢNG KÝ HIỆU R tập số thực Rn không gian Euclide n− chiều ∅ tập rỗng | x| giá trị tuyệt đối x ∈ Rn grphF đồ thị F A×B tích Descartes hai tập hợp A B ∀x với x Argmin{f (x) | x ∈ ΣΩ} tập nghiệm toán tối ưu vô hướng A := B A định nghĩa B limsup giới hạn cho dãy số thực intΩ phần Ω clΩ bao đóng Ω convΩ bao lồi Ω x, y ∂f (x) tích vô hướng x y vi phân giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) f x ∇f (x) gradient f x rgA hạng ma trận A E ma trận đơn vị có số chiều tương ứng ep = (1, · · · , 1)T ∈ Rp vectơ p chiều có tọa độ ΨL (·) tập nghiệm toán cấp tuyến tính R(B) miền ổn định với nghiệm quy hoạch tuyến tính ∇f (x) gradient hàm f : Rn → R, gradient hàng vectơ ∇x f (x, y) gradient hàm f : Rn × Rm → R tương ứng với biến x Mục lục Mở đầu 1 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính 1.1 Mô hình ví dụ 1.2 Tính chất hình học quy hoạch hai cấp tuyến tính Sự tồn nghiệm tối ưu hai cấp tuyến tính 12 2.1 Sự tồn nghiệm 12 2.2 Mối liên hệ với toán quy hoạch toán học khác 17 2.2.1 Tối ưu đa mục tiêu 17 2.2.2 Quy hoạch 0–1 tuyến tính 22 Các điều kiện tối ưu hai cấp tuyến tính 25 3.1 Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker 25 3.2 Một số điều kiện tối ưu khác 31 3.2.1 Trường hợp optimistic 31 3.2.2 Trường hợp pessimistic 34 Kết luận 40 iv Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán quy hoạch hai cấp phát biểu lần H V Stackelberg năm 1934 chuyên khảo kinh tế thị trường Một dạng đặc biệt toán quy hoạch hai cấp trò chơi Stackelberg xem xét nhiều lý thuyết trò chơi kinh tế Các toán quy hoạch hai cấp giới thiệu tới cộng đồng tối ưu hóa năm bảy mươi kỷ 20 Sau thời điểm có phát triển nhanh chóng nghiên cứu chuyên sâu cho lớp toán theo hai hướng nghiên cứu lý thuyết ứng dụng nhà toán học, kinh tế kỹ sư Từ quan điểm toán học, toán quy hoạch hai cấp toán phức tạp có độ khó NP Với lí khoảng thời gian có hạn, chọn nghiên cứu lớp đặc biệt toán “Các điều kiện tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính” cho đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết quy hoạch hai cấp, cụ thể mô hình toán, khái niệm nghiệm, tồn nghiệm, mối quan hệ toán quy hoạch hai cấp toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần đủ tối ưu toán quy hoạch hai cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Sự tồn nghiệm, mối quan hệ toán quy hoạch hai cấp tuyến tính toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần đủ tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết tối ưu tuyến tính, quy hoạch hai cấp tuyến tính, tồn nghiệm điều kiện tối ưu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi lý thuyết tối ưu Đóng góp luận văn Trình bày tổng quan lý thuyết quy hoạch hai cấp tuyến tính, tồn nghiệm, mối quan hệ toán quy hoạch hai cấp tuyến tính toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần đủ tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính Chương Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính Trong chương ta trình bày mô hình, ví dụ tính chất hình học toán tối ưu hai cấp tuyến tính 1.1 Mô hình ví dụ Bài toán tối ưu hai cấp tổng quát toán tối ưu gồm hai biến x y với x chọn nghiệm toán thứ hai chứa tham số y Do toán có cấp bậc theo ý nghĩa ràng buộc toán quy hoạch hai cấp xác định toán cấp Ta xét dạng toán cấp dưới: min{f (x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) = 0}, x f : Rn × Rm → R, Rq , g : Rn × R m → Rp , g (x, y) = (g1 (x, y) , , gp (x, y))T , (1.1) h : Rn × Rm → h (x, y) = (h1 (x, y) , , hq (x, y))T , có tập nghiệm kí hiệu Ψ(y) với cố định y ∈ Rn Ψ gọi ánh n xạ đa trị từ Rm vào Rn , kí hiệu Ψ : Rm → 2R ,Ψ(y) = Sol(1.1) = Argmin{f (x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) = 0} x = {x ∈ Rn : f (x, y) = min{f (x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) = 0}} x Khi ta có toán quy hoạch hai cấp có dạng là: “ ” {F (x(y), y) : G(x(y), y) ≤ 0, H(x(y), y) = 0, x(y) ∈ Ψ(y)} , y (1.2) F : Rn × Rm → R, G : Rn × Rm → Rk , H : R n × Rm → Rl Hàm F gọi hàm mục tiêu cấp trên, hàm G hàm H gọi hàm ràng buộc cấp Trong luận văn tập trung nghiên cứu toán quy hoạch tuyến tính hai cấp có dạng (1.1), (1.2), hàm số xét hàm affin ràng buộc cấp G (x (y) , y) 0, H (x (y) , y) = phụ thuộc vào y Khi cho toán cấp < c, x >: A1 x ≤ a − A2 y, x ≥ , x x ∈ Rn , y ∈ Rm , a ∈ Rp , A1 ∈ Rp×n , A2 ∈ Rp×m , (1.3) c ∈ Rn Chú ý mô tả toán tối ưu tuyến tính phụ thuộc tham số không thực hạn chế trường hợp tổng quát miễn nhiễu tuyến tính vế phải Trường hợp hàm mục tiêu toán cấp phụ thuộc tham số trường hợp vế phải hàm mục tiêu nhiễu tuyến tính giải cách tương tự Kí hiệu ΨL (y) = Argmin < c, x >: A1 x ≤ a − A2 y, x ≥ x tập nghiệm tối ưu toán (1.3) Khi đó, toán quy hoạch hai cấp có dạng: < d1 , x > + < d2 , y >: A3 y = b, y ≥ 0, x ∈ ΨL (y) , y (1.4) 28 Chứng minh Cho (x0 , y ) cực tiểu địa phương toán (2.4) Do tính đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, nên tồn λ0 cho (x0 , y , λ0 ) nghiệm tối ưu địa phương toán tương đương (3.1) Khi tồn vectơ không triệt tiêu (κ0 , κ, µ, ζ, ξ) cho     d     T 2 + ζ T µ +  , ∈ κ0  (A ) κ − ξ d     0 ζ ∈ ∂ min{F (x0 , y , λ0 ), G(x0 , y , λ0 )}, y 0T ξ = 0, ξ ≥ 0, κ0 ≥ 0, tập M vectơ a có công thức M + a viết tắt tổng Minkowski M + {a} = {t + a : t ∈ M } Khi đó, Gi (x0 , y , λ0 ) > tập ηi = 0, γi = 0, ζi = ∇Fi (x0 , y , λ0 ) Nhưng, Fi (x0 , y , λ0 ) > ηi = 0, γi = µi , ζi = ∇Gi (x0 , y , λ0 ) Trong trường hợp thứ ba, Fi (x0 , y , λ0 ) = Gi (x0 , y , λ0 ) = 0, lấy ηi = µi α, γi = µi (1 − α) với α ∈ [0, 1] ζi = α∇Fi (x0 , y , λ0 ) + (1 − α)∇Gi (x0 , y , λ0 ) Khi đó, ηi γi ≥ với Fi (x0 , y , λ0 ) = Gi (x0 , y , λ0 ) = Fi (x0 , y , λ0 )ηi = 0, Gi (x0 , y , λ0 )γi = Áp dụng tính chất đặc biệt hàm F G ta điều phải chứng minh Ta thấy điểm chấp nhận (x0 , y ) thỏa mãn Fi (x0 , y , λ) = < Gi (x0 , y , λ) Gi (x0 , y , λ)γi = suy ηi γi = Do đó, bất đẳng thức ηi γi ≥ thỏa mãn với i = 1, , n + p Định lý 3.1 Định lý 3.1 điều kiện tối ưu cần Fritz John Ta thu điều kiện Karush-Kuhn-Tucker thêm vào tính quy Cho (x0 , y , λ0 ) chấp nhận với (3.1) Thì ta có toán sau liên thông 29 với toán (3.1): d1 , x + d2 , y → min, x,y A3 y = b, y ≥ 0, Fi (x, y, λ) = 0, Fi (x0 , y , λ0 ) = 0, 0 Fi (x, y, λ) ≥ 0, Fi (x , y , λ ) > 0, Gi (x, y, λ) = 0, Gi (x0 , y , λ0 ) = 0, Gi (x, y, λ) ≥ 0, Gi (x0 , y , λ0 ) > (3.2) Chúng cần điều kiện Slater suy rộng sau cho toán Định nghĩa 3.1 Điều kiện Slater suy rộng thỏa mãn toán (3.2) gradient tất ràng buộc đẳng thức (tương ứng với (x, y, λ)) độc lập tuyến tính tồn điểm chấp nhận (x, y, λ) thỏa mãn tất ràng buộc bất đẳng thức bất đẳng thức riêng Mọi nghiệm chấp nhận toán (3.2) chấp nhận toán (3.1) Do đó, nghiệm tối ưu địa phương toán (3.1) nghiệm tối ưu địa phương toán (3.2) Ngược lại tổng quát không Điều kiện Slater suy rộng giả sử thỏa mãn toán (3.2) không thỏa mãn toán (3.1) miễn không điều kiện tính yếu bù chặt Các điều kiện tối ưu cần F John toán (3.2) yếu điều kiện Định lý 3.1 nên không chứa điều kiện ηi γi ≥ F (x0 , y , λ0 ) = G(x0 , y , λ0 ) = Định lý 3.2 (Điều kiện tối ưu KKT)[2, Theorem 3.7] Nếu (x0 , y ) cực tiểu địa phương toán (2.4) điều kiện Slater suy rộng thỏa mãn toán (3.2) tồn λ0 ∈ Rp vectơ (κ, η , η , γ , γ , ξ) ∈ 30 R × Rl × Rp × Rn × Rp × Rn × Rm thỏa mãn d1 − A1T η + γ = 0, d2 + A3T κ − ξ − −A2T η η2 = 0, A1 η + γ = 0, (a − A1 x0 − A2 y 20 )i ηi1 = 0, λ0i γi1 = 0, ∀i = 1, , p, (A1T λ0 + y 10 )i ηi2 = 0, x0i γi2 = 0, ∀i = 1, , n, ηi1 γi1 ≥ 0, ∀i : (a − A1 x0 − A2 y 20 )i = λ0i = 0, ηi1 γi2 ≥ 0, ∀i : (A1T λ0 + y 10 )i = x0i = 0, ηi2 γi2 ≥ 0, ∀i : (A1T λ0 + y 10 )i = x0i = 0, ξ ≥ 0, yi0 ξi = ∀i = 1, , m , λ ≥ Chứng minh Để rút gọn chứng minh ta dùng hàm F G Áp dụng tính chất hàm suy kết sau Thêm vào điều kiện F John Định lý 3.1 nhân tử κ0 =0 Do hàm Fi (x, y, λ) hàm tuyến tính nên ta có ∇Fi (x0 , y , λ0 )((x, y, λ)T − (x0 , y , λ0 )T ) = Fi (x, y, λ) − Fi (x0 , y , λ0 ) tương tự với hàm Gj (x, y, λ) Sử dụng điểm z = (x0 , y , λ0 )T z = (x, y, λ)T từ điều kiện Slater suy rộng ta có η T ∇F (x0 , y , λ0 )(z−z )+γ T ∇G(x0 , y , λ0 )(z−z )+κT A3 (y−y )−ξ T (y−y ) = 0, suy ξ = từ ξi = với yi0 > yi − yi0 > mặt khác tất số hạng khác tính chất (η, κ, ξ, γ) Định lý 3.1 (x, y, λ) Nếu ξ = ta có (η, κ, γ) = điều kiện Slater suy rộng Mâu thuẫn với Định lý 3.1 Do đó, κ0 > không tính tổng quát κ0 = 31 3.2 3.2.1 Một số điều kiện tối ưu khác Trường hợp optimistic Nếu toán (2.4) có nghiệm tối ưu, tương đương với toán (2.5) Nhưng để tương ứng với (2.5) ta định nghĩa tính tối ưu ứng với biến y thêm tương ứng x ∈ Ψ(y) với d1 , x = ϕo (y) Tương tự nghiệm tối ưu pessimistic, điểm (x, y) gọi nghiệm tối ưu optimistic (địa phương) toán hai cấp y nghiệm tối ưu (địa phương) toán (2.5) x ∈ Ψ(y) cho d1 , x = ϕo (y) Xét đỉnh tối ưu x toán cấp ΨL (y) = Argmin{ y , x : A1 x + A2 y = a, x ≥ 0}, (3.3) x với y = y Chú ý kết hợp ràng buộc đẳng thức không làm tính tổng quát, khái niệm dễ mô tả cho mô hình Cho B ma trận sở tương ứng, tức B ma trận toàn phương A1 với rgB = rgA1 cho nghiệm sở tương ứng có B T dạng x = xB (y) = (xB B (y), xN (y)) với −1 2 B xB B = B (a − A y ) ≥ 0, xN = Tương tự ta giả sử rgA1 = p Nếu không trường hợp mà tất nghiên cứu xong vài gấp bội affin Rm xác định tính giải hệ tuyến tính phương trình A1 x + A2 y = a Gấp bội cho thêm ràng buộc cấp trên y Khi đó, tính tối ưu của ma trận sở B đảm bảo −1 1T y 1T ≤ 0, B B A −y y 1B vectơ y tương ứng với biến sở Ma trận sở không cần xác định 32 R(B) ̃ R(B2) ̅ R(B1) R(B3) Hình 3.1: Miền ổn định Định nghĩa 3.2 Miền ổn định R(B) tập tất tham số y cho B lại ma trận sở tối ưu: R(B) = {y : B−1 (a − A2 y ) ≥ 0, yB1T B−1 A1 − y 1T ≤ 0} (3.4) Số miền ổn định khác hữu hạn, miền tập lồi đa diện Với nhiễu đủ nhỏ y y cho toán (3.3) có nghiệm tồn ma trận sở B (3.3) (x, y) cho y, y ∈ R(B) (Hình 3.1) Do tính chất đỉnh nghiệm tối ưu Hệ 1.1 suy rằng, để thử lại tính tối ưu (địa phương) 33 điểm chấp nhận (x, y) với toán (2.4) ta phải kiểm tra xem (xB (y), y) có nghiệm tối ưu toán (2.4) xét miền ổn định hay không Khi đó, kí hiệu ϕo (y) = min{ d1 , x : x ∈ ΨL (y)} x hàm mục tiêu cấp nghiệm tối ưu optimistic toán cấp xét tập M(y) ma trận sở tương ứng với nghiệm sở (x, y) toán này: M(y) = {B : y ∈ R(B), d1B , B−1 (a − A2 y ) = ϕo (y)}, d1B kí hiệu ma trận thành phần d1 Tập M(y) chứa nhiều ma trận ma trận M(y) có tương ứng nhiều nghiệm tối ưu toán cấp Trong trường hợp này, y x đóng vai trò nghiệm khác Cho y, y ∈ R(B) với số ma trận sở B Khi đó, cho tương ứng nghiệm tối ưu xB (y), xB (y), ta có liên hệ B −1 2 B B xB B (y) − xB (y) = B A (y − y ), xN (y) − xN (y) = cố định Do khác giá trị hàm mục tiêu cấp nên ϕo (y) + d2 , y − ϕo (y) − d2 , y = d1B , B−1 A2 (y − y ) + d2 , y − y Suy điều kiện tối ưu sau: Định lý 3.3 [2, Theorem 3.8] Cho (x, y) chấp nhận với toán quy hoạch hai cấp tuyến tính optimistic (2.4) với ΨL (y) cho (3.3), nghĩa là, cho x ∈ ΨL (x), A3 y = b, y ≥ (x, y) không nghiệm tối ưu optimistic địa phương toán (1.4), (3.3) hai điều kiện sau thỏa mãn: • d1 , x > ϕo (y), 34 • tồn y B ∈ M(y) cho A3 y = b, y ≥ 0, y, y ∈ R(B) d1B , B−1 A2 (y − y ) < d2 , y − y Rõ ràng, trường hợp thứ tương ứng với nghiệm tối ưu toán cấp không nghiệm tốt thỏa mãn hàm mục tiêu cấp trên, chúng không chấp nhận từ quan điểm tối ưu Vậy tất điều kiện Định lý 3.3 kiểm tra giải toán tối ưu tuyến tính 3.2.2 Trường hợp pessimistic Xét toán quy hoạch hai cấp tuyến tính pessimistic (2.6) Mục gồm hàm cực tiểu không nửa liên tục dưới, hàm tuyến tính affin phần ϕp (y) + d2 , y ( Hình 3.2) Mỗi phần tuyến tính affin tương ứng với ma trận sở nút hàm ϕp (·) nhiều ma trận sở tối ưu với toán cấp (3.3) Cho y nghiệm tối ưu pessimistic (địa phương) toán quy hoạch hai cấp (1.4), (3.3) tương đương với nghiệm tối ưu địa phương toán cực tiểu (2.6) ϕp (y) + d2 , y → min, y A3 y = b, y ≥ 0, với ΨL (y) xác định (3.3) y điểm hàm mục tiêu có nút bước nhảy Ta thấy nghiệm tối ưu toán không tồn tại, tức giá trị cận hàm mục tiêu tương ứng với bước nhảy giá trị hàm không giá trị hàm nhỏ 35 p(y)+ ,y Y2 Y1 Hình 3.2: Hàm mục tiêu (2.6) y 36 Tuy vậy, từ hàm số d1 , x làm cực đại tập lồi đa diện với tính giá trị ϕp (y) = max{ d1 , x : x ∈ ΨL (y)} x giá trị hàm mục tiêu (2.6) tương ứng với nghiệm sở toán cấp Do đó, ta dựa vào mục trước để nghiên cứu tính tối ưu (địa phương) với (2.6) số giá trị y Các điểm y ϕp (·) có bước nhảy đặc trưng ΨL (·) mà không nửa liên tục Từ tính nửa liên tục ΨL (·) suy lim supϕp (y) ≤ ϕp (y), bước nhảy ϕp (·) bất đẳng thức y→y thỏa mãn bất đẳng thức ngặt sau: lim ϕp (y k ) < ϕp (y) k→∞ với dãy {y k }∞ k=1 hội tụ đến y Điều suy ta phải làm hai điều sau: • Cho điểm (x, y) với d1 , x = ϕp (y) x ∈ ΨL (y) ta phải kiểm tra xem hàm ϕp (y) + d2 , y có bước nhảy điểm y hay không Nếu bước nhảy (điểm y Hình 3.2) ta sử dụng khái niệm trước để kiểm tra ta tìm nghiệm tối ưu pessimistic (địa phương) • Nếu hàm số có bước nhảy y (như điểm y Hình 3.2), y có nghiệm tối ưu pessimistic (địa phương) Cho M(y) kí hiệu tập tất ma trận sở tương ứng với nghiệm tối ưu sở ΨL (y) giả sử toán cấp tuyến tính (3.3) chung loại, đó, với B ∈ M(y), tồn giá trị tham số y = y B cho nghiệm tối ưu tối ưu sở 37 toán (3.3) xác định với y B Kí hiệu tập tất điểm y có tính chất R0 (B): R0 (B) = {y ∈ R(B) : |ΨL (y)| = 1, M(y) = {B}} Khi đó, tính lồi R(B) clR0 (B) = R(B) Định lý 3.4 [2, Theorem 3.9] Cho (x, y) chấp nhận với toán hai cấp pessimistic (2.6) với ΨL (y) định nghĩa (3.3), là, cho A3 y = b, y ≥ 0, x ∈ ΨL (y), d1 , x = ϕp (y) Cho giả thiết chung thỏa mãn Khi đó, y không tối ưu địa phương pessimistic toán hai cấp (1.4), (3.3) hai trường hợp sau: • Tồn sở B ∈ M(y) điểm yˆ với yˆ ∈ R0 (B), A3 yˆ = b, yˆ ≥ d1 , xB (y) < ϕp (y) • ϕp (y) = ϕo (y) tồn sở B ∈ M(y) điểm yˆ với y ∈ R(B), yˆ ∈ R0 (B), A3 yˆ = b, yˆ ≥ 0, d1B , B−1 A2 (ˆ y − y ) < d2 , y − yˆ Từ điều kiện thứ định lý, (ˆ y ∈ R0 (B)) điểm chấp nhận (xB (tˆ y + (1 − t)y), tˆ y + (1 − t)y) có giá trị hàm mục tiêu đóng đầy đủ đến d1 , xB (y) + d2 , y < ϕp (y) + d2 , y điểm xB (y), y) không chấp nhận Nếu điều kiện thứ hai thỏa mãn điểm chấp nhận (xB (tˆ y + (1 − t)y), tˆ y + (1 − t)y) lại có giá trị hàm tốt (xB (y), y) Ta thấy trường hợp thứ Định lý 3.4 suy ϕo (y) < ϕp (y) bất đẳng thức ngặt thỏa mãn nghĩa ϕp (·) có bước nhảy y = y Ví dụ sau Định lý 3.4 cần xét điểm yˆ ∈ R0 (B) 38 Ví dụ 3.1 Xét toán −x1 + y22 → “ ”, y ≤ y1 ≤ 1, y2 ≤ 0, x ∈ Argmin{y2 x1 : x1 + x2 = y1 , −x1 + x3 = y1 , x2 ≥ 0, x3 ≥ 0}, x điểm x = (0, 0, 0)T , y = (0, 0)T Khi đó, với y ≥  {x : x1 ∈ [−y1 , y1 ], x2 = y1 − x1 , x3 = x1 + y1 } với y2 = ΨL (y) = {(y , 2y , 0)T }, với y2 > 1 Do ϕp (y) = y1 + y22 ta có nghiệm tối ưu (x, y) Tương ứng với ma trận sở B0 = 1 −1 , với R(B0 ) = {y : y1 ≥ 0, y2 ≤ 0} Nhưng, với y2 = ta lấy ma trận sở khác B1 = −1 , ta có R(B1 ) = {y : y1 ≥ 0, y2 ≤ 0}, xB (y) = y1 không tồn điểm y ∈ R0 (B1 ), y ≥ Với ma trận sở ta có hướng giảm yˆ − y = (1, 0)T Nhưng, ví dụ điểm xˆ với xˆ1 = y1 nghiệm pessimistic ΨL (y) với y1 = Do đó, ma trận sở B1 sử dụng để thử tính tối ưu Định lý sau đưa điều kiện tối ưu đủ : Định lý 3.5 [2, Theorem 3.10] Cho giả thiết Định lý 3.4 thỏa mãn Nếu hai điều kiện: • với x ∈ ΨL (y) phương trình d1 , x = ϕp (y) cố định, 39 • với B ∈ M(y) tất yˆ ∈ R0 (B) với A3 yˆ = b, yˆ ≥ bất đẳng thức d1B , B−1 A2 (ˆ y − y ) ≥ d2 , y − yˆ thỏa mãn, (x, y) nghiệm tối ưu pessimistic địa phương toán (1.4), (3.3) Ở đây, ta không cần bất đẳng thức ngặt điều kiện thứ hai tính tuyến tính phần ϕp (·) Ta thấy định lý hạn chế Định lý 3.4 từ giả thiết ϕo (y) = ϕp (y) Trong Định lý 3.4 điều kiện làm yếu đến ∀B ∈ M(y) d1 , xB (y) = ϕp (y) hay R0 (B) = ∅ Kết luận: Một số điều kiện cần đủ cho điểm nghiệm tối ưu toán tối ưu hai cấp tuyến tính 40 KẾT LUẬN Trên sở chương sách [2, Chapter 3] Giáo sư S Dempe, luận văn trình bày số điều kiện cần đủ cho điểm nghiệm tối ưu toán tối ưu hai cấp tuyến tính Các nội dung luận văn bao gồm: Trình bày cụ thể mô hình toán tối ưu hai cấp tuyến tính; mối liên hệ toán với toán quy hoạch khác Sự tồn nghiệm toán tối ưu hai cấp tuyến tính Một số điều kiện cần đủ cho điểm nghiệm tối ưu toán tối ưu hai cấp tuyến tính 41 Tài liệu tham khảo [1] B Colson, P Marcotte, G Savard, Bilevel Programming: A survey, 4OR, (2005) [2] S Dempe, Foundations of bilevel programming Nonconvex Optimization and its Applications, 61 Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002 [3] S Dempe, B S Mordukhovich, A B Zemkoho, Sensitivity analysis for two-level value functions with applications to bilevel programming, SIAM Journal on Optimization 22 (2012), 1309–1343 [4] S Dempe, B S Mordukhovich, A B Zemkoho, Necessary optimality conditions in pessimistic bilevel programming, Optimization (2012) [5] S Dempe, A B Zemkoho, The bilevel programming problem: reformulations, constraint qual- ifications and optimality conditions, Math Program Ser A 138 (2013), 447–473 [6] G Eichfelder, Multiobjective bilevel optimization, Math Program Ser A 123 (2010), 419–449 [7] J Fliege, L N Vicente, Multicriteria Approach to Bilevel Optimization, J Optim Theory Appl 131 (2006), 209–225 42 [8] N Gadhi, S Dempe, Necessary Optimality Conditions and a New Approach to Multiobjective Bilevel Optimization Problems, J Optim Theory Appl 155 (2012) 100–114 [9] Z H Gumus, C A Floudas, Global optimization of nonlinear bilevel programming problems, J Global Optim 20 (2001) 1–31 [10] B Kohli, Optimality Conditions for Optimistic Bilevel Programming Problem Using Convexi- factors, J Optim Theory Appl 152 (2012) 632–651 [...]... được với bài toán (2.6) trong trường hợp ít nhất nếu ΨL (y) chứa duy nhất một điểm 2.2 Mối liên hệ với các bài toán quy hoạch toán học khác Bài toán quy hoạch hai cấp có mối quan hệ gần gũi với các bài toán khác trong quy hoạch toán học Ở đây ta sẽ đưa ra hai mối liên hệ Đó là liên hệ giữa bài toán quy hoạch hai cấp với bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toán quy hoạch 0–1 tuyến tính 2.2.1 Tối ưu đa mục... nghiệm của bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính 25 Chương 3 Các điều kiện tối ưu hai cấp tuyến tính Sau đây ta sẽ đưa ra ba loại điều kiện tối ưu của các bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính Trước tiên là điều kiện Karush-Kuhn-Tucker, tiếp theo là trường hợp optimistic và cuối cùng là trường hợp pessimistic Các bài toán được đưa ra đều tương đương với hai bài toán (2.1) và (2.4) 3.1 Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker... đơn giản nhất là các hàm tuyến tính, bài toán quy hoạch hai cấp là một bài toán tối ưu không lồi và không khả vi Vì vậy, khi tìm nghiệm tối ưu hay là tìm các điểm dừng của các bài toán này có thể gặp rất nhiều khó khăn 1.2 Tính chất hình học của quy hoạch hai cấp tuyến tính Hình 1.1 gợi ý rằng tập chấp nhận được của bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính có biểu diễn dưới dạng hợp các mặt của tập M... tuyến tính và các bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính là gần gũi hơn trên những gợi ý quan sát được Tương tự, với mỗi bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính, tồn tại một số bài toán đa mục tiêu tuyến tính sao cho nghiệm tối 20 ưu toàn cục của bài toán thứ nhất và một nghiệm tối ưu với hàm mục tiêu cấp trên cực tiểu trên tập các điểm tối ưu Pareto của bài toán thứ hai trùng nhau Và, ngược lại, bài toán. .. thể mô hình của bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính; mối liên hệ của bài toán này với các bài toán quy hoạch khác 12 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm trong tối ưu hai cấp tuyến tính 2.1 Sự tồn tại nghiệm Ở chương trước ta đã xét bài toán quy hoạch hai cấp (1.4) có dạng: min < d1 , x > + < d2 , y >: A3 y = b, y ≥ 0, x ∈ ΨL (y) y Trong trường hợp tổng quát hơn ta xét bài toán quy hoạch hai cấp được thay thế... bài toán của một hàm tuyến tính cực tiểu trên tập các điểm tối ưu Pareto của một số bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính có thể thay cho một bài toán quy hoạch hai cấp Sau đây ta chỉ ra các mối liên hệ này Đầu tiên, xét bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính (1.3), (1.4) và lấy một bài toán đa mục tiêu sao cho bài toán hai cấp tương tự như tìm một nghiệm hữu hiệu nhất của bài toán này Cho A là ma... điểm hữu hiệu chấp nhận được với bài toán quy hoạch hai cấp là điểm A điểm này có giá trị hàm xấu nhất trong hàm mục tiêu cấp trên Do đó, trong tổng quát không thể sử dụng phương pháp của tối ưu đa mục tiêu để giải trực tiếp các bài toán quy hoạch hai cấp Dễ thấy nghiệm tối ưu (optimistic hay pessimistic) của bài toán quy hoạch hai cấp là tối ưu Pareto với bài toán tối ưu đa mục tiêu tương ứng nếu c... mâu thuẫn với tính tối ưu Pareto của (x, y) Hệ quả 2.1 [2, Corollary 3.2] Bài toán quy hoạch hai cấp (1.3), (1.4) là tương đương với bài toán của hàm mục tiêu cấp trên cực tiểu d1 , x + d2 , y trên tập các nghiệm tối ưu Pareto với bài toán đa mục tiêu (2.7) Ta chỉ ra làm thế nào để đưa bài toán tìm một nghiệm tối ưu Pareto tốt nhất trong một số bài toán tối ưu đa mục tiêu về bài toán hai cấp Cho “ min... tính đa diện của ánh xạ ΨL (·) để nghiên cứu sự tồn tại của các nghiệm tối ưu Suy ra quy hoạch hai cấp optimistic có thể được thay cho một số hữu hạn các bài toán tối ưu tuyến tính có nghiệm tối ưu tốt nhất để giải bài toán gốc Suy ra Định lý 2.2 (Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hai cấp optimistic)[2, Theorem 3.3] Xét bài toán quy hoạch hai cấp optimistic (2.4) và cho tập M := {(x, y) ≥ 0 : A1 x... nhận được của bài toán (3.1) Do đó, một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (3.1) cũng là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (3.2) Ngược lại trong tổng quát không đúng Điều kiện Slater suy rộng có thể giả sử là thỏa mãn bài toán (3.2) nhưng không thỏa mãn bài toán (3.1) miễn là không còn điều kiện tính yếu bù chặt Các điều kiện tối ưu cần F John của bài toán (3.2) yếu hơn các điều kiện của Định