Điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu véctơ_2

Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THÀNH LUÂN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU BẬC HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THÀNH LUÂN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU BẬC HAI CHO BÀI TỐN TỐI ƯU VÉCTƠ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuyên HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 Lời cảm ơn Luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ” kết trình cố gắng không ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp người thân Qua trang viết tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua Tơi xin tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc T.S Nguyễn Văn Tuyên trực tiếp tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy giáo giảng viên Khoa Tốn, thầy phòng Sau Đại học thầy cô Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu khoa học Cuối tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, đơn vị công tác, gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Tác giả luận văn Nguyễn Thành Luân Footer Page of 54 Header Page of 54 Lời cam đoan Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích với đề tài “Điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ” hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuyên, kết nghiên cứu thân, không trùng với luận văn khác Trong trình nghiên cứu viết luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả luận văn Nguyễn Thành Luân Footer Page of 54 Header Page of 54 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dưới vi phân bậc đối xứng 1.2 Dưới vi phân bậc hai đối xứng 13 1.3 Các định lý luân phiên 18 Điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ 24 2.1 Khái niệm nghiệm 24 2.2 Điều kiện quy 25 2.3 Điều kiện cần tối ưu 35 2.4 Điều kiện đủ tối ưu 54 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 60 Footer Page of 54 Header Page of 54 Mở đầu Lý chọn đề tài Một vấn đề quan trọng lý thuyết tối ưu nghiên cứu điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu Các điều kiện tối ưu khơng hữu ích việc xác định nghiệm tốn tối ưu mà đóng vai trò cốt yếu việc xây dựng thuật toán để tìm nghiệm xấp xỉ tốn Trong toán tối ưu, điều kiện bậc (quy tắc Fermat) thường đóng vai trò điều kiện cần cực trị Quy tắc Fermat cho ta tiêu chuẩn xác định điểm có khả đạt cực trị hàm số Một điểm thỏa mãn quy tắc Fermat gọi điểm dừng Đối với tốn tổng qt (khơng lồi) quy tắc Fermat khơng đủ để ta nhận biết điểm dừng có điểm cực trị tốn hay khơng Điều kiện cực trị bậc hai làm mịn điều kiện cần cực trị bậc mà bổ sung cho điều kiện việc đưa điều kiện đủ cho điểm dừng điểm cực trị hàm số Hơn nữa, giúp ta xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tối ưu đánh giá tốc độ hội tụ thuật toán này; xem [1, 11, 17] Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu điều kiện Footer Page of 54 Header Page of 54 tối ưu bậc hai cho tốn tối ưu có dạng sau minRl+ f (x) (VP) với ràng buộc x ∈ Q0 := {x ∈ Rn : g(x) 0}, f := (fi ), i ∈ I := {1, , l}, g := (gj ), j ∈ J := {1, , m} hàm véctơ xác định không gian Euclide Rn Như biết fi , gj hàm khả vi Fréchet x¯ ∈ Q0 x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VP), tồn nhân t Lagrange (, à) Rl ì Rm tha l m λi ∇fi (¯ x) + i=1 µj ∇gj (¯ x) = 0, (0.1) 0, µj gj (¯ x) = 0, (0.2) j=1 µ = (µ1 , , µm ) λ = (λ1 , , λl ) 0, (λ, µ) = 0; (0.3) xem [12, Theorem 7.4] Các điều kiện (0.1)–(0.3) gọi điều kiện cần bậc kiểu F.-John Tính dương nhân tử ứng với hàm mục tiêu cho ta thấy vai trò mục tiêu việc xác định nghiệm tối ưu tốn Nếu λ = 0, điều kiện (0.1)–(0.3) gọi điều kiện cần bậc kiểu Karush–Kuhn–Tucker (KKT ) Đối với toán tối ưu véctơ có hai kiểu điều kiện KKT Khi mà tất nhân tử Lagrange hàm mục tiêu dương, ta nói tốn thỏa mãn điều kiện KKT mạnh (SKKT ) Trường hợp lại gọi điều kiện KKT yếu (W KKT ) Để đạt điều kiện tối ưu kiểu KKT tốn phải thỏa mãn điều kiện quy Trong lý thuyết tối ưu, có hai kiểu giả thiết quy đặt lên ràng buộc mục tiêu toán Các giả thiết gọi điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (constraint qualifications (CQ)) đặt lên ràng buộc toán Nếu điều kiện đặt lên hàm mục tiêu ràng buộc, chúng Footer Page of 54 Header Page of 54 gọi điều kiện quy (regularity conditions (RC)); xem [5] Một nghiên cứu điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ trơn C thực Wang [20] Trong báo này, tác giả đề xuất số kiểu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc đạt điều kiện cần bậc hai kiểu F.-John kiểu W KKT cho tốn tối ưu véctơ có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Một điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu nghiên cứu báo Sau đó, Bigi Castellani [2, 3] nhận số điều kiện cần bậc hai kiểu W KKT cách sử dụng số kiểu điều kiện quy bậc hai Maeda [13] người đề xuất kiểu điều kiện quy bậc hai theo nghĩa Abadie (ASRC) nhận điều kiện cần điều kiện đủ bậc hai kiểu SKKT qua đạo hàm bậc hai suy rộng theo nghĩa Clarke cho toán tối ưu véctơ với mục tiêu ràng buộc thuộc lớp hàm C 1,1 Gần đây, Huy đồng nghiệp [8,9] đề xuất số điều kiện quy kiểu Abadie qua vi phân đối xứng bậc hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu bậc hai kiểu KKT cho toán (VP) với liệu thuộc lớp C 1,1 Trên sở tài liệu tham khảo trích dẫn trên, luận văn khảo sát điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ C 1,1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối véctơ Footer Page of 54 Header Page of 54 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất vi phân bậc hai đối xứng, điều kiện quy điều kiện cần tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ với liệu C 1,1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện tối ưu bậc hai • Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tối ưu véctơ Phương pháp nghiên cứu Tham khảo cập nhật nghiên cứu tác giả nước nước liên quan đến đề tài Dự kiến đóng góp Luận văn trình bày cách hệ thống điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ với liệu C 1,1 Footer Page of 54 Header Page 10 of 54 Một số ký hiệu N tập số tự nhiên R tập số thực R := R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n-chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn x∗ , x tích vơ hướng Rn x chuẩn véctơ x 0X véctơ không gian X số 0, véctơ không gian cho trước F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền xác định F gphF đồ thị F {xn }, (xn ) dãy số thực, dãy véctơ BX hình cầu đơn vị đóng X B hình cầu đơn vị đóng khơng gian định chuẩn cho trước Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ N (x) tập tất lân cận điểm x NB (x) tập tất lân cận cân điểm x Lim sup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski Footer Page 10 of 54 Header Page 53 of 54 Ví dụ sau (W ASRC) khơng đúng, nhân tử Lagrange yếu SKKT không tồn kể cho nghiệm hữu hiệu thực Geofrrion tốn (VP) Ví dụ 2.5 Xét toán: f (x) := (f1 (x), f2 (x)) với ràng buộc x ∈ Q0 := {x ∈ R2 | gj (x) ≤ 0, j = 1, 2, 3}, f1 (x1 , x2 ) := −3x1 − 2x2 + 3, f2 (x1 , x2 ) := −x1 − 3x2 + 1, g1 (x1 , x2 ) := −x1 , g2 (x1 , x2 ) := −x2 , g3 (x1 , x2 ) := (x1 − 1)3 + x2 Cho x0 := (1, 0) Theo [19, Ví dụ 2.5], x0 nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion Ta có I(x0 ) = {2, 3} ∇f1 (x0 ) = (−3, −2), ∇f2 (x0 ) = (−1, −3), ∇g1 (x0 ) = (−1, 0), ∇g2 (x0 ) = (0, −1), ∇g3 (x0 ) = (0, 1) Từ    λ ∇f (x0 ) + λ2 ∇f2 (x0 ) + µ2 ∇g2 (x0 ) + µ3 ∇g3 (x0 ) =   1 (λ1 , λ2 )    (µ , µ )    λ = λ2 =   ⇔ µ2 = µ3    (µ , µ ) 0, suy khơng có nhân tử (λ, µ) ∈ R2 × R3 thỏa mãn (2.15)–(2.19) Ta (W ASRC) không x0 theo hướng 0R2 Thật vậy, ta có L2 (Q; x0 , 0R2 ) = {(v1 , v2 ) ∈ R2 : v1 ≥ 0, v2 = 0} Cho v := (1, 0) ∈ L2 (Q; x0 , 0R2 ) Ta v không thuộc T (Q0 ; x0 , 0R2 ) (W ASRC) khơng x0 theo hướng 0R2 Nếu trái lại, từ Footer Page 53 of 54 49 Header Page 54 of 54 T (Q0 ; x0 , 0R2 ) = T (Q0 ; x0 ), ta có v ∈ T (Q0 ; x0 ) Do đó, tồn dãy (tk , v k ) → (0+ , v) cho xk := x0 + tk v k = (1 + tk v1k , tk v2k ) ∈ Q0 , ∀k ∈ N Điều có nghĩa   + tk v1k    tk v2k    (t v k )3 + t v k k k   + tk v1k ≥0    ≥ ⇔ v2k    t2 (v k )3 + v k ≤0 k ≥0 ≥0 (2.49) ≤ 0, với k ∈ N Từ v2k ≥ lim v1k = 1, từ suy t2k (v1k )3 +v2k > k→∞ với k đủ lớn, trái với (2.49) Từ Ví dụ 2.4 2.5 ta có câu hỏi thú vị: (Q): Dưới điều kiện (W ASRC), tồn hay không điều kiện cần bậc hai kiểu Karush–Kuhn–Tucker, mạnh (2.18), yếu (2.24), cho nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion? Định lý sau cho ta câu trả lời khẳng định cho câu hỏi (Q) Định lý 2.5 (xem [8, Theorem 3.5]) Cho x0 ∈ Q0 nghiệm hữu hiệu thực địa phương Geoffrion toán (VP) u ∈ K(x0 ) Giả sử điều kiện (W ASRC) x0 theo hướng tới hạn Cho u0 hướng tới hạn x0 Khi đó, tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm thỏa mãn (2.15)–(2.17), (2.19), λi > với i ∈ P (x0 , u0 ) (2.50) Chứng minh Trước hết ta hệ sau Fi2 (u, v) i ∈ I, (2.51) Fi2 (u, v) −δ > Từ (2.56), tồn k0 ∈ N cho f1 (x0 ) − f1 (xk ) > − δt2k > Footer Page 56 of 54 52 (2.58) Header Page 57 of 54 với k ≥ k0 Do đó, với i ∈ I¯ k ≥ k0 , ta có fi (xk ) − fi (x0 ) fi (xk ) − fi (x0 ) ≤ 0< f1 (x0 ) − f1 (xk ) − 21 δt2k Từ điều (2.58), ta có fi (xk ) − fi (x0 ) fi (xk ) − fi (x0 ) ≤ lim k→∞ k→∞ f1 (x0 ) − f1 (xk ) − 12 δt2k = − [ ∇fi (x0 ), v + ξ i , u ] = δ ≤ lim Do f1 (xk ) − f1 (x0 ) lim = +∞, k→∞ fi (x0 ) − fi (xk ) mâu thuẫn với x0 nghiệm hữu hiệu thực địa phương Geoffrion toán (VP) Cố định u0 ∈ K(x0 ) Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2 ta tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm thỏa mãn (2.15)–(2.17), (2.19), (2.50) Từ định lý trên, ta có hệ điều kiện cần bậc kiểu Karush–Kuhn–Tucker mạnh cho toán (VP) Hệ 2.1 (xem [8, Corollary 3.1]) Cho x0 ∈ Q0 nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion địa phương toán (VP).Giả sử (W AF RC) x0 Khi tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm cho l m µj ∇gj (x0 ) = 0, λi ∇fi (x ) + i=1 (2.59) j=1 0, µj = 0, j ∈ / I(x0 ), µ = (µ1 , µ2 , , µm ) λ = (λ1 , λ2 , , λl ) > (2.60) (2.61) Chứng minh Từ (W AF RC) x0 , (W ASRC) x0 theo phương tới hạn Dễ thấy, P (x0 ; 0) = I I (x0 ; 0) = I(x0 ) Theo Định lý 2.5, tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm cho (2.59)–(2.61) Footer Page 57 of 54 53 Header Page 58 of 54 Nhận xét 2.3 Burachik Rizvi [5, Định lý 4.4] thiết lập điều kiện cần bậc Karush–Kuhn–Tucker mạnh toán (VP) sau: “Nếu (GAF RC) nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion x0 , tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm thỏa mãn (2.59)–(2.61).” Từ Mệnh đề 2.2, (W AF RC) yếu (GAF RC) Do đó, Hệ 2.1 mở rộng Định lý 4.4 [5] Để minh họa điều này, ta sử dụng Ví dụ 2.4 Ta thấy x0 = (0, 0) nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion Từ (2.48), (GAF RC) không x0 Như vậy, kết Burachik Rizvi [5, Theorem 4.4] áp dụng cho ví dụ Bây giờ, ta (W AF RC) điểm Thật vậy, ta dễ nhận thấy T (Q0 ; x0 , 0R2 ) = T (Q0 ; x0 ) = {(u1 , u2 ) : u1 ≥ 0} Do L2 (Q; x0 , 0R2 ) ⊂ T (Q0 ; x0 , 0R2 ) Điều (W AF RC) x0 Do đó, theo Hệ 2.1, tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm thỏa mãn (2.59)–(2.61) Thực tế, ta chọn λ = (1, 1) µ = Ví dụ 2.4 2.4 Điều kiện đủ tối ưu Định lý điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương toán (VP) Định lý 2.6 (xem [8, Theorem 3.6]) Cho x0 ∈ Q0 điểm chấp nhận toán (VP) Giả sử (W AF RC) x0 Nếu Footer Page 58 of 54 54 Header Page 59 of 54 với u ∈ K(x0 ) \ {0} tồn λ ∈ Rl µ ∈ Rm cho l m µj ∇gj (x0 ) = 0, λi ∇fi (x ) + i=1 (2.62) j=1 l m λi ξ∗i , u i=1 µj ζ∗j , u > 0, + (2.63) j=1 µ = (µ1 , µ2 , , µm ) 0, µj = 0, j∈ / I (x0 ; u), λ = (λ1 , λ2 , , λl ) > 0, (2.64) (2.65) l λi ∇fi (x0 ), w > 0, ∀w ∈ K (x0 , u) ∩ u⊥ \ {0}, (2.66) i=1 x0 nghiệm hữu hiệu địa phương toán (VP) Chứng minh Trái lại, giả sử x0 nghiệm hữu hiệu địa phương tốn (VP) Khi đó, tồn dãy {xk } ⊂ Q0 \ {x0 } hội tụ x0 cho f (xk ) ≤ f (x0 ), ∀k ∈ N (2.67) Với k ∈ N, đặt tk := xk − x0 uk := k (x − x0 ) tk Dễ thấy, {uk } bị chặn Vì vậy, khơng tính tổng quát, ta giả sử {uk } hội tụ u ∈ Rn với u = Ta u phương tới hạn x0 Thật vậy, theo định lý giá trị trung bình hàm vi phân, ta có fi (xk ) − fi (x0 ) = tk ∇fi (x0 ), uk + o(tk ), ∀k ∈ N, i ∈ I, gj (xk ) = gj (x0 +tk uk )−gj (x0 ) = tk ∇gj (x0 ), uk +o(tk ), ∀k ∈ N, j ∈ I(x0 ) Footer Page 59 of 54 55 Header Page 60 of 54 Kết hợp điều này, (2.67) {xk } ⊂ Q0 , ta suy ∇fi (x0 ), u ≤ 0, i ∈ I, (2.68) ∇gj (x0 ), u ≤ 0, j ∈ I(x0 ) (2.69) Từ (W AF RC) x0 , theo Định lý 2.1, tồn i ∈ I cho ∇fi (x0 ), u = Vì u phương tới hạn x0 Bây cho λ ∈ Rl µ ∈ Rm vectơ thỏa mãn (2.62)–(2.66) Ta chứng minh ∇fi (x0 ), u = với i ∈ I Thật vậy, giả sử có số i0 cho ∇fi0 (x0 ), u < Từ (2.64), (2.65), (2.68) (2.69), ta có l m µj ∇gj (x0 ), u ≤ λi0 ∇fi0 (x0 ), u < 0, λi ∇fi (x ), u + i=1 j=1 trái với (2.62) Do đó, với k ∈ N i ∈ I, ta có fi (xk ) − fi (x0 ) =[fi (x0 + tk uk ) − fi (x0 + tk u)] + [fi (x0 + tk u) − fi (x0 ) − tk ∇fi (x0 ), u ] Theo định lí giá trị trung bình hàm khả vi, tồn phần tử θik ∈ (x0 + tk u, x0 + tk uk ) cho fi (x0 + tk uk ) − fi (x0 + tk u) = tk ∇fi (θik ), uk − u Theo công thức Taylor, tồn γ ik ∈ (x0 , x0 + tk u) ξ ik ∈ ∂S2 fi (γ ik )(u) thỏa mãn fi (x0 + tk u) − fi (x0 ) − tk ∇fi (x0 ), u = t2k ξ ik , u Vì fi (x0 + tk uk ) − fi (x0 ) = tk ∇fi (θik ), uk − u + t2k ξ ik , u (2.70) Tương tự, với k ∈ N j ∈ I (x0 ; u), ta có σ jk ∈ (x0 + tk u, x0 + tk uk ), τ jk ∈ (x0 , x0 + tk u) ζ jk ∈ ∂S2 gj (τ jk )(u) cho gj (xk ) − gj (x0 ) = tk ∇gj (σ ik ), uk − u + t2k ζ jk , u Footer Page 60 of 54 56 (2.71) Header Page 61 of 54 Từ bị chặn địa phương ∂S2 fi (·)(u) ∂S2 gj (·)(u) x0 Mệnh đề 1.6(iii), không tính tổng quát, ta giả sử {ξ ik } hội tụ ξ i ∈ ∂S2 fk (x0 )(u), {ζ jk } hội tụ ζ j ∈ ∂S2 gj (x0 )(u) Từ (2.67) {xk } ⊂ Q0 \ {0}, ta có fi (xk ) − fi (x0 ) ≤ 0, ∀i ∈ I, gj (xk ) − gj (x0 ) ≤ 0, ∀j ∈ J Kết hợp điều này, (2.70) (2.71), ta suy l λi tk ∇fi (θik ), uk − u + t2k ξ ik , u i=1 m + µj tk ∇gj (σ ik ), uk − u + t2k ζ jk , u j=1 ≤ 0, hoặc, tương đương, l ∇fi (θik ), uk − u + tk ξ ik , u λi i=1 m + µj j=1 ∇gj (σ ik ), uk − u + tk ζ jk , u Với k ∈ N, đặt rk := uk − u wk := uk −u rk ≤ (2.72) Từ tính bị chặn {wk }, khơng tính tổng quát, ta giả sử {wk } hội tụ tới số w ∈ Rn Ta viết lại bất đẳng thức (2.72) sau: l i=1 λi rk ∇fi (θik ), wk + tk ξ ik , u m + µj rk ∇gj (σ ik ), wk + tk ζ jk , u j=1 Ta xem xét trường hợp sau Footer Page 61 of 54 57 ≤ (2.73) Header Page 62 of 54 rk = Chia hai vế (2.73) cho 21 tk , ta có k→∞ tk Trường hợp lim l 2rk ∇fi (θik ), wk + ξ ik , u tk λi i=1 m + 2rk ∇gj (σ ik ), wk + ζ jk , u tk µj j=1 l j=1 m λi ξ∗i , u i=1 l µj ζ∗j , u + µj ζ j , u ≤ Dễ thấy, λi ξ , u + i=1 l m i ≤ j=1 (2.74) m i Cho k → ∞ (2.74) ta có ≤ µj ζ j , u ≤ 0, λi ξ , u + i=1 j=1 trái với (2.63) rk = ρ > Cho k → ∞ (2.74) ta có k→∞ tk Trường hợp lim l m i µj [ρ ∇gj (x0 ), w + ζ j , u ] ≤ 0, λi [ρ ∇fi (x ), w + ξ , u ] + i=1 j=1 hoặc, tương đương, l m λi ∇fi (x ) + ρ i=1 l µj ∇gj (x ), w j=1 µj ζ j , u ≤ λi ξ , u + j=1 m i µj ζ j , u ≤ 0, trái với (2.63) λi ξ , u + i=1 + i=1 l Từ (2.62), ta có m i j=1 rk tk Trường hợp lim = +∞ Điều có nghĩa lim = Với k→∞ tk k→∞ rk k ∈ N, có xk = x0 + tk u + tk rk wk Do đó, fi (xk ) − fi (x0 ) =[fi (xk ) − fi (x0 + tk u)] + [fi (x0 + tk u) − fi (x0 ) − tk ∇fi (x0 ), u ], với i ∈ I k ∈ N Như trên, ta tìm thấy y ik ∈ (x0 + tk u, xk ), γ ik ∈ (x0 , x0 + tk u) ξ ik ∈ ∂S2 fi (γ ik )(u) cho fi (xk ) − fi (x0 ) = tk rk ∇fi (y ik ), wk + t2k ξ ik , u Footer Page 62 of 54 58 (2.75) Header Page 63 of 54 Từ (2.75) {xk } ⊂ Q0 , ta có tk rk ∇fi (y ik ), wk + 12 t2k ξ ik , u ≤ 0, hoặc, tương đương, ∇fi (y ik ), wk + tk ik ξ , u ≤ rk (2.76) Cho k → ∞ (2.76) ta có ∇fi (x0 ), w ≤ (2.77) với i ∈ I Tương tự, ta có ∇gj (x0 ), w ≤ với j ∈ I (x0 ; u) Ta w ∈ K (x0 , u) ∩ u⊥ \ {0} Thật vậy, từ uk = u + rk wk → u, wk → w k → ∞ uk = u + rk wk ∈ Sn với k ∈ N, ta có w ∈ T (Sn ; u) Dễ thấy, T (Sn ; u) = u⊥ Do w ∈ u⊥ \ {0} Suy ra, w ∈ K (x0 , u) ∩ u⊥ \ {0} Từ (2.77), ta thu l λi ∇fi (x0 ), w ≤ 0, i=1 trái với (2.66) Footer Page 63 of 54 59 Header Page 64 of 54 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày cách chi tiết hệ thống điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ với liệu C 1,1 Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức vi phân bậc hai đối xứng định lý ln phiên Chúng tơi có đưa số chứng minh chi tiết cho số tính chất vi phân bậc hai đối xứng giới thiệu [7] Chương trình bày điều kiện tối ưu bậc hai kiểu KKT cho toán tối ưu véctơ với liệu C 1,1 điều kiện quy kiểu Abadie Ngồi ra, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho kết thu chương Footer Page 64 of 54 60 Header Page 65 of 54 Tài liệu tham khảo [1] D P Bertsekas (1999), “Nonlinear Programming”, Belmont, Athena Scientifc [2] G Bigi, M Castellani (2000), “Second order optimality conditions for differentiable multiobjective problems”, RAIRO Oper Res., 34, 411– 426 [3] G Bigi, M Castellani (2004), “Uniqueness of KKT multipliers in multiobjective optimization”, Appl Math Lett., 17, 1285–1290 [4] J M Borwein, S Fitzpatrick (1995), “Characterization of Clarke subgradients among one-dimensional multifunctions”, In: Glover BM, Jeyakumar V, editors Proceedings of the Optimization Miniconference II; 1994 Jul 14; Sydney (NSW): University of New South Wales; pp 61–64 [5] R S Burachik, M M Rizvi (2012), “On weak and strong Kuhn-Tucker conditions for smooth multiobjective optimization”, J Optim Theory Appl., 155, 477–491 [6] A M Geoffrion (1968), “Proper efficiency and the theory of vector maximization”, J Math Anal Appl., 22, 618–630 [7] N Q Huy, N V Tuyen (2016), “New second-order optimality conditions for a class of differentiable optimization problems”, J Optim Theory Appl., 171, 27–44 Footer Page 65 of 54 61 Header Page 66 of 54 [8] N Q Huy, D S Kim, N V Tuyen (2017), “New second-order Karush– Kuhn–Tucker optimality conditions for vector optimization.” Appl Math Optim., DOI: 10.1007/s00245-017-9432-2 [9] N V Tuyen, N Q Huy, D S Kim (2018), “Strong second-order Karush–Kuhn–Tucker optimality conditions for vector optimization”, Appl Anal., DOI: 10.1080/00036811.2018.1489956 [10] D S Kim, N V Tuyen (2017), “A note on second-order Karush– Kuhn–Tucker necessary optimality conditions for smooth vector optimization problems”, RAIRO Oper Res., DOI: 10.1051/ro/2017026 [11] A F Izmailov, M V Solodov (2008), “An active-set newton method for mathematical programs with complementarity constraints”, SIAM J Optim., 19, 1003-1027 [12] J Jahn (2011), “Vector Optimization”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [13] T Maeda (2004), “Second-order conditions for efficiency in nonsmooth multiobjective optimization”, J Optim Theory Appl., 122, 521– 538 [14] O L Mangasarian (1969), “Nonlinear Programming”, McGraw Hill, New York [15] B S Mordukhovich (1994), “Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis”, Trans Amer Math Soc., 343, 609–658 [16] B S Mordukhovich (2006), “Variational Analysis and Generalized Differentiation”, Vol I: Basic Theory, Springer, Berlin [17] J Nocedal, S J Wright (1999), “Numerical Optimization” New York, Springer Footer Page 66 of 54 62 Header Page 67 of 54 [18] M M Rizvi, M Nasser (2006), “New second-order optimality conditions in multiobjective optimization problems: differentiable case”, J Indian Inst Sci., 86, 279–286 [19] K Tamura, S Arai (1982), “On proper and improper efficient solutions of optimal problems with multicriteria”, J Optim Theory Appl., 38, 191–205 [20] S Wang (1991), “Second order necessary and sufficient conditions in multiobjective programming”, Numer Funct Anal Optim., 12 , 237– 252 Footer Page 67 of 54 63 ... điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối véctơ Footer Page of 54 Header Page of 54 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất vi phân bậc hai đối xứng, điều kiện quy điều kiện cần tối ưu bậc hai cho. .. Header Page 28 of 54 Chương Điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ 2.1 Khái niệm nghiệm Trong luận văn này, nghiên cứu điều kiện tối ưu bậc hai cho tốn tối ưu véctơ có dạng sau minRl+... cứu điều kiện tối ưu bậc hai cho toán tối ưu véctơ trơn C thực Wang [20] Trong báo này, tác giả đề xuất số kiểu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc đạt điều kiện cần bậc hai kiểu F.-John kiểu W KKT cho