Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THÀNH CHUNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THÀNH CHUNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm . Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy. Tôi xin cảm ơn các thầy cô Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đồng thời tôi xin cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán giải tích K13- K14 của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường THPT Yên Dũng số 1, Bắc Giang, các đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thành Chung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành qủa khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thành Chung Mục lục Bảng ký hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . 9 1.1. Không gian R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Chuẩn Euclid của véc tơ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4. Khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Hình cầu mở, tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7. Tập bị chặn và tập compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Ma trận nửa xác định dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Ánh xạ đa trị. . . . 15 1.4.1. Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG LỒI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Định lý Frank- Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Định lý Frank- Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 4 2.2.2. Định lý kiểu Frank- Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Định lý Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Định lý Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Định lý kiểu Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Bài toán tối ưu toàn phương chỉ có một ràng buộc toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Bài toán tối ưu toàn phương có hàm mục tiêu tựa lồi . . . . . 43 2.6. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1. Tính ổn định nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 BẢNG KÝ HIỆU ∅ tập rỗng x ∈ X x thuộc tập X x /∈ X x không thuộc tập X A \ B hiệu của tập A và tập B A ∪ B hợp của tập A và tập B A ∩ B giao của tập A và tập B R đường thẳng thực R n không gian Euclid- n chiều < x, y > tích vô hướng của x và y ||x|| =   n i=1 (x i ) 2 chuẩn Euclid của x trong R n x T chuyển vị của x B(x 0 , ) hình cầu mở tâm x 0 , bán kính  lim inf giới hạn dưới lim sup giới hạn trên inf(A) cận dưới đúng của A intA phần trong của A f(x) gradient của f tại x R n×n S Không gian các ma trận đối xứng cấp n MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán quy hoạch toàn phương (còn gọi là bài toán tối ưu toàn phương) là bài toán tìm nghiệm tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm toàn phương (gọi là hàm mục tiêu) trên một tập hợp xác định bởi một số hàm toàn phương (gọi là miền ràng buộc). Một bộ phận quan trọng của quy hoạch toán học nghiên cứu về những khía cạnh khác nhau của các bài toán tối ưu toàn phương gọi là Quy hoạch toàn phương. Những bài toán tối ưu toàn phương xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực của tối ưu hóa, điều khiển học và kĩ thuật. Những ví dụ về những bài toán đó có thể kể đến những bài toán miền tin cậy (trust- region problems) trong tối ưu hóa và những bài toán lưu chứa (pooling problem) trong Hóa dầu. Người ta cũng dùng những bài toán tối ưu toàn phương để giải xấp xỉ những bài toán tối ưu phi tuyến phức tạp. Với bài toán tối ưu nói chung, bài toán tối ưu toàn phương nói riêng, một việc quan trọng luôn được đặt ra là bài toán có lời giải (còn gọi là nghiệm) hay không? Câu trả lời sẽ đơn giản nếu tập ràng buộc là giới nội hoặc hàm mục tiêu không bị chặn trên miền ràng buộc. Vấn đề sẽ trở nên phức tạp trong trường hợp tập ràng buộc không giới nội và hàm mục tiêu bị chặn trên đó. Khi ấy việc khẳng định bài toán có nghiệm hay không là một vấn đề không dễ. Một số kết quả nghiên cứu đã được đăng và được viết trong cuốn sách chuyên khảo “G. M. Lee, N. N. Tam and N. D. Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Springer Verlag, New York, 2005”. 7 Những bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi lập thành một lớp bài toán tối ưu quan trọng, nó chứa những bài toán toàn phương với ràng buộc tuyến tính. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã và đang quan tâm nghiên cứu những tính chất khác nhau của lớp bài toán này và đã thu được nhiều kết quả quan trọng (xem [1], [2], [3], [7], [8]và những tài liệu dẫn trong đó). Sau khi học xong chương trình cao học giải tích, với lòng mong muốn củng cố những kiến thức đã học và hiểu biết thêm về ứng dụng của Giải tích toán học vào những môn toán học khác, tôi chọn đề tài: “ Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số lớp bài toán tối ưu toàn phương (lồi, không lồi) với ràng buộc toàn phương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu những tính chất định tính của Bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc toàn phương lồi và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, điều kiện cực trị, tính ổn định,. . . của chúng. 8 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. Sử dụng các phương pháp của giải tích và đại số tuyến tính. Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp của đề tài Luận văn trình bày và nêu ra một cách tổng quan một số kết quả định tính của bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi. Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thành Chung [...]... được gọi là tập nghiệm của bài toán (*) 1.5 Kết luận chương 1 Trong chương này chúng ta đã trình bày một số khái niệm về không gian Rn , tập lồi, hàm lồi và một số kiến thức sẽ được sử dụng trong các chương sau Chương 2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG LỒI Chương này dành cho việc nghiên cứu bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi Nội dung (kiến thức) trong... i = 1, 2, , m, thì (2.1) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi 18 2.2 Định lý Frank- Wolfe Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi trong trường hợp Qi = 0, ∀i = 1, 2, m và C = ∅, f0 bị chặn trên C đã được Frank-Wolfe chứng minh vào năm 1956 2.2.1 Định lý Frank- Wolfe Xét bài toán toàn phương dạng chuẩn:    min f (x) :=... cho bài toán đang xét Trong thực tế ∀b0 ∈ −(∂K ∗ ) \ {0} thì (2.18) không có nghiệm Để thấy điều đó, cho b0 = (0, ξ2 ) với ξ2 = 0 Chọn xk = (−k 2 , − k) Ở đây, mang dấu (+, -) của ξ2 Ta thấy rằng xk ∈ C và f0 (xk ) = −ξ2 k = −|ξ2 |k, ∀k ≥ 1 Do đó, f0 không bị chặn dưới trên tập C 32 2.4 Bài toán tối ưu toàn phương chỉ có một ràng buộc toàn phương lồi Xét bài toán toàn phương với ràng buộc toàn phương. .. sau (bài toán tối ưu toàn phương không lồi với ràng buộc toàn phương lồi và hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập ràng buộc khác rỗng không có nghiệm) Ví dụ 2.2.2 Xét bài toán tối ưu sau trong R4 : min f0 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = −2x1 x2 + x3 x4 + x2 1 Với điều kiện    f1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x2 − x3 ≤ 0 1   f (x , x , x , x ) = x2 − x ≤ 0 2 1 2 3 4 4 2 Rõ ràng là f0 không lồi nhưng f1 và f2 lồi Hơn... (x) bị chặn trên tập ràng buộc C thì bài toán (2.1) có nghiệm tối ưu Từ đây trở đi, kí hiệu inf (α) là giá trị cận dưới đúng của hàm mục tiêu của bài toán tối ưu (α) Khi ta nói bài toán α bị chặn nghĩa là: Hàm mục tiêu của bài toán đó bị chặn trên miền ràng buộc của nó Khi ta nói bài toán α đạt cận dưới đúng nghĩa là: Hàm mục tiêu của bài toán đó đạt cận dưới đúng trên miền ràng buộc của nó Việc chứng... + tv ∈ C, ∀t ≥ 0 Vậy v ∈ 0+ C Định lí sau là sự tổng quát hóa của Định lí 2.3.1 Lưu ý rằng, khác với bài toán toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính, điều kiện cần tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) trong định lý Eaves không trùng với điều kiện đủ Ta sẽ làm rõ điều này qua ví dụ Định lý 2.3.2 Xét bài toán (2.1), giả thiết rằng C khác rỗng Khi đó, các khẳng định sau đúng : (i) Nếu (2.1) có nghiệm thì... thể đạt được tại bất cứ véc tơ chấp nhận nào Ví dụ trên cho ta thấy nếu tập ràng buộc có hai ràng buộc toàn phương lồi phi tuyến và ma trận Hessian của hàm mục tiêu có hai giá trị riêng âm thì khi đó cận dưới đúng có thể không đạt được Belousov và Klatte (xem [5]) đã tìm được ví dụ bài toán toàn phương có hàm mục tiêu không lồi trong R3 :    min f0 (x1 , x2 , x3 ) := −f1 (x) − f2 (x) + (x2 − x3 )2... X 16 1.4.1 Bài toán tối ưu Định nghĩa 1.4.3 Cho X ⊂ Rn , f : X → R Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của f trên X gọi là bài toán tối ưu, kí hiệu    min f (x)   x∈X (*) Khi đó, X được gọi là tập ràng buộc hoặc tập chấp nhận được; f (x) gọi là hàm mục tiêu Mỗi véc tơ x ∈ X là một phương án chấp nhận được hay một lời giải của bài toán (*) Một lời giải x ∈ X được gọi là nghiệm ¯ (hoặc nghiệm tối ưu... buộc toàn phương lồi Xét bài toán toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi QCQP , trong đó chỉ có một ràng buộc toàn phương lồi phi tuyến, tất cả những ràng buộc còn lại đều tuyến tính Bằng cách biến đổi chuẩn tắc nếu cần, ta có thể giả sử QCQP được cho dưới dạng: 1 1 min f0 (x, y) := xT Qx + q T x + (g T + xT G)y + y T Hy 2 2 (2.24) với ||x||2 ≤ hT y + d; Ax + By ≤ 0, trong đó: y là một biến véc tơ ;... gọi là nón nếu với mọi x ∈ K, t ≥ 0 ta có tx ∈ K Nếu nón K là tập lồi thì K gọi là nón lồi Định nghĩa 1.2.4 Cho X là tập lồi khác rỗng trong Rn Véc tơ v ∈ Rn , v = 0 gọi là một phương lùi xa của X nếu với mọi x ∈ X, t ≥ 0 ta có x + tv ∈ X Tập tất cả các phương lùi xa của X lập thành một nón, gọi là nón lùi xa của X và kí hiệu là 0+ X 1.2.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.2.5 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : X . các chương sau. Chương 2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG LỒI Chương này dành cho việc nghiên cứu bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi. Nội dung (kiến. toán tối ưu toàn phương (lồi, không lồi) với ràng buộc toàn phương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu những tính chất định tính của Bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi. 4. Đối. York, 2005”. 7 Những bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi lập thành một lớp bài toán tối ưu quan trọng, nó chứa những bài toán toàn phương với ràng buộc tuyến tính. Nhiều