Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân

Lí do chon đe tài Sn hình thành cna Giái tích huu han chieu xuat phát tù vi¾cnghiên cúu đieu ki¾n can cho nhung bài toán cnc tr% đơn gián, còncác bài toán bien phân là m®t yeu to quan tr

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

—————— x ——————

ĐINH TH± HONG GAM

ĐIEU KIfiN TOI ƯU

CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Hà N®i-2012

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

—————— x ——————

ĐINH TH± HONG GAM

ĐIEU KIfiN TOI ƯU CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giái

tích Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng

Tâm

Hà N®i-2012

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòngĐai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trongnhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giáitích đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và

nghiên cúu.Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên

và tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng năm 2012

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôidưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm

Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cnacác nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng năm 2012

Tác giá

Mnc lnc

Má

1 Kien th N c chuan b% 1

1.1

Không gian Banac h 1

1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banac h 5

1.2.1 Bien phân b¾c nhat v à đao hàm 5

1.2.2 Bien phân v à đao hàm b¾c cao 9

1.2.3 M®t so tính c hat cơ bán 9

1.2.4 Đ%nh lí Lyusternik 11

1.3 Hàm loi v à dưói vi phân 12

1.4 M®t so không g i a n hàm 16

1.5 Hàm Lipsc hitz v à dưói vi phân Clark e 18

1.5.1 Hàm Lipsc hitz 18

1.5.2 Dưói vi phân Clark e 20

1.6 Bài toán toi ưu v à hàm Lagrange 22

1.7 Khái ni¾m bài toán bien ph â n 28

2 Đieu ki¾n can cho bài toán bien phân 30 2.1 Phương trình Euler 30

2.2 Đie u ki¾ n W eierstrass 33

2.3 Đieu ki¾n Legendre 352.4 Đieu ki¾n Jacobi 382.5 Bài toán đang c hu 42

3 Đieu ki¾n đú cho bài to á n bien phân 46

3.1 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương y eu 493.2 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương manh 503.3 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong m®t so không gian (Banac h phán xa, Sobolev) 513.3.1 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong không gian

Banac h phán xa 513.3.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong không gian

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Sn hình thành cna Giái tích huu han chieu xuat phát tù vi¾cnghiên cúu đieu ki¾n can cho nhung bài toán cnc tr% đơn gián, còncác bài toán bien phân là m®t yeu to quan trong tác đ®ng đen sn hìnhthành cna Giái tích vô han chieu Không gian vô han chieu cna cáchàm liên tuc và hàm khá vi liên tuc, vi¾c phân loai tôpô, nhungduyên có đau tiên cho Phép tính vi phân vô han chieu, tat cá nhungcái đó đeu chào đòi trong chiec nôi cna Phép tính bien phân Vi¾cnghiên cúu nhung bài toán bien phân thnc sn đóng vai trò quan trongtrong thnc te cũng như trong lý thuyet (xem[2] và nhung tài li¾u dantrong đó)

Bài toán tìm đưòng lăn nhanh nhat có dang:

là bài toán đau tiên cna Giái tích vô han chieu (không gian cna tat cánhung quy đao noi hai điem cho trưóc có so chieu vô han) và cũng làm®t trong nhung bài toán có ràng bu®c đau tiên Hai lòi giái đau tiênđưoc công bo năm 1697, trong đó phương pháp do Johann Bernoulliđưa ra chí thích úng vói bài toán cu the này Ngưoc lai, anh trai ông làJacob Bernoulli đã đe xuat m®t phương pháp có the tong quát hóađưoc, mó ra ký nguyên cna Lý thuyet bien phân (co đien)

Sau khi bài toán này đưoc công bo, đã xuat hi¾n m®t so bàitoán toi ưu khác có ràng bu®c như bài toán đang chu co đien : tìmđưòng cong khép kín có chu vi cho trưóc sao cho di¾n tích tao thành

là lón nhat Ket quá đưoc Euler trình bày trong tài li¾u [3] (1744) làcách xú lý tong quát đau tiên cho các bài toán toi ưu có ràng bu®c

Nhieu tác giá trong và ngoài nưóc đã quan tâm nghiên cúunhung khía canh khác nhau cna các bài toán bien phân (xem [3], [4] và[5] và nhung tài li¾u dan trong đó)

Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve Toán giái tích, vói mongmuon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc, moi quan h¾ cnachúng vói nhung kien thúc chưa biet và úng dung cna chúng, tôi đãchon đe tài nghiên cúu:

"Đieu ki¾n toi ưu cho bài toán bien phân"

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu ve nhung đieu ki¾n can, đn toi ưu cho bài toán bienphân thông qua m®t so bài toán như: phương trình Euler, đieu ki¾nWerierstrass, bài toán đang chu

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Tong hop m®t cách h¾ thong m®t so ket quá ve nhung đieuki¾n toi ưu cho bài toán bien phân

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

hàm

+ Đoi tưong: Nhung bài toán bien phân

+ Pham vi: Nhung đieu ki¾n toi ưu trong m®t so không gian

5 Phương pháp nghiên cNu

Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liênquan đen đe tài, sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tíchhàm, lý thuyet toi ưu

Dưói đây là các đ%nh nghĩa và tính chat ve không gian Banach vàcác kien thúc có liên quan như không gian đ%nh chuan, dãy h®i tu,h®i tu tuy¾t đoi .

Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan) Cho X là không gian

tuyen tính trên trưòng K X đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan trên trưòng K neu ton tai m®t chuan "." trên X, ∀u, v ∈ X và α ∈ K,

thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:

(i) "u" “ 0 (vói "u" là m®t so thnc không âm)

(ii) "u" = 0 neu u = 0

(iii) "αu" = |α| "u"

(iv) "u + v" ™ "u" + "v" (bat đang thúc tam giác)

M®t không gian đ%nh chuan trên trưòng K = R ho¾c K = C đưoc

goi là không gian đ%nh chuan thnc ho¾c phúc, tương úng

Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Sn h®i tu) Cho (u n) là dãy trong không gian đ

%nh chuan X, un ∈ X, ∀n.

Ta viet lim

n→+∞ u n = u.

Neu lim

n→+∞ "u n − u" = 0 và khi đó ta nói dãy (u n )h®i tu tói u.

Thay vì viet lim

n→+∞ u n = u ta có the viet u n → u khi n → +∞.

Dãy (un ) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi là dãy Cauchy

neu

∀ε > 0, ∃n0(ε) sao cho "u n − u m " < ε ∀n, m “ n0(ε).

Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach) Không gian đ%nh chuan X

đưoc goi là không gian Banach neu moi dãy Cauchy đeu h®i tu

Nh¾n xét 1.1.1 Không gian Banach cũng đưoc goi là không gian đ%nh

chuan đay

Rõ ràng moi dãy h®i tu đeu là dãy Cauchy

Th¾t v¾y, neu "xn − x" → 0 thì "x p n − x q n " ™ "x p n − x"+"x q n − x" →

0

vói moi c¾p dãy tăng cna chí so (pn ) và (q n)

Đieu ngưoc lai trong trưòng hop tong quát không đúng

Ví dn 1.1.2 Cho P ([0, 1]) là không gian các đa thúc trên [0, 1]

vói chuan P = max P (x) Đ%nh nghĩa:

x n , n = 1, 2,

n!

thì (Pn ) là m®t dãy Cauchy, nhưng nó không h®i tu trong P ([0, 1]).

M®t so ví du minh hoa ve không gian Banach

Ví dn 1.1.3 Không gian X := K là không gian Banach trên trưòng

K

vói chuan "u" = |u| , ∀u ∈ K

Ví dn 1.1.4 Chúng ta se chí ra rang không gian l2 bao gom tat cá

.∞ nhung dãy so phúc x = (xn) sao cho chuoi

∞

n= 1

|xn|2 h®i tu vói chuan

"x" =

" " |

|

Lay (an ) là m®t dãy Cauchy trong l2 Giá sú (an ) = (α n,1, α n,2, ) Vói ε > 0 tùy ý, ton tai m®t so N0 thóa mãn

Nhưng đieu này cũng có nghĩa là, vói moi k dãy (αn,k) là m®t dãy

Cauchy trong C và vì v¾y nó h®i tu

Kí hi¾u: αk = lim

n→∞ α n,k, k = 1, 2, và a = (ak)

Chúng ta se chúng minh rang a là m®t phan tú cna l2 và rang dãy

(a n ) h®i tu tói a Th¾t v¾y, tù (1.1) cho m → ∞ ta đưoc

|αN0,k| < ∞.

Đieu này chúng minh rang dãy a = (an ) là m®t phan tú cna l2 Hơn nua,

khi ε là nhó tùy ý (1.2) kéo theo

‚ ∞

lim "a − an " =

lim

(|αk − α n,k |)2 = 0, n→∞

,

,

n→∞

,

k=1

túc là dãy (an ) h®i tu tói a trong l2.

Ví dn 1.1.5 M®t ví du quan trong khác cna không gian Banach là

không gian C ([a,b]) nhung hàm liên tuc (giá tr% thnc ho¾c phúc) trên

m®t đoan [a, b] Nhac lai rang chuan trên C ([a,b]) đưoc đinh nghĩa f

|f (x0) − f (y)| ™ |f (x0) − fN0 (x0)| + |fN0 (x0) − fN0 (y)| + |f N0 (y) − f (y)|

< ε + ε + ε = 3ε

ó đó |x0 − y| < δ Do đó ta có tính liên tuc cna f Rõ ràng, 1.4 kéo theo

"f n − f" ™ ε, ∀n “ N0, nên dãy (fn ) h®i tu đeu tói f

" " |

|

Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Chuoi h®i tu và h®i tu tuy¾t đoi) M®t chuoi

.∞ x

n=1

trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi là h®i tu neu dãy nhung tong riêng h®i tu trong X, túc là ton tai x ∈ X thóa mãn

"x1 + x2 + + x n − x" → 0 khi n → ∞.

Trong trưòng hop đó ta viet

là h®i tu tuy¾t đoi

.∞

n= 1

x n = x

Neu

.∞

n= 1

"xn" < ∞ thì chuoi goi

Trong trưòng hop tong quát, m®t chuoi h®i tu tuy¾t đoi không nhatthiet h®i tu

Đ%nh lí 1.1.6 M®t không gian đ%nh chuan là không gian Banach neu

và chs neu chuoi h®i tn tuy¾t đoi là h®i tn.

Đ%nh lí 1.1.7 M®t không gian vectơ con đóng cúa m®t không gian

Ba-nach là m®t không gian BaBa-nach.

1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach

Muc này trình bày bien phân b¾c nhat và đao hàm, bien phân vàđao hàm cap cao, m®t so tính chat cơ bán như đ%nh lí ve đao hàmriêng cna Schwartz, qui tac dây chuyen, đ%nh lí hàm an, và đ%nh líLyusternik và m®t so ví du minh hoa

1.2.1 Bien phân b¾c nhat và đao hàm

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho X và Y là hai không gian tôpô tuyen tính, V

là m®t lân c¾n cna x ∈ X và F : X → Y Neu

δF (x, h) := lim t −1 (F (x + th) F (x)) (1.5)

n

ton tai vói moi h ∈ X thì ánh xa h → δF (x, h) đưoc goi là bien phân b¾c nhat cna F tai x.

Neu ton tai m®t toán tú tuyen tính liên tuc Λ : X → Y sao cho

Λh = δF (x, h), ∀h ∈ X thì Λ là đao hàm Gâteaux, ký hi¾u là F r (x) hay F r (x) Ta nói: F khá vi Gâteaux tai x Đieu này xáy ra khi và chí khi ton tai toán tú tuyen tính liên tuc Λ : X → Y sao cho

F (x + th) = F (x) + tΛh + r (t) ∀h ∈ X

Ví dn 1.2.1 Cho r và ϕ là toa đ® cnc cna x ∈ R2 và f (x) = r cos 3ϕ Ta có δf (0, h) = f (h) Vì δf (0, h) không tuyen tính nên f

không khá vi Gâteaux tai 0 ∈ R2

Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Đao hàm Fréchet) Neu X và Y là không gian

Banach, F : X → Y khá vi Fréchet tai x neu ton tai toán tú tuyen tính liên tuc Λ : X → Y sao cho

x → F r (x) liên tuc trên V (hay tai x0 ∈ V ) theo tôpô L(X, Y ) thì ta nói

F khá vi liên tuc trên V (hay tai x0) hay F thu®c vào lóp C1

Neu f là m®t phiem hàm và thì x là m®t điem dùng.

G

F

Ví dn 1.2.2 (Đao hàm Fréchet cna ánh xa afin) M®t ánh xa A : X → Y

tù không gian tuyen tính X vào không gian tuyen tính Y có dang

A (x) = Λx + a, vói a ∈ X và Λ là m®t ánh xa tuyen tính tù X vào Y , đưoc goi là ánh xa afin Neu X và Y là không gian Banach và Λ liên tuc thì A

 0 trưòng hop còn lai

khá vi Gâteaux tai (0, 0) ∈ R2 nhưng không liên tuc tai đó nên theoM¾nh đe 1.2.3 thì nó không the khá vi Fréchet đưoc

Đ%nh lí 1.2.5 (Đ%nh lí giá tr% trung bình) Cho X và Y là các

không gian topo tuyen tính, U là m®t t¾p mó cúa X, ánh xa F : U → Y khá vi Gâteaux tai moi điem trên đoan noi [x, x + h] ⊂ U Khi đó ta có:

(i) Neu ánh xa z → F r (z) h là m®t ánh xa liên tnc cúa [x, x + h] vào Y th

1

(ii) Neu X và Y là không gian Banach thì

M¾nh đe sau đây là m®t h¾ quá cna đ%nh lí giá tr% trung bình

M¾nh đe 1.2.6 Cho X là m®t không gian Banach và F là m®t ánh xa

liên tnc tù m®t lân c¾n U cúa x0 ∈ X vào không gian Banach Y Giá

thiet rang F khá vi Gâteaux tai moi điem cúa U và ánh xa x → F r (x)

tù U vào L (X; Y ) liên tnc Khi đó F khá vi Fréchet trên U và

Như v¾y G : C n ([t0, t1]) → Cm ([t0, t1]) là m®t hàm liên tuc [t0, t1] → R n

có ánh nam trong U Ta se chí ra rang G khá vi Fréchet tai x (·).

Vì U là t¾p mó nên ton tai ε > 0 sao cho |x0 (t) − x| < ε kéo theo (t, x) ∈ U Neu "x (·) − x0 (·)"C < ε ta có

G ( x ( · ) + λz ( · )) .

G

(t) = gx (t, x (t)) z (t) ,

nghĩa

r (x (·)) z (·)] (t) = g x (t, x (t)) z (t)

Vì (t, x) → g x (t, x) liên tuc nên x (·) → G r (x (·)) cũng liên tuc Áp

dung m¾nh đe 1.2.6 ta nh¾n đưoc tính khá vi Fréchet tai x (·) và

[G r (x0 (·)) z (·)] (t) = gx (t, x0 (t)) z (t)

1.2.2 Bien phân và đao hàm b¾c cao

Neu vói moi h ∈ X, hàm ϕh (t) := F (x + th) khá vi n lan tai t = 0

thì

∂ n F (x, h) := d ϕ

dt n h

đưoc goi là bien phân b¾c n cna F tai x.

t=0

Đao hàm Fréchet b¾c n có the đ%nh nghĩa qui nap: Neu đao hàm

Fréchet (b¾c nhat) F r cna F ton tai trong m®t lân c¾n cna x Neu ánh

xa x → F rr (x) ton tai và liên tuc trong lân c¾n cna m®t điem thì ta nói

F khá vi liên tuc hai lan tai điem đó.

1.2.3 M®t so tính chat cơ bán

Đ%nh lí 1.2.8 (Đ%nh lí ve đao hàm riêng cna Schwarts) Cho X, Y và

Z là các không gian Banach, U là t¾p hop mó cúa X × Y và F : U → Z

có đao hàm (Fréchet) riêng Fx (x, y) và Fy (x, y) tai moi điem (x, y)

∈ U Neu các ánh xa (x, y) → Fx (x, y) và (x, y) → Fy (x, y) liên tnc (theo tôpô đeu) tai (x¯, y¯) ∈ U thì F khá vi Fréchet tai đó và

F r (x¯, y¯) [(ξ, η)] = F x (x¯, y¯) [ξ] + F y (x¯, y¯) [η]

Đ%nh lí 1.2.9 (Quy tac dây chuyen) Cho X,Y và Z là các không gian

Banach, U là m®t t¾p mó cúa X, V là m®t t¾p mó cúa Y, F : U → Y

và G : V → Z Cho x ∈ U vói F (x) ∈ V Neu F khá vi Fréchet tai x và

G khá vi Fréchet tai F (x) thì ánh xa H = G ◦ F cũng khá vi Frétchet tai x và H r (x) = G r (F (x)) ◦ F r (x)

Ví dn 1.2.10 (Đao hàm Frétchet cna hàm Lagrange) Cho L (t, x, y)

là m®t ánh xa tù w ⊂ R × R n × R n vào Rm, liên tuc và khá vi liên

tuc theo x và y,x0 (·) là m®t hàm liên tuc trên [t0, t1] sao cho

(t, x0 (t) , x˙ 0 (t)) ∈ H r vói moi t ∈ [t0, t1]

1

Ví dn 1.2.11 (Đao hàm Fréchet cna tích phân hàm Lagrange) Vói giá

thiet như trong ví du 1.2.10, ta xét phiem hàm sau

F2 là m®t ánh xa tuyen tính, nên sú dung ket quá cna ví du 1.2.4 và1.2.11 cùng vói đ%nh lí 1.2.9 ta thu đưoc

t0

(1.7)

Đ%nh lí 1.2.12 (Đ%nh lí hàm an) Cho X, Y và Z là các không gian

Banach, U là m®t lân c¾n cúa (x0, y0) ∈ X × Y và F : U → Z khá

(i) Hai quan h¾ F (x, y) = 0 và y = y (x) là tương đương trên t¾p

B (x0, δ) × B (y0, ε);

(ii) y (·) khá vi liên tnc và y r (x) = −[F y (x, y (x))] −1 ◦ F x (x, y (x)).

1.2.4 Đ%nh lí Lyusternik

Giá sú M là m®t t¾p con cna không gian Banach X x ∈ X đưoc goi là vector tiep tuyen t¾p M tai x0 ∈ M neu ton tai ε > 0 và ánh

xa

r ( t ) "

r : [0, ε] → X, thóa mãn lim t→0

x0 + tx + r (t) ∈ M ∀t ∈ [0, ε]

De thay, t¾p hop các vector tiep tuyen M tai m®t điem bat kỳ là m®t

nón đóng và khác rong (vì chúa điem 0), đưoc goi là nón tiep tuyen t¾p

M tai x0 Neu nón này là m®t không gian con thì ta goi là không gian

tiep tuyen t¾p M tai x0 và kí hi¾u là Tx0 M Đ%nh lí sau se nói ve

không gian này

Đ%nh lí 1.2.13 (Đ%nh lí Lyusternik) Cho X và Y là không gian

Banach, V là m®t lân c¾n cúa x0 ∈ X, và F : V → Y khá vi Fréchet Giá thiet rang F chính qui tai x0 (túc ImF r (x0) = Y ) và khá vi liên tnc tai x0 Khi đó t¾p M = {x ∈ U : F (x) = F (x0)} có m®t không

gian tiep tuyen tai x0 và

T x0 M = KerF r (x0)

1.3 Hàm loi và dưái vi phân

Phan này trình bày đ%nh nghĩa cna t¾p loi, hàm loi và m®t so tínhchat liên quan

Đ%nh nghĩa 1.3.1 (T¾p loi) T¾p A trong không gian tuyen tính Xđưoc

goi là loi neu đoan noi

[x1, x2] := {x ∈ X/x = λx1 + (1 − λ) x2, 0 ™ λ ™ 1}

giua hai điem x1 và x2 bat kỳ thu®c A cũng nam trong A.

Đ%nh nghĩa 1.3.2 (Hàm loi) Cho hàm f : X → R ∪ {−∞, ∞} thì

domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}

là mien xác đ%nh huu hi¾u và

epif := {(α, x) ∈ R × X/f (x) ™ α}

là epigraph cna f Hàm f đưoc goi là th¾t neu domf ƒ= ∅ và f (x) >

−∞

vói moi x ∈ X.

Hàm f là m®t hàm loi neu epif là m®t t¾p loi trong R × X.

M¾nh đe 1.3.1 Cho f : X → R loi khi và chs khi

f (λx1 + (1 − λ) x2) ™ λf (x1) + (1 − λ) f (x2) , ∀x1, x2 ∈ X, λ

∈ [0, 1]

(1.8)1.8 đưoc goi là bat đang thúc

Jensen M®t so ví du quan trong cna

Tong hai hàm loi và th¾t là m®t hàm loi (không nhat thiet là

th¾t).Supremum cna m®t ho tùy ý các hàm loi cũng loi

Đ%nh lí sau đây đưa ra m®t so tính chat quan trong cna hàm loi đoi vói bài toán cnc tr%

Đ%nh lí 1.3.2 Chof là m®t hàm loi th¾t.

(i) Moi t¾p múc dưói

là loi (∀α ∈ R).

ς α f := {x ∈ X/f (x) ™ α} (1.9)

(ii) Moi điem cnc tieu đ%a phương cúa f là m®t điem cnc tieu toàn cnc (iii) Moi điem dùng cúa f là m®t điem cnc tieu toàn cnc.

Đ%nh lí tiep theo nói ve tính liên tuc cna hàm loi

Đ%nh lí 1.3.3 Cho f là m®t hàm loi th¾t trên X Khi đó bon m¾nh đe

sau đây là tương đương:

1 f b% ch¾n trên tai m®t lân c¾n cúa điem nào đó;

2 f liên tnc tai m®t điem nào đó;

3 int (epif ) ƒ= ∅;

4 int (domf ) ƒ= ∅ và f liên tnc trên int (domf )

Và ta có

int (epif ) = {(α, x) ∈ R × X/x ∈ int (domf ) , f (x) < α}

Đ%nh nghĩa 1.3.3 (Dưói vi phân) Cho f là m®t hàm loi th¾t trên

X T¾p

∂f (x) := {x ∗ ∈ X ∗ /f (z) − f (x) “ (x ∗ , z − x) ∀z ∈ X} (1.10) đưoc goi là dưói vi phân cna f tai x Trong Giái tích loi,

dưói vi phân đóng vai trò cna đao hàm Neu m®t hàm loi khá viGâteaux tai m®t điem thì dưói vi phân tai điem đó có m®t phan

tú duy nhat là đao hàm

Gâteaux

Ví dn 1.3.4 (Dưói vi phân cna chuan) Tù đ%nh nghĩa ta có

x ∗ ∈ ∂ "0" ⇔ "z" “ |(x ∗ , z)| ∀z ∈ X ⇔ "x ∗ " ™ 1.

Suy ra ∂ "0" = {x ∗ ∈ X ∗ / "x ∗ " ™ 1} (1.11)Bây giò ta chúng minh rang

Như v¾y 1.12 đã đưoc chúng minh H¾ quá cna đ%nh lí Hahn-Banach và

ket quá trên chí ra rang ∂ "x"

=ƒ

∅ vói moi x ∈ X.

Ví dn 1.3.5 (Dưói vi phân cna hàm chí đ%nh) Vói moi x ∈ A thì

∂δ (x |A) khác rong vì nó đeu chúa 0 Tù đ%nh nghĩa ta có

∂δ (x |A) = N (x |A) , (1.13)trong đó N (x |A) := {x ∗ ∈ X ∗ |(x ∗ , z − x) ™ 0 ∀z ∈ A} (1.14)

là nón pháp tuyen cna t¾p A tai điem x.

Đ%nh lí 1.3.6 (Đ%nh lí Moreau- Rockafellar) Neu f1 và f2 là hàm loi th¾t trên X thì

là chuan Euclid cna x = (x1, , x n) ∈ Rn

Tôpô đưoc cám sinh qua chuan này đưoc goi là Tôpô h®i tu đeu

Không gian C n ([t0, t1])

m ([t0, t1]) là không gian cna các ánh xa khá vi liên tuc m-lan tù

[t0, t1] vào Rn, vói chuan

Khi l ™ p < ∞thì L n ([t0, t1]) kí hi¾u không gian Banach cna các ánh

xa đo đưoc Lebesgue tù [t0, t1] vào Rnvói ¸ t1

|x (t)| dt

vói

ess sup t0 ™t™t

p ([t0, t1]) thưòng đưoc goi là không gian Lebesgue

Khi p = 2, L n ([t0, t1]) tró thành không gian Hilbert vói tích vô

p ([t0, t1])

n m,p ([t 0, t1]) là không gian Banach cna các ánh xa tù [t0, t1] vào R ,

trong đó đao hàm đen b¾c m − 1 là liên tuc tuy¾t đoi, còn đao hàm b¾c m thì thu®c vào L n ([t0, t1]) Có the sú dung m®t trong so các

L

n

W

p

Ngưòi ta goi W n ([t 0, t1]) là là không gian Sobolev.

m, p

Khi p = 2 thì W n

m−1

([t 0, t1]) là không gian Hilbert vói tích vô hưóng

¸ t1

(m)

(i) Hàm f đưoc goi là hàm Lipschitz đ%a phương tai x¯ ∈ X, hay

Lipschitz ó gan x¯, neu ton tai lân c¾n U cna x¯, so k > 0 sao cho:

(∀x, xr ∈ U ) |f (x) − f (x r)| ™ k "x − xr " (1.15)

Hàm f đưoc goi là hàm Lipschitz đ%a phương trên t¾p Y ⊂ X, neu f

Lipschitz đ%a phương tai moi x ∈ Y

(ii) Hàm f đưoc goi là hàm Lipschitz vói hang so k trên t¾p Y ⊂ X,

neu

1.15 đúng vói moi x, xr ∈ Y

Đ%nh lí 1.5.1 Giá sú f là hàm Lipschitz đ%a phương trên t¾p loi U ⊂ X.

Khi đó, vói moi x, x r ∈ U, hàm so

H¾ quá 1.5.1 Giá sú f : X → R là hàm Lipschitz trên t¾p loi U ⊂ X.

Khi đó, vói moi x, x r ∈ U sao cho

Giá sú f là hàm Lipschitz đ%a phương tai x¯ ∈ X

Đ%nh nghĩa 1.5.2 (Đao hàm suy r®ng theo phương cna F.H Clarke).

Đao hàm suy r®ng cna hàm f theo phương v ∈ X tai

f 0 (x¯, v), đưoc xác đ%nh như sau:

(iii) f 0 (x¯, −v) = −f 0 (x¯, v).

1.5.2 Dưái vi phân Clarke

Giá sú f : X → R là hàm Lipschitz đ%a phương trên không gian Banach X, X ∗ là không gian đoi ngau cna X (X ∗ gom các phiem

hàm tuyen tính liên tuc trên X).

Đ%nh nghĩa 1.5.3 Gradient suy r®ng cna hàm f tai x¯, ký hi¾u ∂f

(x¯), t¾p

∂f (x¯) := .ξ ∈ X ∗ : f 0 (x¯, u) “ (ξ, u) , ∀u ∈ X .

đưoc goi là dưói gradient suy r®ng cna F.H Clarke

Ví dn 1.5.3 Xét X = R và cho f (x) = |x| Khi đó f là hàm Lipschitz

trên R vói hang so Lipschitz k = −1 Th¾t v¾y, vói x1, x2 ∈ R, ta có

Dưói đây là m®t so tính chat cơ bán cna dưói vi phân Clarke.

Đ%nh lí 1.5.4 Giá sú f là hàm Lipschitz đ%a phương vói hang so k tai

x¯ Khi đó

(i) ∂f (x¯) ƒ= ∅, loi, compăc, * - yeu trong X ∗ và

"ξ" ∗ ™ k, (∀ξ ∈ ∂f (x¯)) (ii) Vói moi v ∈ X, ta có:

(iii) E compăc * - yeu ⇔ σ E (·) là hàm huu han trên X

(iv) Hàm σ : X → R ∪ {+∞} thuan nhat dương, dưói c®ng tính, núa liên tnc dưói (manh hay yeu) và σ (·) ƒ= +∞⇔ ton tai t¾p loi, đóng * - yeu sao cho σ = σ E (·) T¾p E đưoc xác đ%nh duy nhat

Cho ánh xa đa tr% Γ : X → 2 Y Đo th% cna Γ là t¾p hop GrΓ := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Γ (x)}.

Đ%nh nghĩa 1.5.4 Ánh xa đa tr% Γ đưoc goi là đóng neu GrΓ đóng

trong X × Y

Đ%nh nghĩa 1.5.5 Ánh xa đa tr% Γ đưoc goi là núa liên tuc trên t¾p

X, neu vói ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

(∀x ∈ x¯ + δBX ) , Γ (x) ⊂ Γ (x¯) + εBY

Đ%nh lí 1.5.6 Giá sú f là hàm Lipschitz đ%a phương tai

khang đ%nh sau đây

x¯ Ta có các

(i) ζ ∈ ∂f (x¯)⇔ f 0 (x¯, v) “ (ζ, v) , ∀v ∈ X.

(ii) Giá sú các dãy {xi} ⊂ X, {ζi} ⊂ X ∗ thoá mãn ζi ∈ ∂f (xi), {xi} h®i tn đen x¯, ζ là điem giói han cúa {ζi} theo tôpô * - yeu Khi đó ζ ∈ ∂f (x¯) ( túc là ánh xa đa tr% ∂f (x) đóng * - yeu ).

Đ%nh nghĩa 1.6.1 (Bài toán toi ưu) Bài toán toi ưu tong quát đưoc

phát bieu như sau:

min f (x) vói đieu ki¾n x ∈ D, (P 1)

ho¾c max f (x) vói đieu ki¾n x ∈ D, (P 2)

trong đó D ⊆ R n đưoc goi là t¾p nghi¾m chap nh¾n đưoc hay t¾p

ràng bu®c và f : D → R là hàm muc tiêu Moi điem x ∈ D đưoc goi

là m®t nghi¾m chap nh¾n đưoc hay m®t phương án chap nh¾n

đưoc ( goi tat là m®t phương án) Điem x ∗ ∈ D mà

f (x ∗) ™ f (x) ∀x ∈ Dđưoc goi là nghi¾m toi ưu, ho¾c nghi¾m toi ưu toàn cuc, ho¾cnghi¾m cnc tieu toàn cuc, ho¾c là nghi¾m cna bài toán (P1).Ngưòi tacòn m®t nghi¾m toi ưu là m®t phương án toi ưu hay lòi giái cna bàitoán đã cho

Điem x ∗ ∈ D đưoc goi là nghi¾m cnc tieu toàn cuc ch¾t neu

f (x ∗ ) < f (x) ∀x ∈ D và x ƒ= x ∗

Không phái bài toán (P1) nào cũng có nghi¾m cnc tieu toàn cuc neubài toán có nghi¾m cnc tieu toàn cuc thì cũng chưa chac có nghi¾mcnc tieu

toàn cuc ch¾t.

Giá tr% toi ưu (hay giá tr% cnc tieu) cna bài toán (P1) đưoc kí hi¾u là

min f (x) ho¾c min {f (x) |x ∈ D} x∈D

Neu bài toán (P1) có nghi¾m toi ưu là x ∗ thì

f (x ∗) ™ f (x) ∀x ∈ B (x∗ , ε) ∩ D.

Điem x ∗ ∈ Dđưoc goi là nghi¾m toi ưu đ%a phương ch¾t ho¾c

nghi¾m cnc tieu đ%a phương ch¾t cna bài toán (P1) neu ton tai m®t

ε−lân c¾n B (x ∗ , ε) cna điem x ∗ ∈ D sao cho

f (x ∗ ) < f (x) ∀x ∈ B (x ∗ , ε) ∩ D và x ƒ= x ∗

Lưu ý rang, ngưòi ta cũng thưòng phát bieu bài toán (P1) dưói dang

min {f (x) |x ∈ D} ho¾c f (x) → min ho¾c min f (x)

x∈D vói đieu ki¾n x ∈ D.

Tương tn, bài toán (P2) cũng thưòng đưoc phát bieu dưói dang

max {f (x) |x ∈ D} ho¾c f (x) → max ho¾c max f (x)

x∈D vói đieu ki¾n x ∈ D.

Tương tn đoi vói bài toán (P2), ta cũng có các khái ni¾m như trên