Các điều kiện tối ưu theo dãy cho bài toán tối ưu trơn với các ràng buộc phiếm hàm

LèI CÁM ƠN Em xin đưoc gúi lòi cám ơn tói thay giáo, giáo to Giái tích ban sinh viên khoa Tốn trưòng Đai hoc S pham H Nđi ắc biắt, em xin by tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Nguyen Văn Tun t¾n tình giúp đõ em suot q trình hoc t¾p, nghiên cúu hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Cuoi cùng, em muon gúi lòi cám ơn tói gia đình ban bè ln quan tâm, đng viờn em quỏ trỡnh hoc v nghiờn cúu Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyen Ngoc Mai LèI CAM ĐOAN Em xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna thay giáo Nguyen Văn Tun khóa lu¾n tot nghi¾p "Các đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn vái ràng bu®c phiem hàm" đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kì cơng trình nghiên cúu khoa hoc khác Trong thnc hi¾n nghiên cúu khoa hoc em sú dung tham kháo thành tnu cna nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh Viên Nguyen Ngoc Mai ii BÁNG KÝ HIfiU • N = {0, 1, 2, } "ã" kớ hiắu mđt chuan bat kì • Neu h : Rn → Rm, h = (h1, , hn) ∇h := (∇h1, , ∇hm) • R+ = {t ∈ R | t ≥ 0} Neu Rn, ta kớ hiắu + = (max ν1, 0, , max νn, 0)T • Neu ν ∈ Rn, ta kí hi¾u ν− = (min , 0, , , 0)T ν1 νn • A ⊂ B có nghĩa rang t¾p A đưoc chúa B B(x, ) = {z Rn | "z − x" ≤ δ} • ΠΩ(x) hình chieu Euclide cna x Ω Mnc lnc Má đau 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 M®t so kien thúc só ve giái tích loi 1.1.1 T¾p loi 1.1.2 Hình chieu 1.1.3 Các đ%nh lý tách 11 1.1.4 Nón 12 1.1.5 Hàm loi .14 1.1.6 Hàm loi vi 15 1.1.7 Dưói vi phân 18 1.2 Các đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c 21 1.2.1 Các đieu ki¾n cho tốn toi ưu khơng có ràng bu®c 21 1.2.2 Các đieu ki¾n cho tốn toi ưu có ràng bu®c 22 Các đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c 35 2.1 Các đieu ki¾n KKT-xap xí 35 2.1.1 AKKT(I) l mđt ieu kiắn toi u 38 2.1.2 AKKT(I) l mđt ieu kiắn toi u manh 42 2.2 Các đieu ki¾n chieu gradient gan 44 2.2.1 Đieu ki¾n C-AGP 46 2.2.2 Đieu ki¾n L-AGP 52 Ket lu¾n 54 Tài li¾u tham kháo 54 Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong khóa lu¾n chúng tơi trình bày đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat theo dãy cho tốn quy hoach phi tuyen Các đieu ki¾n toi ưu can phái thóa mãn cnc tieu cna tốn toi ưu hóa Thơng thũng, cỏc %nh lý ho tro mđt ieu kiắn toi ưu có dang: ‘Neu cnc tieu đ%a phương x thóa mãn CQ, thóa mãn KKT, KKT viet tat cna đieu ki¾n Karush -Kuhn-Tucker CQ m®t ràng bu®c quy Nói cách khác, thưòng đieu ki¾n toi ưu can b¾c nhat ó dang KKT ho¾c khơng CQ’ Trên thnc te, phương pháp so đe giái toán toi ưu hóa có ràng bu®c thưòng đưoc sú dung phương pháp l¾p Ngưòi ta phái quyet đ%nh ó moi lan l¾p có thnc hi¾n bưóc l¾p tiep theo thu¾t tốn hay ket thúc thu¾t tốn Do vi¾c kiem tra tính toi ưu thnc sn rat khó, nên m®t cách tn nhiên se ket thúc thu¾t tốn mđt ieu kiắn can toi u thúa mđt cỏch xap xí Tuy nhiên, hau het phương pháp giái so tốn toi ưu khơng kiem tra đưoc tat cỏ cỏc ieu kiắn chớnh qui rng buđc, mắc dự đieu ki¾n KKT (xap xí) ln ln đưoc thóa mãn Nhieu ngưòi dưòng khơng nh¾n thay rang rng buđc chớnh quy ton tai Viắc tớnh toỏn ny có the kiem tra đưoc bang tính chat lý thuyet cna cnc tieu đ%a phương: Can nhan manh rang, m®t cnc tieu đ%a phương có the khơng phái KKT, có the ln ln đưoc xap xí bói m®t dãy điem ‘KKT-xap xí’ Thnc te ny dan en viắc nghiờn cỳu mđt loai ieu kiắn toi ưu khác Chúng ta nói rang x thóa mãn ‘đieu ki¾n toi ưu theo dãy’ đưoc xác đ%nh bói mắnh e toỏn hoc P neu ton tai mđt dóy {xk} h®i tu đen x thóa mãn P({xk}) Thơng thũng, mđt ieu kiắn toi u theo dóy tng ỳng vói m®t đai lưong sk mà sk → Các tiêu chuan dùng tn nhiên tương úng vói đieu ki¾n toi ưu theo dãy chí đe dùng vi¾c thnc hi¾n thu¾t tốn sk đn nhó Các đieu ki¾n toi ưu can theo dãy có yêu cau tương tn đieu ki¾n toi ưu thơng thưòng: Chúng phái đưoc thóa mãn bói cnc tieu cna toán, chúng manh tot Hơn nua, đieu ki¾n toi ưu huu ích (hay thu¾t tốn đ%nh hưóng) se đưoc tương úng vúi mđt so thuắt toỏn thnc te Mnc ớch nghiên cNu Nghiên cúu ve đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn vói ràng buđc phiem hm Nhiắm nghiờn cNu -Nghiờn cỳu lý thuyet só ve giái tích loi -Nghiên cúu ve đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c -Nghiên cúu ve đieu ki¾n KKT-xap xí -Nghiên cúu ve đieu ki¾n chieu gradient gan Phương pháp nghiên cNu Tra cúu tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop Cau trúc khóa lu¾n Khóa lu¾n đưoc bo cuc sau: Chương Trình bày m®t so kien thúc só ve giái tích loi Trong chương có trình by mđt so tớnh chat c bỏn ve loi, hàm loi đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c Chương Trình bày đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c N®i dung cna chương trình bày chi tiet ket báo [2] Muc 2.1 trình bày đieu ki¾n KKT xap xí Muc 2.2 trình bày đieu kiắn chieu gradient xap xớ Chng Mđt so kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 M®t so kien thNc sá ve giái tích loi T¾p loi Khái ni¾m t¾p loi khái ni¾m quan trong lý thuyet toi ưu T¾p loi t¾p mà lay điem bat kì cna t¾p đoan thang noi điem nam t¾p Đ%nh nghĩa 1.1 T¾p X ⊂ Rn đưoc goi t¾p loi neu vói moi x1, x1 ∈ X vói moi t ∈ (0; 1) thì: (1 − t)x1 + tx2 ∈ X Bo e 1.1 Cho I l mđt bat kì Neu t¾p Xi ⊂ Rn, vói i ∈ I, T t¾p loi t¾p X = Xi t¾p loi i∈I Chúng minh Ta xét trưòng hop: T +Neu X = Xi = ∅ X t¾p loi tam thưòng i∈I +Neu X = T Xi ƒ= ∅, ta có: ∀x, y ∈ T suy i∈I i∈I Xi, ∀t ∈ (0; 1), x, y ∈ Xi, ∀i ∈ I Khi đó, (1 − t)x + ty ∈ Xi, ∀i ∈ I, suy (1 − t)x + ty ∈ T Xi, ∀i ∈ I V¾y X t¾p loi i∈I Đ%nh lý 2.4 Giá sú điem chap nh¾n đưoc x∗ thóa mãn C-AGP ràng bu®c quy Mangasarian-Fromovitz Khi đó, x∗ thóa mãn đieu ki¾n KKT Chúng minh Đe đơn gián hóa kí hi¾u, ta xét r = m Trưòng hop r < m đơn gián Do đieu ki¾n C-AGP, ton tai dãy {xk} cho xk → x∗ yk − xk → 0, ó yk nghi¾m cna Min y − xk + ∇f (xk ) (2.22) 2 vói ràng bu®c ∇h(xk)T (y − xk) = 0, (2.23) k T k gi(xk)− + ∇gi(x ) (y − x ) = 0, i = 1, , q, gj (y) ≤ 0, j = q + 1, , p (2.24) (2.25) Đau tiên nh¾n thay rang, xk → x∗ yk − xk → 0, ta có lim k→∞ y k = x ∗ (2.26) Giá sú rang i ≤ q v¾y gi(x∗) < Khi đó, ton tai c > cho k gi(x ) < −c < vói k đn lón Do đó, yk − xk → 0, vói k đn − lón, ta có gi(xk) + ∇g (xk)T (yk − xk) < −c/2 < i − (2.27) Tiep theo, ta giá sú rang j ∈ {q + 1, , p} v¾y gj (x∗) < Khi đó, (2.26) gj (yk) < (2.28) vói k đn lón Do (2.27) (2.28), vói k đn lón, chí so cna ràng bu®c chn đ®ng cna (2.22)-(2.25) tai yk đưoc chúa t¾p chí so hoat cna toán (2.1) tai x∗ Tiep theo, ta giá sú rang λk ∈ Rm, µk, , µk ∈ R+ cho p q ∇h(yk)λk +i p j=q+ µk∇gi(xk) + i=1 k vói µ µjk∇gj (yk ) = 0, (2.29) = neu ràng bu®c (2.24) khụng chn đng tai yk v = àk neu j i ràng bu®c (2.25) khơng chn đ®ng tai yk Hơn nua, giá sú, cho nhieu chí sok m®t cỏch vụ han k ớt nhat mđt nhung hắ so λk, , λk , µk, , µ m p khơng có Khi đó, chia (2.29) bói modun cnc đai cna h¾ so, ta có the giá sú, mà khơng mat tính tong qt, modun cnc đai cna h¾ so (2.29) vói moi k Khi đó, dùng tính compact lay giói han cho k → ∞ (2.29) ta có q ∗ ∇h(x )λ + i ∇gi(x∗) + i=1 p µ µj ∇gj (x∗) = 0, j=q+ vói µ1, , µp ≥ 0, nhat m®t h¾ so khơng có vói moi i = 1, , p, µi = neu gi(x∗) < Đieu khơng the vì, bang giá thuyet, x∗ thóa mãn MF CQ Do đó, sn ton tai cna λk ∈ R, µk, , µk ∈ p R+ thóa mãn (2.29) khơng the Đieu nghĩa là, vói moi k đn lón, yk thóa mãn ràng bu®c quy Mangasarian-Fromovitz tương úng vói tốn (2.22)-(2.25) Suy ra, vói moi k đn lón, đieu ki¾n KKT cna tốn (2.22)-(2.25) đưoc đáp úng Do đó, vói k đn lón, ton tai, λk ∈ Rm, µk ∈ p R p + cho k k k k k k k y −x +∇f (x )+∇h(x )λ + µ ∇gi(x )+ µk∇gj (yk ) = 0, (2.30) i i∈Ik j j∈Jk Ik Jk t¾p chí so hoat tai yk Trên đây, ta chúng minh rang Ik ⊂ I∗ Jk ⊂ J∗, I∗, J∗ t¾p chí so hoat tai x∗ cho tốn (2.1) Neu cỏc dóy {k} v {àk} b% chắn, ú lay dãy h®i tu lay giói han (2.30) ta đưa vào đieu ki¾n KKT tai x∗ Neu ớt nhat mđt cỏc dóy {k}, {àk} l khụng b% ch¾n phan tú cnc đai Mk cna λk , i = 1, ,j m, µk, j = 1, , p tien tói vơ cnc doc m®t vài dãy Vì v¾y, chia cá hai ve cna (2.30) cho Mk ta đưoc k k k k k (y − x + ∇f (x ))/Mk + ∇h(x )λ /Mk + + i∈Ik p j i µk/Mk∇gi(xk) µk/Mk∇gj (yk ) = (2.31) j∈Jk Chuyen qua giói han k tien tói vơ cna dãy h®i tu (2.31), ta có ∇h(x∗)λ∗ + ∇g(x∗)µ∗ = 0, µ∗ ≥ "λ∗" + "µ∗" > Đieu nghĩa x∗ khơng thóa mãn MF CQ, đieu mâu thuan vói giá thuyet Ví dn 2.4 AGP không bao hàm C − AGP Xét tốn tìm cnc tieu x2 vói ràng bu®c cna ví du (2.3) Ta chí rang điem x∗ = (0, 1)T khơng thóa mãn C − AGP Neu {xk} mà x ≥ vói moi k, đoi so tương tn sú dung (2.3) phái đưoc k sú dung đe chí rang (2.21) khơng the thóa mãn Tuy nhiên, x∗ thóa mãn AGP Đe thay đieu này, xét dãy xk = (−1/k, 1)T Trong trưòng hop này, phép chieu cna xk − ∇f (xk) t¾p đưoc đ%nh nghĩa bói ∇h(xk)T (x − xk) = ∇g(xk)T (x − xk) ≤ xk vói moi k ∈ N Do đó, AGP thóa mãn Ket ó cho ta giá đ%nh rang C − AGP bao hàm ‘KKT ho¾c not-CPLD’, trưòng hop cna đieu ki¾n AGP ban đau Tuy nhiên, đieu khơng đúng, ví du dưói chí Ví dn 2.5 C − AGP khơng bao hàm ‘KKT ho¾c not-CPLD’ Xét tốn (2.1) vói n = 2, p = 2, q = 1, f (x1, x2) = x1, g1(x1, x2) = −x2 − x2, g2(x1, x2) = x2 + x2 Hàm g2 hàm loi t¾p điem 1 mà g2(x1, x2) ≤ thóa mãn ràng bu®c quy De thay rang đieu ki¾n CP LD đưoc thóa mãn tai x∗ = (0, 0)T ∇g1(x) + ∇g2(x) = vói moi x M¾t khác, đieu ki¾n KKT khơng thóa mãn tai x∗ Tuy nhiên, ta chí rang C − AGP đưoc thóa mãn Ta đ¾t, xk = x∗, vói moi k ∈ N Khi đó, ∇f (xk) = (1, 0)T vói moi k xk − ∇f (xk) = (−1, 0)T Bây giò, t¾p Ωk {x ∈ R2 | ∇g2(xk)T (x − xk) ≤ 0}, v¾y Ωk núa m¾t phang x2 ≥ Suy ra, Ωk ∩ Ω = {(0, 0)T } = {xk} vói moi k Do đó, PΩ∩Ωk (xk − ∇f )) − (xk x k = vói moi k Đieu có nghĩa đieu ki¾n C − AGP đưoc thóa mãn tai x∗ ( Nhac lai rang đieu khơng mâu thuan vói Đ%nh lý (2.4) bói x∗ khơng thóa mãn MF CQ.) Ví dn 2.6 C − AGP khơng bao hàm AGP Phán ví du se chí rang C − AGP khơng bao hàm ‘KKT ho¾c not-CP LD’ có the đưoc sú dung đe chí rang C − AGP khơng bao hàm AGP Trên thnc te, neu điem x∗ thóa mãn AGP AGP bao hàm ‘KKT ho¾c not-CPLD’ nên đieu ki¾n toi ưu se thóa mãn tai x∗ 2.2.2 ieu kiắn L-AGP Sn đc lắp cna C AGP đoi vói AGP thnc te rang C − AGP khơng bao hàm ’KKT ho¾c not-CPLD’ khien suy nghĩ rang AGP ve bán đieu ki¾n toi ưu theo dãy manh nhat mà có the đat oc búi thuắt toỏn toi u so Tuy nhiờn, mđt đieu ki¾n AGPlike manh có the đưoc sú dung trưòng hop rat bien: Khi m®t vài rng buđc e xỏc %nh chap nhắn oc l tuyen tớnh Ta núi rang mđt iem chap nhắn oc x∗ thóa mãn đieu ki¾n AGP-tuyen tính(L-AGP) neu thóa mãn đieu ki¾n C-AGP trưòng hop gq+1, , gp hàm afin Trang thái cna L − AGP có the đưoc rút tù vi¾c quan sát đưoc thnc hi¾n Phán ví du (2.4) có the đưoc sú dung đe chí rang AGP khơng bao hàm L − AGP M¾t khác, neu điem x∗ thóa mãn L − AGP , dãy tương úng {xk} có the đưoc sú dung đe chí AGP thóa mãn Nói cách khác, L − AGP ch¾t AGP Đieu ho tro quan điem rang, neu m®t tốn toi ưu hóa có ràng bu®c tuyen tính, hop lý đe báo tồn tớnh chap nhắn oc oi vúi chỳng, tuyen bo hđi tu tiêu chuan AGP thóa mãn vói m®t vài cho phép M¾t khác, dùng tiêu chuan giong vói ràng bu®c loi chung dưòng khơng có ưu the đ¾c bi¾t Can nhac lai [5], đieu ki¾n L-AGP đưoc sú dung (vói tên AGP ) vi¾c ket noi vói tốn quy hoach tốn hoc vói ràng bu®c cân bang Trong báo ngưòi ta ó rang neu mđt thuắt toỏn m theo lý thuyet h®i tu đen điem L − AGP dan đen điem khơng suy bien chap nh¾n đưoc, điem KKT KET LU¾N Trên ton bđ nđi dung cna khúa luắn: "Cỏc ieu kiắn toi ưu theo dãy cho toán toi ưu trơn vỏi rng buđc phiem hm" Khúa luắn ó giỏi quyet cỏc van e c bỏn sau: Trỡnh by mđt cách bán nhat ve lý thuyet só giái tích loi như: T¾p loi, hình chieu, nón, hàm loi, hàm loi vi dưói vi phân cỏc tớnh chat ắc trng cna chỳng Trỡnh by ve tốn toi ưu trơn có ràng bu®c đieu ki¾n toi ưu cho lóp tốn Do thòi gian nghiên cúu lnc han che nờn khúa luắn múi at oc mđt so ket q nhat đ%nh Kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo, giáo tồn the ban đoc đe khóa lu¾n đưoc đay đn hồn thi¾n Trưóc ket thúc khóa luắn ny, mđt lan nua em xin by tú lũng biet ơn sâu sac tói thay giáo trưòng, đ¾c bi¾t thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Huỳnh The Hùng, "Cơ só giái tích loi", NXB Giáo duc 2012 [B] Tài li¾u tieng Anh [2] Roberto Andreani, Gabriel Haeser, J M Martínez(2011), "On sequential optimality conditions for smooth constrained optimization", Optimization [3] J Abadie(ed.), On the Kuhn-Tucker theorem, in Nonlinear Programming(NATO Summer School, Menton, 1964), Amsterdam, North Holland, 1967, pp 19-36 [4] R Andreani, E.G Birgin, J.M Martínez, and M.L Schuverdt, On augmented Lagrangian methods with genneral lower-lever constraints, SIAM J Optim 18 (2007), pp 1286-1309 [5] R Andreani and J.M Martínez, On the solution of mathematical programming problems with equilibrium constraints, Math Method Oper Res 54 (2001), pp 345-358 [6] R Andreani, J.M Martínez, L Martínez, and F Yano, Continuous optimization methods for structure alignments, Math Prog 112 (2008), pp 93-124 [7] R Andreani, J.M Martínez, L Martínez, and F.S Yano, Low ordervalue optimization and application, J Global Optim 43 (2009), pp 1-10 [8] R Andreani, J.M Martínez, and M.L Schuverdt, On the relation between the constant positive linear dependence condition and quasinormality constraint qualification, J Optim Theory Appl 125 (2005), pp 473-485 [9] D.P Bertsekas, Nonlinear Programming, 2nd ed., Athena Scientific, Belmont, MA, 1999 [10] E.G Birgin and J.M Martínez, Local convergence of an inexactrestoration methods and numerical experiments, J Optim Theory Appl 127 (2005), pp 229-247 [11] A.R Conn, N.I.M Gould, and Ph.L Toint, Trust Region Methods, MPS/SIAM Series on Optimization, SIAM, Philadelphia, 2000 [12] S Dempe, Foundations of Bilevel Programming, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002 [13] F Facchinei and J.-S Pang, Finite-dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problem, Vols I and II, Springer, New York, 2003 [14] A.V Fiacco and G.P McCormick, Nonlinear programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, Wiley, New York, 1968 [15] A Fischer and A Friedlander, A new line search inexact restoration approach for nonlinear programming, to appear in Comput Optim Appl., doi: 10.1007/s10589-009-9267-0 56 [16] R Fretcher, Practical Methods of Opitimization Acedemic Press, London, 1987 [17] R Gárciga Otero and B F Svaiter, A new condition characterizing solutions of varational inequality problems, J Optim Theory Appl 137 (2008), pp 89-98 [18] F.A.M Gomes, A sequential quadratic programming algorithm that combines merit function and filter ideas, Comput Appl Math 26 (2007), pp 337-379 [19] M.A Gomes-Ruggiero, J.M Martínez, and S.A Santos, Spectral projected gradient method with inexact restoration for minimization with nonconvex constraints , SIAM J Sci Comput 31 (2009), pp 1628-1652 [20] C.C Gonzaga, E.W Karas, and M Vanti, A globally convergent filter method for nonlinear programming, SIAM J Optim 14 (2003), pp 646-669 [21] L.M Grana Drummond and B.F Svaiter, A steepest descent method for vector optimization, J Comput Appl Math 175 (2005),pp 395414 [22] M Guignard, Generalized Kuhn-Tucker conditions for mathematical programming in a Banach spaces, SIAM J Control (1969),pp 232- 241 [23] G Haeser, Condicoes sequenciais de otimalidade, Tese de Doutorado, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Estadual de Campinas, Brazil, 2009 [24] A.N Iusem and M Nasri, Inexact proximal point methods for equilibrium problems in Banach spaces, Numer Functional Anal Optim 28 (2007),pp 1279-1308 [25] E.W Karas, E.A Pilottal, and A.A.Ribeiro, Numerical comparision of merit function with filter criterion in inexact restoration algorithms using hard-spheres problems, Comput Optim Appl 44 (2009),pp 427-441 [26] C.Y Kaya and J.M Martínez, Euler discretization and inexact restoration for optimal control, J Optim Theory Appl 134 (2007), pp 191-206 [27] O.L Mangasarian and S Fromovitz, The Fritz-Jonh necessary opti- mality conditions in presence of equality and inequality constraints, J Math Anal Appl 17(1967), pp 37-47 [28] J.M Martínez, Inexact restoration method with Lagrangiant tangent decrease and new merit function for nonlinear programming, J Optim Theory Appl 111 (2001), pp 39-58 [29] J.M Martínez and E.A Pilotta, Inexact restoration algorithms for contrained optimization, J Optim Theory Appl 104 (2000), pp 135-163 [30] J.M Martínez and B.F Svaiter, A practical optimality condition without constraint qualifications for nonlinear programming, J Optim Theory Appl 118 (2003), pp 117-133 [31] J Nocedal and S.J Wright, Numerical Optimization, Springger, New York, 1999 [32] L Qi and Z Wei, On the constant positive linear dependence condi- tion and its application to SQP methods, SIAM J Optim 10 (2000), pp 963-981 [33] R.T Rockafellar, Lagrange multipliers and optimality , SIAM Rev 35 (1993), pp 183-238 [34] M.L Schuverdt, Métodos de Lagrangiano Aumentado com convergência usando a condicao de dependéncia linear positiva constante, Tese de Doutorado, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Estadual de Campinas, 2006 [35] C Shen, W Xue, and D Pu, A filter SQP algorithm without a feasibility retoration phase, Comput Appl Math 28 (2009), pp 167-194 [36] A Ruszczyn´ski, Nonlinear Optimization, Princeton Press, Princeton 2006 University ... ieu kiắn cho bi toỏn toi ưu khơng có ràng bu®c 21 1.2.2 Các đieu ki¾n cho tốn toi ưu có ràng bu®c 22 Các đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c 35 2.1 Các đieu... by mđt so tớnh chat c bỏn ve loi, hàm loi đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c Chương Trình bày đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c N®i dung cna chương trình... đieu ki¾n toi ưu theo dãy cho tốn toi ưu trơn vói rng buđc phiem hm Nhiắm nghiờn cNu -Nghiờn cúu lý thuyet só ve giái tích loi -Nghiên cúu ve đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c -Nghiên