Điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch toàn phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐÀM TUẤN ANH ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU TRONG BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐÀM TUẤN ANH ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU TRONG BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƢƠNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI – 2016 LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Tác giã chân thành cãm ơn PGS TS Nguyen Năng Tâm t¾n tình hưóng dan, tao đieu ki¾n cho tác giã hồn thành lu¾n văn Thac sĩ Tác giã xin bày tõ lòng biet ơn thay giáo cán b® cơng nhân viên cua Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i quan tâm giúp đõ Tác giã chân thành cãm ơn thay giáo ban đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giã hồn thnh luắn thac s H Nđi, thỏng 12 nm 2016 Tác giã lu¾n văn Đàm Tuan Anh LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn ket q nghiên cúu cua riêng tơi dưói sn hưóng dan cua PGS TS Nguyen Năng Tâm Trong trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn tơi ke thùa nhung thành quã khoa hoc cua nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Tơi xin cam đoan rang thơng tin trích dan lu¾n văn đưoc chi rõ nguon goc Hà Nđi, thỏng 12 nm 2016 Tỏc gió luắn m Tuan Anh Mnc lnc Mé ĐAU KI€N THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian Euclide Rn 1.2 T¾p loi, hàm loi 1.3 Bài tốn quy hoach tồn phương .9 ĐI€U KI›N TOI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOACH TỒN PHƯƠNG 28 2.1 Đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat .28 2.2 Đieu ki¾n toi ưu b¾c hai 34 K€T LU¾N 48 TÀI LI›U THAM KHÁO 49 DANH MUC CÁC KÝ HI›U, CÁC CHU VI€T TAT Rn không gian Euclid n chieu f : X → Rn ánh xa tù X vào Rn int A phan cua A A bao đóng cua A ∇ f (x) gradient cua f tai điem x (., ) tích vơ hưóng Rn " " chuan khơng gian Rn (x, y) = {λx + (1 − λ) y|λ ∈ (0, 1)} đoan thang mõ noi x y (x, y) = {λx + (1 − λ) y|λ ∈ [0, 1]} đoan thang đóng noi x y Mó đau Lý chon đe tài Quy hoach toàn phng l bđ phắn ắc biắt cua quy hoach tốn hocvà có nhieu úng dnng lý thuyet thnc te vòng nua the ki nay, quy hoach toàn phương đưoc phát trien manh me, nhà toán hoc nghiên cúu toán quy hoach ngày m®t sâu sac cã ve van đe đ%nh tính thu¾t tốn huu hi¾u đe giãi tốn ve máy tính đi¾n tu Sau đưoc hoc nhung kien thúc ve toán hoc ve toán giãi tích vói mong muon tìm hieu sâu nên tơi chon đe tài "Đieu ki¾n toi ưu tốn qui hoach tồn phương" đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cúu Khão sát đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat, đieu ki¾n toi ưu b¾c hai tốn quy hoach tồn phương Nhi¾m nghiên cúu Nghiên cúu ve đieu ki¾n toi ưu tốn quy hoach toàn phương Rn Đoi tưong pham vi nghiên nghiên cúu Đe tài chu yeu t¾p trung nghiên cúu ve tốn quy hoach toi ưu đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat, b¾c hai cua tốn quy hoach tồn phương Phương pháp nghiên cúu Tong hop, phân tích, h¾ thong kien thúc tài li¾u ve tốn quy hoach phi tồn phương Giá thuyet khoa hoc Trình bày tốn quy hoach tồn phương tù đưa đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat đieu ki¾n toi ưu b¾c hai cua tốn quy hoach tồn phương Chương KI€N THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian Euclide Rn T T¾p hop Rn := ,x = (x1, , xn) : x1, , xn ∈ R, vói hai phép toán T T (x1, , xn) + (y1, , yn) = (x1 + y1, , T xn + y n ) T T λ(x1, , xn) = (λx1, , xn ) , R lắp thnh mđt khụng gian véc tơ Euclide n− chieu T Neu x = (x1, , xn) ∈ Rn xi goi thành phan hoắc toa đ thỳ i cua x Vộc t không cua không gian goi goc cua Rn T đưoc ký hi¾u đơn giãn 0, v¾y = (0, , 0) Trong Rn ta đ%nh nghĩa tích vơ hưóng tac (., ) sau: T T Vói (x1, , xn) + (y1, , yn) ∈ Rn ta có n (x, y) = ∑ xiyi i=1 Đơi ta ký hi¾u x Ty Khi vói moi x = (x1, , xn) Rn ta đ%nh nghĩa "x " : (x, x) = = T ∈ ∑ n (x i ) i=1 goi chuan Euclide cua véc tơ x 1.2 T¾p loi, hàm loi 1.2.1 T¾p loi Đ%nh nghĩa 1.2.1 T¾p X ⊂ Rn đưoc goi t¾p loi, neu x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ) y ∈ X Neu X t¾p loi đong thòi t¾p đóng (mõ) Rn ta goi X t¾p loi đóng (tương úng, mõ) Ví dn 1.2.1 T¾p rong, hình cau Rn nhung t¾p loi Đ%nh nghĩa 1.2.2 T¾p X ⊂ Rn goi t¾p đa di¾n loi neu X có dang X = {x : Ax ≤ b}, A ma tr¾n cap m × n b ∈ Rn Đ%nh nghĩa 1.2.3 T¾p K ⊂ Rn goi nón neu vói moi x ∈ K, t ≥ ta có tx ∈ K Neu nón K t¾p loi K goi nón loi Đ%nh nghĩa 1.2.4 Cho X ⊂ Rn mđt loi v f : X R Ta nói f hàm loi X chi f (λx + (1 − λ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ) f (y) , ∀ x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1] Ví dn 1.2.2 a) Hàm hang f (x) = a m®t hàm loi R b) Hàm f (x) = x3 hàm không loi R j=q0+1 Trong phép bien đoi này, su dnng bat thúc u k ≥ 0, + v k TD uk + (2.24) vk bat thúc m®t h¾ quã cua bo đe 3.1 đieu ki¾n (ii) Tù nhung chúng minh õ trên, ta có 0> ∑q t k u k + vk T Dz q j j=q0+1 k j T j t z T + tk(Dx + c) z j + j ∑ j=q0+1 j Dwk Chia (2.24) cho tk, ý rang ≤ tk/tk ≤ vói moi j = q0 + 1, , q, lay j j j k → ∞ su dnng ket quã sau: Neu xk → x uk → 0, vk → wk → 0, Chúng ta nh¾n đưoc T j ≥ (Dx + z ∗ (2.25) c) Ta thay mâu thuan Hoàn thành chúng minh Nhung lai bieu dien ln Đe chúng minh nó, đưa ket lu¾n đau tiên rang xk − x = − x, xk − x xk = u k + v k + w k , u k + v k + w k = u k wk Khi xk − x 2+ vk + → uk → uk + wk → Chúng ta có q uk + wk = ∑ j=1 tj k zj Nó đu đe chúng minh rang vói bat kỳ j ∈ {1, , q}j , tk → k → ∞ Ngưoc lai, giã su rang õ ton tai ji ∈ {1, , q} cho , tjk , dãy khơng h®i tn đen k → ∞ Thì õ ton tai ε > m®t dãy r q r ∑ tkj1 ≥ j=1 t r {k } ⊂ {k} choj ≥ ε vói moi k Khi jk r có the viet q k k v r+ w r= = ∑ jt k rz j q ∑ tj kr kr j q ∑ t q ∑ t k jr≥ ε vói moi kr, zj (2.26) j=1 kr j= j j=1 j=1 The {kr } bõi m®t dãy neu can, có the giã su rang vói moi tkj r q ∑ τjz j ƒ= 0, õ se j ∈ {1, , q → τj vói τj ∈ [0, 1] Rõ j= q}, ∑ tkr ràng có j j=1 m®t vài j0 ∈ {1, , q} cho τj0 ƒ= Thì ∑ j τj z j = −τj0z jƒ=j0 Đieu có nghĩa rang −τj0 zj ∈ K, τj0 z ∈ K, τj0 j z ƒ= Do j nón K khơng nhon mâu thuan giã thiet Chúng ta có the chúng minh rang z := q j ∑ τj z m®t véc tơ khác Neu j= dãy b% ch¾n, q r ∑ tkj j=1 khơng mat tính tong qt có the giã su rang h®i tn tói m®t vài giói han τˆ ≥ ε Lay kr → ∞, tù (2.26) có the ket lu¾n rang = q kr khơng b% ch¾n, z ta thay mâu thuan Neu ∑ =1 tj τˆ dãy j khơng mat tính tong qt có the giã su rang h®i tn tói +∞ Tù (2.26) ta có vkr += w kr q ∑ j=1 r q kr ∑ j j=1 tkj zj q r ∑ tkj j=1 Lay kr → ∞ có = +∞ "z", ta thay đieu vô lý Do hồn thành chúng minh Đ%nh lý 2.2.3 Đieu kiắn can v u e mđt iem x Rn l mđt nghiắm %a phng nhat cua bi toỏn (1.29) l ú ton tai mđt cắp vộc t m s λ, µ = λ1, , m, à1, , s R ì R cho (i) H¾ (3.11) đưoc thõa mãn; (ii) Neu v ∈ Rn\ {0} cho AI v = 0, 1A I v ≥ 0, Cv = 0, õ I1 = i : A ix = bi, λi > , I1 = i : A ix = bi, λi = v T Dv > Chnng minh Đieu ki¾n can: Giã su rang x l mđt nghiắm %a phng nhat cua (2.27) Thì õ ton tai ε > cho f (x) − f (x) , ∀ x ∈ (∆ ∩ B (x, ε)) \ (x) (2.27) Theo Hắ quó 2.1.2, ú ton tai , Rm ì Rn cho ieu kiắn (i) l thừa mãn Giã su rang (ii) sai Thì se tìm v ∈ Rn\ {0} cho AI1 v = 0, AI2 v ≥ 0, Cv = T Dv ≤ 0, v T Theo bo đe 2.1.1, (Dx + c) v = (∇ f (x) , v) = Ngưoc lai, vói moi t ∈ (0, 1) có f (x + tv) − f (x) = t (Dx + c) T v+ Dv ≤ t2 v T Khi x + tv ∈ ∆ ∩ B (x, ε) vói moi t ∈ (0, 1) đu nhõ mâu thuan vói ket lu¾n cuoi (2.27) Như v¾y (ii) ln Đieu ki¾n đu: Giã su rang x ∈ Rn mà ton tai , Rm ì Rn cho (i) v (ii) đưoc thõa mãn Chúng ta se chi x l mđt nghiắm %a phng nhat cua (1.29) Tắp I = {1, 2, , m}, I0 = {i ∈ I : Ai x = bi} Lay M, M⊥, K, K0, z1, , zq tính chat (2.15) đen (2.20) đưoc thõa mãn Neu x không làknghi¾m đ%a phkương nhat cua (1.29), se tìm m®t dãy x ⊂ ∆ cho x → x f x k − f (x) ≤ 0, ∀k ∈ N Vói moi k ∈ N, dna vào (2.15) có xk − x ∈ T∆ ( x ) = M + K Ket hop đieu vói (2.20) ket lu¾n rang õ ton tai tkj ≥ (j = 1, , q) uk ∈ M cho (2.21) Đ¾t v k q0 ∑ tjk zj j= = q0 wk = ∑ tjkzj có (2.22) Như õ trên, neu K0 = {0} (tương j= úng K\K0 = ∅) de hieu rang vk (tương úng wk) b% thieu bieu thúc (2.22) Chúng ta xét riêng trưòng hop sau: • Trưòng hop 1: Ton tai m®t dãy {kr } ⊂ { k} cho wkr = vói moi kr (Neu K\K0 = ∅ wk rong vói moi k ∈ N Trưòng hop v¾y nam trưòng hop ny) Trũng hop 2: Ton tai mđt so k ∗ ∈ N chok ƒ= vói moi k ≥ k∗ w Neu trưòng hop xãy , khơng mat tính tong qt có the giã su rang { kr } ≡ {k} Bang l¾p lu¾n tương tn chúng minh cua trưòng hop 1, thu đưoc x k − x.T D xk − x ≤ (2.28) Vì xk − x ∈ T∆ (x) ∇ f (x) , xk − x = 0, có xk − x ∈ ⊥ T∆ (x) ∩ (∇ f (x)) Do tù bo đe 2.1.1 tù giã thiet (ii) có T xk − x D xk − x > 0, mâu thuan vói (2.28) Neu trưòng hop xãy ra, khơng mat tính tong quát, giã su rang wk ƒ= vói moi k ∈ N Xây dnng dãy { j (k)} (k ∈ N) chúng minh đ%nh lý 2.2.1 Thì õ ton tai m®t chi so j∗ ∈ {q0 + 1, , q} m®t dãy {kr } ⊂ {k} cho j (kr ) = j∗ vói moi kr Khơng mat tính tong qt giã su rang {kr } ≡ {k} Xét tương tn chúng minh cua đ%nh lý 2.2.1 đe chi rang 0> ∑ q t k u k + vk.T j ∑ j j=q0+1 Chia (2.29) cho tk , ý rang ≤ tk /tk j∗ t z T j Dz + tk (Dx + c) zj∗ + q j∗ j=q0+1 k j T Dwk (2.29) ≤ vói moi j = q0 + 1, , q, j j∗ lay k → ∞ su dnng thiet l¾p q trình chúng minh, nh¾n đưoc (2.25) Đieu mâu thuan (2.19) bõi zj∗ ∈ K\K0 V¾y chúng minh rang x mđt nghiắm %a phng nhat cua (1.29) Chỳ ý rang đ%nh lý 2.2.3 có the xây dnng lai theo dang tương đương sau mà không yêu cau su dnng nhân tu Lagrange Đ%nh lý 2.2.4 Đieu ki¾n can đu đe m®t điem x ∈ Rn nghi¾m đ%a phương nhat cua tốn (1.29) thõa mãn hai tính chat sau: T (i) (∇ f (x) , v) = (Dx + v ≥ 0, õ I0 = {i : Ai x = bi} c) v ∈ T∆ (x) = {v ∈ Rn : 0v ≥ 0, Cv = 0}; AI ⊥ (ii) v T Dv > vói moi véc tơ khác khơng v ∈ T∆ (x) ∩ (∇ f (x)) , õ ⊥ (∇ f (x)) = {v ∈ Rn : (∇ f (x) , v) = 0} Như đưoc ý õ cơng thúc cua đ%nh lý 2.2.2, tính chat đau tiên tương đương vói sn ton tai cua mđt cắp , Rm ì Rs thừa mãn h¾ (2.11) Tương tn giua tính chat (ii) đ%nh lý 2.2.4 tính chat (ii) đ%nh lý 2.2.3, ú l cụng thỳc thụng qua mđt nhõn tu Lagrange (, à) Rm ì Rs kộo theo tù bo đe 2.1.1 Do đ%nh lý 2.2.4 dang tương đương cua đ%nh lý 2.2.3 Đieu đáng quan tõm e chỳng từ rang neu x l mđt nghiắm đ%a phương nhat cua tốn quy hoach tồn phương m®t tính chat tương tn đe (2.4) %nh lý 2.2.5 Neu x Rn l mđt nghiắm đ%a phương nhat cua tốn (1.29) õ ton tai ε > ρ > cho vói moi x ∈ ∆ ∩ B (x, ε) f ( x) − f (x ) ≥ ρ "x − , (2.30) x" õ ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d} l b% rng buđc cua (1.29) Chnng minh Lay x Rn l mđt nghiắm %a phng nhat cua (1.29) Theo đ%nh lý 2.2.3, ton tai cắp vộc t , = 1, , m, à1, , às Rm ì Rs cho (i) Hắ (2.11) thõa mãn; (ii)’ Neu v ∈ Rn \ {0} mà A I1v = 0, AI ≥ 0, Cv = 0, õ I1 = i : A ix = bi, λi > , I1 = i : Ai x = bi, λi = v T Dv > Như đưa chúng minh đ%nh lý 2.2.1, tù (i)’ ta có (2.17) thõa mãn Đe chi sn mâu thuan, giã su rang khơng tìm thay bat kỳ c¾p so dương (ε, ρ) thõa mãn (2.30) Thì đó, vói moi k ∈ N, õ ton tai x k ∈ ∆ cho xk − x ≤ k (2.31) k k f x − f ( x ) < x − x k Bat thúc cuoi có nghĩa rang xk ƒ= x Khơng mat tính tong qt, có the giã su rang dãy xk − x / xk − x h®i tn tói v ∈ Rn vói "v" = Theo (2.31), có k −x k x > f = k (2.32) x −f (x) T xk − x Chia bieu thúc cho D xk − x + (Dx + T c) xk − x xk − x lay k → ∞ có ≥ T (Dx + c) v Khi xk − x ∈ T∆ (x) vói moi k ∈ N, có v ∈ T T∆ (x) Theo (2.17) (Dx + c) v ≥ V¾y (∇ f (x) , v) = (Dx + T c) v = Khi xk − x ∈ T∆ (x) vói moi k ∈ N, theo (2.17) có T (Dx + c) xk − x ≥ Ket hop vói (2.32) có k x k −x > xk x TD x k − x − Chia bat thúc cuoi cho xk − x lay k → ∞ ⊥ có ≥ vT Khi v ∈ T∆ (x) ∩ (∇ f (x)) , tù bo đe 2.1.1 (ii)’ suy v T Dv > Đieu dan đen mâu thuan Đ%nh lý hoàn toàn đưoc chúng minh K€T LUắN Luắn hắ thong húa mđt so kien thỳc ve tốn quy hoach tồn phương Các đieu ki¾n toi ưu cua tốn quy hoach tồn phương Lu¾n văn t¾p trung trình bày đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat đieu ki¾n toi ưu b¾c hai cua tốn quy hoach tồn phương TÀI LI›U THAM KHÁO [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Đ¾u The Cap (2002), Giãi tích hàm, Nhà xuat bãn Giáo dnc [2] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giãi tích đa tr%, Nhà xuat bãn Khoa hoc tn nhiên Cơng ngh¾ [B] Tài li¾u tieng Anh [3] A Auslender and P Coutat (1996), Sensitivity analysis for gen- eralized linear quadratic problems, Journal of Optimization Theory and Application, 88, 541 – 559 [4] M J Best and N Chakravarti (1990), Stability of linearly constrained convex quadratic problems, Journal of Optimization Theory and Application, 64, 43 – 53 [5] M J Best and B Ding (1995), On the continuity of minimum in parametric quadratic problems, Journal of Optimization Theory and Application, 86, 245 – 250 [6] R.W Cottle, J S Pang and R E Stone (1992), The Linear Complementarity Problem, Academic Press, New York [7] J W Daniel (1973), Stability of solution of definite quadratic pro- gram, Mathematical Programming, 5, 41 – 53 [8] J Guddat (1976), Stability in convex quadratic parametric pro- gramming, Mathematishe Operationsforschung und Statstik, 7, 223 – 245 [9] G M Lee, N N Tam, N D Yen (2005), Quadratic programming and affine vartional inequalities: A qualitative study, Spring – Verlag, New York [10] N N Tam (1999), On cotinuity of the solution map in quadratic programming, Acta mathematica Vietnamica, 24, 47 – 61 ... loi, hàm loi 1.3 Bài tốn quy hoach tồn phương .9 ĐI€U KI›N TOI ƯU TRONG BÀI TỐN QUY HOACH TỒN PHƯƠNG 28 2.1 Đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat .28 2.2 Đieu ki¾n toi ưu b¾c hai 34 K€T... TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐÀM TUẤN ANH ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU TRONG BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƢƠNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS... toi ưu tốn quy hoach tồn phương Rn Đoi tưong pham vi nghiên nghiên cúu Đe tài chu yeu t¾p trung nghiên cúu ve tốn quy hoach toi ưu đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat, b¾c hai cua tốn quy hoach tồn phương